第三講：靜電場(chǎng)與物質(zhì)相互作用

1、靜電場(chǎng)與物質(zhì)的相互作用 葉邦角葉邦角一、帶電體系的受力二、 導(dǎo)體表面作用力三、電介質(zhì)的極化四、漏電介質(zhì)五、唯一性定理與電像法一、帶電體系的受力（1）虛功原理 一個(gè)孤立系統(tǒng)在滿足能量守恒的條件下，一個(gè)孤立系統(tǒng)在滿足能量守恒的條件下，所經(jīng)歷的虛擬過(guò)程，所做的功等于系統(tǒng)的能所經(jīng)歷的虛擬過(guò)程，所做的功等于系統(tǒng)的能量減少。量減少。lWFlWlF0 ,第第i個(gè)帶電體，在個(gè)帶電體，在qi不變的情況下，受力：不變的情況下，受力： qeiWrF)(（2）絕緣孤立帶電體（q不變） qieizqieiyqieixzWFyWFxWF或或： 繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，則繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，則： qeiiWLLA ,則（3）非孤立帶電體（U不

2、變）存在外界電源，使各導(dǎo)體存在外界電源，使各導(dǎo)體Uj不變，不變，AAWUe)(jjjUejjjeNjjjqUWUqWqUA21)( ,21 ,1外電源對(duì)系統(tǒng)做功外電源對(duì)系統(tǒng)做功UejjUeWqUWAA)(21)(同理，同理，iiiLArFA ,或UieiUieizUieiyUieixWLzWFyWFxWF所以有所以有兩組的公式不同，是兩組的公式不同，是因?yàn)檫M(jìn)行的虛擬過(guò)程因?yàn)檫M(jìn)行的虛擬過(guò)程不同，但都滿足守恒不同，但都滿足守恒律，因而其結(jié)果是相律，因而其結(jié)果是相同的。同的。xSCUUU0 ,202212121 )(21)(21UxSCUqUUUqUqqUWe220120122exqWSqFUxSx

3、 2021UxSWe21xxFF 20222exUWSFUxx 【例例】中間極板帶電荷中間極板帶電荷Q, 能不漏氣地沿能不漏氣地沿壁滑動(dòng)壁滑動(dòng), 該板兩邊空氣的初始?jí)簭?qiáng)為該板兩邊空氣的初始?jí)簭?qiáng)為p0, 求該板處于穩(wěn)定平衡時(shí)的求該板處于穩(wěn)定平衡時(shí)的x值值.【解解】電容器兩邊接地電容器兩邊接地,因此可視為左右因此可視為左右2個(gè)電容器個(gè)電容器C1和和C2并聯(lián)并聯(lián), 當(dāng)中間板位于當(dāng)中間板位于x處處時(shí)時(shí), 總電容總電容:)(2)()(2200021xLSLxLSxLSCCCSLxLQCQWe4)(2122202故系統(tǒng)總的靜電能為故系統(tǒng)總的靜電能為:中間極板受到的靜電力可由虛功原理求得中間極板受到的靜電力

4、可由虛功原理求得:SLxQxWFee202Fe0, 表明力沿表明力沿x增加方向增加方向. 其次其次, 由于導(dǎo)體是良好的導(dǎo)熱體由于導(dǎo)體是良好的導(dǎo)熱體,因此中間極因此中間極板移動(dòng)過(guò)程可視為等溫過(guò)程板移動(dòng)過(guò)程可視為等溫過(guò)程, 設(shè)左右極板兩邊的設(shè)左右極板兩邊的壓強(qiáng)分別為壓強(qiáng)分別為p1, p2, 則有則有:xLLppxLLpp0201, 當(dāng)板處于中間時(shí)當(dāng)板處于中間時(shí), 靜電力與左、右壓靜電力與左、右壓力相互平衡力相互平衡, 即即:SppFe)(122200222xLLxSpSLxQ202041QSpLx討論討論Q滿足滿足的條件的條件 此外必須有此外必須有:2020410p SQ即即:002pQS【例例】

5、一空氣平行板電容器極板的面積都是一空氣平行板電容器極板的面積都是a*b,相相距為距為d，充電到電壓充電到電壓U時(shí)斷開(kāi)電源，再將介電常數(shù)時(shí)斷開(kāi)電源，再將介電常數(shù)為為 的介質(zhì)充滿兩極板間，略去邊緣效應(yīng)，求引的介質(zhì)充滿兩極板間，略去邊緣效應(yīng)，求引入介質(zhì)前后的靜電能之差，并證明這能量差等于入介質(zhì)前后的靜電能之差，并證明這能量差等于電場(chǎng)力所做的功。電場(chǎng)力所做的功。【解解】未引入介質(zhì)時(shí)電未引入介質(zhì)時(shí)電容器的電容和電荷為：容器的電容和電荷為：dabC00dabUUCQ00靜電場(chǎng)儲(chǔ)存的能量為靜電場(chǎng)儲(chǔ)存的能量為dabUUCW22120200引入介質(zhì)后，電容為：引入介質(zhì)后，電容為：dabC總電量總電量Q不變，故能

6、量為：不變，故能量為：dabUdabUabdCQW2)(2220202能量差為：能量差為：dabUWWW2)(000 W0表明插入介質(zhì)后，靜電能減少了。表明插入介質(zhì)后，靜電能減少了。介質(zhì)進(jìn)入電容介質(zhì)進(jìn)入電容x后，總電容值為：后，總電容值為：dxabCCC)(0021總電量不變，故儲(chǔ)存的總能量為：總電量不變，故儲(chǔ)存的總能量為：20002)(22dabUxabdCQWx作用在介質(zhì)上的電場(chǎng)力為作用在介質(zhì)上的電場(chǎng)力為2000222)()(20 xadbUaxWFxxxadbUa)(12 002220電場(chǎng)力所作的功為：電場(chǎng)力所作的功為：222000020000()22()aaa bUabUAFdxdxd

