線性時不變控制系統(tǒng)綜合與設計N素材PPT課件

1、本章主要內(nèi)容4.1 引言 4.2 狀態(tài)反饋4.3 閉環(huán)系統(tǒng)極點配置4.4 狀態(tài)觀測器4.5 MATLAB在閉環(huán)極點配置及狀態(tài)觀測器設計中的應用 第1頁/共51頁4.1 引言 本章重點講述對一個性能不好甚至不穩(wěn)定的被控系統(tǒng)，如何設計系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制律，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且具有優(yōu)良的動態(tài)響應。 狀態(tài)反饋包含系統(tǒng)全部狀態(tài)變量信息，是較輸出反饋更全面的反饋，這本是狀態(tài)空間綜合法的優(yōu)點，但并非所有被控系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量都可直接測量，這就提出了狀態(tài)重構問題，即能否通過可測量的輸出及輸入重新構造在一定指標下和系統(tǒng)真實狀態(tài)等價的狀態(tài)估值？1964年，Luenberger提出的狀態(tài)觀測器理論有效解決了這一問題。狀

2、態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器設計是狀態(tài)空間綜合法的主要內(nèi)容，故如何設計狀態(tài)觀測器重構出所需狀態(tài)估值也是本章重點講述內(nèi)容之一。 第2頁/共51頁4.2 狀態(tài)反饋與輸出反饋 圖4-1為多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)反饋結(jié)構圖。設圖4-1虛線框內(nèi)所示多輸入多輸出線性定常被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達式為 )(DC,B,A,oDuCxBuAxxy(4-1)式中， 分別為n維, ,r維和m維列向量；A,B,C,D分別為 實數(shù)矩陣。 y,u,xrmnmrnnn,狀態(tài)反饋第3頁/共51頁圖4-1 多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)反饋結(jié)構 第4頁/共51頁若被控系統(tǒng)D=0，可簡記為 ，對應的狀態(tài)空間表達式為 )(CB,A,oCxBuAxxy（

3、4-2） 圖4-1采用線性直接狀態(tài)反饋（簡稱狀態(tài)反饋）構成閉環(huán)系統(tǒng)以改善原被控系統(tǒng)的性能，即將被控系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量乘以相應的反饋增益值，然后反饋到輸入端與參考輸入v一起組成狀態(tài)反饋控制律，作為被控系統(tǒng)的控制量u。由圖4-1顯見，狀態(tài)反饋控制律（即被控系統(tǒng)的控制量u）為狀態(tài)變量的線性函數(shù) 第5頁/共51頁Fxvu（4-3） 式中，v為r維參考輸入列向量；F為 狀態(tài)反饋增益矩陣，且其為實數(shù)陣。 nr 將式（4-3）代入式（4-1）, ,可得采用狀態(tài)反饋構成的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為 DvxDFCBvxBFAx)()(y（4-4） 若D=0，則式（4-4）可簡化為式（4-5），即 第6頁/共51

4、頁CxBvxBFAxy)( (4-5) ) 式( (4-5) )可簡記為 ，其對應的傳遞函數(shù)矩陣為 )(CB,BF,AFBBFAICW1)()(ssF(4-6)第7頁/共51頁4.3 閉環(huán)系統(tǒng)極點配置 本節(jié)主要討論兩方面的問題：其一，閉環(huán)極點可任意配置的條件；其二，如何設計反饋增益陣使閉環(huán)極點配置在期望極點處。為簡單起見，僅討論單輸入單輸出系統(tǒng)。 1.采用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點的充分必要條件采用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點的充分必要條件 定理 采用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點的充分必要條件是被控系統(tǒng) 狀態(tài)完全能控。 )(CB,A,o第8頁/共51頁(1).若被控系統(tǒng) 狀態(tài)完全能控，且設其特征多項式和

5、傳遞函數(shù)分別為 )(CB,A,oCxyBuAxx 0111det)(asasasssfnnnAIo(4-10)01110122111)()(asasasbsbsbsbssGnnnnnnnBAICo(4-11)2. 采用狀態(tài)反饋配置閉環(huán)極點的方法采用狀態(tài)反饋配置閉環(huán)極點的方法 第9頁/共51頁 (2).由給定的期望閉環(huán)極點組 ，可寫出期望閉環(huán)特征多項式 ),(nii2101111)()(asasassspnnnnii(4-12) (3).求狀態(tài)反饋增益矩陣 ，方法有二: : 解聯(lián)立方程的方法； 規(guī)范型方法。 下面分別講解。 110nfffF第10頁/共51頁 方法一 解聯(lián)立方程 設狀態(tài)反饋增益陣

