《概率論第六章》ppt課件

1、希臘字母希臘字母, , , , , , , , , , , , , , , , , 第六章樣本及抽樣分布二二 、抽樣分、抽樣分布布一一 、隨機(jī)樣本、隨機(jī)樣本 100100個(gè)樣品進(jìn)展強(qiáng)度測試，于是面臨以下幾個(gè)問題：個(gè)樣品進(jìn)展強(qiáng)度測試，于是面臨以下幾個(gè)問題： 1、估計(jì)這批合金資料的強(qiáng)度均值是多少、估計(jì)這批合金資料的強(qiáng)度均值是多少?(參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問題參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問題2、強(qiáng)度均值在什么范圍內(nèi)？、強(qiáng)度均值在什么范圍內(nèi)？ (參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題3、假設(shè)規(guī)定強(qiáng)度均值不小于某個(gè)定值為合格，那么這、假設(shè)規(guī)定強(qiáng)度均值不小于某個(gè)定值為合格，那么這批資料能否合格？批資料能否合格？ (參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問題

2、參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問題4、這批合金的強(qiáng)度能否服從正態(tài)分布？、這批合金的強(qiáng)度能否服從正態(tài)分布？5、假設(shè)這批資料是由兩種不同工藝消費(fèi)的，那么不同、假設(shè)這批資料是由兩種不同工藝消費(fèi)的，那么不同(分布檢驗(yàn)問題分布檢驗(yàn)問題例如某廠消費(fèi)一型號的合金資料，用隨機(jī)的方法選取例如某廠消費(fèi)一型號的合金資料，用隨機(jī)的方法選取的工藝對合金強(qiáng)度有否影響？的工藝對合金強(qiáng)度有否影響？ 假設(shè)有影響，那一種工藝假設(shè)有影響，那一種工藝消費(fèi)的強(qiáng)度較好？消費(fèi)的強(qiáng)度較好？ (方差分析問題方差分析問題6、假設(shè)這批合、假設(shè)這批合金金由幾種原料用不同的比例合成，那么由幾種原料用不同的比例合成，那么如何表達(dá)這批合金的強(qiáng)度與原料比例之間的關(guān)系？如何

3、表達(dá)這批合金的強(qiáng)度與原料比例之間的關(guān)系？(回歸分析問題回歸分析問題我們依次討論參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)。我們依次討論參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)。下面首先引入一些數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的根底知識。下面首先引入一些數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的根底知識。隨 機(jī) 樣 本 第六章 第一節(jié)一一 、總、總 體體 二二 、樣、樣 本本 一一 、總體、總體研討對象的某項(xiàng)數(shù)量目的值的全體稱為總體。研討對象的某項(xiàng)數(shù)量目的值的全體稱為總體?？傮w中每個(gè)研討對象總體中每個(gè)研討對象(元素元素)稱為個(gè)體稱為個(gè)體(樣品樣品)。 一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研討對象。一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研討對象。例如：測試礦大全體男生的身高；例如：測試礦大全

4、體男生的身高；總體總體有限總體有限總體無限總體無限總體 總體可以用一個(gè)隨機(jī)變量總體可以用一個(gè)隨機(jī)變量 X X 及其分布來描畫。及其分布來描畫。此總體就可以用隨機(jī)變量此總體就可以用隨機(jī)變量X X 或其分布函數(shù)或其分布函數(shù)例如，研討某批燈泡的壽命時(shí)，例如，研討某批燈泡的壽命時(shí)，這批燈泡中每個(gè)這批燈泡中每個(gè)燈泡的壽命是我們所關(guān)懷的目的燈泡的壽命是我們所關(guān)懷的目的. . ( )F xP Xx表示表示. .( )F x二二 、樣本、樣本樣本：在總體中抽取的部分個(gè)體。樣本：在總體中抽取的部分個(gè)體。12(,)nXXX樣本容量：樣本中所含個(gè)體的數(shù)目樣本容量：樣本中所含個(gè)體的數(shù)目n 。定義定義 為了準(zhǔn)確地進(jìn)展判

5、別，對抽樣有所要求：為了準(zhǔn)確地進(jìn)展判別，對抽樣有所要求： 代表性：樣本的每個(gè)分量代表性：樣本的每個(gè)分量iX與總體與總體X 有一樣的有一樣的分布函數(shù)；分布函數(shù)； 獨(dú)立性：獨(dú)立性：12,nXXX為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，滿足以上條件的樣本滿足以上條件的樣本12(,)nXXX稱為來自總體稱為來自總體X 的容量為的容量為n 的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本簡稱樣本。的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本簡稱樣本。樣本的一次詳細(xì)實(shí)現(xiàn)樣本的一次詳細(xì)實(shí)現(xiàn)12( ,)nx xx稱為樣本值。稱為樣本值。結(jié)合分布函數(shù)為結(jié)合分布函數(shù)為121( ,)( )nniiFx xxF x結(jié)合概率密度為結(jié)合概率密度為121( ,)( )nni