7、dax 所以，所以，WA電場(chǎng)力所做的功等于靜電能的減少值。電場(chǎng)力所做的功等于靜電能的減少值?！纠恳黄叫邪咫娙萜鲀蓸O板的面積都是一平行板電容器兩極板的面積都是S，相距相距為為d，中間有一塊厚度為中間有一塊厚度為t，介電常數(shù)為介電常數(shù)為 r的平行的平行介質(zhì)平板，接通開(kāi)關(guān)，使電容器充電到電壓為介質(zhì)平板，接通開(kāi)關(guān)，使電容器充電到電壓為U，略去邊緣效應(yīng)。（略去邊緣效應(yīng)。（1）斷開(kāi)電源，把介質(zhì)板抽出，）斷開(kāi)電源，把介質(zhì)板抽出，試問(wèn)需要做多少功？（試問(wèn)需要做多少功？（2）如果在不斷開(kāi)電源的）如果在不斷開(kāi)電源的情況下抽出介質(zhì)板，則需做多少功？情況下抽出介質(zhì)板，則需做多少功？【解解】（1）斷開(kāi)電源，電容器兩

8、極板的電荷總）斷開(kāi)電源，電容器兩極板的電荷總量量Q不變不變,介質(zhì)板未抽出時(shí)介質(zhì)板未抽出時(shí), 其電場(chǎng)強(qiáng)度為：其電場(chǎng)強(qiáng)度為：0 ( QEnSQEnS介質(zhì)外）（介質(zhì)內(nèi)） tdttdStdSUQCrrr) 1()(000CQW22電容器的儲(chǔ)存電容器的儲(chǔ)存的能量為的能量為：000()() QQUdttSSdttQS電勢(shì)差為：電勢(shì)差為：電容為：電容為：dSC00電介質(zhì)抽出后，電容器的電容為電介質(zhì)抽出后，電容器的電容為：這時(shí)電容器的儲(chǔ)存的能量為這時(shí)電容器的儲(chǔ)存的能量為0202CQW 電介質(zhì)抽出后，電容器所儲(chǔ)存的靜電能量的增量為：電介質(zhì)抽出后，電容器所儲(chǔ)存的靜電能量的增量為：220000(1)11()22rr

9、rdtQQdWWWCCSS 22000(1)(1)Q1 22(1)rrrrrrrSUttSdtS 202(1) 2(1)rrrrtSUdt W0表示抽出介質(zhì)板后，電容器儲(chǔ)存的能量增加表示抽出介質(zhì)板后，電容器儲(chǔ)存的能量增加了，這部分能量來(lái)自于抽出介質(zhì)板時(shí)外力所做的了，這部分能量來(lái)自于抽出介質(zhì)板時(shí)外力所做的功，故在斷開(kāi)電源的條件下，抽出介質(zhì)板時(shí)外力功，故在斷開(kāi)電源的條件下，抽出介質(zhì)板時(shí)外力所做的功為：所做的功為：220) 1(2) 1( tdtSUWArrrr（2）不斷開(kāi)電源，兩極板間的電勢(shì)差不斷開(kāi)電源，兩極板間的電勢(shì)差U不變，抽出不變，抽出電介質(zhì)后電容器的電荷量為電介質(zhì)后電容器的電荷量為：UCQ

10、00故抽出電介質(zhì)后，電容器的電荷增量為：故抽出電介質(zhì)后，電容器的電荷增量為：dtdtSUtdSdSUCCQQQrrrrrr) 1() 1( ) 1()(00000 Q0表示抽出介質(zhì)時(shí)，有電荷從電容器流向電表示抽出介質(zhì)時(shí)，有電荷從電容器流向電源，因此，也就伴有相應(yīng)的能量源，因此，也就伴有相應(yīng)的能量 WB從電容器流從電容器流向電源向電源:dtdtSUUQWrrrB) 1() 1()(20抽出介質(zhì)后抽出介質(zhì)后，電容器所儲(chǔ)存的能量增量為：電容器所儲(chǔ)存的能量增量為：dtdtSUUtdSdSUCCWWWrrrrrrC) 1( 2) 1( ) 1(21)(2120200200 W0表示抽出介質(zhì)板后，系統(tǒng)的能

11、量增加表示抽出介質(zhì)板后，系統(tǒng)的能量增加了，所增加的能量來(lái)自于抽出介質(zhì)板時(shí)外了，所增加的能量來(lái)自于抽出介質(zhì)板時(shí)外力所做的功，故在不斷開(kāi)電源的條件下，力所做的功，故在不斷開(kāi)電源的條件下，抽出介質(zhì)板時(shí)外力所做的功為：抽出介質(zhì)板時(shí)外力所做的功為：dtdtSUWArrr) 1(2) 1(20 平行板電容器平行板電容器2022021 ,2UxSWUxSFex又二、 導(dǎo)體表面作用力引）號(hào)表示兩極板間相互吸(- , xWFexSxwVwWeee 又SwFex exxwSFf單位面積上的力為單位面積上的力為： 該力的方向總是從導(dǎo)體向外，即每個(gè)帶電導(dǎo)該力的方向總是從導(dǎo)體向外，即每個(gè)帶電導(dǎo)體表面存在向外的拉力，大小

