線性代數(shù)考研講義

1、WORD格式.可編輯考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)講義目錄第一講基本概念線性方程組矩陣與向量初等變換和階梯形矩陣線性方程組的矩陣消元法第二講 行列式完全展開式化零降階法其它性質(zhì)克萊姆法則第三講 矩陣乘法乘積矩陣的列向量和行向量矩陣分解矩陣方程逆矩陣伴隨矩陣第四講 向量組線性表示向量組的線性相關(guān)性向量組的極大無關(guān)組和秩矩陣的秩第五講 方程組解的性質(zhì)解的情況的判別基礎(chǔ)解系和通解第六講特征向量與特征值相似與對(duì)角化特征向量與特征值一概念，計(jì)算與應(yīng)用相似對(duì)角化一判斷與實(shí)現(xiàn)附錄一 內(nèi)積正交矩陣施密特正交化實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化第七講 二次型二次型及其矩陣可逆線性變量替換實(shí)對(duì)稱矩陣的合同標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化慣性指數(shù)正定二次型與正定

2、矩陣附錄二向量空間及其子空間附錄三兩個(gè)線性方程組的解集的關(guān)系附錄四 06,07年考題技術(shù)資料分享第一講 基本概念1 線性方程組的基本概念 線性方程組的一般形式為：a 11X 計(jì)ai2X2+ainXn=bl,a 21X 計(jì)a22X2+a2nXn=b2,斗 a mXl + amX2+ +amrX n=bm 其中未知數(shù)的個(gè)數(shù) n和方程式的個(gè)數(shù)m不必相等.線性方程組的解是一個(gè)n維向量(ki,k2,kn)(稱為解向量),它滿足：當(dāng)每個(gè)方程中的未知數(shù)xi都用k替代時(shí)都成為等式.線性方程組的解的情況有三種：無解，唯一解，無窮多解.對(duì)線性方程組討論的主要問題兩個(gè):(1)判斷解的情況.(2)求解,特別是在有無窮

3、多接時(shí)求通解.bl = b2= =bm=0的線性方程組稱為 齊次線性方程組.n維零向量總是齊次線性方程組的解，稱為零解.因此齊次線性方程組解的情況只有兩種：唯一解(即只要零解)和無窮多解(即有非零解).把一個(gè)非齊次線性方程組的每個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)都換成0,所得到的齊次線性方程組稱為原方程組的導(dǎo)出齊次線性方程組，簡(jiǎn)稱導(dǎo)出組.2. 矩陣和向量(1) 基本概念矩陣和向量都是描寫事物形態(tài)的數(shù)量形式的發(fā)展由m n個(gè)數(shù)排列成的一個(gè)m行n列的表格，兩邊界以圓括號(hào)或方括號(hào)，就成為一個(gè) m n型矩陣.例如2 -1z0 11、1 11022 54-29333-1 8/是一個(gè)4 5矩陣.對(duì)于上面的線性方程組，稱矩陣aA

4、=廠 11 a 12 -a中-a 2na廠11 a 12 a 1na 2naa21 a 22 -和(A|)=:a21 a 22m1 a m2 ajLam1 a m2 - a mnbmj為其系數(shù)矩陣和增廣矩陣.增廣矩陣體現(xiàn)了方程組的全部信息，而齊次方程組只用系數(shù)矩陣 就體現(xiàn)其全部信息.一個(gè)矩陣中的數(shù)稱為它的元素 ，位于第i行第j列的數(shù)稱為（i,j）位元素.元素全為0的矩陣稱為 零矩陣，通常就記作0.由n個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組稱為一個(gè) 書寫中可用矩陣的形式來表示向量?jī)蓚€(gè)矩陣A和B相等（記作A=B）,是指它的行數(shù)相等，列數(shù)也相等（即它們的類型相同）, 并且對(duì)應(yīng)的元素都相等.n維向量，稱這些數(shù)為它的 分量

5、.，例如分量依次是a1，a2，.，a n的向量可表示成a（ai，a2，_，an）或 a，但是作為矩陣，它們不一樣（左邊是1 n矩陣，右邊是請(qǐng)注意，作為向量它們并沒有區(qū)別n 1矩陣）.習(xí)慣上把它們分別稱為行向量和列向量.（請(qǐng)注意與下面規(guī)定的矩陣的行向量和列向量概念的區(qū)別.）一個(gè) mn的矩陣的每一行是一個(gè)n維向量，稱為它的行向量；每一列是一個(gè) m維向量，稱為它的列向量.常常用矩陣的列向量組來寫出矩陣，例如當(dāng)矩陣A的列向量組為1,2,., n時(shí)（它們都是表示為列的形式!）可記A=（1,2,., n）.矩陣的許多概念也可對(duì)向量來規(guī)定，如元素全為0的向量稱為零向量，通常也記作0.兩個(gè)向量 和 相等（記作

6、=）,是指它的維數(shù)相等，并且對(duì)應(yīng)的分量都相等.（2）線性運(yùn)算和轉(zhuǎn)置線性運(yùn)算是矩陣和向量所共有的，下面以矩陣為例來說明.力叭減）法：兩個(gè)m n的矩陣A和B可以相加（減），得到的和（差）仍是m n矩陣，記作 A+B （ A B）,法則為對(duì)應(yīng)元素相加（減）.數(shù)乘：一個(gè)mn的矩陣A與一個(gè)數(shù)c可以相乘，乘積仍為m n的矩陣，記作cA,法則為A 的每個(gè)元素乘c.這兩種運(yùn)算統(tǒng)稱為線性運(yùn)算，它們滿足以下規(guī)律: 加法交換律：A+B=BA 加法結(jié)合律：（A+B）+CA+（由C）. 加乘分配律：c（ A+E）=cA+cB（c+d） A=cA+dA. 數(shù)乘結(jié)合律：c（d） A=（cd） A c A=0：= c=0 或

