教案例第一講整體與部分

1、數(shù)學(xué)分析方法論選講第一講 整體與部分3姚正安§ 1.3 重極限和路徑極限 本節(jié)我們考察多元函數(shù)的極限,也就是整體極限(重極限)與部分極限(方向極限或路徑極限)的關(guān)系.為方便起見(jiàn),我們僅討論二元函數(shù)的極限,當(dāng)然包括全微分和方向?qū)?shù),以及上、下極限與連續(xù)性.值得注意的是單變量函數(shù)與多變量函數(shù)的根本區(qū)別在于對(duì)單變量而言趨于某點(diǎn)僅有兩個(gè)方向,而對(duì)多變量卻有無(wú)窮多個(gè)方向,而趨于某點(diǎn)的路徑則更多. 問(wèn)題 海涅定理:存在的充要條件是對(duì)任給的點(diǎn)列,落在的定義域內(nèi)且存在.證明:本問(wèn)題的證明與問(wèn)題的證明完全類(lèi)似,證明留給讀者在多就是函數(shù)中,所謂的方向極限即沿某一方向取極限.所謂的路徑極限即是沿某一路徑取

2、極限 問(wèn)題 重極限存在，則任兩條路徑極限存在且相等. 分析: 所謂的路徑極限即是某曲線(xiàn)落在的定義域中,且此曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn),當(dāng),取時(shí)的極限. 證明:設(shè),則對(duì)任給的,存在,當(dāng)且落在的定義域中時(shí),有.由路徑過(guò)點(diǎn),且,從而當(dāng)時(shí),有,于是有.方向極限當(dāng)然是一種路徑極限,從而當(dāng)重極限存在時(shí),落在定義域的方向極限一定存在，反之不一定正確，我們也常用問(wèn)題1.3.1的逆否命題來(lái)證明。下面我們來(lái)介紹一種常規(guī)的擾動(dòng)技巧。問(wèn)題1.3.3 （1） 證明當(dāng)時(shí)，函數(shù)的方向極限存在但重極限不存在； （2）不存在，但沿任意方向，方向極限為0。【證明】（1）設(shè)通過(guò)原點(diǎn)的方向?yàn)?，則方向極限為,我們看到不在定義域內(nèi)，但如某點(diǎn)無(wú)限靠近，則可

3、充分大，我們用擾動(dòng)方法，取則不存在。由問(wèn)題1.3.2，知不存在。（2）取，則。取，則。由問(wèn)題1.3.2知不存在，但對(duì)任給的方向，方向極限為：（i），則，從而此方向極限為0。（ii）,則方向極限為。注意：從問(wèn)題1.3.3的（2）可知，二元函數(shù)與一元函數(shù)的極限已有區(qū)別，在一元函數(shù)中，兩個(gè)方向極限（左、右極限）存在且相等，則極限存在，但這里則不然，即使對(duì)任給的方向極限存在且相等，但重極限任可能不存在。問(wèn)題1.3.4 設(shè)的定義域是連通的（即任給定義域中兩點(diǎn)，可用一折線(xiàn)連結(jié)），則的充要條件是沿任何連續(xù)曲線(xiàn)趨于時(shí)，趨于?！咀C明】問(wèn)題1.3.2已證明了必要性，下證充分性。任取，由連續(xù)性依次連接點(diǎn)列的相鄰各點(diǎn)

4、即得一連續(xù)曲線(xiàn)，那么則沿此連續(xù)曲線(xiàn)趨于時(shí)，趨于。因?yàn)槿我廒呌诘狞c(diǎn)列，根據(jù)海涅（heine）定理，。其實(shí)，從證明中我們看到，如果的定義域?yàn)橛邢迋€(gè)連通分支，問(wèn)題1.3.4仍正確，只是我們把落在各連通分支的點(diǎn)分別做一連續(xù)曲線(xiàn)，然后可證得相應(yīng)結(jié)論，現(xiàn)在我們可以弄清單變量函數(shù)與多變量函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別，對(duì)單變量而言，通過(guò)點(diǎn)的連續(xù)路徑總擺脫不了左、右方向趨于，而對(duì)多變量區(qū)域而言，一連續(xù)路徑可能根本不沿任何方向，而是繞“曲線(xiàn)”趨于，如，所以方向極限非本質(zhì)極限，這也反映了單變量函數(shù)部分極限的簡(jiǎn)單性和多邊量函數(shù)部分極限的復(fù)雜性。同樣對(duì)單變量函數(shù)和多變量函數(shù)的微分學(xué)而言，由定義域簡(jiǎn)繁導(dǎo)致了本質(zhì)的區(qū)別，在單變量微分學(xué)中