12、等于導(dǎo)體表面上的體表面存在向外的拉力，大小等于導(dǎo)體表面上的能量密度，該式雖然從平板電容器導(dǎo)出，但它是能量密度，該式雖然從平板電容器導(dǎo)出，但它是普遍正確的。普遍正確的。FxnEEwfEeeexe21221 , 02200SeSxSSfF2021整個(gè)導(dǎo)體面上的力為整個(gè)導(dǎo)體面上的力為：注意：注意：|單位面積上的力為單位面積上的力為1/2 E, 不是不是 E；|F是矢量式。是矢量式?！纠恳凰降臒o(wú)窮大導(dǎo)體面上放有一個(gè)薄一水平的無(wú)窮大導(dǎo)體面上放有一個(gè)薄的均勻金屬盤的均勻金屬盤. 起始不帶電起始不帶電, 然后慢慢充然后慢慢充電電.求電荷密度多大時(shí)金屬離開(kāi)平面求電荷密度多大時(shí)金屬離開(kāi)平面.SSfFSx2

13、021【解解】設(shè)金屬盤的質(zhì)量和面積分別為設(shè)金屬盤的質(zhì)量和面積分別為m和和S, 導(dǎo)體的電荷密度為導(dǎo)體的電荷密度為 時(shí)時(shí), 空間電空間電場(chǎng)為場(chǎng)為:E盤受到的作用力為盤受到的作用力為:要使盤升起要使盤升起, 必須必須mgF 所以所以:smg/20【例例】“乒乓式乒乓式”電容器電容器一個(gè)電容器由兩塊半徑為一個(gè)電容器由兩塊半徑為R的平行圓盤組成，間距為的平行圓盤組成，間距為d(dR)，上盤連接一電壓為，上盤連接一電壓為V的直流恒壓源，下盤放的直流恒壓源，下盤放一個(gè)小薄園片，質(zhì)量為一個(gè)小薄園片，質(zhì)量為m，半徑為，半徑為r(r Vth時(shí)時(shí), 小圓片上下運(yùn)動(dòng)，加上碰撞小圓片上下運(yùn)動(dòng)，加上碰撞是非彈性的，恢復(fù)系

14、數(shù)是非彈性的，恢復(fù)系數(shù)h h=v后后/v前前，小圓盤多次碰，小圓盤多次碰撞底部得到一個(gè)穩(wěn)定速度，求該速度；撞底部得到一個(gè)穩(wěn)定速度，求該速度；（5）達(dá)到穩(wěn)定后通過(guò)電容器的）達(dá)到穩(wěn)定后通過(guò)電容器的 電流電流I; (6)當(dāng)電壓緩慢減少時(shí)，存在一個(gè)臨界電壓當(dāng)電壓緩慢減少時(shí)，存在一個(gè)臨界電壓Vc，低，低于這個(gè)電壓電荷將停止流動(dòng)，求這個(gè)電壓。于這個(gè)電壓電荷將停止流動(dòng)，求這個(gè)電壓?！窘狻浚?）220111222eSWqUCUUx22022eUx dWRFUxd 使用虛功原理使用虛功原理（2）由高斯定律：）由高斯定律：01iESq閉合曲面SS內(nèi)20qr EqxV20rxd 20Vqrd （3）小圓片上合力為：

15、）小圓片上合力為：22202122erxFmgFmgVmgVdd欲使小圓片上合力大于零，必須欲使小圓片上合力大于零，必須2thmgdVx202xVmgd(4)小圓片多次碰撞底部后保持勻速小圓片多次碰撞底部后保持勻速vs，底部提供使，底部提供使小圓片保持穩(wěn)定的動(dòng)能為：小圓片保持穩(wěn)定的動(dòng)能為：212sskmv每次碰撞后，小圓片獲得的電能為：每次碰撞后，小圓片獲得的電能為：2WqV每次碰撞后，小圓片損失的動(dòng)能為：每次碰撞后，小圓片損失的動(dòng)能為：22111kkkkkhh 后后前前（）（） 設(shè)設(shè)ks為碰撞底盤后的動(dòng)能，則為碰撞底盤后的動(dòng)能，則 skqVmgd為到達(dá)頂部碰撞前的能量，每完成一次能量損失為為

16、到達(dá)頂部碰撞前的能量，每完成一次能量損失為 k,則則221(1)(1)()sskkkqVmgdhh 達(dá)到穩(wěn)定，必須有：達(dá)到穩(wěn)定，必須有：kW 222422222(1)(1)11112sskqVmgdqVmgdmvhhhhhhhh2212(1)(1)()ssqVkkqVmgdhh2222222(2)11sxVvgdmVhhhh【例例】一個(gè)半徑為一個(gè)半徑為R帶電量為帶電量為q的球形導(dǎo)體，被的球形導(dǎo)體，被切成兩半，求兩半球的相互作用力。切成兩半，求兩半球的相互作用力。SEF2021【解解】由對(duì)稱性由對(duì)稱性0yFSEFxcos21202024 ,sin2 Rq ERS又2022/020232sinco

17、s16RqRqFFFxx21)22cos0(cos41)2(2sin41sincos2/02/0【例例】一帶電的肥皂泡半徑為一帶電的肥皂泡半徑為R，電勢(shì)為電勢(shì)為U，肥皂肥皂水的表面張力系數(shù)為水的表面張力系數(shù)為 ，當(dāng)吹肥皂泡的小管當(dāng)吹肥皂泡的小管與大氣相通時(shí)，泡內(nèi)外的空氣壓強(qiáng)相等，與大氣相通時(shí)，泡內(nèi)外的空氣壓強(qiáng)相等，設(shè)這時(shí)肥皂泡處于穩(wěn)定狀態(tài)，略去小管的設(shè)這時(shí)肥皂泡處于穩(wěn)定狀態(tài)，略去小管的影響，求影響，求R、U和和 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系?！窘饨狻吭O(shè)肥皂泡的電量為設(shè)肥皂泡的電量為q，則由：則由：RqU04因電荷面密度為：因電荷面密度為：RURq024當(dāng)肥皂泡不帶電時(shí)，內(nèi)外壓強(qiáng)差為：當(dāng)肥皂泡不帶電時(shí)