7、 A=0.轉(zhuǎn)置：把一個(gè)m n的矩陣A行和列互換,得到的n m的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置,記作A（或A）. 有以下規(guī)律： （幻】A （a+bQA+eT （c A） T=cAT.轉(zhuǎn)置是矩陣所特有的運(yùn)算，如把轉(zhuǎn)置的符號(hào)用在向量上，就意味著把這個(gè)向量看作矩 陣了 .當(dāng) 是列向量時(shí)， T表示行向量，當(dāng) 是行向量時(shí)，T表示列向量.向量組的線性組合:設(shè)1，2,，s是一組n維向量，c譏2,，c s是一組數(shù)，則稱Cl1 + C22+Css為1,2,s的（以ci,c 2,c s為系數(shù)的）線性組合.n維向量組的線性組合也是n維向量.（3）n階矩陣與幾個(gè)特殊矩陣行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣稱為方陣，行列數(shù)都為n的矩陣也常常叫做 n階

8、矩陣.把n階矩陣的從左上到右下的對(duì)角線稱為它對(duì)角線.（其上的元素行號(hào)與列號(hào)相等.）下面列出幾類常用的 n階矩陣，它們都是考試大綱中要求掌握的.對(duì)角矩陣：對(duì)角線外的的元素都為0的n階矩陣.單位矩陣：對(duì)角線上的的元素都為1的對(duì)角矩陣，記作旦或I）.數(shù)量矩陣：對(duì)角線上的的元素都等于一個(gè)常數(shù)c的對(duì)角矩陣，它就是cE.上三角矩陣：對(duì)角線下的的元素都為 0的n階矩陣.下三角矩陣：對(duì)角線上的的元素都為 0的n階矩陣.對(duì)稱矩陣：滿足A=A矩陣.也就是對(duì)任何i,j,（i,j） 位的元素和（j,i） 位的元素總是相等 的n階矩陣.（反對(duì)稱矩陣：滿足A=-A矩陣.也就是對(duì)任何i,j,（i,j） 位的元素和（j ,i

9、）位的元素之和 總等于0的n階矩陣.反對(duì)稱矩陣對(duì)角線上的元素一定都是0.）3. 矩陣的初等變換和階梯形矩陣矩陣有以下三種初等行變換: 交換兩行的位置. 用一個(gè)非0的常數(shù)乘某一行的各元素. 把某一行的倍數(shù)加到另一行上.（稱這類變換為倍加變換）類似地，矩陣還有三種初等列變換,大家可以模仿著寫出它們，這里省略了 .初等行變 換與初等列變換統(tǒng)稱初等變換.階梯形矩陣：一個(gè)矩陣稱為階梯形矩陣，如果滿足： 如果它有零行，則都出現(xiàn)在下面. 如果它有非零行，則每個(gè)非零行的第一個(gè)非0元素所在的列號(hào)自上而下嚴(yán)格單調(diào)遞增.把階梯形矩陣的每個(gè)非零行的第一個(gè)非0元素所在的位置稱為臺(tái)角.簡(jiǎn)單階梯形矩陣：是特殊的階梯形矩陣，

10、特點(diǎn)為： 臺(tái)角位置的元素為1. 并且其正上方的元素都為0.每個(gè)矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣和簡(jiǎn)單階梯形矩陣.這種運(yùn)算是在線性代數(shù)的各類計(jì)算題中頻繁運(yùn)用的基本運(yùn)算，必須十分熟練.請(qǐng)注意：1. 一個(gè)矩陣用初等行變換化得的階梯形矩陣并不是唯一的，但是其非零行數(shù)和臺(tái)角位置是確定的 .2. 一個(gè)矩陣用初等行變換化得的簡(jiǎn)單階梯形矩陣是唯一的.4. 線性方程組的矩陣消元法線性方程組的基本方法即中學(xué)課程中的消元法：用同解變換 把方程組化為階梯形方程組(即增廣矩陣為階梯形矩陣的方程組).線性方程組的同解變換有三種： 交換兩個(gè)方程的上下位置. 用一個(gè)非0的常數(shù)乘某個(gè)方程. 把某個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上

11、.以上變換反映在增廣矩陣上就是三種初等行變換線性方程組求解的基本方法是消元法，用增廣矩陣或系數(shù)矩陣來進(jìn)行，稱為矩陣消元法. 對(duì)非齊次線性方程組步驟如下：(1) 寫出方程組的增廣矩陣(A|)，用初等行變換把它化為階梯形矩陣(BV).(2) 用(B| )判別解的情況：如果最下面的非零行為(0,0，0|d),貝憂解，否則有解.有解時(shí)看非零行數(shù)r(r不會(huì)大于未知數(shù)個(gè)數(shù)n)，r= n時(shí)唯一解；r<n時(shí)無窮多解.(推論:當(dāng)方程的個(gè)數(shù) m<n時(shí)，不可能唯一解.)(3) 有唯一解時(shí)求解的初等變換法：去掉(B| )的零行，得到一個(gè)n><n+1)矩陣(B|。)，并用初等行變換把它化為簡(jiǎn)單階

