計(jì)算機(jī)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）微分方程數(shù)值解

1、山 東 英 才 學(xué) 院畢 業(yè) 論 文 設(shè) 計(jì) 論 文 題 目： 微分方程數(shù)值解 二級(jí)學(xué)院 ： 計(jì)算機(jī)電子信息工程學(xué)院 學(xué)科專(zhuān)業(yè)： 計(jì)算機(jī)及應(yīng)用 學(xué) 號(hào)： 姓 名： 班 級(jí)： 指導(dǎo)教師： 論文提交時(shí)間： 山東英才學(xué)院教務(wù)處制 2011年 3 月 1 日畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）內(nèi)容介紹論文（設(shè)計(jì)）題 目微分方程數(shù)值解選題時(shí)間2010.11.20完成時(shí)間2011.3.9論文（設(shè)計(jì)）字?jǐn)?shù)33840關(guān) 鍵 詞微分方程，周期解，邊值問(wèn)題論文（設(shè)計(jì)）題目的來(lái)源、理論和實(shí)踐意義： 微分方程是數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題的主要橋梁之一，它是含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程。常微分方程的求解是現(xiàn)代科學(xué)研究和工程技術(shù)中經(jīng)常遇到的實(shí)際問(wèn)題

2、，然而，從實(shí)際問(wèn)趣中建立出來(lái)的微分方程往往具有非常復(fù)雜的形式，有些解析式難以計(jì)算，有些則根本不能用解析式來(lái)表達(dá)，所以利用數(shù)值解法叫求解實(shí)際問(wèn)題就顯得非常重要。論文（設(shè)計(jì)）的主要內(nèi)容及創(chuàng)新點(diǎn)： 如果未知函數(shù)的自變量是一個(gè)，稱(chēng)為常微分方程;自變量多于一個(gè)，稱(chēng)為偏微分方程。在科學(xué)研究和工程計(jì)算中碰到的許多微分方程，根本不存在解析解，或者求解析解的代價(jià)很大，求解過(guò)程過(guò)于復(fù)雜，在這種情況下，我們只能借助于數(shù)值計(jì)算來(lái)求方程的數(shù)值解。附：論文（設(shè)計(jì)）本人簽名： 年 月 日目 錄 中文摘要5第一章 常微分方程的解6第一節(jié) 常微分方程的基本概念 6 第二節(jié) 常微分方程的12步驟 10第三節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)的方程 14第

3、二章 遞增方程的應(yīng)用17第一節(jié) 遞增數(shù)列17第二節(jié) 數(shù)列的極限20第三章 與積分有關(guān)的數(shù)列的極限問(wèn)題24第一節(jié) 積分的應(yīng)用24第二節(jié) 單調(diào)定性的松弛法26第三節(jié) 松弛算法法的證明33第四章 簡(jiǎn)單的單步法及基本概念36 第一節(jié) 解初值問(wèn)題的梯形法36第二節(jié) 左矩形公式39 第三節(jié) 隱式 euler方法 40第4節(jié) 預(yù)估 校正euler方法 42參考文獻(xiàn)45摘要：常微分方程的形成和發(fā)展是與力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及其他自然科學(xué)技術(shù)的發(fā)展互相促進(jìn)和互相推動(dòng)的。本文第一章講述了常微分方程的發(fā)展歷史，第二章介紹了一系列常微分方程的周期解和邊值問(wèn)題，說(shuō)明了其研究現(xiàn)狀，第三章舉例說(shuō)明了其在生態(tài)學(xué)和軍事上的應(yīng)用。