18、，內(nèi)外壓強(qiáng)差為：RPPoi4由于帶電，表面單位面積受到的張力為由于帶電，表面單位面積受到的張力為：nf022n是外法線單位矢量，故總的內(nèi)外壓強(qiáng)差為：是外法線單位矢量，故總的內(nèi)外壓強(qiáng)差為：0224Rppoi因肥皂泡內(nèi)外壓強(qiáng)相同，故：因肥皂泡內(nèi)外壓強(qiáng)相同，故：oipp所以：所以：0224R或：或：UR08【拓展題拓展題】肥皂泡原不帶電，現(xiàn)要使半徑增大一肥皂泡原不帶電，現(xiàn)要使半徑增大一倍，則應(yīng)帶的電量為多少？倍，則應(yīng)帶的電量為多少？0224Rppoi【解解】因未帶電時(shí)：因未帶電時(shí)：其中：其中：2)2(4RQRPPoi433)2(RpRpii溫度不變，則溫度不變，則VpVpii即：即：8iipp 解之

19、得：解之得：)127(830pRRQ【例例】一電容器質(zhì)量一電容器質(zhì)量M，由相距為，由相距為d的兩平行板的兩平行板組成，垂直放入相對(duì)介電常數(shù)為組成，垂直放入相對(duì)介電常數(shù)為 r，密度為，密度為r r的的介質(zhì)液中，求下面兩種情況下液面上升的高度：介質(zhì)液中，求下面兩種情況下液面上升的高度：（1）電容器與電源相接，維持電壓為）電容器與電源相接，維持電壓為V；（2）電容器與電源斷開(kāi)，維持電量為）電容器與電源斷開(kāi)，維持電量為Q（只須（只須給出給出h與與x的表達(dá)式）的表達(dá)式）。000()(1)rrbxbax bCxaddd 解解:電壓不變：電壓不變： 則由虛功原理：則由虛功原理：22201()(1)1222r

20、CVbVWCFVxxxd20(1)2rbVghbddr202(1)2rVhgdr2222201(/)(1)222(1)rrQCdQWQCFxxCxbxa （2）電量）電量Q不變，則：不變，則：平衡時(shí)液面上升高為：平衡時(shí)液面上升高為：220(1)2(1)rrQhgbxar 【例例】一半徑為一半徑為a的絕緣導(dǎo)體球的絕緣導(dǎo)體球, 球心與一球心與一無(wú)限窮大導(dǎo)體平面相距為無(wú)限窮大導(dǎo)體平面相距為z, 設(shè)設(shè)za.(1)求球和平面之間的電容的首項(xiàng)求球和平面之間的電容的首項(xiàng).(2)求球和平面之間的電容的一階修正項(xiàng)求球和平面之間的電容的一階修正項(xiàng);(3)當(dāng)球帶電為當(dāng)球帶電為Q時(shí)時(shí),將球與導(dǎo)體平面完全分將球與導(dǎo)體平

21、面完全分離需提供多少的能量離需提供多少的能量?【解解】(a) 對(duì)于首項(xiàng)對(duì)于首項(xiàng),可以認(rèn)為球與導(dǎo)體平面可以認(rèn)為球與導(dǎo)體平面相距無(wú)限遠(yuǎn)相距無(wú)限遠(yuǎn), 即為孤立導(dǎo)體球的電容即為孤立導(dǎo)體球的電容:04Ca(b) 為求一階修正項(xiàng)為求一階修正項(xiàng), 設(shè)導(dǎo)體球帶電為設(shè)導(dǎo)體球帶電為Q,因而導(dǎo)體因而導(dǎo)體板上另一側(cè)的鏡像電荷為板上另一側(cè)的鏡像電荷為-Q,空間沿兩電荷連空間沿兩電荷連線方向上的電場(chǎng)為線方向上的電場(chǎng)為:22004()4()QQEzhzh000004()4()z az az aQQVEdhzhzh00114242QaQaazaaz001441212QaCaaaVzz所以所以,一階修正項(xiàng)為一階修正項(xiàng)為:202

22、aCz(c)兩個(gè)相距為兩個(gè)相距為2z的點(diǎn)電荷之間的作用力為的點(diǎn)電荷之間的作用力為:22042 )QFz（將球移至無(wú)限遠(yuǎn)所做的功為將球移至無(wú)限遠(yuǎn)所做的功為:2212001616zzQQWFdzdzzz而把兩個(gè)相距為而把兩個(gè)相距為z的導(dǎo)體球分離所做的功為的導(dǎo)體球分離所做的功為:2221200248zzQQWFdzdrWrzWhy?三、電介質(zhì)及其極化若電存器兩極板之間為真空時(shí)，電容器的電容若電存器兩極板之間為真空時(shí)，電容器的電容為為C0，當(dāng)電容器內(nèi)部充滿同一種均勻的電介質(zhì)，當(dāng)電容器內(nèi)部充滿同一種均勻的電介質(zhì)后，則電容改變?yōu)楹?，則電容改變?yōu)镃，有，有rCC0極化時(shí)，介質(zhì)的邊緣出現(xiàn)極化電荷極化時(shí)，介質(zhì)的