12、梯形 矩陣(E| )，則就是解.對(duì)齊次線性方程組：(1) 寫出方程組的系數(shù)矩陣A用初等行變換把它化為階梯形矩陣B(2) 用B判別解的情況：非零行數(shù)r=n時(shí)只有零解；r<n時(shí)有非零解(求解方法在第五章 講).(推論：當(dāng)方程的個(gè)數(shù) m<n時(shí)，有非零解.)討論題1. 設(shè)A是n階矩陣，則(A) A是上三角矩陣=A是階梯形矩陣.(B) A是上三角矩陣二A是階梯形矩陣.(C) A是上三角矩陣二A是階梯形矩陣.(D) A是上三角矩陣與A是階梯形矩陣沒有直接的因果關(guān)系.2. 下列命題中哪幾個(gè)成立 ？(1) 如果A是階梯形矩陣，則A去掉任何一行還是是階梯形矩陣.(2) 如果A是階梯形矩陣，則A去掉任

13、何一列還是是階梯形矩陣.(3) 如果(AB)是階梯形矩陣，則A也是階梯形矩陣.(4) 如果(AB)是階梯形矩陣，則B也是階梯形矩陣. 如果A是階梯形矩陣，則A和B都是階梯形矩陣B第二講行列式一.概念復(fù)習(xí)1. 形式和意義2形式：用n個(gè)數(shù)排列成的一個(gè)n行n列的表格，兩邊界以豎線，就成為一個(gè)n階行列式：a 11 a 12 a ina21 a 22 a 2nan1 a n2 a nn如果行列式的列向量組為 1,2,n,則此行列式可表示為|1,2,，n|.意義:是一個(gè)算式，把這n2個(gè)元素按照一定的法則進(jìn)行運(yùn)算，得到的數(shù)值稱為這個(gè)行列式的值.請(qǐng)注意行列式和矩陣在形式上和意義上的區(qū)別當(dāng)兩個(gè)行列式的值相等時(shí)，

14、就可以在它們之間寫等號(hào)?。ú槐匦问揭粯?，甚至階數(shù)可不同.）每個(gè)n階矩陣A對(duì)應(yīng)一個(gè)n階行列式，記作|A|.行列式這一講的的核心問題是值的計(jì)算，以及判斷一個(gè)行列式的值是否為0.2. 定義（完全展開式）2階和3階行列式的計(jì)算公式：a 11 a 12a2i a 22 = a iia22-a i2a2i .an a 12 a 13a2i a 22 a 23 = a 11322333+ a 12323*1+ a 13321332-313322331- a na23a32-a 12321333.a31 3 32 3 33般地，一個(gè)n階行列式311 a 123 1n321 3 22 3 2n3n1 3 n2

15、3 nn的值是許多項(xiàng)的代數(shù)和,每一項(xiàng)都是取自不同行，不同列的n個(gè)元素的乘積，其一般形式為332）2 3njn，這里把相乘的n個(gè)元素按照行標(biāo)的大小順序排列，它們的列標(biāo)j 1j 2- j n構(gòu)成1,2,n的一個(gè)全排列（稱為一個(gè)n元排列）,共有n!個(gè)n元排列，每個(gè)n元排列對(duì)應(yīng)一項(xiàng)，因此共有n!個(gè)項(xiàng).所謂代數(shù)和是在求總和時(shí)每項(xiàng)先要乘+1或-1.規(guī)定 （j q 2j n）為全排列j q 2j n的逆序數(shù)（意義見下面）,則項(xiàng)3仃3223njn所乘的是（_1）"jLjn）.全排列的逆序數(shù)即小數(shù)排列在大數(shù)右面的現(xiàn)象出現(xiàn)的個(gè)數(shù)逆序數(shù)可如下計(jì)算：標(biāo)出每個(gè)數(shù)右面比它小的數(shù)的個(gè)數(shù)，它們的和就是逆序數(shù)例如求4

16、36512的逆序數(shù):3 2 3 2 0 0436512,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.至此我們可以寫出n階行列式的值311 3 12a 1n321 3 22 3 2nj1j2 jn3njn 3n1 3 n2 3 nn這里 a 表示對(duì)所有n元排列求和.稱此式為n階行列式的 完全展開式j(luò)1 j2 ' Jn用完全展開式求行列式的值一般來說工作量很大.只在有大量元素為0,使得只有少數(shù)項(xiàng)不為0時(shí)，才可能用它作行列式的計(jì)算.例如對(duì)角行列式，上（下）三角行列式的值就等于主對(duì)角線上的元素的乘積,因?yàn)槠渌?xiàng)都為0.2. 化零降階法把n階行列式的第i行和第j列劃去后所得到的n-1階行列式

17、稱為（i,j）位元素aj的余 子式,記作M.稱Aj =（-1）田M為元素3j的代數(shù)余子式.定理（對(duì)某一行或列的展開）行列式的值等于該行（列）的各元素與其代數(shù)余子式乘積之 和.命題第三類初等變換（倍加變換）不改變行列式的值.化零降階法用命題把行列式的某一行或列化到只有一個(gè)元素不為0,再用定理.于是化為計(jì)算一個(gè)低1階的行列式化零降階法是實(shí)際計(jì)算行列式的主要方法，因此應(yīng)該熟練掌握3. 其它性質(zhì)行列式還有以下性質(zhì)： 把行列式轉(zhuǎn)置值不變，即| at|=| a . 某一行（列）的公因子可提出.于是,|c A|=c n| A|.則原行列式等于兩個(gè) 對(duì)一行或一列可分解，即如果某個(gè)行（列）向量行列式之和，這兩個(gè)