6、ifx xxf x例題：設(shè)例題：設(shè)X1,X2,X3是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體N(75,100)的樣本的樣本,求：求：22212312312(1) () (2)(23) (3)2148E X X XDXXXPXX解：留意到解：留意到X1,X2,X3是相互獨(dú)立的，并且服從是相互獨(dú)立的，并且服從N(75,100)，而，而X12,X22,X22也是相互獨(dú)立的，從而有也是相互獨(dú)立的，從而有22212322()()()()()100755725E XE XE XD XEX2222223123123(1)()() () ()5725E X X XE XE XE X123123(2)(23)4()9()()

7、400900 1001400DXXXD XD XD X121487521483.261500PXX 12(3) 2(75,500)XXN抽 樣 分 布 第六章 第二節(jié)一一 、統(tǒng)計(jì)量的定義及常用的統(tǒng)計(jì)量、統(tǒng)計(jì)量的定義及常用的統(tǒng)計(jì)量 二二 、幾種常用的分布、幾種常用的分布 三三 、正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布、正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布 的函數(shù)，它把樣本中所含的某一方面的信的函數(shù)，它把樣本中所含的某一方面的信這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)由樣本值去推斷總體情況，由樣本值去推斷總體情況， 需求對樣本值進(jìn)需求對樣本值進(jìn)行行“加工，加工， 這就要構(gòu)造一些適宜的依賴于樣本這

8、就要構(gòu)造一些適宜的依賴于樣本計(jì)量。它是完全由樣本決議的量計(jì)量。它是完全由樣本決議的量. . 息集中起來。息集中起來。一、統(tǒng)計(jì)量的定義及常用的統(tǒng)計(jì)量一、統(tǒng)計(jì)量的定義及常用的統(tǒng)計(jì)量定義定義1 設(shè)設(shè) ),(21nXXXgnXXX,21是來自總體是來自總體X 的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本，為一實(shí)值延續(xù)函數(shù)，為一實(shí)值延續(xù)函數(shù)， 其不包含任何其不包含任何未知參數(shù)，那么稱未知參數(shù)，那么稱),(21nXXXg為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。),(21nxxxg為為的觀測值。的觀測值。注：注：仍為隨機(jī)變量。仍為隨機(jī)變量。),(21nxxxg是一個(gè)數(shù)。是一個(gè)數(shù)。),(21nXXXg),(21nXXXg例如例如 總體總體2(

9、 ,),XN nXXX,21是一個(gè)樣本，是一個(gè)樣本，那么那么nkknXXXXX1212212均為統(tǒng)計(jì)量。均為統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)當(dāng)2, 未知時(shí)，未知時(shí)，221212,/XXX均不是統(tǒng)計(jì)量。均不是統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)當(dāng)2, 知時(shí)，其為統(tǒng)計(jì)量。知時(shí)，其為統(tǒng)計(jì)量。下面引見幾種常用的統(tǒng)計(jì)量下面引見幾種常用的統(tǒng)計(jì)量1 1、樣本均值、樣本均值2 2、樣本方差、樣本方差nkkXnX11nkkXXnS122)(11設(shè)設(shè)nXXX,21是來自總體是來自總體X 的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本，它反映了總體它反映了總體X X 取值的平均值的信息，常用來估計(jì)取值的平均值的信息，常用來估計(jì)EXEX2211()1nkkXnXn 221121niiiX

10、X XXn22111niiSXXn22111121nnniiiiiXX XXn2211121nniiiiXXXnXn2221121niiXnXnXn22111niiXnXn2211()1niiSSXXn3、樣本規(guī)范差、樣本規(guī)范差4 4、樣本、樣本k k 階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩5 5、樣本、樣本k k 階中心矩階中心矩., 2 , 111nkXnAnikik, 2 , 1)(11kXXnBnikik它反映了總體它反映了總體 k k 階矩的信息。階矩的信息。可見可見212,1nXASBnniixnx11它們的察看值分別為：它們的察看值分別為：11)(11122122niiniixnxnxxnsniixx

11、ns12)(112 , 1,11kxnanikik2 , 1,)(11kxxnbnikik例例1 設(shè)總體設(shè)總體X 的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為2(),()E XD X212,(),(),().nXXXE XD XE S求其樣本為其樣本為11()niiE XEXn2211()niiD XDXnn22221111()()11nnkkkkSXXXnXnn 22()()()E XD XEX22211()()()1niiE SE XnE Xn22n22()()()iiiE XD XEX222222111ninnn22221()1nnn2)(22n記為記為nXXX,21222212nXXX21. 定義定義 設(shè)