6、 ，則閉環(huán)系統(tǒng) 的特征多項式為 110nfffF)(FCB,BF,A 0111110F ),()(det)(asasasfffspsspnnnnFBFAI(4-13)而由給定的期望閉環(huán)極點組 , ,可確定如式(4-12)所示的期望閉環(huán)特征多項式。為將閉環(huán)極點配置在期望位置，應令式(4-13)與式(4-12)相等，即令 ，由兩個n階特征多項式對應項系數(shù)相等，可得n個關于 的聯(lián)立代數(shù)方程，若 能控，解聯(lián)立方程可求出唯一解。 ),(nii21)()(spspF110nfff)(oCB,A,第11頁/共51頁xCyuBxAx（4-15） 式中12101121011000,100001000010nnn

7、bbbbaaaaccccCTCBTBATTA（4-16） (1)通過如下變換（設 為能控標準型變換矩陣） cTxTxc（4-14） 將 化為能控標準型 ，即 )(oCB,A,_o)(C,B,A方法二 規(guī)范型方法 第12頁/共51頁(2)針對能控標準型 引入狀態(tài)反饋 _o)(C,B,AxF vu(4-17)式中， ，可求得對 的閉環(huán)系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達式仍為能控標準型，即 1210nffffFx_)(C,B,FBAFxCBxFBAxyv)(4-18)式中1111111nnncaaaBABBAT(4-19)第13頁/共51頁)()()()(10000100001011221100nnfafafaf

8、aFBA( (4-20) ) 則閉環(huán)系統(tǒng) 的特征多項式和傳遞函數(shù)分別為 _F)(C,B,FBA)()()()(det)(0011111fasfasfassspnnnnFBAIF（4-21） )()()()()(00111110122111fasfasfasbsbsbsbssGnnnnnnnnBFBAICF（4-22） 第14頁/共51頁 (3)事實上，由給定的期望閉環(huán)極點組 ，可寫出期望閉環(huán)特征多項式 ),(nii2101111)()(asasassspnnnnii(4-23)令式（4-23）與式（4-21）相等，可解出能控標準型使閉環(huán)極點配置到期望極點的狀態(tài)反饋增益矩陣為 _)(C,B,Ao

9、111100110nnnaaaaaafffF(4-24)第15頁/共51頁(4) 將式（4-14） 代入式（4-18） 得 xFvxTFvxFvuc1（4-25） 則原被控系統(tǒng) 即對應于狀態(tài)x引入狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點配置到期望極點的狀態(tài)反饋增益矩陣為 )(CB,A,o1cTFF（4-26） xF vuxTxc第16頁/共51頁例4-1. 被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達式為 試設計狀態(tài)反饋增益矩陣F，使閉環(huán)系統(tǒng)極點配置為 和 ，并畫出狀態(tài)變量圖。 )(oCB,A,xyuxx11101031j1j1解解 (1) 判斷可控性nABBQc21130rank)(rankrank所以被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，可通過狀

10、態(tài)反饋任意配置閉環(huán)系統(tǒng)極點。 第17頁/共51頁(2) 確定閉環(huán)系統(tǒng)期望特征多項式 閉環(huán)系統(tǒng)期望極點為 ，對應的期望閉環(huán)特征多項式為 j 1*2, 122)1)(1()()(221ssjsjssssp則 , 。 21a20a(3)求滿足期望極點配置要求的狀態(tài)反饋增益矩陣 10ffF第18頁/共51頁 方法一 解聯(lián)立方程 對被控系統(tǒng) ，引入 狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng) 特征多項式為 )(oCB,A,21ffF )(FCB,BF,A 13 131)(det)(101210ffsfsfsfssspFBFAI令 ，即 比較等式兩邊同次冪項系數(shù)得如下聯(lián)立方程 )()(spspF221321012ssffsfs