4、無(wú)論在數(shù)學(xué)研究還是在自然科學(xué)以及其他應(yīng)用科學(xué)，常微分方程都顯現(xiàn)出其重要的理論和應(yīng)用價(jià)值。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步，常微分方程的理論和應(yīng)用不斷擴(kuò)大和深入，其作用也越來(lái)越被人們所重視。在數(shù)學(xué)應(yīng)用方面，它有著比通常導(dǎo)數(shù)更廣泛的應(yīng)用，對(duì)于導(dǎo)數(shù)不存在而對(duì)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)，我們就可以用對(duì)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)研究此類(lèi)函數(shù)的一些重要性質(zhì). 常微分方程研究的內(nèi)容包括解的基本性質(zhì)（如存在性、惟一性等）、解的解析表達(dá)式或近似的解析表達(dá)式、解的定性性質(zhì)以及解的數(shù)值解法。常微分方程的形成和發(fā)展是與力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及其他自然科學(xué)技術(shù)的發(fā)展互相促進(jìn)和互相推動(dòng)的。數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等都給常微分方程的

5、發(fā)展以深刻的影響。關(guān)鍵詞：微分方程，周期解，邊值問(wèn)題； 一 常微分方程的解（一）：常微分方程的基本概念1常微分方程初值問(wèn)題的一般提法常微分方程初值問(wèn)題的一般提法是求函數(shù)，滿(mǎn)足其中是已知函數(shù)，是已知值。假設(shè)在區(qū)域上滿(mǎn)足條件：（1）在上連續(xù)；（2）在上關(guān)于變量滿(mǎn)足lipschitz條件：， （1.3） 其中常數(shù)稱(chēng)為lipschitz常數(shù)。我們簡(jiǎn)稱(chēng)條件（1）、（2）的基本條件。由常微分方程的基本理論，我們有：定理1 當(dāng)在上滿(mǎn)足基本條件時(shí)，一階常微分方程初值問(wèn)題（1.1）、（1.2）對(duì)任意給定存在唯一解在上連續(xù)可微。定義1 方程（1.1）、（1.2）的解稱(chēng)為適定的，若存在常數(shù)和，對(duì)任意滿(mǎn)足條件及的和，

6、常微分方程初值問(wèn)題 （1.4）存在唯一解，且適定問(wèn)題的解連續(xù)依賴(lài)于（1.1）右端的和初值。由常微分方程的基本理論，還有：定理2 當(dāng)在上滿(mǎn)足基本條件時(shí)，微分方程（1.1）、（1.2）的解是適定的。我們?cè)诒菊轮屑僭O(shè)在上滿(mǎn)足基本條件，從而（1.1）、（1.2）的解存在且適定。一般的一階常微分方程組初值問(wèn)題是求解 （1.5）（15）的向量形式是 （1.5）其中記。類(lèi)似于定理1和定理2，我們有：定理3 若映射滿(mǎn)足條件(1) 在上是從到上的連續(xù)映射;(2) 在上關(guān)于滿(mǎn)足lipschits條件;任意。則常微分方程組初值問(wèn)題（1.5）存在的唯一的連續(xù)可微解而且解是適定的。高階常微分方程初值問(wèn)題一般為 （1.6

7、）其中是給定多元函數(shù)，為給定值。引進(jìn)新的變量函數(shù) （1.7.）則初值問(wèn)題（1.6）化成了一階常微分方程組初值問(wèn)題通過(guò)求解（1.8）得到(1.6)的解。2.初值問(wèn)題數(shù)值解基本概念初值問(wèn)題的數(shù)值解法，是通過(guò)微分方程離散化而給出解在某些節(jié)點(diǎn)上的近似值。在上引入節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為步長(zhǎng)。在多數(shù)情況下，采用等步長(zhǎng)，即。記（1.1）,(1.2)的為準(zhǔn)確解為,記的近似值為,記為.。 求值問(wèn)題數(shù)值解的方法是步進(jìn)法，即在計(jì)算出后計(jì)算。數(shù)值的方法有單步與單步法之分。單步法在計(jì)算時(shí)只利用而多步法在計(jì)算時(shí)不僅要利用還要利用前面已算出的若干個(gè)。我們稱(chēng)要用到的多步法為步方法。單步法可以看作多步法，但兩者有很大差別。步方法只能用于的計(jì)