23、邊緣出現(xiàn)極化電荷1.極化強(qiáng)度當(dāng)場(chǎng)強(qiáng)不太強(qiáng)時(shí)，極化強(qiáng)度當(dāng)場(chǎng)強(qiáng)不太強(qiáng)時(shí)，極化強(qiáng)度P與介質(zhì)中的場(chǎng)與介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)強(qiáng)E成正比，方向相同，即成正比，方向相同，即EPr) 1(02.極化電荷兩種極化介質(zhì)的交界面上，或者在介質(zhì)的表面兩種極化介質(zhì)的交界面上，或者在介質(zhì)的表面（實(shí)際上是介質(zhì)與真空的交界面）上，存在面（實(shí)際上是介質(zhì)與真空的交界面）上，存在面分布的極化電荷。分布的極化電荷。若兩種極化強(qiáng)度分別為若兩種極化強(qiáng)度分別為P1和和P2的電介質(zhì)，假定的電介質(zhì)，假定極化強(qiáng)度在每一種電介質(zhì)中都是位置的連續(xù)函極化強(qiáng)度在每一種電介質(zhì)中都是位置的連續(xù)函數(shù)，僅在兩種介質(zhì)的交界面上才發(fā)生突變。數(shù)，僅在兩種介質(zhì)的交界面上才發(fā)生突

24、變。柱體內(nèi)的極化電荷的柱體內(nèi)的極化電荷的電量為：電量為：112212()()ppQPSPSPPe SS 1212()pnnPPePP討 論若若P1P2，則，則 p0，即交界面上有正的極化電荷，即交界面上有正的極化電荷若若P1P2，則，則 p 0，交界面上有負(fù)的極化電荷，交界面上有負(fù)的極化電荷當(dāng)當(dāng)P1=P2，即法向分量在交界面上連續(xù)時(shí)，交界面，即法向分量在交界面上連續(xù)時(shí)，交界面上無(wú)極化電荷。上無(wú)極化電荷。若第二種介質(zhì)是真空，則若第二種介質(zhì)是真空，則P2=0，由介質(zhì)指向真空，由介質(zhì)指向真空，這時(shí)這時(shí)即在介質(zhì)與真空的交界面上，極化電荷的面密度等即在介質(zhì)與真空的交界面上，極化電荷的面密度等于極化強(qiáng)度的

25、法向分量。于極化強(qiáng)度的法向分量。cosPPnp, 00r0r電介質(zhì)內(nèi)，若電介質(zhì)內(nèi)，若 則，則， 極化電荷只極化電荷只分布在均勻介質(zhì)表面。分布在均勻介質(zhì)表面。極化電荷與自由電荷的關(guān)系3. 電容器內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度平板電容器中的電介質(zhì)平板電容器中的電介質(zhì)EPEr10PpEEEEEr) 1(00rEE0【例例】在無(wú)限大的均勻介質(zhì)中，有一電量為在無(wú)限大的均勻介質(zhì)中，有一電量為qf的均勻的均勻帶電球置于其中，球的半徑為帶電球置于其中，球的半徑為R，求介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)。，求介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)?！窘饨狻孔杂呻姾稍谇蛲庾杂呻姾稍谇蛲鈫为?dú)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度單獨(dú)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為：為：極化電荷出現(xiàn)在球面與介質(zhì)的分界面和無(wú)限遠(yuǎn)處的極化電

26、荷出現(xiàn)在球面與介質(zhì)的分界面和無(wú)限遠(yuǎn)處的介質(zhì)表面上，因?yàn)闊o(wú)限遠(yuǎn)處的極化電荷對(duì)介質(zhì)表面上，因?yàn)闊o(wú)限遠(yuǎn)處的極化電荷對(duì)A點(diǎn)的場(chǎng)可點(diǎn)的場(chǎng)可以忽略，故極化電荷在以忽略，故極化電荷在A點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為：點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為：rpperqE2041r2f0ferq41E RArc c)() 1(444 0222RERPRRqrnpp而r2pf0pferqq41EEE 2pf0RrRqq41rERE )()(frrpqq1于是介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度為：于是介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度為：)(1(pfrpqqq有有解之得：解之得：rfrerqE2041frEE1 所以所以r2f0ferq41E 與與Ef比較比較得得【例例】平板電容器內(nèi)充滿平板電容

27、器內(nèi)充滿2層均勻介質(zhì)，厚度分層均勻介質(zhì)，厚度分別為別為d1和和d2，相對(duì)介電常數(shù)為相對(duì)介電常數(shù)為 1和和 2，電容器所電容器所加電壓為加電壓為U，求求（1）電容器的電容；（電容器的電容；（2）介質(zhì)）介質(zhì)分界面的極化電荷面密度。分界面的極化電荷面密度。電容器相當(dāng)于兩個(gè)電容串聯(lián)，則總電容為電容器相當(dāng)于兩個(gè)電容串聯(lián)，則總電容為：2121CCCCC其中：其中： , ,22021101dSCdSC代入，有：代入，有：001212effSSCddd1212effddd極板上所帶自由電荷的電量極板上所帶自由電荷的電量Q0為：為：221100ddU又，又，20022021001101dCSEdCSE22110

28、0ddSUCUQ20221011CQdECQdE02020101 ,EE電容器內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度也可以用總電荷來(lái)表示：電容器內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度也可以用總電荷來(lái)表示：可以解得：可以解得：220211011 ,1兩種介質(zhì)的分界面的極化電荷密度為：兩種介質(zhì)的分界面的極化電荷密度為：21120211202211021)( 1111ddUttdttddSttdddSttdSdSCCC000000021)()2(2)(12)(22【例】球形電容器充滿兩種介質(zhì)，分界面球形電容器充滿兩種介質(zhì)，分界面半徑為半徑為d, 求電容以及介質(zhì)分界面的極求電容以及介質(zhì)分界面的極化電荷密度?；姾擅芏取！窘饨狻浚悍纸缑鏋榈葎?shì)面，分界面為等勢(shì)