11、2132101fff解之得 ， 3/50f21f第19頁/共51頁 被控系統(tǒng) 的特征多項式為 )(oCB,A,11031)det()(2osssAI ssp則 ， 。 01a10a 根據(jù)式( (4-24)，能控標準型 對應的 下的狀態(tài)反饋增益陣 為 _o)(C,B,AxF 2302) 1(2110010aaaaffF將 化為能控標準型 的變換矩陣 為 )(oCB,A,_o)(C,B,AcT 方法二 規(guī)范型方法 1103100111031011aBABTc第20頁/共51頁則 131031110311cT根據(jù)式(4-26)，原狀態(tài)x下的狀態(tài)反饋增益陣F應為 235131031231c10TFFf

12、f 第21頁/共51頁4.4 狀態(tài)觀測器 狀態(tài)反饋實現(xiàn)的前提是獲得系統(tǒng)全部狀態(tài)信息,然而,狀態(tài)變量并不一定是系統(tǒng)的物理量, 選擇狀態(tài)變量的這種自由性本是狀態(tài)空間綜合法的優(yōu)點之一,但這也使得系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量不一定都能直接量測;另一方面,有些狀態(tài)變量即使可測,但所需傳感器的價格可能會過高。狀態(tài)觀測或狀態(tài)重構問題正為了克服狀態(tài)反饋物理實現(xiàn)的這些困難而提出的,其核心是通過系統(tǒng)可量測參量(輸出及輸入)重新構造在一定指標下和系統(tǒng)真實狀態(tài) 等價的估計狀態(tài)或重構狀態(tài) ,且常采用式(4-27)所示的漸近等價指標,即 )(tx)( tx第22頁/共51頁0ttxtxxtt)(lim)()( lim(4-27)

13、式中, 為觀測誤差。實現(xiàn)狀態(tài)重構的系統(tǒng)稱為狀態(tài)觀測器, 式(4-27)也稱觀測器存在條件。 當觀測器重構狀態(tài)向量的維數(shù)等于被控系統(tǒng)狀態(tài)向量維數(shù)時,分別稱為全維狀態(tài)觀測器。 當觀測器重構狀態(tài)向量的維數(shù)小于被控系統(tǒng)狀態(tài)向量維數(shù)時,分別稱為降維狀態(tài)觀測器。 )(tx第23頁/共51頁圖4-4 閉環(huán)(漸近)狀態(tài)觀測器 圖4-4中, G為 輸出偏差反饋增益矩陣(m為系統(tǒng)輸出變量的個數(shù))，且其為實數(shù)陣。由圖可得閉環(huán)狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為 mn BuGyxGCA BuGyxGCxABuyyGxAx)()(4-29)第24頁/共51頁 閉環(huán)觀測器極點配置閉環(huán)觀測器極點配置 1. 閉環(huán)觀測器極點任意配置的充分必

14、要條件閉環(huán)觀測器極點任意配置的充分必要條件 定理 圖4-4中的閉環(huán)狀態(tài)觀測器的極點可任意配置的充分必要條件是被控系統(tǒng) 能觀測。 )(oCB,A,第25頁/共51頁2. 輸出偏差反饋增益矩陣輸出偏差反饋增益矩陣G的設計的設計 全維閉環(huán)狀態(tài)觀測器的設計就是確定合適的輸出偏差反饋增益矩陣G,使A-GC具有期望的特征值,從而使由式(4-29)描述的觀測誤差動態(tài)方程以足夠快的響應速度漸近穩(wěn)定。 狀態(tài)完全能觀測的單輸入單輸出系統(tǒng), ,閉環(huán)觀測器的極點配置設計可仿照4.3節(jié)介紹的狀態(tài)完全能控的單輸入單輸出系統(tǒng)用狀態(tài)反饋進行閉環(huán)極點配置的設計方法進行。分別有兩種方法 ：聯(lián)立方程方法；規(guī)范型方法。第26頁/共5

15、1頁(1)若單輸入單輸出系統(tǒng) )(CB,A,oCxyBuAxx 狀態(tài)完全能觀，其特征多項式為 0111asasasAI ssfnnnodet)(4-31)設 為閉環(huán)狀態(tài)觀測器系統(tǒng)矩陣期望特征值，對應的期望特征多項式為 ), 2, 1(nii01111asasassspnnnnii)()(4-32)第27頁/共51頁 若 為能觀標準型,則所需的觀測器偏差反饋增益矩陣為 )(oCB,A,111100nnOaaaaaaG(4-33) 若 不為能觀標準型,則可采用如下變換（設 為能觀標準型變換陣） )(oCB,A,oTxTxo(4-34)第28頁/共51頁將系統(tǒng))(oCB,A,CxyBuAxx _o)