8、算，要用其它的方法計(jì)算；而且在穩(wěn)定性上單性法比的多步法容易分析；此外單步法容易改變步長(zhǎng)。單步法和多步法又都有顯式方法和穩(wěn)式方法之分。單步顯式法的計(jì)算公式可寫(xiě)成 （1.9）隱式單步法的計(jì)算公式可寫(xiě)成 （1.10）在(1.10)中右端項(xiàng)顯含。從而（1.10）是的方程式，要通過(guò)解方程求出。 顯式多步法計(jì)算公式為 （1.11） 而隱式多步法計(jì)算公式為 (1.12)右端項(xiàng)含。多步法中一類(lèi)常用方法是線性多步法 （1.13）其中是獨(dú)立于和的常數(shù)。時(shí)（1.13）是顯式的，時(shí)是隱式的。（二）：常微分方程的12步驟我們常分12步，來(lái)說(shuō)明微分方程的解法。包括一個(gè)自變量和它的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的微商的等式。運(yùn)動(dòng)著的

9、物體的位置(x,y,z)是隨時(shí)間t的變化而變化的。按牛頓運(yùn)動(dòng)定律,力等于質(zhì)量乘加速度,它牽涉到x、y、z對(duì)于t的二階微商, 這就可用常微分方程表示。例如，在大地上的自由落體運(yùn)動(dòng)，可以用下面的常微分方程來(lái)描述： (1)式中g(shù)是重力加速度，z是鉛直位置。 一般說(shuō)來(lái),如果y是自變量x的函數(shù)，則y的常微分方程可以表達(dá)為 (2) 式中f是它所依賴(lài)的n+2個(gè)變量的函數(shù),n為正整數(shù)。由自變量x的n個(gè)未知函數(shù)y1,y2,ym的m個(gè)常微分方程 (3) 所形成的一組方程稱(chēng)為常微分方程組，其中n1,n2,，nm為非負(fù)整數(shù)。如果一個(gè)常微分方程（組）關(guān)于所有未知函數(shù)及其各階微商都是線性的，則稱(chēng)為線性常微分方程（組）；否

10、則，稱(chēng)為非線性常微分方程（組）。如果能由(2)解出最高階微商，則得到 (4) 式中是它所依賴(lài)的n+1個(gè)自變量的函數(shù)。這種就最高階微商解出的微分方程,稱(chēng)為正規(guī)型微分方程；而稱(chēng)(2)為隱微分方程。任一正規(guī)型微分方程(4)與微分方程組 是等價(jià)的，因此(4)總可以化成一個(gè)與之等價(jià)而形如(5) 的正規(guī)型方程組。對(duì)于微分方程組(3),也有上述相似的結(jié)果，即任一正規(guī)型微分方程組也可化為等價(jià)的而形如(5)的正規(guī)型方程組。 滿(mǎn)足常微分方程的函數(shù)稱(chēng)為常微分方程的解，也就是說(shuō),對(duì)方程(2),如果有函數(shù)(x),在x軸的某區(qū)間i上有定義,具有從1階到n階的微商且滿(mǎn)足 對(duì)所有xi,則稱(chēng)(t)為方程(2)在區(qū)間i上的解。當(dāng)

11、前計(jì)算機(jī)的發(fā)展為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)是這個(gè)階段研究的問(wèn)題的主要來(lái)源之一。例如牛頓建立了太陽(yáng)系行星運(yùn)動(dòng)方程 (6) 并求出其通解的顯式解析表達(dá)式。這里t是時(shí)間,r(t)=(x(t)，y(t)，z(t)是以太陽(yáng)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中行星的位置，g是萬(wàn)有引力常數(shù)，m是太陽(yáng)質(zhì)量。 這個(gè)階段主要是求常微分方程的通解，亦即對(duì)于方程(2)求含有n個(gè)任意常數(shù)c1,c2,cn的形如 (7) 的解。對(duì)于方程組(3)，則要求含有n1+n2+nm個(gè)任意常數(shù)的解組。 這個(gè)階段的成果有：g.w.萊布尼茨關(guān)于齊次方程和線性方程的通解；雅各布第一·伯努利提出并解決、現(xiàn)命名為伯努利