18、行列式分別是把原行列式的該行（列）向量 換為 或所得到的行列 式.例如1，計(jì)2| = |,1| + |,2|. 把兩個(gè)行（列）向量交換，行列式的值變號(hào). 如果一個(gè)行（列）向量是另一個(gè)行（列）向量的倍數(shù)，則行列式的值為0. 某一行（列）的各元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和=0. 如果A與B都是方陣（不必同階），則A *=A O =O B*BA|B|.1a n2 a n范德蒙行列式：形如a 1 a 2 a 32 2 2 a1a 2 a 3n-i n-i n-in-i1 a 2 a 3an的行列式（或其轉(zhuǎn)置）.它由a1，a 2，a 3,，a n所決定，它的值等于了(a j - ai)

19、.因此范德蒙行列式不等于0= a 1,a 2 ,a 3,a n兩兩不同.對(duì)于元素有規(guī)律的行列式（包括n階行列式）,常?？衫眯再|(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算，例如直接化為 三角行列式等4. 克萊姆法則克萊姆法則應(yīng)用在線性方程組的方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)n（即系數(shù)矩陣為n階矩陣）的情形.此時(shí)，如果它的系數(shù)矩陣的行列式的值不等于0,則方程組有唯一解，這個(gè)解為（D1/D, D 2/D,Dn/D）,這里D是系數(shù)行列式的值，D是把系數(shù)行列式的第i個(gè)列向量換成常數(shù)列向量所得到的行列 式的值.說明與改進(jìn)：按法則給的公式求解計(jì)算量太大，沒有實(shí)用價(jià)值.因此法則的主要意義在理論上，用在對(duì) 解的唯一性的判斷，而在這方面法則不夠.法則的改

20、進(jìn):系數(shù)行列式不等于 0是唯一解的充 分必要條件.實(shí)際上求解可用初等變換法：對(duì)增廣矩陣（A| ）作初等行變換，使得A變?yōu)閱挝痪仃嚕?A )t(E|“)，就是解用在齊次方程組上：如果齊次方程組的系數(shù)矩陣A是方陣，則它只有零解的充分必要條件是|A| -O典型例題1.利用性質(zhì)計(jì)算元素有規(guī)律的行列式例12 a a a a1-x 1 1 11+a 1 1 1a 2 aa a1 1+x1 1 22+a 2 2a a 2 a a .11 1+x1 .3 3 3+a 3 .a a a2 a1 1 11+x44 4 4+aa aa a 21234523451345124512351234例21 1+>-1

21、1+X1 1+X1-a1-a-1 1-a3 140.(960 -1 1-a0 0 0 -1 1-a2.測(cè)試概念與性質(zhì)的題例6 x 多項(xiàng)式f(x)= -7 5X+3 -9例7求x-3 ax-8 002f(x)= 5例8|A+B| .例9已知行列式3-3 1 -3 2x+2-2x 123x -2-6-1b x+12 1 x設(shè)4階矩陣A=(x -1 -y z+1，求f(x)的次數(shù)和最高次項(xiàng)的系數(shù)x4和x3的系數(shù).3), B=(1,2 ,3),| A| =2, | B|=3 ,求的代數(shù)余子式 An=-9,A 12=3,A13=-1,A 14=3,求 x,y,z.1 -z x+3 yy-2 x+1 0

22、z+3例10 求行列式3 0 4 02 2 2 20 -7 0 05 3 -2 23. 幾個(gè)n階行列式 兩類爪形行列式及其值例11ba 1 a 2 a 3 a n-1 a n證明 0 b 2 c 30 0 =0 0 0b n-1 c r的第四行各元素的余子式的和.(01)n二(_1) d H ) biai Cj .1 111 Cn i =4提示：只用對(duì)第1行展開(M1j都可直接求出).例 12a。a 1 a 2 a n-1 a nb1c 1000證明 b 20 C 200=nnaoD q -Z cJIICiaibC卅”|Cn .i Ai 4bn0 C n提示：只用對(duì)第1行展開(M1i都可直接求

23、出).另一個(gè)常見的n階行列式:例13證明a+b b 0a a+b b0 0 0a+b b0 0 0 a a+b提示：把第j列(行)的(-1)nn 1 n 1an 亠b"=(當(dāng) a -b 時(shí)).i =0a - bj-1倍加到第1列(行)上(j=2,n),再對(duì)第1列(行)展開.4. 關(guān)于克萊姆法則的題例14設(shè)有方程組x1+x2+x3=a+b+C,2 2 2-x1+bx2+cx3=a +b +C ,bcx1+acx2+abx3=3abc.(1) 證明此方程組有唯一解的充分必要條件為a,b,c兩兩不等.(2) 在此情況求解.參考答案433例 1(2+4a)(2-a). x (x+4). a

24、(a+10).例 2 1875.例 3 X 1X2X3X4+X2X3X4+X1X3X4+X1X2X4+X1X2X3.例 4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).2345例 5 1-a+a -a +a -a .例 6 9,-6例 7 1,-10.例 8 40.例 9 x=0,y=3,z=-1.例 10 -28.例 14 x 1=a,x 2=b,x 3=c.第三講 矩陣一.概念復(fù)習(xí)1. 矩陣乘法的定義和性質(zhì)定義2.1 當(dāng)矩陣A的列數(shù)和B的行數(shù)相等時(shí)，和A和B可以相乘，乘積記作AB AB的 行數(shù)和A相等，列數(shù)和B相等.AB的(i,j)位元素等于 A的第i個(gè)行向量和B的第j個(gè)列向

25、 量(維數(shù)相同)對(duì)應(yīng)分量乘積之和.設(shè) a廠 11 a 12 a 1nb廣 11 b 12 bc廠 11 c 12 c 1s、A=a21 a 22 a 2nB=b 21 b 22b 2sC=AB=C21 c 22 c 2sam1 a m2 a5ppn1 b n2 bsj,c_m1 c m2 c ms則cij =ai1 b1j +ai2 b2j + +ain bm.矩陣的乘法在規(guī)則上與數(shù)的乘法有不同 矩陣乘法有條件. 矩陣乘法無交換律. 矩陣乘法無消去律，即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由ABAC和 A0推不出B=C(無左消去律)由BA=CA和 A0推不出B=C (無右消去律)請(qǐng)注意不要犯

