不定積分的概念及其性質(zhì)高教課堂

1、nove. 30 mon. 第四章第四章 不定積分不定積分v不定積分的概念及性質(zhì)；不定積分的概念及性質(zhì)；v不定積分的換元法；不定積分的換元法；v不定積分的分部積分法；不定積分的分部積分法；v有理函數(shù)不定積分有理函數(shù)不定積分.1教育教學(xué)微積分產(chǎn)生的原因微積分產(chǎn)生的原因: :1. 1. 求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度；求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度；2. 2. 求曲線的切線：透鏡設(shè)計(jì)和軌跡的切線方向；求曲線的切線：透鏡設(shè)計(jì)和軌跡的切線方向；3. 3. 求最大值和最小值：求最大值和最小值： 獲得炮彈射程最大的發(fā)射角問題；獲得炮彈射程最大的發(fā)射角問題； 行星離開太陽的最遠(yuǎn)和最近距離問題；行星離開太陽的

2、最遠(yuǎn)和最近距離問題；4.4.微小量的累加：曲線長，曲線圍成的面積，曲面圍微小量的累加：曲線長，曲線圍成的面積，曲面圍 成的體積，物體重心。成的體積，物體重心。2教育教學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)基本問題一元函數(shù)積分學(xué)基本問題 由此引出由此引出原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分的概念；的概念；)()()(, )(. 1xfxfxfxf ，使得，使得尋找可導(dǎo)函數(shù)尋找可導(dǎo)函數(shù)對于給定函數(shù)對于給定函數(shù)2. 2. 計(jì)算諸如曲邊梯形的面積等涉及到微小量的無窮計(jì)算諸如曲邊梯形的面積等涉及到微小量的無窮 累加問題。累加問題。 由此引出由此引出定積分定積分的概念。的概念。3教育教學(xué)定積分定積分不定積分不定積分newton l

3、eibnize newton leibnize 公式公式(17(17世紀(jì)世紀(jì)) )一個(gè)函數(shù)的定積分可以通過計(jì)算它的原函數(shù)一個(gè)函數(shù)的定積分可以通過計(jì)算它的原函數(shù)而方便的計(jì)算出來。而方便的計(jì)算出來。原函數(shù)的存在性又可以由定積分決定。原函數(shù)的存在性又可以由定積分決定。4教育教學(xué)1 1 不定積分的概念及其性質(zhì)不定積分的概念及其性質(zhì)v原函數(shù)及不定積分原函數(shù)及不定積分v不定積分的幾何意義；不定積分的幾何意義；v基本積分表；基本積分表；v不定積分的性質(zhì)。不定積分的性質(zhì)。5教育教學(xué)一一. . 原函數(shù)原函數(shù)(primitive function)(primitive function)與不定積分與不定積分定義：

4、定義：( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )(indefinite integral)( )( )( )xf xf xfxf xxxdf xf x dxf xf xf xf xf x dxf xf x 在在區(qū)區(qū)間間 （有有限限或或無無窮窮）上上給給定定函函數(shù)數(shù)，若若，使使得得：，或或則則稱稱是是的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，的的全全部部原原函函數(shù)數(shù)稱稱為為的的不不定定積積分分，記記作作：若若存存在在原原函函數(shù)數(shù)，也也稱稱可可積積。6教育教學(xué)),(,2 xxy例例31ax次，所以原函數(shù)應(yīng)為次，所以原函數(shù)應(yīng)為數(shù)降低數(shù)降低根據(jù)求導(dǎo)數(shù)時(shí)冪函數(shù)次根據(jù)求導(dǎo)數(shù)時(shí)冪函數(shù)次23ax )(3 a

5、x2x 31 a的一個(gè)原函數(shù)。的一個(gè)原函數(shù)。是是2331xxy 的原函數(shù)。的原函數(shù)。也是也是任意常數(shù)任意常數(shù)且且233)(31,131xccxx 問題：問題：(1) (1) 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？(2) (2) 若不唯一若不唯一, ,它們之間有什么聯(lián)系？它們之間有什么聯(lián)系？7教育教學(xué)定理定理：為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。其中其中所有原函數(shù)為所有原函數(shù)為的一個(gè)原函數(shù)，則的一個(gè)原函數(shù)，則是是設(shè)設(shè)ccxfdxxfxfxf )()()()()()()(xfcxf 證明：證明：)(xf 的的原原函函數(shù)數(shù)。為為即即對對任任意意常常數(shù)數(shù))()(,xfcxfc )()()()(xfxgxfxg 的另一原

