數(shù)學(xué)思想解讀

1、數(shù)學(xué)思想解讀一、教學(xué)內(nèi)容：專題一 數(shù)學(xué)思想解讀 二、內(nèi)容概要數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)著數(shù)學(xué)問題的解決，并具體地體現(xiàn)在解決問題的不同方法中，掌握一定的數(shù)學(xué)思想和方法遠(yuǎn)比掌握一般的數(shù)學(xué)知識有用的多. 通過七年級下冊數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，同學(xué)們應(yīng)進(jìn)一步理解和感受方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等幾種數(shù)學(xué)思想方法. 三、知識點(diǎn)分析1. 方程思想.所謂方程思想就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，把已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）模型，從而使問題得到解決的思維方法.方程知識是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，理解方程思想并應(yīng)用于解題當(dāng)中十分重要.課本中第6章、第7章列一

2、次方程（組）解應(yīng)用題就是方程思想的具體應(yīng)用.2. 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，每個幾何圖形中都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系常常又可以通過圖形的直觀性作出形象的描述.數(shù)形結(jié)合思想即是把代數(shù)、幾何知識相互轉(zhuǎn)化、相互利用的一種解題思想. 在一元一次不等式（組）中，用數(shù)軸表示不等式的解集就是數(shù)形結(jié)合的具體體現(xiàn).3. 分類討論思想分類討論思想就是要針對數(shù)學(xué)對象的共性與差異性，將其區(qū)分為不同種類，從而克服思維的片面性，有效地考查學(xué)生思維的全面性與嚴(yán)謹(jǐn)性.要做到成功分類，需注意兩點(diǎn)：一是要有分類意識，善于從問題的情境中抓住分類對象；二是找出科學(xué)合理的分類標(biāo)準(zhǔn)，滿足不重不漏的原則.

3、4. 轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)問題的一種重要的思維方法.轉(zhuǎn)化思想是分析問題和解決問題的一個重要的基本思想，就解題的本質(zhì)而言，解題就意味著轉(zhuǎn)化，即是把“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，把“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”，把“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟悉”，把“抽象”轉(zhuǎn)化為“具體”，把“一般”轉(zhuǎn)化為“特殊”，把“高次”轉(zhuǎn)化為“低次”，把一個綜合問題轉(zhuǎn)化為幾個基本問題，把順向思維轉(zhuǎn)化為逆向思維等等.5. 整體思想研究某些數(shù)學(xué)問題時，往往不是以問題的某個組成部分為著眼點(diǎn)，而是有意識放大考查問題的視角，將要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或作整體處理后，達(dá)到順利而又簡捷地解決問題的目

4、的，這就是整體思想.6. 由特殊到一般的歸納思想：在研究數(shù)學(xué)問題時，常常通過對特殊情況的問題的探究，推廣到一般情況，從而歸納出一般規(guī)律. 本章中多邊形的內(nèi)角和、多邊形的外角結(jié)論的得出，都采用了由特殊到一般的歸納思想.7. 對稱思想數(shù)學(xué)家赫爾曼外爾曾經(jīng)說過：對稱是一種思想，通過它，人們畢生追求并創(chuàng)造次序、美麗和完善”.利用對稱思想，同學(xué)們可較簡單地進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)并能解決一些有關(guān)對稱的數(shù)學(xué)問題. 【典型例題】例1. 一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，求這個多邊形的邊數(shù).分析: 根據(jù)“邊形的內(nèi)角和等于”與“多邊形的外角和等于”和已知條件，列方程可求解.解答: 設(shè)多邊形的邊數(shù)為，則根據(jù)題意得方程：

5、 解得所以，這個多邊形的邊數(shù)為9.評注：對方程思想的考查主要有兩個方面：一是列方程（組）解應(yīng)用題；二是列方程（組）解決代數(shù)問題或幾何問題. 例2. 如圖，在abc中，abccbdc，bd是abc的平分線，求a的度數(shù). 解析: 由于bd是abc的平分線，所以abdcbd，又bdca+abd，所以由已知條件可建立a與c的關(guān)系，列出方程.設(shè)a=x°，由于bd是abc的平分線，所以abd，而bdca+abd，所以2bdc2a+abc，所以abc2a2x°，則有x°2x°+2x°=180°，所以x°36°，即a36