26、一種常見的錯(cuò)誤：把數(shù)的乘法的性質(zhì)簡(jiǎn)單地搬用到矩陣乘法中來矩陣乘法適合以下法則： 加乘分配律A(B+C)= AB+AC (A+B)C=AGBC 數(shù)乘性質(zhì)(c A)B=c(AB>. 結(jié)合律 (ABC= A(BC. (AB T=BTAT.2. n階矩陣的方幕和多項(xiàng)式任何兩個(gè)n階矩陣A和B都可以相乘，乘積AB仍是n階矩陣.并且有行列式性質(zhì)：I ab=| Al B|.如果AB=BA則說A和B可交換.方幕設(shè)k是正整數(shù),n階矩陣A的k次方幕Ak即k個(gè)A的連乘積.規(guī)定A0=E. 顯然A的任何兩個(gè)方幕都是可交換的，并且方幕運(yùn)算符合指數(shù)法則： AkAh = A k+h. (Ak)h= A kh.但是一般地(

27、AB k和Ak Bk不一定相等！n階矩陣的多項(xiàng)式設(shè) f(x)=a mxm+am-ixm-1+aix+ao,對(duì) n 階矩陣 A規(guī)定f( A)=amAm+am-1Am-1 + a1A+aoE稱為A的一個(gè)多項(xiàng)式.請(qǐng)?zhí)貏e注意在常數(shù)項(xiàng)上加單位矩陣E乘法公式 一般地，由于交換性的障礙，小代數(shù)中的數(shù)的因式分解和乘法公式對(duì)于n階矩陣的不再成立.但是如果公式中所出現(xiàn)的 n階矩陣互相都是乘法交換的，則乘法公式成立.例 如當(dāng)A和B可交換時(shí)，有：(A B)2=A_2ABB2;A- B2=(A+B)( A- B)=( A+B)( A- B).二項(xiàng)展開式成立：(A - B)幕=7等等.前面兩式成立還是 A和B可交換的充分

28、必要條件.同一個(gè)n階矩陣的兩個(gè)多項(xiàng)式總是可交換的.一個(gè)n階矩陣的多項(xiàng)式可以因式分解.3. 分塊法則矩陣乘法的分塊法則是簡(jiǎn)化矩陣乘法的一種方法.對(duì)兩個(gè)可以相乘的矩陣 A和B,可以先用縱橫線把它們切割成小矩陣(一切A的縱向切割和 B的橫向切割一致!),再用它們來作乘 法.(1) 兩種常見的矩陣乘法的分塊法則B 12<Ai A i2/giiB 22ni i Bi i +A 2B2 1A21B11+A22B21A 11B2+A2B22、A 21B2+A2R2要求Aij的列數(shù)Bk和的行數(shù)相等準(zhǔn)對(duì)角矩陣的乘法形如鼻00=A= 0A2 0的矩陣稱為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，其中A,Aa,，A都是方陣.兩個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣

29、fA 0- 0 、B 0- 0、A=0 A0 ,B=0B00 0-A0 0-耳，如果類型相同，即A和B階數(shù)相等，則AB 0AB= 0(2) 乘積矩陣的列向量組和行向量組設(shè)A是mn矩陣B是ns矩陣.A的列向量組為 i,2,n, B的列向量組為1, 2,s, AB的列向量組為1,2,s,則根據(jù)矩陣乘法的定義容易看出(也是分塊法則的特殊情形)： AB的每個(gè)列向量為：i=A i,i=1,2,s.即 A 1,2,s)= ( A 1, A 2,A s). =(b1,b2,b n) T,則 A = b 1 1+b2 2+bn n.應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)可以得到：如果i =(b1i ,b 2i ,bni)T,則i =

30、A I =b1i1 + b2i2+b nin.即:乘積矩陣AB的第i個(gè)列向量 i是A的列向量組 1,2,，n的線性組合，組合系數(shù)就是B的第i個(gè)列向量i的各分量.類似地，乘積矩陣AB的第i個(gè)行向量是 B的行向量組的線性組合，組合系數(shù)就是 A的 第i個(gè)行向量的各分量.以上規(guī)律在一般教材都沒有強(qiáng)調(diào)，但只要對(duì)矩陣乘法稍加分析就不難得出.它們無論在理論上和計(jì)算中都是很有用的(1) 當(dāng)兩個(gè)矩陣中，有一個(gè)的數(shù)字很簡(jiǎn)單時(shí)，直接利用以上規(guī)律寫出乘積矩陣的各個(gè)列 向量或行向量，從而提高了計(jì)算的速度.(2) 利用以上規(guī)律容易得到下面幾個(gè)簡(jiǎn)單推論：用對(duì)角矩陣從左側(cè)乘一個(gè)矩陣，相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的各

31、行向量；用對(duì)角矩陣從右側(cè)乘一個(gè)矩陣，相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的 各列向量數(shù)量矩陣kE乘一個(gè)矩陣相當(dāng)于用 k乘此矩陣；單位矩陣乘一個(gè)矩陣仍等于該矩陣 兩個(gè)同階對(duì)角矩陣的相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘求對(duì)角矩陣的方幕只需把對(duì)角線上的每個(gè)元素作同次方幕A的列向量組的線性組合時(shí)，可(3) 矩陣分解：當(dāng)一個(gè)矩陣C的每個(gè)列向量都是另一個(gè)以構(gòu)造一個(gè)矩陣B使得C=AB例如設(shè) A=( : , -, ), C=( :+21- ,3 : - + , :+2 ),令 1 3 1、B= 2 -1 0 , 則 C=AB(4) 初等矩陣及其在乘法中的作用對(duì)單位矩陣E作一次初等(行或列)變換,所得到的矩陣稱為