12、設(shè)相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 都服從正態(tài)都服從正態(tài)分布分布N (0,1), 那么稱隨機(jī)變量：那么稱隨機(jī)變量：所服從的分布為自在度為所服從的分布為自在度為 n 的的分布分布.分布分布2(一一)二、幾種常用的分布二、幾種常用的分布2分布的密度函數(shù)為分布的密度函數(shù)為 000)2(21);(2122xxexnnxfxnn來定義。來定義。經(jīng)過積分經(jīng)過積分0,)(01 xdttexxt其中伽瑪函數(shù)其中伽瑪函數(shù))(x2分布的密度函數(shù)分布的密度函數(shù)單擊可播單擊可播放電影放電影2由由 分布的定義，不難得到：分布的定義，不難得到：),(2N相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 都服從都服從nXXX,21那么那么)()(121222nXni

13、i(1) 設(shè)設(shè)2 . 性質(zhì)性質(zhì)正態(tài)分布正態(tài)分布證明證明 由于由于2( ,)iXN (0,1),1,2, .iXNin所以所以又又 X1, X2 , , Xn 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，)(21221nnXX),(),(222121nXnX且且 X1,X2 相相這個(gè)性質(zhì)叫這個(gè)性質(zhì)叫 分布的可加性。分布的可加性。2(2) 設(shè)設(shè)互獨(dú)立，那么互獨(dú)立，那么也是相互獨(dú)立的。也是相互獨(dú)立的。12,nXXX由由2分布的定義可知的定義可知2222111() ( )nniiiiXXn那么可以求得，那么可以求得， E(X)=n, D(X)=2nE(X)=n, D(X)=2n(3) 假設(shè)假設(shè))(2nX證明證明22212nX

14、XXX(0,1)iXN22()()()1iiiE XD XEX，那么，那么2422()()()3 12iiiD XE XEX 所以所以22()()iEnE Xn22()()2iDnD Xn運(yùn)用中心極限定理可得，運(yùn)用中心極限定理可得， ，那么當(dāng)，那么當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，)(2nX假設(shè)假設(shè)nnX2的分布近似正態(tài)分布的分布近似正態(tài)分布N(0,1)。(4) c 2 分布的分位點(diǎn)分布的分位點(diǎn)10,稱滿足條件稱滿足條件22( )Pn分位點(diǎn)分位點(diǎn).為為)(2n分布的上分布的上的點(diǎn)的點(diǎn))(2n對于給定的正數(shù)對于給定的正數(shù))(2n查表可得查表可得20.1(25)34.382記為記為 T Tt (n)t (n

15、)。nYXT 所服從的分布為自在度為所服從的分布為自在度為 n 的的 t 分布分布.1. 定義定義: 設(shè)設(shè)XN(0,1) ,)(2nY那么稱變那么稱變量量, 且且X與與Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，二二t 分布分布T 的密度函數(shù)為：的密度函數(shù)為：212)1 ()2(2) 1();(nnxnnnnxf單擊可單擊可播放電播放電影影1具有自在度為具有自在度為n的的t分布的隨機(jī)變量分布的隨機(jī)變量T的的2t 分布的密度函數(shù)關(guān)于分布的密度函數(shù)關(guān)于x = 0 對稱，對稱，2. 性質(zhì)性質(zhì)E(T) = 0; D(T) = n / (n-2) , 對對n 2數(shù)學(xué)期望和方差為數(shù)學(xué)期望和方差為:當(dāng)當(dāng) n 充分大時(shí)，其圖形類似

16、于規(guī)范正態(tài)分布充分大時(shí)，其圖形類似于規(guī)范正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形。但對于較小的密度函數(shù)的圖形。但對于較小的 n，t 分布與分布與N (0,1) 分布相差很大。頁分布相差很大。頁3 t 分布的分位點(diǎn)分布的分位點(diǎn)對于給定的正數(shù)對于給定的正數(shù),01，稱滿足條件，稱滿足條件分位點(diǎn)。分位點(diǎn)。為為)(nt分布的上分布的上的點(diǎn)的點(diǎn))(nt( )P ttn)(nt)(nt)(1nt1( )( )tntn 45 ,( )ntnz),(),(2212nYnX21nYnXF 1.定義定義: 設(shè)設(shè)X與與Y相互相互獨(dú)立，那么稱統(tǒng)計(jì)量獨(dú)立，那么稱統(tǒng)計(jì)量服從自在度為服從自在度為三三F 分布分布n1及及 n2 的的F分布分布，