5、，可導(dǎo)必可微，對(duì)于多變量微分學(xué)，甚至即使所有的方向?qū)?shù)存在也未必可微。問(wèn)題1.3.5 二元函數(shù)在點(diǎn)可微，必存在所有方向的方向?qū)?shù)，而且相反方向的方向?qū)?shù)互為相反數(shù)。【分析】先弄清可微與方向?qū)?shù)的概念。令，所謂的可微即是存在常數(shù)a、b使得這里，。而沿方向的方向?qū)?shù)為?！咀C明】設(shè)在可微，則由，得。由此沿的方向?qū)?shù)為。又注意到的反方向?yàn)?，我們有，所以可證最后的結(jié)論。在方向?qū)?shù)中取，即為偏導(dǎo)數(shù)，取，即得偏導(dǎo)數(shù)，這是在可微的前提下，如果不可微，即使沿的方向?qū)?shù)存在，也未必有存在。例如取 則沿的方向?qū)?shù)存在，但不存在。一般地，我們知道，可微必可導(dǎo)，可微必連續(xù)，但連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)存在一般沒(méi)有什么關(guān)系，而且問(wèn)題1

6、.3.5的逆命題不正確。問(wèn)題1.3.6 證明在沿任何方向的方向?qū)?shù)存在且相等，但偏導(dǎo)數(shù)不存在，從而不可微。【證明】 。但不存在。同理不存在。我們亦可用問(wèn)題1.3.5來(lái)證。即使有偏導(dǎo)數(shù)存在，各方向?qū)?shù)存在也未必可微。問(wèn)題1.3.7 證明在存在偏導(dǎo)數(shù)，且存在各方向?qū)?shù)，證明在不可微?！咀C明】。同理 。對(duì)方向，有另外，假定在可微，則，從而。但（這里），矛盾。從此問(wèn)題的證明中我們可以看到可微要求的是更強(qiáng)的條件，因?yàn)榭晌⑷允且粋€(gè)二元函數(shù)的極限，只是此時(shí)的變量為，所以我們有問(wèn)題1.3.8設(shè)的定義域?yàn)橛邢迋€(gè)連通分支，則在可微的充要條件是沿過(guò)點(diǎn)的連續(xù)路徑在點(diǎn)路徑可微?！咀C明】所謂路徑可微，即是沿連續(xù)曲線(xiàn)有，仿

7、問(wèn)題1.3.4的證明即可證得本問(wèn)題成立。從問(wèn)題1.3.6可看到方向?qū)?shù)存在不一定存在偏導(dǎo)數(shù)。下面來(lái)探討二者之間得關(guān)系，它們依然是部分與整體得關(guān)系。問(wèn)題1.3.9 偏導(dǎo)數(shù)存在得充要條件是沿和得方向?qū)?shù)存在且其值相反?！咀C明】必要性 設(shè)，則，充分性 設(shè)則同理可證關(guān)于的相應(yīng)結(jié)論。這里為什么不是兩個(gè)方向?qū)?shù)相等而一元函數(shù)中這是兩個(gè)方向?qū)?shù)相等呢？這是因?yàn)樵谶@里取正值，而在一元函數(shù)中，右導(dǎo)數(shù)為正，而左導(dǎo)數(shù)中，為負(fù)。此外注意到問(wèn)題1.3.6, 1.3.7的例中 有方向?qū)?shù)，其方向?qū)?shù)與其反方向的方向?qū)?shù)不互為相反數(shù)，所以我們可以繼續(xù)舉下面的例。問(wèn)題1.3.10 證明（1）在有各方向?qū)?shù)存在，各方向與其相反方向的方向?qū)?shù)互為相反數(shù)，但在不可微。（2） 其結(jié)論與（1）相同?！痉治觥?注意（1）中是連續(xù)的，并且在問(wèn)題1.3.5的證明中，而（2）中在不連續(xù)?！咀C明】（1）由。同理。另一方面， ，。但注意如果取，此時(shí)若按問(wèn)題1.3.5的證明有（因?yàn)椋?但這里，由此在原點(diǎn)不可微。（2）易證，且