12、方程的特殊非線性方程 (8) l.歐拉等得到的常系數(shù)線性常微分方程的通解；以及利用變換xet將歐拉方程 (9) 化為常系數(shù)線性方程。 但是,求顯式通解的可能性十分有限,上述努力經(jīng)過(guò)一段時(shí)間便停滯下來(lái)。當(dāng)時(shí)若干實(shí)際問(wèn)題又迫切需要解決,類(lèi)似地，1841年劉維爾證明了下述的黎卡提方程 (10) 有且只有在v為非負(fù)整數(shù)時(shí)才有“初等解”,亦即經(jīng)過(guò)有限次的初等運(yùn)算求得的顯式解，從而結(jié)束了一般常微分方程求通解的企圖。極限環(huán)，即孤立周期解，已成為許多實(shí)際問(wèn)題的核心，例如在無(wú)線電技術(shù)中的范德坡方程 (11) 便是非線性方程產(chǎn)生孤立周期振蕩的典型例子。奇點(diǎn)大范圍分布的研究與組合拓?fù)鋵W(xué)的研究在龐加萊的工作中是雙生的

13、兄弟關(guān)系。例如工程控制論中火箭發(fā)動(dòng)機(jī)中燃燒過(guò)程由于時(shí)滯現(xiàn)象而產(chǎn)生的帶有時(shí)滯的常微分方程或稱(chēng)微分差分方程 (12) 這里不僅依賴(lài)于t時(shí)的(t)，而且還依賴(lài)于(t-)時(shí)的(t-)和(t-)。這樣便產(chǎn)生了微分差分方程，以及更廣義的泛函微分方程。又如由于空氣中的湍流對(duì)于飛行中飛機(jī)機(jī)翼所引起的干擾對(duì)飛機(jī)運(yùn)動(dòng)的影響，這里常微分方程帶有隨機(jī)攝動(dòng)項(xiàng)，如 式中x是隨機(jī)輸入,是反饋參數(shù)。這類(lèi)問(wèn)題產(chǎn)生了常微分方程和概率論之間的一個(gè)新分支隨機(jī)微分方程。 （三）：偏導(dǎo)數(shù)的方程含有未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)的方程。如(余類(lèi)此)uta2（uxxuyyuzz）0（1）其中uu（x，y，z，t）為未知函數(shù) ，x ，y，z，t是自變

14、 量。18世紀(jì) ，數(shù)學(xué)家們已開(kāi)始用偏 微分方程來(lái)研究問(wèn)題 。方程（1）便是用來(lái)描述熱的傳導(dǎo)規(guī)律的。1746年 ，j.ler.達(dá)朗貝爾給出了一維波動(dòng)方程（兩端固定的弦的振動(dòng)問(wèn)題）： 由于弦的兩端固定，故在x0和xl處（l為弦的長(zhǎng)度）應(yīng)滿(mǎn)足邊界條件： u（0，t）0 u（l，t）0 t0（3）又當(dāng)t0時(shí)的狀態(tài)，即初始條件是 u（0，x）j（x） ut（0，x）（x）（4） 例 設(shè),.證明:數(shù)列的極限存在并求出此極限.例1可以作如下推廣:命題1 若,則數(shù)列的極限存在且為.證明 由知.由算術(shù)幾何平均不等式知,假設(shè),再次用算術(shù)幾何平均不等式知,由數(shù)學(xué)歸納法知,對(duì)任意正整數(shù)均有,因而數(shù)列有界.又當(dāng)時(shí),故,