32、 初等矩陣有三類初等矩陣：日i,j):交換E的i,j兩行(或列)所得到的矩陣E(i(c):用非0數(shù)c乘E的第i行(或列)所得到的矩陣也就是把E的對(duì)角線上的第i 個(gè)元素改為c.E(i,j(c)(i-j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩陣，也就是把E的(i,j)位的元素改為c.命題對(duì)矩陣作一次初等行(列)變換相當(dāng)于用一個(gè)相應(yīng)的初等矩陣從左(右)乘它4. 矩陣方程和可逆矩陣(伴隨矩陣)(1) 矩陣方程矩陣不能規(guī)定除法，乘法的逆運(yùn)算是解下面兩種基本形式的矩陣方程：(I) AX=B.(II) XA=B這里假定 A是行列式不為 0的n階矩陣，在此條件下，這兩個(gè)方程

33、的解都是存在并且唯一 的.(否則解的情況比較復(fù)雜.)當(dāng)B只有一列時(shí)，(1)就是一個(gè)線性方程組由克萊姆法則知它有唯一解 如果B有s列， 設(shè)B=( 1,可逆矩陣的定義與意義定義 設(shè)A是n階矩陣，如果存在n階矩陣B,使得AB=E BA=E,則稱A為可逆矩陣. 此時(shí)B是唯一的，稱為A的逆矩陣，通常記作A-1.,s),則X也應(yīng)該有s列，記X=(Xi，冷 ，X0，則有AX= i ,i=1,2,s,這是s個(gè)線性方程組.由克萊姆法則，它們都有唯一解，從而AX=B有唯一解.這些方程組系數(shù)矩陣都是A,可同時(shí)求解，即得(1) 的解法：將A和B并列作矩陣(AB),對(duì)它作初等行變換，使得A變?yōu)閱挝痪仃?，此時(shí)B變?yōu)榻釾.

34、(A|B) >(E|X)(II)的解法：對(duì)兩邊轉(zhuǎn)置化為(I)的形式：AX=bt.再用解(I)的方法求出 乂,轉(zhuǎn)置得X.(At|Bt)t(日 乂)矩陣方程是歷年考題中常見的題型，但是考試真題往往并不直接寫成(I)或(II)的形式,要用恒等變形簡(jiǎn)化為以上基本形式再求解如果A可逆,則A在乘法中有消去律：AB=g B=0; AB=AC B=C.(左消去律)；BA=feB=0; BA=CA- B=C.(右消去律)如果A可逆,則A在乘法中可移動(dòng)(化為逆矩陣移到等號(hào)另一邊 ):-1-1A0C二 B=A C BA=J B=CA .由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法：1 1(I) AX=B 的解 X=A B

35、 .(II) XA=B 的解 X= BA-.這種解法想法自然，好記憶，但是計(jì)算量比初等變換法大(多了一次矩陣乘積運(yùn)算).(3) 矩陣可逆性的判別與性質(zhì)定理n階矩陣A可逆二| A如.證明對(duì)AAE兩邊取行列式，得|A|卞|=1,從而|A|=0.(并且|A-1|=| A|-1.)“u”因?yàn)閨 A如，矩陣方程AX=E和XA=E都有唯一解.設(shè)B C分別是它們的解，即A&E CA=E.事實(shí)上B=aB=ECABCE=C),于是從定義得到 A可逆.推論 如果A和B都是n階矩陣，則AB=亙BA=E.于是只要AB=E(或BA=E) 一式成立，則A和B都可逆并且互為逆矩陣可逆矩陣有以下性質(zhì)： 如果A可逆，則

36、A1也可逆，并且(A-1)-1=A.A也可逆，并且(小-1=(£)【1 11當(dāng)c=0時(shí)，c A也可逆，并且(cA)-=c A .對(duì)任何正整數(shù)k，Ak也可逆，并且(£)-1=()1(規(guī)定可逆矩陣 A的負(fù)整數(shù)次方幕A-k=(At) -1=(A-1)k.) 如果A和B都可逆，則AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A1.(請(qǐng)自己推廣到多個(gè)可逆矩陣乘 積的情形.)初等矩陣都是可逆矩陣，并且-1-1-1-1E(i,j)= E(i,j), E (i(c)=E(i(c), E(i,j(c)= E(i,j(-c).(4)逆矩陣的計(jì)算和伴隨矩陣 計(jì)算逆矩陣的初等變換法當(dāng)A可逆時(shí)，A-1是矩陣方

37、程AX=E的解,于是可用初等行變換求A1：-1(AE)t(日 A)這個(gè)方法稱為求逆矩陣的初等變換法.它比下面介紹的伴隨矩陣法簡(jiǎn)單得多 伴隨矩陣位元素的代數(shù)余子式，規(guī)定A的伴隨矩陣為若A是n階矩陣，記A是| A的(i,j) A11 A21 An1A*= A 12 A22 An2 =(Aij ) T.請(qǐng)注意，規(guī)定n階矩陣A的伴隨矩陣并沒有要求1A可逆，但是在A可逆時(shí)，A*和A有密切關(guān)系.基本公式：AA*=A*A=|A| E.于是對(duì)于可逆矩陣A,有A-1 =A*/| A|,即 A*=| A| A-1.因此可通過求 A*來計(jì)算A-1.這就是求逆矩陣的伴隨矩陣法.和初等變換法比較，伴隨矩陣法的計(jì)算量要大

