三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)模型可以按照不同的方式分類數(shù)學(xué)模型可以按照不同的方式分類 1.按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域(或所屬學(xué)科或所屬學(xué)科)分分如人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、如人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型等范疇更大一些則形成許多邊緣學(xué)科污染模型等范疇更大一些則形成許多邊緣學(xué)科如生物數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)、地質(zhì)數(shù)學(xué)、數(shù)量經(jīng)濟學(xué)、如生物數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)、地質(zhì)數(shù)學(xué)、數(shù)量經(jīng)濟學(xué)、數(shù)學(xué)社會學(xué)等數(shù)學(xué)社會學(xué)等 圖1-5 建模步驟示意圖三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用備注備注簡單應(yīng)用簡單應(yīng)用學(xué)以致用，解決生活中的學(xué)以致用，解

2、決生活中的 實際問題實際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型具體的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系具體的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系三角函數(shù)模型三角函數(shù)模型三角函數(shù)關(guān)系三角函數(shù)關(guān)系函數(shù)模型的應(yīng)用示例 1 1、物理情景、物理情景 簡單和諧運動簡單和諧運動 星體的環(huán)繞運動星體的環(huán)繞運動 2 2、地理情景、地理情景 氣溫變化規(guī)律氣溫變化規(guī)律 月圓與月缺月圓與月缺 3 3、心理、生理現(xiàn)象、心理、生理現(xiàn)象 情緒的波動情緒的波動 智力變化狀況智力變化狀況 體力變化狀況體力變化狀況 4 4、日常生活現(xiàn)象、日常生活現(xiàn)象 漲潮與退潮漲潮與退潮 股票變化股票變化 )0, 0()sin(AxAy 正弦型函數(shù)正弦型函數(shù)例題例題1 1下圖是某簡諧運動的圖象，試根據(jù)圖象回

3、答下列問下圖是某簡諧運動的圖象，試根據(jù)圖象回答下列問題：題：（1 1）這個簡諧運動的振幅、周期與頻率各是多少？）這個簡諧運動的振幅、周期與頻率各是多少？（2 2）從）從O O點算起，到曲線上的哪一點，表示完成了點算起，到曲線上的哪一點，表示完成了一次往復(fù)運動？如從一次往復(fù)運動？如從A A點算起呢？點算起呢？（3 3）寫出這個簡諧運動的函數(shù)表達式。）寫出這個簡諧運動的函數(shù)表達式。O OA A2 2B BC CD DF FE Ey/cmy/cmx/sx/s0.40.40.80.81.21.2如圖，某地一天從如圖，某地一天從6 61414時的溫度變化曲線近似時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)滿足函數(shù) （）

4、求這一天（）求這一天6 61414時的最大溫差。時的最大溫差。 （）寫出這段曲線的函數(shù)解析式。（）寫出這段曲線的函數(shù)解析式。bxAysin注意注意一般的，所求一般的，所求出的函數(shù)模型只能出的函數(shù)模型只能近似地近似地刻畫這天刻畫這天某個時段某個時段的溫度的溫度變化情況，因此要特別注變化情況，因此要特別注意自變量的變化范圍。意自變量的變化范圍。例題例題o108612 14102030t/hT/oC解解：（：（1）觀察圖象可知，這段時間的觀察圖象可知，這段時間的最大溫差是最大溫差是20C。（2）從圖中可以看出，從）從圖中可以看出，從6時到時到14時的時的圖象是函數(shù)圖象是函數(shù)y=Asin(x+)+b的

5、半個周的半個周期的圖象，所以期的圖象，所以1(30 10)10,2A1(30 10)20,2b 1 214682 因為點（因為點（6，10）是五點法作圖中的第四點，故）是五點法作圖中的第四點，故336,248 解得解得故，所求函數(shù)解析式為故，所求函數(shù)解析式為310sin()206,1484yxx，如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)是北緯如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)是北緯4040o o）的一幢高為）的一幢高為h ho o的樓的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應(yīng)小于多少？面的樓房遮擋，兩樓的距離不應(yīng)小于多少？例題例題分析：根