16、(C,B,AxCyuBxAx化為能觀標準型其中1000100010001000112101oonooCTCBTBaaaaATTA,第29頁/共51頁則先用式（4-33）求出能觀標準型 對應的 下的觀測器增益矩陣 , ,然后再將 下求得的 變換到原狀態(tài)x下,即得重構系統(tǒng) 狀態(tài)x所需的觀測器偏差反饋增益矩陣為 _o)(C,B,AxoGx)(oCB,A,oG111100110nnooonaaaaaaTGTgggG(4-35) 11111o111CCACAaaaTnnn(4-36)第30頁/共51頁例4-2.被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達式為 )(oCB,A,xyuxx11101031試設計全維狀態(tài)觀測器使

17、其極點為-3，-3。 解: :(1)判斷能觀性nrankCACrankQranko22111)(所以系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀，可建立狀態(tài)觀測器, , 且觀測器的極點可任意配置。 第31頁/共51頁(2) 確定閉環(huán)狀態(tài)觀測器系統(tǒng)矩陣的期望特征多項式 觀測器系統(tǒng)矩陣 的期望特征值為 ，對應的期望特征多項式為 GCA 321*96) 3)(3()()(221sssssssp則 ， .90a61a(3) 求所需的觀測器偏差反饋增益矩陣 TggG10 規(guī)范型方法 在例4-1中已求得系統(tǒng) 的特征多項式為 )(oCB,A,1)(2o ssp，則 ， 。 01a10a第32頁/共51頁 根據(jù)式（4-33），能觀標準型

18、 對應的 下的狀態(tài)觀測器增益矩陣為 _o)(C,B,Ax61006191100)(aaaaGo按式（4-36）將 化為能觀標準型 的變換矩陣為 )(oCB,A,_o)(C,B,A11211121112110011011111CCAaTo則根據(jù)式（4-35），重構系統(tǒng) 狀態(tài)x所需的觀測器偏差反饋增益矩陣G為 )(oCB,A,426101121110010aaaaTGTggGooo第33頁/共51頁解聯(lián)立方程方法 與狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)極點配置的情況類似, ,若系統(tǒng)是低階的, ,將觀測器偏差反饋增益矩陣G直接代入所期望的特征多項式往往較為簡便。觀測器系統(tǒng)矩陣 的特征多項式為 GCA1213110310

19、00110211001100ggsggsgsgggs ggggssGCAI sspo)(det)(det)(第34頁/共51頁令 ，即 比較等式兩邊同次冪項系數(shù),得如下聯(lián)立方程 )()(spspo9612201102ssggsggs)(91261010gggg解得 ， 20g41g(4) 由式(4-28),觀測器的狀態(tài)方程為 )(42101031)(yyuxyyGuBxAx第35頁/共51頁圖4-5 例4-2圖 或 uyxuByGxGCAx10425411)( 被控系統(tǒng)及全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)變量圖如圖4-5(a)或圖4-5 (b)所示。 第36頁/共51頁4.5 4.5 采用狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反

20、饋系統(tǒng)采用狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng) 帶有全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)如圖帶有全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)如圖4-64-6所示。所示。 圖圖4-6 4-6 帶有漸近狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)帶有漸近狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng) 第37頁/共51頁 設能控且能觀的被控系統(tǒng)設能控且能觀的被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間的狀態(tài)空間表達式為表達式為 )(oCB,A,CxBuAxxy(4-66) 漸近狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為漸近狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為 BuGyxGCAx)(4-67) 利用觀測器的狀態(tài)估值利用觀測器的狀態(tài)估值 所實現(xiàn)的狀態(tài)反饋控制所實現(xiàn)的狀態(tài)反饋控制律為律為 x (4-68) xFvu 將式（將式（4-684

21、-68）代入式（）代入式（4-664-66）、式（）、式（4-674-67）得整）得整個閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為個閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 第38頁/共51頁CxBvGCxxBFGCAxBvxBFAxxy)(（4-69） 式（式（4-694-69）寫成矩陣形式，即）寫成矩陣形式，即 xx0CyvBBxxBFGCAGCBFAxx(4-70) 這是一個這是一個2 2n n維的復合系統(tǒng)。為便于研究復合系統(tǒng)的基維的復合系統(tǒng)。為便于研究復合系統(tǒng)的基本特性，對式本特性，對式(4-70)(4-70)進行線性非奇異變換進行線性非奇異變換 第39頁/共51頁xxxII0Ixxnnn (4-71) 則則xx0