6、°.評注：解決幾何中的求值問題，往往通過建立方程（組）來求解.  例3. 求不等式組的自然數(shù)解.分析: 欲求不等式組的自然數(shù)解，一般思路是先求出不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出其解集，從而進(jìn)一步求出問題的答案.解答: 解不等式得解不等式得所以，原不等式組的解集是，其解集在數(shù)軸上表示如圖所示所以，其自然數(shù)解為0、1、2.評注：自然數(shù)也就是非負(fù)整數(shù)，在這里易漏掉0. 例4. 等腰三角形的周長為16，其中一條邊的長是6，求另兩條邊的長.分析: 由于已知的“一條邊的長是6”，未告之是腰長，還是底邊長，所以應(yīng)分類討論求解.解答: （1）當(dāng)周長為16，腰長為6時，該等腰三角形

7、的另兩邊：一條邊為腰，長為6，另一條邊為底邊，長為1666=4，即另兩邊分別為6和4；（2）當(dāng)周長為16，底邊長為6時，該等腰三角形的另兩邊都是腰，其長為（166）÷2=5，即另兩邊長為5、5.評注：求解有關(guān)等腰三角形的邊、角問題時，在題中未附圖形且未指名已知的邊、角是該等腰三角形的底或腰（底角或頂角）的情況下，均需用分類討論思想求解. 例5. 在abc中，abac，ac上的中線將abc的周長分為12cm和15cm兩部分，求三角形各邊的長. 解析：因?yàn)橹芯€是bd，所以adcd，分成兩部分周長不等的原因是abbc，所以需要分abbc或abbc兩種情況進(jìn)行討論.設(shè)ab=xcm，

8、則ad=cd=，若ab>bc，則有ab+ad15，即即abac10cm，cd5 cm. 則bc+cd12，bc12cd7（cm）.ac+ab>bc，可構(gòu)成三角形；若ab<bc，則有ab+ad12，即即abac8（cm）. cd4 cm. 則bc+cd15，bc15cd11（cm）. ac+ab>bc，可構(gòu)成三角形；于是三角形三邊的長分別為10cm，10cm，7cm，或8cm，8cm，11cm.評注：三條線段能否構(gòu)成三角形，只需兩條相等線段之和大于第三條線段，那么這三條線段一定構(gòu)成等腰三角形. 涉及到等腰三角形求邊問題時往往需要分類討論. 例6. 在一個多邊形中

9、，它的內(nèi)角最多可以有幾個是銳角？分析：由于任意一個多邊形的內(nèi)角與其相鄰的外角的和等于，所以若內(nèi)角為銳角，則其外角為鈍角，將該問題轉(zhuǎn)化為求多邊形的外角中最多有幾個鈍角就十分簡捷.解答：因?yàn)?多邊形的外角和為所以 多邊形的外角中最多有3個鈍角，所以 多邊形的內(nèi)角中最多有3個銳角.評注：此題充分體現(xiàn)了結(jié)論與結(jié)論之間的相互轉(zhuǎn)化. 例7. 如圖，求a+b+c+d+e+f+g的度數(shù). 解析：因?yàn)?d+f，2c+e（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個外角的和），所以a+b+c+d+e+f+ga+b+1+2+g（等量代換）五邊形abhkg的內(nèi)角和（52）×180°540

10、6;.評注：利用三角形的外角和的性質(zhì)把求一個圖形的多個角度的和的問題轉(zhuǎn)化為求一個五邊形的內(nèi)角和，這樣可以通過求多邊形的內(nèi)角和解決問題. 例8. 已知某個三角形的周長為18，其中兩條邊的長度和等于第三條邊長度的2倍，而它們的差等于第三條邊長度的，求這個三角形的三邊長.分析：三角形有三條邊，題目中有三個條件，此題需設(shè)三角形的三邊為未知數(shù)，列方程組解答.解答：設(shè)三角形的三邊長分別為、，（）則依題意得： 將（2）整體代入（1），得，解得再將代入（2）、（3）得： 解這個方程組得因此，所求三角形的三邊長為7、5、6.評注：所列方程組為三元一次方程組，在求解這個方程組時，將（2）整體代入（1），

11、立即可求出c的大小，使得求解、變得十分簡單.這種整體代入、整體加減的整體數(shù)學(xué)思想在整式、方程（組）、不等式（組）和有關(guān)幾何圖形的計(jì)算中經(jīng)常用到. 例9. 如圖，dbc2abd，dcb2acd，試說明a與d之間的關(guān)系.解析：因?yàn)閐bc2abd，dcb2acd（已知），所以dbc（三等分線定義）. 所以（等式的性質(zhì)）又因?yàn)閍bc+acb180°a（三角形內(nèi)角和定理），所以（180°a）=120°a（等式的性質(zhì)）所以dbc+dcb120°（等量代換）所以d180°（dbc+dcb）180°（120°a）60°.