6、據(jù)根據(jù)地理知識地理知識，能夠被太陽直射到的地區(qū)為，能夠被太陽直射到的地區(qū)為南，北回歸線之間的地帶。畫出圖形如下，由畫圖易知南，北回歸線之間的地帶。畫出圖形如下，由畫圖易知A B Ch0解：解：圖中、分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回圖中、分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回歸線時樓頂在地面上的投影點。要使新樓一層正午的太陽歸線時樓頂在地面上的投影點。要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，應(yīng)取太陽直射南回歸線的情況全年不被前面的樓房遮擋，應(yīng)取太陽直射南回歸線的情況來考慮，依題意兩樓之間的距離應(yīng)不小于。來考慮，依題意兩樓之間的距離應(yīng)不小于。根據(jù)根據(jù)太陽高度角的定義太陽高度角的定義有有 所以所

7、以 即在蓋樓時，即在蓋樓時，為使后樓不被前樓遮擋，要留出相當與樓高兩倍的間距。為使后樓不被前樓遮擋，要留出相當與樓高兩倍的間距。 3426| )262340|90（C000000. 23426tantanhhchMC練習(xí)：練習(xí)：佛山市的緯度是北緯佛山市的緯度是北緯230，小王想在某住宅小區(qū)買房，該小小王想在某住宅小區(qū)買房，該小區(qū)的樓高區(qū)的樓高7層，每層層，每層3米，樓與樓米，樓與樓之間相距之間相距15米。要使所買樓層在米。要使所買樓層在一年四季正午太陽一年四季正午太陽不被前面的樓不被前面的樓房遮擋，他應(yīng)選擇哪幾層的房？房遮擋，他應(yīng)選擇哪幾層的房？A南樓 北C26.143443tan15)262

8、323(90tan150000h3層以上層以上返回返回太陽高度角的定義 如圖，設(shè)地球表面某地如圖，設(shè)地球表面某地緯度值為緯度值為 ， 正午太陽高度角為正午太陽高度角為 ，此時太陽直射緯度為此時太陽直射緯度為 那么這三個量之間的關(guān)那么這三個量之間的關(guān)系是系是 當?shù)叵陌肽戤數(shù)叵陌肽?取正值取正值，冬半年，冬半年 取負值。取負值。|90太陽光太陽光9090|90|90地心地心北半球北半球南半球南半球返回返回返回返回太陽光直射南半球太陽光太陽光9090|90|90地心地心例例4 4：海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。

9、在通常情況象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后，在落下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后，在落潮時返回海洋。下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與潮時返回海洋。下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關(guān)系表：水深關(guān)系表：時刻時刻0.000.003.003.006.006.009.009.0012.0012.0015.0015.0018.0018.0021.0021.0024.0024.00水深水深（米）米）5.05.07.57.55.05.02.52.55.05.07.57.55.05.02.52.55.05.0（1）選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的

10、水深與時間的函選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，給出整點時的水深的近似數(shù)值數(shù)關(guān)系，給出整點時的水深的近似數(shù)值（精確到（精確到0.001）。xyO3691215182124246解：以時間為橫坐標，以水深為縱坐標，在直角坐標系中解：以時間為橫坐標，以水深為縱坐標，在直角坐標系中描出各點，并用平滑的曲線連接。根據(jù)圖象，可以考慮用描出各點，并用平滑的曲線連接。根據(jù)圖象，可以考慮用函數(shù)函數(shù) 刻畫水深與時間的關(guān)系?？坍嬎钆c時間的關(guān)系。hxAy)sin(從數(shù)據(jù)和圖象可以得出：從數(shù)據(jù)和圖象可以得出： A=2.5，h=5，T=12，由由，得6,122T056sin5 . 2xy時刻時刻0

