參數(shù)方程的應(yīng)用

1、參數(shù)方程的應(yīng)用參數(shù)方程的應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題方法中，參數(shù)法是給人印象最深的一種，對參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義和物理意義的了我解，是正確選取參數(shù)的前提，正確的選取參數(shù)，往往能使得一些看似復(fù)雜的問題，變得簡單。一、利用參數(shù)方程求點(diǎn)的坐標(biāo)例 1、已知直線1 經(jīng)過點(diǎn) P ( 1， 2)，且傾斜角為，求直線 1 上到點(diǎn) P 的距離為 的點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：寫出 1 的參數(shù)方程之后，要求點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵在于對參數(shù)t 的幾何意義的了解。解：直線 1 的參數(shù)方程為x=1+tCos x=1+ t ( t 為參數(shù)) y=2+tStn 即 y=2+ t在直線 1 上到點(diǎn) P 的距離為 的點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù) t 滿足 |t|= 即 t

2、= ± ，代入 1 的參數(shù)方程，得 或 。 所以，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(3， 4)和(-1 ， 0)例 2、已知 P 為圓 x +y-6x-8y+21=0 上一點(diǎn)，且A (-1 ， 0)， B (1 ， 0)，求使|AP|+|BP| 為最小值的點(diǎn) P 的坐標(biāo)( x,y )。 分析：將圓配方， (x-3)+(y-4)=4, 圓上動點(diǎn) P 用參數(shù)形式給出，可使問題簡化。222222解：配方，得( x-3 ) +(y-4)=4圓的參數(shù)方程為設(shè)P(3+2cos0, 4+2sin 0)為圓上任意一點(diǎn)，則|AP|+|BP|=(3+2cos 0 +1)+(4+2sin 0 ) +(3+2cos 0 -

3、1)2+(4+2sin 0 )2=60+8(3cos 0 +4sin 0 )=60+40sin( 8 +6 )(其中：6 =arctan )當(dāng)sin( 0+6)=-1時(shí)，|AP|+|BP尸 取得最小值20。此時(shí)，8 + 6 = , 8 = - 6.cos 8 二-sin 6=-,sin 8 = -cos8 = -P 坐標(biāo)為(一、利用參數(shù)方程求長度例 3、已知橢圓+ =1 ，和點(diǎn) P ( 2， 1)，過 P 作橢圓的弦，使P 是弦的中點(diǎn)，求弦長。x=2+tcos e解：設(shè)弦所在的直線方程為：(t y=1+tsin022222222 為參數(shù))代入橢圓方程，得(2+tcos 0 ) +4(1+tsi

4、n0 ) =16化簡：得(cos 0 +4sin 0 ) +4(cos 0 +2sin 0 ) -8=0P 為中點(diǎn)，弦長 = 22222例 4、已知兩圓x +y=9 和( x-3 ) +y=27, 求大圓被小圓截得劣弧的長度。分析：兩圓交于 A 、 B 兩點(diǎn)，大圓圓心(3， 0)，要求出大圓被小圓截得劣弧的長，就要設(shè)法找出的大小，又由兩圓對稱性可知，只要找出 A C 與 x 軸正向夾我有即可。解：設(shè) A 點(diǎn)的坐標(biāo)為根據(jù)兩圓的對稱性可設(shè)( 3+3 cosa ， 3 sina )。根據(jù)兩圓的對稱性可設(shè)& a A也在小圓在，則有(3+3 cosa ) +(3 sina)=9即 18 cosa

5、=-27,cosa=-于是，a= , / ACB二大圓被小圓截得劣弧長為x =式二、利用參數(shù)方程求最值例 5、已知橢圓方程為，求它的內(nèi)接矩形的面積的最大值，x=acos 0y=btsin 0 8解：橢圓參數(shù)方程為222222 為參數(shù) )設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為（acos 0 ,bsin 0）（ 0為銳角）則矩形面積 S=4acos 0 - bsin 0 =2absin2 0 < 2ab:S max =2ab例 6、如圖，已知點(diǎn)P 在圓上 x +（y-2）= 上移動，點(diǎn)Q 在橢圓 x +4y=4 上移動，求|pQ| 的最大值。解：|pQ| &|PO' |+|O '

6、 Q|二 +|O ' Q|設(shè) Q（2cosa,sina），而 O ' （ 0,2 ）貝"O' Q|=4cosa+ （ sina-2 ）=-3（ sina+ ） +：|O' Q|< ：|pQ| W：|pQ| &的最大值是四、利用參數(shù)方程求軌跡例 7，已知拋物線y =x+1 ，定點(diǎn) A（3， 1） ， B 為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn) p 在線段 AB上，且有 BP ： PA=1： 2，當(dāng)點(diǎn)B 在拋物線上變動時(shí)，求點(diǎn) P 的軌跡方程。分析：設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 （x ， y） ，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ x 0+y0 ），由于 AP ： BP=2： 1，得

7、 x= ， y=即 x 0= ， y 0=由于 B（x0 ， y 0） 的拋物線 y =x+1 上，或 y 0= x0+1將代入，得（戶+1化簡得 3 y-2x-2y+1=0即 x= y-y+即 x= y2 2222222222 2222 ，此軌跡為拋物線。例8, /MON=60,邊長為 a的正三角形 APB在/ MON內(nèi)滑動，使得A始終在OM上，且O、P兩點(diǎn)在AB兩側(cè)，求P點(diǎn)的軌跡方程分析建立坐標(biāo)系后，根據(jù)已知條件可知P的位置由/ PBN的變化決定，設(shè)/ PBN=,e為參數(shù)，只需批出 p的坐標(biāo)(x , y)與e的關(guān)系式，可以得出 p點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方 程，參數(shù)可分為普遍方程。解：如圖建立起直角坐標(biāo)系，設(shè) p (x , y), /PBN=e, e為參數(shù)，且0&e&vZ AOBg AVP= ： / OAB= PBN=0在 OB 中，V , OB=x=OB+acos0 = asin0 +acos 0y=asin 0222 消去 0 得(x- y ) + y=a即 3x -4 xy+7y-3a =0 222而 x= asin( 0 +actan )(其中 0& 8 & ) 則arctan & 0 +arctan &+arctan:<s