38、得多，除非n=2, 一般不用它來求逆矩陣 對(duì)于2階矩陣a b * d -bc d = -c a t , 因此當(dāng)ad-bc =0時(shí),-ic-c ar-b'Jad-bq伴隨矩陣的其它性質(zhì) 如果A是可逆矩陣，則A*也可逆，并且(A*) -1= A/| A=( A-1)*. | A*|=| A n-1. (At)*=( A*) t.n 1 (c A)*=c - A*. (AE)*= B*A* ； (Ak)*=( A*) k. 當(dāng) n>2 時(shí),(A*)*=| A n-2代 n=2 時(shí),(A*)*= A.二典型例題1. 計(jì)算題例 1=(1,-2,3)=(1,-1/2,1 討論:(1) 一般地

39、，如果n階矩陣A=(2) 乘法結(jié)合律的應(yīng)用：遇到形如1門1?T, A= T,求 A6.T,則 Ak=(T ) k-1A=(trA )k-1A .T的地方可把它當(dāng)作數(shù)處理.=-1 1 -1，求T(2003 一) 設(shè)=(1,0,-1) T, A= T,求|a E-An|. n 維向量 =(a,0,0,a) T, a<0,A=E-T11t.,A-=E+a-,求 a. (03 三，四) n維向量 A=E-=(1/2,0,0,1/2)T, A=E-T,其中，都是n維非零列向量T, B=E+2T,求 AB (952,已知A=3E-2A,求例 2(1999 三)1 0設(shè)A =0 2 0，求 An-2

40、An-1.(n>1)例 31 0 0設(shè)A =1 0 1，(1)證明當(dāng) n>1 時(shí) A1=An-2+A2-E. (2) 求 AL丿例4設(shè)A為3階矩陣，1,2, 3是線性無關(guān)的3維列向量組，滿足A 1=計(jì) 2+3, A 2=2 2+3, A 3=2 2+3 3.求作矩陣B,使得A 1,2,3)=(1, 2,3) B. (2005 年數(shù)學(xué)四)例5設(shè)3階矩陣A=(1,2,求| B|.(05)3),| A|=1, B=(1+2+3,1 + 22 + 33,計(jì)42+93),例6 3維向量1,2,3, 1, 2,3滿足1+3+21 -2=0,3 1- 2+ 1-3 = 0,2+3-2+3=0,已

41、知1,2,3|=a,求|1,2,3|.例7設(shè)A是3階矩陣，是3維列向量，使得P=(,A,A2)可逆，并且A =3A -2 A2 .又3階矩陣B滿足A=PBP.(1)求 B(2)求|A+E|.(01 )求| B.(04例8 3階矩陣A, B滿足ABA=2 BA*+E,其中A=0 0 1例 93 -5 1 、設(shè) 3 階矩陣 A= 1 -1 0 ,A-1XA=XA+2A,求 X.-1 0 2 ,1A*X=A- +2X,求 X.例 101 1 -1 j設(shè)3階矩陣A= -1 1 1 ,1 -1 1 , 例11 4階矩陣A,B滿足ABA=BA1+3E已知1 0 . 0- 0 -A*= 0 1 0 0 ,求

42、 B. (00 一)1 0 1 00 -3Q 8123 0已知A=G 1 002 1 0 ,B =< 0 0 -10 0 0 ,2 1 3T11XA+2B=ABn2X,求 X .例 13 設(shè) 1=(5,1,-5) A 1=(4,3) T, A 求A.2=(1,-3,2)2=(7,-8)T, A 3=(5,-5)3=(1,-2,1)TT,矩陣A滿足2. 概念和證明題例14設(shè)A是n階非零實(shí)矩陣，滿足a*=AT.證明:(1)1 A>0.如果n>2,則| A|=1.例15設(shè)矩陣A=(a ij) 3 3滿足A*=AT,a n,a 12,a 13為3個(gè)相等的正數(shù)，則它們?yōu)?A)、3/3

43、.(B) 3. (C)1/3. (D)、3 . (2005 年數(shù)學(xué)三)例16設(shè)A和B都是n階矩陣，C=A 0則C*=10 B丿(A) |'A|A* 0. :B) I'BI B * 0 .J 0 I B B * 丿0 I、AIAJ(C) I廣rA| B 0 .D ) I廣BIA* 0 .J 0 | B| A*0 I1AI B* 丿例17設(shè)A是3階矩陣,交換A的1,2列得B再把B的第2列加到第3列上,得C求Q使得C=AQ例18設(shè)A是3階可逆矩陣，交換A的1,2行得B則(A) 交換A*的1,2行得到孑(B) 交換A*的1,2列得到B(C) 交換A*的1,2行得到-B*.(D) 交換A

44、*的1,2列得到-B*.(2005年)例19設(shè)A是n階可逆矩陣，交換A的i,j行得到B.(1) 證明B可逆.(2) 求 AB -1.2例20設(shè)n階矩陣A滿足A+3A-2 E=0.(1) 證明A可逆，并且求A1.(2)證明對(duì)任何整數(shù) c,A-cE可逆. 討論：如果f( A)=0,則(1) 當(dāng)f(x)的常數(shù)項(xiàng)不等于0時(shí),A可逆.f(c)-0時(shí),AcE可逆.(3) 上述兩條的逆命題不成立.例21設(shè)是n維非零列向量，記A=E-T.證明2T(1) A =心=1.(2) T =1 二 A 不可逆.(96 一) 討論：(2)的逆命題也成立.例22設(shè)AB都是n階矩陣，證明E-AB可逆二E-BA可逆.例23設(shè)3

