同濟(jì)大學(xué)第六版高等數(shù)學(xué)課件（上冊(cè)）：D7_8常系數(shù)非齊次線性微分方程

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 常系數(shù)非齊次線性微分方程 第八節(jié)型)(e)(xPxfmxxxPxflxcos)(e)(型sin)(xxPn一、一、二、二、 第七章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為Yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法待定系數(shù)法目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(exQx )()2(xQp )()(2xQqp)(exPmx一、一、 型)(e)(xPxfmx 為實(shí)數(shù) ,)

2、(xPm設(shè)特解為, )(e*xQyx其中 為待定多項(xiàng)式 , )(xQ )()(e*xQxQyx )()(2)(e*2xQxQxQyx 代入原方程 , 得 )(xQ )()2(xQp)()(2xQqp)(xPm為 m 次多項(xiàng)式 .)(xfyqypy (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即則取),(xQm從而得到特解形式為. )(e*xQymxQ (x) 為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2) 若 是特征方程的單根 , , 02qp,02 p)(xQ則為m 次多項(xiàng)式, 故特解形式為xmxQxye)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 則

3、是 m 次多項(xiàng)式,故特解形式為xmxQxye)(*2小結(jié)小結(jié) 對(duì)方程,)2, 1, 0(e)(*kxQxyxmk此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時(shí),可設(shè)特解目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.1332 xyyy求方程的一個(gè)特解.解解: 本題而特征方程為,0322rr不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數(shù), 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. xxyyy2e65 求方

4、程的通解. 解解: 本題特征方程為,0652 rr其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為xxCCY3221ee設(shè)非齊次方程特解為xbxbxy210e)(*比較系數(shù), 得120 b0210bb1,2110bb因此特解為.e)1(*221xxxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxCCy3221ee.e)(2221xxx ,2目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 求解定解問(wèn)題 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本題特征方程為, 02323rrr其根為設(shè)非齊次方程特解為,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故對(duì)應(yīng)

5、齊次方程通解為1CY xCe2xC23e原方程通解為x211Cy xCe2xC23e由初始條件得0432CC,0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 于是所求解為xyxx21e41e432解得)ee423(412xxx41 143321CCC目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、二、型xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(第二步第二步 求出如下兩個(gè)方程的特解xmxPyqypy)i(e)( yqypy分析思路:第一步第一步將 f (x) 轉(zhuǎn)化為第三步第三步 利用疊加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特點(diǎn)xmxP)i(e)(目錄 上頁(yè)

6、下頁(yè) 返回 結(jié)束 第一步第一步利用歐拉公式將 f (x) 變形xxfe)(i2)(2)(xPxPnlx)i(ei2)(2)(xPxPnlx)i(exmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(則令,maxlnm )(xPl2eeiixx)(xPni2eeiixx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二步第二步 求如下兩方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), xmkxQxy)i(1e)()(次多項(xiàng)式為mxQm故xmxPyqypy)i(111e)()()( 等式兩邊取共軛 :xmxPyqypy)i(111e)(1y這說(shuō)明為方程 的特解 .

7、xmxPyqypy)i(e)( xmxPyqypy)i(e)( 設(shè)則 有特解:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 :11*yyy xkxexmxmQQiiee原方程 yqypy xxPxxPnlxsin)(cos)(exkxe)sini(cosxxQm)sini(cosxxQm xkxexRmcosxRmsinmmRR,其中均為 m 次多項(xiàng)式 .xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第四步第四步 分析的特點(diǎn)yxRxRxyyymmxksincose11因11yy*yy所以mmRR,因此均為

8、m 次實(shí)多項(xiàng)式 .11yyy本質(zhì)上為實(shí)函數(shù) ,11yy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 小小 結(jié)結(jié):xxPxxPnlxsin)(cos)(e對(duì)非齊次方程yqypy ),(為常數(shù)qpxRxRxymmxksincose*則可設(shè)特解:其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. xxyy2cos 求方程的一個(gè)特解 .解解: 本題 特征方程, 2, 0故設(shè)特解為xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,i2i代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(0

9、12r,)(xxPl, 0)(xPn比較系數(shù) , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一個(gè)特解13 a043cb03 c043ad0 cb目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程為, 092r其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數(shù), 得,5a,3b因此特解為)3sin33cos5(*xxxyi32, 1r代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為xCxCy3sin3cos21為特征方程的單根 ,3i)3sin33cos5(xxxxx3si

10、n303cos18因此設(shè)非齊次方程特解為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根i,r所以設(shè)非齊次方程特解為(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根i, 04, 32, 1rrxxyyxsin3e)2()4( 利用疊加原理 , 可設(shè)非齊次方程特解為)(*2baxxyxce)sincos(xkxdx設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7.求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 解解: 問(wèn)題歸結(jié)為求解無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程 tphxk

11、txsindd222 當(dāng)p k 時(shí), 齊次通解: tkCtkCXcossin21)(sintkAt pbtpaxcossin非齊次特解形式:0,22bpkha因此原方程之解為第六節(jié)例1 (P323)中, 若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力 f,sin的作用pthF 和鉛直干擾力Oxx代入可得: 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng)干擾力的角頻率 p 固有頻率 k 時(shí),)(sintkAxtppkhsin22自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)!22將很大振幅pkh 當(dāng) p = k 時(shí), )cossin(tkbtkatx非齊次特解形式:代入可得: khba2, 0方程的解為 Oxxtphxktxsindd222目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

12、 結(jié)束 若要利用共振現(xiàn)象, 應(yīng)使 p 與 k 盡量靠近, 或使 )(sintkAxtktkhcos2隨著 t 的增大 , 強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅tkh2這時(shí)產(chǎn)生共振現(xiàn)象 .可無(wú)限增大,若要避免共振現(xiàn)象, 應(yīng)使 p 遠(yuǎn)離固有頻率 k ;p = k .自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)對(duì)機(jī)械來(lái)說(shuō), 共振可能引起破壞作用, 如橋梁被破壞,電機(jī)機(jī)座被破壞等, 但對(duì)電磁振蕩來(lái)說(shuō), 共振可能起有利作用, 如收音機(jī)的調(diào)頻放大即是利用共振原理. Oxx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)xmxPyqypye)(. 1 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkxQxye)(*則設(shè)特解為sin)(cos)(e. 2xx

13、PxxPyqypynlx 為特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkxye*則設(shè)特解為sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)時(shí)可設(shè)特解為 xxxfcos)() 1當(dāng)xxxxf2e2cos)()2當(dāng)xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xk2e)(xfyy 時(shí)可設(shè)特解為 xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xkxye*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空) 設(shè)sin)(cos)(xxRxxRmm目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 求微分方程xyyye44 的通解 (其中為實(shí)數(shù) ) .解解: 特征方程,0442rr特征根:221 rr對(duì)應(yīng)齊次方程通解:xxCCY221e)(2時(shí),exAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解為xxCCy221e)(xe2)2(12時(shí),e2xxBy令代入原方程得,21B故原方程通解為xxCCy221e)(xxe221目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 已知二階常微分方程xcybyaye 有特解2(