15、即數(shù)列單調(diào)遞增.由數(shù)列的單調(diào)有界定理知存在,設(shè)為,對(duì)兩邊同時(shí)取極限得:,可解得或（舍去）.故.注 由命題1立得例1的極限存在且為.例 證明數(shù)列收斂,其中,并求極限.通過(guò)觀察、猜想、分析可將例2推廣為以下更一般的形式:命題2 若,定義,則數(shù)列存在極限且為.證明 由可知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).設(shè),則=,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).二 遞增方程的應(yīng)用(一)：遞增數(shù)列由數(shù)學(xué)歸納法可知,對(duì)一切自然數(shù)均有成立.所以數(shù)列是單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列.（i）當(dāng)時(shí),同理可證數(shù)列是單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列.由（i）可知數(shù)列是單調(diào)有界數(shù)列,從而命題3得證.注 由以上第一章的命題可知數(shù)列是單調(diào)有界數(shù)列,則必收斂,設(shè),對(duì)兩邊同時(shí)取極限的得

16、: 即 .所以是方程的一個(gè)正根,從而例3得證.例1 已知,.證明存在并求其值.例1可以作如下推廣:命題1 若,則數(shù)列極限存在且為的正根.證明 由得.又,則.由遞推關(guān)系知.因函數(shù)是遞增函數(shù),則由知 與 的符號(hào)相同.而 的符號(hào)又與 的符號(hào)相同,故依次下去便知最終與 的符號(hào)相同.而,即,所以 ,從而 ,于是便有,故數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.又,假設(shè)當(dāng)時(shí)都有 成立,則當(dāng) 時(shí),由數(shù)學(xué)歸納法知,對(duì)一切自然樹(shù)都有 ,即數(shù)列有界.由數(shù)列的單調(diào)有界定理知數(shù)列必存在極限,設(shè),對(duì)兩邊同時(shí)取極限的得 即 .所以數(shù)列收斂于方程的正根.例2用經(jīng)典四階r-k方法計(jì)算初值問(wèn)題 步長(zhǎng)取h=0.1及0.2,給出計(jì)算誤差并分析其穩(wěn)定性.

17、解 本題直接按r-k方法的公式計(jì)算.因精確解為，其計(jì)算誤差如表所示.圖2-1從計(jì)算結(jié)果看到，h=0.2時(shí)誤差很大，這是由于在=-20,h=0.2時(shí)h=-4，而四階r-k方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為-2.785,0,故h=0.2時(shí)計(jì)算不穩(wěn)定，誤差很大.而h=0.1時(shí)=-2，其值在絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間-2.785,0內(nèi)，計(jì)算穩(wěn)定，故結(jié)果是可靠的.(二)：數(shù)列的極限推論 若, ,則數(shù)列的極限存在且收斂于方程的一個(gè)正根,即 .注 利用該推論易知例4中的數(shù)列的極限存在且為3.1文4、5中的一些題也可由此推論直接得出.例1設(shè),數(shù)列、分別定義為, ,證明.例1可以作如下推廣:命題 設(shè),數(shù)列、分別定義為, ,則仍有 成立.證

18、明 由已知 可得 ,.假設(shè)當(dāng) 時(shí)均有,則當(dāng)時(shí)有, ,由數(shù)學(xué)歸納法知,對(duì)任意自然數(shù)都有,成立.由算術(shù)幾何平均不等式知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).而當(dāng)時(shí), 即,即.故有.而當(dāng)時(shí),由于,所以就有, ,因此對(duì)任意自然數(shù)都有下式成立,所以數(shù)列、均為單調(diào)有界數(shù)列.故由數(shù)列的單調(diào)有界定理知、存在,分別設(shè)為、,對(duì)兩邊同時(shí)取極限得,可解得 ,即.注 例5是命題5的特殊形式,證明類(lèi)似.通過(guò)以上這簡(jiǎn)單的五個(gè)例子很容易看出它們是各自推廣后命題參量的特殊值,還有好多題都可直接根據(jù)這些命題很快得出其極限值.例2將例1的初值問(wèn)題用修正的milne-hamming預(yù)測(cè)-校正公式計(jì)算及，初值，仍用已算出的精確解，即，給出計(jì)算結(jié)果及誤差