45、階矩陣A, B滿足AB=A+B.(1) 證明A-E可逆.設(shè)戶0、B= 2 1 0 , 求 A丿(91)例24 設(shè)A B是3階矩陣，A可逆，它們滿足2A1 B=B-4 E(1)證明A-2 E可逆.設(shè)1-2 0>B= 1 2 0 , 求 A0 0 2 (2002)例25 設(shè)n階矩陣A, B滿足AB=aA+bB.其中ab .-0,證明(1) A-bE和B-aE都可逆.A可逆二B可逆.(3) AB=BA例26設(shè)A B都是n階對(duì)稱矩陣，E+AB可逆,證明(E+AB“A也是對(duì)稱矩陣?yán)?7設(shè)A, B都是n階矩陣使得A+B可逆,證明(1) 如果 AB=BA則 B(A+B)- A=A(A+B)- B(2)

46、 如果 A.B 都可逆，則耳 A+B)-1 A=A( A+B) -1B.(3) 等式 B( A+B)- A=A(A+B)- B 總成立.例28設(shè)A B, C都是n階矩陣，滿足B=E+AB CA+CA則B-C為(A) E(B) - E. (C) A. (D) - A (2005 年數(shù)學(xué)四)參考答案1 -1/21 3 5A=353 -3/ 1丿a 2(a-2 n).-1. E. 4.<1/3-2 1 2/3例例3.2 O.3 (1)n=2k提示：An=An-2+A2-An-2 (A2- E)=A2- E 二 A(A"- E)=A2- E.時(shí)，k 0n=2k+1 時(shí),4 1 B= 1

47、 *k 1勺01 2 2L31 0 0JA =11曠0心0k+15 2.6 - 4a.0Tb 01 0 37B=0上28 1/9.9 -610 4X=-4 1010 1?-2 4 20 0E+A|=-4(1/4) 0 1 1 .1 0 1例11護(hù)0 0 B=6 C0 3站12"0 0 、2 0 0 .七1丿2 -1 1-4 -2 乃._>(A).(D).0 1 1 、1 0 0 .I 1 J18 (D). 例 19E(i,j).例22提示：用克萊姆法則.例如證明=,即在E-AB可逆時(shí)證明齊次方程組 有零解.例 23 11/2 0 JA=0 0 2例 24 0 2A=0 0；2丿

48、例 25 提示:計(jì)算(A-bE)( B-aE). 例 28 (A).6 -13 :151617Q=0 |-1/3 1 0 .0 v-1 -1 0 .第四講向量組的線性關(guān)系與秩(E- BA)X=0 只一.概念復(fù)習(xí)1.線性表示關(guān)系設(shè)!,2,s是一個(gè)n維向量組.如果n維向量 等于1,2,s的一個(gè)線性組合，就說 可以用1,2,s線性表示.如果n維向量組 1, 2,t中的每一個(gè)都可以可以用 1, 2,s線性 表示,就說向量1 , 2,t可以用 1 , 2,s線性表示.判別“是否可以用1,2,方程X11+ X22+Xss=s線性表示?表示方式是否唯一？”就是冋：向量是否有解？解是否唯一？用分量寫出這個(gè)向量

49、方程，就是以1,2,s為增廣矩陣的線性方程組反之，判別“以 A為增廣矩陣的線性方程組是否有解？解是否唯一？”的問題又可轉(zhuǎn)化為“是否可以用 A的列向量組線性表示 ？表示方式是否唯一？”的問題向量組之間的線性表示問題與矩陣乘法有密切關(guān)系：乘積矩陣AB的每個(gè)列向量都可以表示為 A的列向量組的線性組合,從而AB的列向量組可以用 A的列向量組線性 表示；反之，如果向量組 1,2,，t可以用1,2,，s線性表示，則矩陣（1, 2,t）等于矩陣（1, 2,s）和一個(gè)S t矩陣C的乘積 C可以這樣構(gòu)造：它 的第i個(gè)列向量就是 i對(duì)1, 2,s的分解系數(shù)（C不是唯一的）.向量組的線性表示關(guān)系有傳遞性，即如果向量

50、組 1, 2,t可以用1, 2,s線性表示，而1, 2,s可以用1, 2,r線性表示，則1, 2,t可以用1, 2,r 線性表示.當(dāng)向量組 1 ,2,s和1,2,t互相都可以表示時(shí)就說它們等價(jià)并記作1,2,s三J2,t.等價(jià)關(guān)系也有傳遞性.2.向量組的線性相關(guān)性（1）定義（從三個(gè)方面看線性相關(guān)性） 線性相關(guān)性是描述向量組內(nèi)在關(guān)系的概念,它是討論向量組1,2,s中有沒有向量可以用其它的s-1個(gè)向量線性表示的問題.定義 設(shè)1,2,s是n維向量組，如果存在不全為0的一組數(shù)C1,C2,cs使得C11 + C22+Cs s = 0,則說 1,2,，s線性相關(guān)否則（即要使得C1計(jì)C22+Css=0,必須C1 ,C 2,C s全為0）就說它們線性無關(guān).于是，1, 2,s“線性相關(guān)還是無關(guān)” 也就是向量方程 X1 1+ X2 2+Xs s = 0“有沒有非零解”，也就是以（1, 2,s ）為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組有無非零解.當(dāng)向量組中只有一個(gè)向量（s=1）時(shí)，它相關(guān)（無關(guān)）就是它是（不是）零向量. 兩個(gè)向量的相關(guān)