29、面，自由電荷自由電荷q0產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為：在介質(zhì)中在介質(zhì)中：所以，電容值為：所以，電容值為：)( ,4) 1() 1()( ,4) 1() 1(2222220212111101RrderEPdrRerEPrr極化強(qiáng)度：極化強(qiáng)度：極化電荷面密度：極化電荷面密度： ,4) 1( ,4) 1(4) 1( ,4) 1(22222 2222222111 121111121RPdPdPRPRrdrdrRr在兩種介質(zhì)交界面處，極化電荷面密度為：在兩種介質(zhì)交界面處，極化電荷面密度為：)(41212122 1d一個(gè)球形電容器可看成一個(gè)球形電容器可看成2個(gè)半個(gè)半球形電容器并聯(lián)而成，因?yàn)椋呵蛐坞娙萜鞑⒙?lián)而成

30、，因?yàn)椋?221212210122RRRRCRRRRC1221021)(2RRRRCCC【例例】?jī)蓧K導(dǎo)體嵌入電導(dǎo)兩塊導(dǎo)體嵌入電導(dǎo)率為率為 , 介電常數(shù)為介電常數(shù)為 的的無(wú)限大介質(zhì)中無(wú)限大介質(zhì)中, 已知兩已知兩導(dǎo)體之間的電阻為導(dǎo)體之間的電阻為R, 求導(dǎo)體間的電容求導(dǎo)體間的電容.【解解】設(shè)導(dǎo)體分別帶設(shè)導(dǎo)體分別帶+Q,-Q, 任取一高斯面包圍任取一高斯面包圍+Q導(dǎo)體導(dǎo)體, 則流出該導(dǎo)體的電流為則流出該導(dǎo)體的電流為:QSESESjISSS四、漏電介質(zhì)QRIRURUQC由歐姆定理由歐姆定理:故導(dǎo)體間的電容為故導(dǎo)體間的電容為:【例例】一平行板電容器兩極板的面積為一平行板電容器兩極板的面積為S，兩板間充滿兩

31、兩板間充滿兩層均勻介質(zhì)，它們的厚度為層均勻介質(zhì)，它們的厚度為d1和和d2，相對(duì)介電常數(shù)為相對(duì)介電常數(shù)為 1和和 2，電導(dǎo)率為電導(dǎo)率為 1和和 2，當(dāng)兩極板間加電勢(shì)差當(dāng)兩極板間加電勢(shì)差U時(shí)，時(shí)，略去邊緣效應(yīng)，試求略去邊緣效應(yīng)，試求（1）兩介質(zhì)中的）兩介質(zhì)中的E;（2）通過(guò)電）通過(guò)電容器中的電流容器中的電流 ；（；（3）介質(zhì)分界面的電荷面密度介質(zhì)分界面的電荷面密度.【解解】（1）兩極板間的電阻為：）兩極板間的電阻為：SddSdSdR2121122211（2）通過(guò)電容器的電流為：）通過(guò)電容器的電流為：211221ddSURUI電場(chǎng)強(qiáng)度為：電場(chǎng)強(qiáng)度為：電流密度為：電流密度為：122112UIjSdd

32、0121011211202120222112(1)1(1)1UPEddUPEdd （）（）交界面的極化電荷面密度為：交界面的極化電荷面密度為：12210122112(1)(1)UPPdd 交界面的總電荷面密度為：交界面的總電荷面密度為：21122112UEEdd交界面的自由電荷面密度為：交界面的自由電荷面密度為：0 【例例】一對(duì)半徑為一對(duì)半徑為a和和b（a0區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度為：區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度為：x0區(qū)域的勢(shì)為：區(qū)域的勢(shì)為： 232220 xnzyd2qdzy0EE/),( 2/322202zydqdEnsqSqssr導(dǎo)體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度為：導(dǎo)體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度為：導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷面密度為：導(dǎo)體表面

33、的感應(yīng)電荷面密度為：導(dǎo)體表面的總感應(yīng)電荷為：導(dǎo)體表面的總感應(yīng)電荷為：點(diǎn)電荷所受的力點(diǎn)電荷所受的力 需計(jì)算需計(jì)算q0所在處所在處由感應(yīng)電荷由感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度直角導(dǎo)體平面形成區(qū)域中點(diǎn)電荷的鏡像直角導(dǎo)體平面形成區(qū)域中點(diǎn)電荷的鏡像【例例】一無(wú)限大金屬平板上懸掛一彈簧振子一無(wú)限大金屬平板上懸掛一彈簧振子, 彈性系數(shù)為彈性系數(shù)為k, 其質(zhì)量為其質(zhì)量為m, 帶電荷帶電荷q. 起始起始單簧振子處于平衡狀態(tài)單簧振子處于平衡狀態(tài), 若使振子向下偏若使振子向下偏離一小位置離一小位置x, 求其振動(dòng)周期求其振動(dòng)周期.【解解】彈簧平衡時(shí)長(zhǎng)度為彈簧平衡時(shí)長(zhǎng)度為:eFmgkx020220216)2(4