6、函數(shù)，即的另一原函數(shù)，即為為設(shè)設(shè)再證它是全部原函數(shù)。再證它是全部原函數(shù)。0)()() )()( xfxfxfxg則則cxfxg )()(即即( )f xc任任何何一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)總總可可以以由由加加一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)得得到到。8教育教學(xué)任意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函數(shù)被積函數(shù)cxfdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量9教育教學(xué)原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù). .內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)ixf)(都有都有使使內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù)內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù)那么在區(qū)間那么在區(qū)間,),(ixxfi ).()(xfxf 10教育教學(xué)例例

7、1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx11教育教學(xué))(xf的原函數(shù)的圖形稱為的原函數(shù)的圖形稱為)(xfxxfd)( 的圖形的圖形的所有積分曲線組成的所有積分曲線組成)(xf的平行曲線族的平行曲線族.yxo0 x的的積分曲線積分曲線 . 二二. . 不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義12教育教學(xué)。，試求物體下落的規(guī)律，試求物體下落的規(guī)律，初速度為，初速度為時(shí)的位置為時(shí)的位置為已知一物體自由下落，已知一物體自由下落，例例000vst 解：解：解得解得則則，加速度為加速度為,gd

8、tdvg cgtgdttv )(決定，決定，不能任意取，它由初值不能任意取，它由初值這里這里 ccgvt 000時(shí)，時(shí)，0vc 0)(vgttv 0vgtvdtds 又由于又由于 dtvgtts)()(010221ctvgt 13教育教學(xué) 00)()(yyxfxyxx簡單的初值問題簡單的初值問題(initial problem)(initial problem)：10)(0cstst 時(shí)，時(shí)，00221)(stvgtts 14教育教學(xué)三三. . 基本積分表基本積分表實(shí)例實(shí)例 xx 11.11cxdxx 啟示啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運(yùn)算和微

9、分運(yùn)算是互逆的，因既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式. .)1( 15教育教學(xué)由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( cxfdxxf.)()( cxfxdf結(jié)論：結(jié)論： 微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是的的. .16教育教學(xué)基基本本積積分分表表 kckxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)); ););1(1)2(1 cxdxx;|ln)3( cxxdx說明：說明： , 0 x,ln cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln(

10、 cxxdx,|ln cxxdx17教育教學(xué) dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx xdxcos)6(;sincx xdxsin)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)9( xdx2csc;cotcx 18教育教學(xué) xdxxtansec)10(;seccx xdxxcotcsc)11(;csccx dxex)12(;cex dxax)13(;lncaax xdxsinh)14(;coshcx xdxcosh)15(;sinhcx 19教育教學(xué)例例 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25cx 12

11、5125.7227cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2 2）cxdxx 11 20教育教學(xué)積分表與微分表不同，不能給出基本初等積分表與微分表不同，不能給出基本初等函數(shù)的積分公式，而只給出原函數(shù)為基本函數(shù)的積分公式，而只給出原函數(shù)為基本初等函數(shù)的積分公式。初等函數(shù)的積分公式。由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，可得積分的運(yùn)算法則由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，可得積分的運(yùn)算法則. .21教育教學(xué)四四. . 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)可積，可積，設(shè)設(shè))(),()1(xgxf;)()()()( dxxgdxxfdxxgxf（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況） cxfdxxf)()()(

12、)(xfxf 或或 cxgdxxg)()()()(xgxg 或或 )()( xgxf)()(xgxf 有不定積分，且有不定積分，且即即)()(xgxf dxxgdxxfdxxgxf)()()()(證明：證明： 由條件由條件22教育教學(xué) dxxkfxf)()()2(可積，可積，.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k cxfdxxf)()()()(xfxf 或或)( )(xfkxkf )(xkf 可積，且可積，且即即)(xkf.)()( dxxfkdxxkf證明：證明： 由條件由條件23教育教學(xué)nove. 13 wed. review1. 1. 原函數(shù)與不定積分的概念：原函數(shù)與不定積分的概念

