線性代數(shù)1.5PPT課件

1、,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa一、余子式與代數(shù)余子式一、余子式與代數(shù)余子式2223212321221 11 21 3111213323331333132( 1)( 1)( 1)aaaaaaaaaaaaaaa 第1頁(yè)/共31頁(yè)在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素

2、所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來(lái)的列劃去后，留下來(lái)的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 nija.Mij ，記記ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 定 義第2頁(yè)/共31頁(yè)引理引理 一個(gè)一個(gè) 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都為零，那么這外都為零，那么這行列式等于行列式等

3、于 與它的代數(shù)余子式的乘積，即與它的代數(shù)余子式的乘積，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 第3頁(yè)/共31頁(yè)222111211nnnpppnpppa aa證證當(dāng)當(dāng) 位于第一行第一列時(shí)位于第一行第一列時(shí),ijannnnnaaaaaaaD21222211100 即有.1111MaD 1 111111AM 又因?yàn)閺亩?1111111.Da Ma A2221121nnnpppnpppaaa第4頁(yè)/共31頁(yè)nnnjnijnjaaaaaaaD11111

4、00 ,1,2,1行行對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)第第行行第第行行行行依依次次與與第第的的第第把把 iiiD得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 , 11001 再證一般情形再證一般情形,此時(shí)此時(shí)第5頁(yè)/共31頁(yè) nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 ,1,2,1對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)列列第第列列第第列列列列依依次次與與第第的的第第再再把把 jjjD得得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1110011 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 第6頁(yè)/共31頁(yè)nnnjnijnjaaaaaaa

5、D1111100 中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijaija第7頁(yè)/共31頁(yè) nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 .1ijijjiMa 于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijMa ijaija.ijija A第8頁(yè)/共31頁(yè)定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘乘積之和，即積之和，即11

6、221=niiiiininikikkDa Aa Aa Aa A ni, 2 , 1 證證nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 二、二、行列式按行（列）展開(kāi)法則(Laplace 定理)第9頁(yè)/共31頁(yè)nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 第10頁(yè)/共31頁(yè)例例13351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115) 1(33 5526)1

7、(31 5028 .40 055026115 12rr 目的：降階目的：降階第11頁(yè)/共31頁(yè) 證證用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式式成成立立時(shí)時(shí)（當(dāng)當(dāng)12 n例例2證明范德蒙德證明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(第12頁(yè)/共31頁(yè)，階范德蒙德行列式成立階范德蒙德行列式成立）對(duì)于）對(duì)于假設(shè)（假設(shè)（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnn

8、nnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展開(kāi)開(kāi)，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi 11jjrrx從最后一行開(kāi)始，目的：降階第13頁(yè)/共31頁(yè))()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式弄清楚ix代表的具體數(shù)值1()ijn ijxx 的確切含義211113019pp例如，若求 的值p數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法第14頁(yè)/共31頁(yè)推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式行列式任一行（列）的元素與另一行（

9、列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即乘積之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 證證行行展展開(kāi)開(kāi)，有有按按第第把把行行列列式式j(luò)aDij)det( 第15頁(yè)/共31頁(yè),11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得換成換成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ji 11220.ijijinjna Aa Aa AD同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同第16頁(yè)/共31頁(yè)1,nikjkijka A

10、D代數(shù)余子式的性質(zhì)小結(jié)代數(shù)余子式的性質(zhì)小結(jié):1,0,;nkikjkDija Aij當(dāng)當(dāng)1,0,;nikjkkDija Aij當(dāng)當(dāng)1,0,.ijijij當(dāng)，其中當(dāng)1nikjkijka AD第17頁(yè)/共31頁(yè)習(xí)題一 10（5）求1111111111111111xxyy11111 0 1111 01111 0111xxyy解： 原式=11111111 1110 1111111011111110111xxxyyyy1111111000111000111000 xxxyyyy降階第18頁(yè)/共31頁(yè)0000000ababaa習(xí)題 13 （1）00 000 00 0 00 00na ba bDa bba10

11、0000( 1)000nbabbb 1( 1)nnnab 第19頁(yè)/共31頁(yè)12111111111nnaaDa習(xí)題 13 （2）121111 0 111 011naaa21111 11111naa1211011011naaa21110000naa231111111111naaaa1n 階第20頁(yè)/共31頁(yè)2iina 11na DnD同理1223nini nDaa D 12223()niinininDaaaa D 1112212iiininnaaa a Daa 111121123(1)iiii ni ni nnnaaaa aaaaaa 1111 2112iiii ni ni nnnnaaaaaa

12、 aaaa 遞推歸納第21頁(yè)/共31頁(yè)122222222232222nDn習(xí)題 13 （3）2 1 2 222 0 2 222 0 2 322 0 2 2n222222222232222n1 2220222+ 0232022n012220222003200002n2(2)!n 第22頁(yè)/共31頁(yè)0112111100100100nnaaDaa習(xí)題 14 （1）0121111100100100nnaaaaa121+11100100( 1)1001000nnaaa nna D121+1110000( 1)( 1)00nnnaaa 1.2n 時(shí)成立，112101()nnniiaa aaaa121na

13、aa1 2101()nnniia aaaaa利用歸納假設(shè)第23頁(yè)/共31頁(yè)15.1234422221234444412341111aaaaDaaaaaaaa1234222221234533333312444444312411111aaaayaaaayDaaaayaaaay記123414()()()()()ijj iy x y xy x y xxx 34 54( 1)yD3123414()()ijj iyxxxxxx 4+1階，加邊升階比較系數(shù)第24頁(yè)/共31頁(yè)4 54123414( 1)()()ijj iDxxxxxx 從而，由兩邊系數(shù)相等得即4123414()()ijj iDxxxxxx 第

14、25頁(yè)/共31頁(yè)分塊行列式分塊行列式:1112212211121112212221220000aaaaccbbccbbAOCBAB證明：左邊=221112111222212200aacbbcbb211 21211111221212200( 1)aacbbcbb 111211 222122bba abb111212 212122bba abb1112111221222122aabbaabbAB第26頁(yè)/共31頁(yè)例例111111111111kkkkknnnknnnaaOaaDccbbccbb設(shè)11111,kkkkaaDaa11121,nnnnbbDbb.21DDD 證明證明記第27頁(yè)/共31頁(yè)證明證明;0111111kkkkkpppppD 設(shè)設(shè)為為化為下三角形行列式化為下三角形行列式，把，把作運(yùn)算作運(yùn)算對(duì)對(duì)11DkrrDji 化化為為下下三三角角形形行行列列式式把把作作運(yùn)運(yùn)算算對(duì)對(duì)22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 設(shè)設(shè)為為第28頁(yè)/共31頁(yè),01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化化為為下下三三角角形形行行列列式式把把算算列列作作運(yùn)運(yùn)，再再對(duì)對(duì)后后行行作作運(yùn)運(yùn)算算的的