34、hqhqFe202016khqkmgx當(dāng)彈簧向下拉當(dāng)彈簧向下拉x時(shí)時(shí), 其力為其力為:02020202)(16)()(16kxmgxhqkxxxkxhqmgF20220()16(1/ )qkxmgkxhx h 3028hqkk所以所以, 振動(dòng)周期為振動(dòng)周期為:)8(22302hqkmkmT222220016(1/ )16qqkxhx hh 2222002(1)1616qxqkxhhh 2308q xkxk xh 2.點(diǎn)電荷對(duì)導(dǎo)體球面的鏡像qqPARRrdda 球面上：球面上：Us=0，設(shè)置鏡像位置，設(shè)置鏡像位置da區(qū)域的電勢(shì)：區(qū)域的電勢(shì)：ra區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度：區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度：導(dǎo)體表面的電荷密度導(dǎo)

35、體表面的電荷密度 )cos2(4)(2/322220 addaaadqEns（1）點(diǎn)電荷所受到導(dǎo)體球的作用力？）點(diǎn)電荷所受到導(dǎo)體球的作用力？（2）點(diǎn)電荷放置在球內(nèi)，問(wèn)題又如何？）點(diǎn)電荷放置在球內(nèi)，問(wèn)題又如何？（3）導(dǎo)體球不接地，如何處理該問(wèn)題？）導(dǎo)體球不接地，如何處理該問(wèn)題？其它問(wèn)題：其它問(wèn)題： 球既不帶電，又不接地， 球外有一點(diǎn)電荷q。 像電荷：像電荷：q=-(a/d)q，位置為：位置為：x=a2/d 球面上另有一均勻分布電荷，球面上另有一均勻分布電荷， q=(a/d)q. 既滿足球面總電荷為零，也滿足球面是等勢(shì)既滿足球面總電荷為零，也滿足球面是等勢(shì)面，由唯一性定理知，球外的電勢(shì)由三個(gè)電荷疊

36、面，由唯一性定理知，球外的電勢(shì)由三個(gè)電荷疊加而成。加而成。(2)球帶電Q，但不接地， 球外有一點(diǎn)電荷q。 像電荷：像電荷：q=-(a/d)q，位置為：位置為：x=a2/d 球面上另有一均勻分布電荷，球面上另有一均勻分布電荷， Q-q。 這樣既滿足球面總電荷為這樣既滿足球面總電荷為Q，也滿足球面是等勢(shì)也滿足球面是等勢(shì)面，由唯一性定理知，球外的電勢(shì)由三個(gè)電荷疊加面，由唯一性定理知，球外的電勢(shì)由三個(gè)電荷疊加而成。而成。 球外點(diǎn)電荷球外點(diǎn)電荷q所受導(dǎo)體球所受導(dǎo)體球Q的作用力取決于導(dǎo)體的作用力取決于導(dǎo)體球球Q在該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。于是，總電量為在該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。于是，總電量為Q的導(dǎo)體的導(dǎo)體球在球外點(diǎn)電荷球在

37、球外點(diǎn)電荷q處的電場(chǎng)強(qiáng)度為：處的電場(chǎng)強(qiáng)度為：為使導(dǎo)體球在靜電平衡時(shí)受到q的作用力吸引，試確定q的取值范圍。20204)(4dqQxdqE點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q所受作用力為：所受作用力為： 2200()4()4q qQq qFdxd把把x和和q 代入上式，得：代入上式，得： QaddqaaddqF22232220)()2(4 當(dāng)當(dāng)F0時(shí)，為斥力；當(dāng)時(shí)，為斥力；當(dāng)F0時(shí)，為吸引力為時(shí)，為吸引力為使使F0，要求上式右邊方括號(hào)中的量為正值，即要求上式右邊方括號(hào)中的量為正值，即要求：要求：Qaadaddq322222)2()(3) 球不帶電, 但卻有一固定的電勢(shì)U， 球外有一點(diǎn)電荷q。 像電荷：像電荷：q=-(

38、a/d)q，位置為：，位置為：x=a2/d 球面上另有一均勻分布的電荷球面上另有一均勻分布的電荷:aq/d. 球心處上另有一像電荷：球心處上另有一像電荷：Q=40RU aq/d 這樣滿足球面是等勢(shì)面，電勢(shì)為這樣滿足球面是等勢(shì)面，電勢(shì)為U，又不帶電，又不帶電，由唯一性定理知，球外的電勢(shì)由四個(gè)電荷疊加而成。由唯一性定理知，球外的電勢(shì)由四個(gè)電荷疊加而成。3.線電荷對(duì)導(dǎo)體圓柱面的鏡像PARRrdda , dad2柱外任一點(diǎn)的電勢(shì)為：柱外任一點(diǎn)的電勢(shì)為：ln2ln200daRadRU導(dǎo)體柱表面的電勢(shì)為零，即：導(dǎo)體柱表面的電勢(shì)為零，即：)cos2(ln)cos2(ln2/1222/122daaddaada

39、dda滿足任意滿足任意 的解為：的解為：【例例】?jī)蓚€(gè)半徑同為兩個(gè)半徑同為R的導(dǎo)體球相互接觸，形成的導(dǎo)體球相互接觸，形成孤立雙導(dǎo)體系統(tǒng)。求此系統(tǒng)的電容值。孤立雙導(dǎo)體系統(tǒng)。求此系統(tǒng)的電容值?！窘饨狻抗铝?dǎo)體系統(tǒng)的電容等于系統(tǒng)帶電量與其電勢(shì)的孤立導(dǎo)體系統(tǒng)的電容等于系統(tǒng)帶電量與其電勢(shì)的比比 值值。當(dāng)系統(tǒng)帶電量給定后當(dāng)系統(tǒng)帶電量給定后, 設(shè)法確定其電勢(shì)設(shè)法確定其電勢(shì), 便得到系便得到系統(tǒng)的電容?；蛘呓y(tǒng)的電容?；蛘? 當(dāng)系統(tǒng)電勢(shì)給定后當(dāng)系統(tǒng)電勢(shì)給定后, 設(shè)法確定其帶電量設(shè)法確定其帶電量, 同樣可得到系統(tǒng)的電容。同樣可得到系統(tǒng)的電容。 此此題題兩個(gè)相互接觸的導(dǎo)體球兩個(gè)相互接觸的導(dǎo)體球 , 存在相互感應(yīng)的問(wèn)題