12、評注：本例應(yīng)用整體思想得到a與d之間的關(guān)系，主要應(yīng)用三角形的內(nèi)角，三角形內(nèi)角和定理結(jié)合整體思想進(jìn)行說理. 例10. 如圖（1）ac、bd是四邊形的兩條對角線，而三角形沒有對角線，五邊形的對角線有5條（如圖（2）：ac、ad、be、bd、ce都是它的對角線，想一想：（1）六邊形有幾條對角線？n邊形有幾條對角線？解析：四邊形的對角線條數(shù)為2；三角形的對角線條數(shù)為；五邊形的對角線條數(shù)為；六邊形的對角線條數(shù)為；依照上述規(guī)律，可以猜想n邊形的對角線條數(shù)為；驗(yàn)證：由于過n邊形的每一個頂點(diǎn)的對角線有（n3）條，n 個頂點(diǎn)是：n×（n3）條. 而每一條又重復(fù)計(jì)算一次，所以n邊形的對角線條數(shù)

13、為.評注：從特殊情況入手，研究數(shù)學(xué)表達(dá)方法，進(jìn)一步猜想歸納出一般情況，再對一般情況進(jìn)行驗(yàn)證是探究數(shù)學(xué)規(guī)律的重要手段和方法. 例11. 用四塊如圖所示的瓷磚拼成一個正方形，形成軸對稱的圖案，和你的同伴比一比，看誰的拼法多.分析：抓住軸對稱圖形的定義即沿著某條直線對折，兩旁的部分能夠完全重合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì).此題的答案不唯一.解答：如圖所示. 評注：（1）在圖中，黑、白顏色可互換；（2）生活中存在著大量的對稱現(xiàn)象，大到宇宙空間的星體，小到微觀世界的原子，精致的藝術(shù)珍寶，尖端科學(xué)中的基因工程，都可以找到圖形對稱的素材. 四、本講數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)1. 思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，在復(fù)習(xí)時要

14、注意數(shù)學(xué)思想的體會與應(yīng)用. 2. 遇到一個問題時，我們不是首先去考慮這道題用什么數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)該滲透或貫穿于我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終. 【模擬試題】（答題時間：40分鐘）1. 王阿姨和李奶奶一起去買菜，王阿姨買西紅柿，茄子，青椒各一千克，共花12.8元.李奶奶買西紅柿2千克，茄子1.5千克.共花15元.已知青椒每千克4.2元，求出西紅柿，茄子每千克各多少錢？2.在圖中各行、各列和對角線上三個數(shù)之和都相等，請你求出的值；3. 解不等式組并寫出該不等式組的整數(shù)解4. 一個等腰三角形的一個外角等于，則這個三角形的三個角應(yīng)該為.5. 已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為，則這個等腰三

15、角形頂角的度數(shù)為（）a. b. c. 或d. 6. 如圖，p、q是的邊bc上的兩點(diǎn)，且bp=pq=qc=ap=aq，則的大小等于_. 7. 如圖，直線是一條河，兩地相距8千米，兩地到的距離分別為2千米，5千米，欲在上的某點(diǎn)處修建一個水泵站，向兩地供水. 現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是（）8. 若則9. 已知二元一次方程組則的值是（）a. 1b. 0c. d. 10. 如圖，已知abc為直角三角形，c=90°，若沿圖中虛線剪去c，則1+2等于（）a.90°b.135°c.270°d.315° 11.

16、認(rèn)真觀察下列4個圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問題：（1）請寫出這四個圖案都具有的兩個共同特征. 特征1：_；特征2：_. （2）請?jiān)谙聢D中設(shè)計(jì)出你心中最美麗的圖案，使它也具備你所寫出的上述特征    【試題答案】1. 設(shè)每千克西紅柿元，每千克茄子元. 根據(jù)題意，得解得 答：每千克西紅柿元，每千克茄子元.2. 由已知條件得解得.（由已知條件還可得到其他的方程）3. 原不等式組的的解集是：，所以，整數(shù)解是. 4. 、或、.（提示：分的角是底角的外角與頂角的外角兩種情形考慮）5. c.（提示：分頂角與底角的度數(shù)比為與分底角與頂角的度數(shù)比為兩種情形解答）6. ；7. b.（提示：此題為一道基本作圖題，其方法可聯(lián)想當(dāng)p、