22、Cyv0BxxGCA0BFBFAxx （4-72） 根據(jù)式（根據(jù)式（4-724-72）可得）可得2 2n n維復合系統(tǒng)的特征多項維復合系統(tǒng)的特征多項式為式為 第40頁/共51頁)()()()(GCAIBFAIGCAI0BFBFAInnnnssss (4-73) 式（式（4-734-73）表明）表明, , 由觀測器構成狀態(tài)反饋的由觀測器構成狀態(tài)反饋的2 2n n維維復合系統(tǒng)，其特征多項式等于矩陣復合系統(tǒng)，其特征多項式等于矩陣A-BFA-BF的特征多項式的特征多項式 與矩陣與矩陣A-GCA-GC的特征多項式的特征多項式 的乘積。即的乘積。即2 2n n維復合系統(tǒng)的維復合系統(tǒng)的2 2n n個特征值由

23、相互獨立的個特征值由相互獨立的兩部分組成：一部分為直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣兩部分組成：一部分為直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A-BFA-BF的的n n個特征值；另一部分為狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)矩個特征值；另一部分為狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)矩陣陣A-GCA-GC的的n n個特征值。復合系統(tǒng)特征值的這種性質(zhì)稱個特征值。復合系統(tǒng)特征值的這種性質(zhì)稱為分離特性。為分離特性。 )(BFAIns)(GCAIns第41頁/共51頁 只要被控系統(tǒng)只要被控系統(tǒng) 能控能觀，則用狀態(tài)觀測能控能觀，則用狀態(tài)觀測器估值形成狀態(tài)反饋時，可對器估值形成狀態(tài)反饋時，可對 的狀態(tài)反饋控的狀態(tài)反饋控制器及狀態(tài)觀測器分別按各自的要求進行獨立設計制器

24、及狀態(tài)觀測器分別按各自的要求進行獨立設計, ,即即先按閉環(huán)控制系統(tǒng)的動態(tài)要求確定先按閉環(huán)控制系統(tǒng)的動態(tài)要求確定A-BFA-BF的特征值，從的特征值，從而設計出狀態(tài)反饋增益陣而設計出狀態(tài)反饋增益陣F F；再按狀態(tài)觀測誤差趨于零；再按狀態(tài)觀測誤差趨于零的收斂速率要求確定的收斂速率要求確定A-GCA-GC的特征值，從而設計出輸出的特征值，從而設計出輸出偏差反饋增益矩陣偏差反饋增益矩陣G G; ;最后，將兩部分獨立設計的結(jié)果最后，將兩部分獨立設計的結(jié)果聯(lián)合起來，合并為帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)。聯(lián)合起來，合并為帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)。)(oCB,A,)(oCB,A,第42頁/共51頁【例4-3】被

25、控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達式為 )(oCB,A,xxx11101031yu試設計極點為-3,-3-3,-3的全維狀態(tài)觀測器，構成狀態(tài)反饋系統(tǒng)，使閉環(huán)極點配置為 和 。 j1j1解解 顯然，被控系統(tǒng) 能控能觀，可分別獨立設計狀態(tài)反饋增益陣F和觀測器偏差反饋增益矩陣G。 )(oCB,A, 例4-1中已求出此被控系統(tǒng)采用直接狀態(tài)反饋使其即為本題所設計的狀態(tài)反饋增益陣 23521ffF閉環(huán)極點配置為-1+-1+j和-1-1-j所需的，。第43頁/共51頁 而在例4-24-2中已求出此被控系統(tǒng)無狀態(tài)反饋時，即為本題所設計的觀測器偏差反饋增益矩陣G G。 4221ggG使觀測器極點配置為-3,-3-3,-3所需的的，其 故設計好的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量圖如圖故設計好的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量圖如圖4-84-8所示。所示。 第44頁/共51頁圖4-8 例4-3圖 第45頁/共51頁4.6 MATLAB在閉環(huán)極點配置及狀態(tài)觀測器設計中的應用 MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中提供了極點配置函數(shù)place( )和acker( ),可用于求解狀態(tài)反饋增益矩陣。其中, 函數(shù)place( )可求解多變量系統(tǒng)的極點配置問題,但該函數(shù)不適用于含