13、：的一個(gè)原函數(shù)。的一個(gè)原函數(shù)。為為為常數(shù)，為常數(shù)，)()()()(xfxfccxfdxxf )()()()().2)()()()().1xfdxxfdxxfdxxfdcxfdxxfdxxfxdf 或或3. 3. 不定積分與微分的關(guān)系：不定積分與微分的關(guān)系：2. 2. 幾何意義：幾何意義：是積分曲線族。是積分曲線族。的積分曲線，不定積分的積分曲線，不定積分原函數(shù)稱為原函數(shù)稱為)(xf24教育教學(xué) dxxgdxxfdxxgxfkdxxfkdxxkf)()()()().)()()().2014. 4. 基本積分表；基本積分表；5. 5. 不定積分的性質(zhì)：不定積分的性質(zhì)：25教育教學(xué)；例例dxxx 2

14、11)(.解：解：dxxxx 122dxxx 21)(；dxxxx )(2121232cxxx 1211211231211211122311cxxx 23452232526教育教學(xué)；例例 dxxx212)(.解：解：dxxxx 122dxxx 21)(；dxxx )(12cxxx |ln221227教育教學(xué)；例例 xdx23tan.解：解：dxxx 22cossindxx 2tan；dxxx 221coscosdxx )(sec12cxx tan28教育教學(xué) ；例例xxdx224cossin.解：解： xxdx22cossin；dxxx)sincos(2211 cxx cottandxxxxx

15、 2222cossincossin29教育教學(xué)解解：315.d .1xxexe 例例求求不不定定積積分分 xeexxd113 xeexxd)(11)(12 xxeexeexxd)(12 cxeexx 22130教育教學(xué) ；例例646xxdx.解：解： 64xxdx42211(1)dxdxxxx 4221111dxdxxxx 22421(1)xxdxxxcxxx arctan133131教育教學(xué)；例例 dxxxx325327.解：解：dxxxx 32532dxdxx )(3252cxx )/ln()/(32325232教育教學(xué)8.( )(0,)1(1)0(tan )( )sin2f xffxf

16、xx 例例設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定義義于于上上，并并且且滿滿足足條條件件，求求。xxf2sin1)(tan 解：解：xxcossin21 xxtan2sec2 tttftx21)(,tan2 則則令令xxtan2tan12 由題設(shè)由題設(shè) dttttf21)(2于是于是 dtttdt12121ctt |ln21420)1( f由由41 c0|,|ln2141)(2 xxxxf33教育教學(xué)。，求，求設(shè)設(shè)例例 dxxxpaxaxaxaxpnnnnn11110)1()(. 9解：(1)1p xx將將函函數(shù)數(shù)在在處處展展開開得得：nnxnpxpxppxp!)1(! 2)1()1()1()1()(2 nkkkxk

17、p0)(!)1( dxxxpn 1)1( nknkkdxxkp01)()!)1( nknkkdxxkp01)(!)1( )2(2)02(1)(1)ln|!2(2)!kknnnkk npxpxckknn 34教育教學(xué).,1d1d1.102222baxxbxxaxxx，求，求已知已知例例 解解: 221xx22211xxaxa 21xb 2212xxaba )( 120aba 2121ba求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得等式兩邊對等式兩邊對 x35教育教學(xué)小小 結(jié)結(jié)3.3.基本積分表基本積分表(1).(1).5.不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì).1. 1. 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念：)()(xfxf 2.不定積分的

18、概念：不定積分的概念： cxfdxxf)()(4.求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)系.hwhw：p258 1(p258 1(雙雙), 2), 2。36教育教學(xué),ch2xxeex 2xxeex sh思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 1. 證明證明 xexeexxxch,sh,221.shch的原函數(shù)的原函數(shù)都是都是xxex 2. 2. 若若則則的原函數(shù)的原函數(shù)是是,)(xfex d)(ln xxfx2提示提示:xe )()( xexfxeln )(ln xfx1 cx 221提示提示:37教育教學(xué)3. 若若)(xf是是xe 的原函數(shù)的原函數(shù) , , 則則 xxxfd)(ln提示提示: 已知已知xexf )(0cexfx )(01cxxf )(lnxcxxxf021 )(lncxcx ln0138教育教學(xué)4. 4. 若若)(xf;sin)(xa 1;sin)(xb 1的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函