17、記作記作F F ( n1,n2)。即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自在度即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自在度n1.n1.(2) X的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為:2)(22nnXE假設(shè)假設(shè) n2 2(1) 由定義可見，由定義可見，121nXnYF F(n2,n1)2. 性質(zhì)性質(zhì)22122122(224)()(2) (4)nnnD Xnnn假設(shè)假設(shè) n2 4(3) F 分布的分位點(diǎn)分布的分位點(diǎn)對于給定的正數(shù)對于給定的正數(shù),01稱滿足條件稱滿足條件12(,)P FFn n分位點(diǎn)分位點(diǎn).分布的上分布的上的點(diǎn)的點(diǎn)12( ,)F n n12( ,)F n n112211( ,)(,)Fn nF n n為為12( ,

18、)F n n112211( ,)(,)Fn nF n n證明證明: 設(shè)設(shè)12( ,)FF n n1121( ,)P FFn n由定義由定義11211( ,)PFFn n112111( ,)PFFn n 11211( ,)PFFn n又由于又由于211/(,)FF n n211(,)PF n nF所以故故211121(,)( ,)F n nFn n 統(tǒng)計(jì)三大分布的定義、根本性質(zhì)統(tǒng)計(jì)三大分布的定義、根本性質(zhì)在后面的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，要牢在后面的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，要牢記！記！例例1 設(shè)總體設(shè)總體X , Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立22(0,3 ),(0,3 ),XNYN其樣本為其樣本為129129,XXXY Y

19、Y和試求統(tǒng)計(jì)量試求統(tǒng)計(jì)量129222129()XXXYYY服從什么分布？服從什么分布？解解 由知得由知得129(0,81)XXXN129(0,1)9XXXUN2222129(9)9YYYV所以所以129222129() (9)/9UXXXtVYYY例例2 設(shè)總體設(shè)總體X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布2(0,2 )N，其樣本為，其樣本為2211012152215,.2()XXX XXYXX求的分布解解 由知得由知得(0,4)iXN所以所以22221210(10)4XXXU2222125(5)4XXXV221102215/10(10,5)./52()UXXYFVXX故故例例3 知總體知總體X 服從自在

20、度為服從自在度為n 的的 t 分布，求證：分布，求證：2(1, ).XFn解解 由知得由知得 ( )/UXt nV nUV存在和使得其中其中2(0,1),( )UNVn故故222(1),( )UVn所以所以222/1(1, )/UUXFnV nV n221/( ,1)/1V nF nXU還能得還能得1、單個(gè)正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量的分布、單個(gè)正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量的分布 定理定理 1設(shè)設(shè) X1, X2 , , Xn 是取自正態(tài)總是取自正態(tài)總體體),(2 N的樣本，的樣本，2XS和分別為樣本均值和樣本方差，那么有分別為樣本均值和樣本方差，那么有22211() ( )niiXn222(1)(1)nSn2XS與相

21、互獨(dú)立相互獨(dú)立三、正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布三、正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布定理定理2 設(shè)總體設(shè)總體X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布212( ,),nNXXX 是是X 的樣本，的樣本，2XS和分別為樣本均值和樣本方差，那么有分別為樣本均值和樣本方差，那么有(0,1)/XNn (1)/Xt nSn證明：證明： 由于由于11niiXXn是樣本是樣本12,nXXX的線性組的線性組合，故合，故2( ,/ )XNn ，規(guī)范化后可得，規(guī)范化后可得(0,1)/XNn2XS和又由于又由于相互獨(dú)立，所以相互獨(dú)立，所以22(1)/XnSn和也相互獨(dú)立，那么由也相互獨(dú)立，那么由t 分布的定義得分布的定義得22/(1)/1XnnSn

22、(1)/Xt nSn2、兩個(gè)正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量的分布、兩個(gè)正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量的分布 定理定理 3設(shè)設(shè) X1, X2 , , Xn1 與與Y1, Y2 , , Yn2分別是分別是來自來自正態(tài)總體正態(tài)總體221122(,),(,)NN 的樣本，并且這兩個(gè)樣的樣本，并且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，記本相互獨(dú)立，記1111niiXXn2121niiYYn1221111()1nkkSXXn2222121()1nkkSYYn那么有那么有2211122222/(1,1)/SF nnS1212()(0,1)11XYNnn 當(dāng)當(dāng)222122221122122212(1)(1)(2)nSnSnn時(shí)時(shí)121212() (2)11XYt nnSnn22112212(1)(1)2nSnSSnn其中其中總體總體樣樣本本統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量描畫描畫作出推斷作出推斷隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣這一講，我們引見了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的根本概念這一講，我們引見了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的根本概念.熟記內(nèi)容，靈敏運(yùn)用！熟記內(nèi)容，靈敏運(yùn)用！例例4 設(shè)總體設(shè)總體X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布(80,400)N，其樣本為，其樣本為12100,|80| 3.X XXPX 求解解 由知得由知得(80,4)XN，得，得80(0,1)2XN3803|80| 31222XPXP 所以322 ( )2 220