40、存在相互感應(yīng)的問(wèn)題, 因此因此, 不管采用何種方法不管采用何種方法, 均需連續(xù)使用鏡像法均需連續(xù)使用鏡像法, 逐次逼近。逐次逼近。處理中利用的鏡像法處理中利用的鏡像法, 涉及一個(gè)半徑為涉及一個(gè)半徑為R的接地導(dǎo)體球的接地導(dǎo)體球 , 以及球外離球心距離為以及球外離球心距離為 d 的一個(gè)帶電量為的一個(gè)帶電量為Q的點(diǎn)電荷系的點(diǎn)電荷系統(tǒng)。在導(dǎo)體球電勢(shì)為零的條件下統(tǒng)。在導(dǎo)體球電勢(shì)為零的條件下, 導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷的效導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷的效果可以等價(jià)于球內(nèi)假想的像電荷的效果果可以等價(jià)于球內(nèi)假想的像電荷的效果, 此像電荷帶電量此像電荷帶電量和它在系統(tǒng)對(duì)稱軸線上離球心距離分別為和它在系統(tǒng)對(duì)稱軸線上離球心距離分別為：

41、04qRU21, RRqqxdd RRRxqqRRq21221222112RxRRxqqxRRq3223122231223RxRRxqqxRRq4324123241334 如此不斷繼續(xù)如此不斷繼續(xù), 直至每個(gè)導(dǎo)體球內(nèi)引直至每個(gè)導(dǎo)體球內(nèi)引入入n個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)電荷電荷 ( n), 以維持電勢(shì)以維持電勢(shì)U0不變。從上不變。從上面面幾個(gè)幾個(gè)像電荷電量表達(dá)式像電荷電量表達(dá)式, 很容易聯(lián)想到很容易聯(lián)想到, 當(dāng)當(dāng)n時(shí)時(shí), qn0。從而得。從而得到到在系統(tǒng)電勢(shì)保持在系統(tǒng)電勢(shì)保持 U0 的條件下的條件下, 系統(tǒng)系統(tǒng) (兩球兩球) 的總帶電量為的總帶電量為:2ln82ln2q )4131211 (2)(2001121R

42、UqqqQ因此得到相互接觸孤立等半徑導(dǎo)體系統(tǒng)的電容為因此得到相互接觸孤立等半徑導(dǎo)體系統(tǒng)的電容為： 2ln800RUQC【拓展題拓展題】半徑為半徑為R的接地導(dǎo)體球外有一電偶的接地導(dǎo)體球外有一電偶極子極子p=2ql, 設(shè)偶極子的軸線通過(guò)球心設(shè)偶極子的軸線通過(guò)球心,距離距離為為L(zhǎng). 求電偶極子產(chǎn)生的電場(chǎng)求電偶極子產(chǎn)生的電場(chǎng).qlddepz2 ,) ,( : ); ,( : ;:2221lLRqlLRqlLRqlLRq-q: L-llLq因因Ll:)1 (11LlLlL2222222221 2 ;2LlRLRLRdqLRqLlRLRLRdqLRq位置：；位置：LRLadqpLReLlRqLRpz223

43、322 : ; 2位置點(diǎn)電荷：電偶極子：等效于321EEEEA【拓展題拓展題】半徑為半徑為R的導(dǎo)體球的導(dǎo)體球1.接地接地; 2.電電勢(shì)為勢(shì)為U下懸掛一彈簧振子下懸掛一彈簧振子, 彈性系數(shù)為彈性系數(shù)為k, 其質(zhì)量為其質(zhì)量為m, 帶電荷帶電荷q. 求振子在平衡點(diǎn)作微求振子在平衡點(diǎn)作微小振動(dòng)的周期小振動(dòng)的周期. 【例例】如圖所示，兩塊足夠大的接地導(dǎo)體平面如圖所示，兩塊足夠大的接地導(dǎo)體平面A和和B平行豎直放置，相距平行豎直放置，相距2d，d10cm在兩板之在兩板之間的中央位置，用長(zhǎng)間的中央位置，用長(zhǎng)l1m的絕緣細(xì)線懸掛一個(gè)的絕緣細(xì)線懸掛一個(gè)質(zhì)量質(zhì)量m=0. .1g；電量電量q=510-9C的小擺球，讓小的小擺球，讓小擺球稍稍偏離平衡位置后釋放，使之小角度擺擺球稍稍偏離平衡位置后釋放，使之小角度擺動(dòng)。忽略各種電磁阻尼和空氣阻尼試求小球動(dòng)。忽略各種電磁阻尼和空氣阻尼試求小球的擺動(dòng)周期的擺動(dòng)周期T。 【解解】 當(dāng)帶電擺球偏離中央位置時(shí)，也有相應(yīng)的左、當(dāng)帶電擺球偏離中央位置時(shí)，也有相應(yīng)的左、右無(wú)限系列的鏡像點(diǎn)電荷。取小球的中央位置為原點(diǎn)，右無(wú)限系列的鏡像點(diǎn)電荷。取小球的中央位置為原點(diǎn)，取水平向右為取水平向右為x軸則當(dāng)帶電擺球在軸則當(dāng)帶電擺球在x位置時(shí)，各鏡像位置