11、.000.001 1：00002 2：00003 3：00004 4：00005 5：00006 6：00007 7：00008 8：00009 9：00001010：00001111：0000水深水深時刻時刻12.0012.001313：00001414：00001515：00001616：00001717：00001818：00001919：00002020：00002121：00002222：00002323：0000水深水深7.165從數(shù)據(jù)和圖象可以得出：從數(shù)據(jù)和圖象可以得出： A=2.5，h=5，T=12，由由，得6,122T056sin5 . 2xy時刻時刻0.000.001 1：

12、00002 2：00003 3：00004 4：00005 5：00006 6：00007 7：00008 8：00009 9：00001010：00001111：0000水深水深5.0005.0006.2506.2507.1657.1657.5007.5007.1657.1656.2506.2505.0005.0003.7543.7542.8352.8352.5002.5002.8352.8353.7543.754時刻時刻12.0012.001313：00001414：00001515：00001616：00001717：00001818：00001919：00002020：00002121

13、：00002222：00002323：0000水深水深5.0005.0006.2506.2507.1657.1657.5007.5007.1657.1656.2506.2505.0005.0003.7543.7542.8352.8352.5002.5002.8352.8353.7543.754（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，米，安全條例規(guī)定至少要有安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？xyO369121518

14、21242465 . 5y（2）貨船需要的安全水深）貨船需要的安全水深為為 4+1.5=5.5 （米），所以（米），所以當當y5.55.5時就可以進港時就可以進港. .令令化簡得化簡得2.5sin55.56xsin0.26x由計算器計算可得由計算器計算可得0.2014,0.201466xx或解得解得0.3848,5.6152ABxx因為因為 ，所以有函數(shù)周期性易得，所以有函數(shù)周期性易得0,24x120.384812.3848,125.615217.6152.CDxx因此，貨船可以在凌晨零時因此，貨船可以在凌晨零時30分左右進港，早晨分左右進港，早晨5時時30分左右出分左右出港；或在中午港；或在

15、中午12時時30分左右進港，下午分左右進港，下午17時時30分左右出港，每次分左右出港，每次可以在港口停留可以在港口停留5小時左右。小時左右。解：解：（3 3）若某船的吃水深度為若某船的吃水深度為4 4米，安全間隙為米，安全間隙為1.51.5米，該米，該船在船在2 2：0000開始卸貨，吃水深度以每小時開始卸貨，吃水深度以每小時0.30.3米的速度減米的速度減少，那么該船在什么時候必須停止卸貨，將船駛向較深少，那么該船在什么時候必須停止卸貨，將船駛向較深的水域。的水域。xyO36912152462)2( 3 . 05 . 5xy解：解：（3）設(shè)在時刻）設(shè)在時刻x船舶的安全水深為船舶的安全水深為

16、y，那么那么y=5.5-0.3(x-2) (x22),在同一坐標在同一坐標系內(nèi)作出這兩個函數(shù)的圖象，可以看系內(nèi)作出這兩個函數(shù)的圖象，可以看到在到在6時到時到7時之間兩個函數(shù)圖象有一時之間兩個函數(shù)圖象有一個交點個交點.通過計算可得在通過計算可得在6時的水深約為時的水深約為5米，此時船舶的安全水深約為米，此時船舶的安全水深約為4.3米；米；6.5時的水深約為時的水深約為4.2米，此時船舶的安全水深約為米，此時船舶的安全水深約為4.1米；米；7時的水深約為時的水深約為3.8米，而船舶的安全水深約為米，而船舶的安全水深約為4米，因此為了安米，因此為了安全，船舶最好在全，船舶最好在6.5時之前停止卸貨，將船舶駛向較深的水域。時之前停止卸貨，將船舶駛向較深的水域。小結(jié):1.三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型,可以用來研究很多問題,我們可以通過建立三角函數(shù)模型來解決實際問題,如天氣預(yù)報,地震預(yù)測,等等.2.建立三角函數(shù)模型的