19、 從結(jié)果看，此方法誤差比四階adams隱式法和四階hamming方法小，這與理論分析一致. 講解：線性多步法的局部截?cái)嗾`差定義為與單步法相似，可表示為三：與積分有關(guān)的數(shù)列的極限問(wèn)題(一)：積分的應(yīng)用本節(jié)主要是就一些與積分有一定聯(lián)系的數(shù)列舉了兩個(gè)例子,判斷它們的方法也主要是單調(diào)有界定理,進(jìn)一步證明了單調(diào)有界定理在判斷數(shù)列收斂即極限存在問(wèn)題中的應(yīng)用.例1證明 存在.證明 設(shè),可知在上非負(fù)單調(diào)遞減,所以,即,亦即,所以數(shù)列有界.又= =0,即,所以數(shù)列是單調(diào)遞減的數(shù)列.由數(shù)列的單調(diào)有界定理知,數(shù)列的極限存在,也就是存在.例2設(shè)連續(xù)函數(shù)在上是正的單調(diào)遞減的函數(shù),且,證明數(shù)列收斂.證明 由假設(shè)及積分中值

20、定理有 =,其中.又在上是正的單調(diào)遞減的,所以,從而,即數(shù)列是單調(diào)遞減的數(shù)列.又=,其中,所以.又因?yàn)?所以,所以單調(diào)遞減且有下界.所以由單調(diào)有界定理知存在,即數(shù)列收斂.(二)：?jiǎn)握{(diào)定性的松弛法通過(guò)本文可以看到單調(diào)有界定理在求一些有特殊形式的極限時(shí)常常很有效.解邊值問(wèn)題的松弛法     方法：     public   class   d16r1f         void   sor(double   a,   double   b,   do

21、uble   c,       double   d,   double   e,   double   f,       double   u,   int   jmax,   double   rjac)         int   n,   j,   l;     double   maxits,   eps,

22、  zero,   half,   qtr,   one,   anormf,   omega,   aaa,   bbb;     double   resid,   anorm;                     maxits   =   1000;              

23、      eps   =   0.00001;                     zero   =   0.0;                     half   =   0.5;                 &#

24、160;   qtr   =   0.25;                     one   =   1.0;                     anormf   =   zero;                    

25、; for   (j   =   2;   j   <=   jmax   -   1;   j+)                             for   (l   =   2;   l   <=   jmax   -   1;   l+)  

26、                                   anormf   =   anormf   +   math.abs(fjl);                     omega   =   one;       &

27、#160;             for   (n   =   1;   n   <=   maxits;   n+)                                                 ano

28、rm   =   zero;                             for   (j   =   2;   j   <=   jmax   -   1;   j+)                      

29、60;                                         for   (l   =   2;   l   <=   jmax   -   1;   l+)                

30、60;                                                               if   (j   +   l)   %   2)   =(   n   %

31、  2)                                                                                  

32、60;             aaa   =   ajl   *   uj   +   1l   +   bjl   *   uj   -   1l;                                      

33、              bbb   =   cjl   *   ujl   +   1   +   djl   *   ujl   -   1;                                     

34、0;               resid   =   aaa   +   bbb   +   ejl   *   ujl   -   fjl;                                         &

35、#160;           anorm   =   anorm   +   math.abs(resid);                                                     ujl   =

36、60; ujl   -   omega   *   resid   /   ejl;                                                                

37、60;                                                                       if   (n   =   1   )   

38、0;                                 omega   =   one   /   (one   -   half   *   rjac   *   rjac);                    

39、60;       else                                     omega   =   one   /   (one   -   qtr   *   rjac   *   rjac*   omega);      

40、;                       if   (n   >   1)   &&   (anorm   <   eps   *   anormf)   )   return;                        

41、                 system.out.println(“   maxits   exceeded”);                     system.exit(1);                      例子：     import &#

42、160; java.text.*;     public   class   d16r1         public   static   void   main   (string   args)         /program   d16r1     /driver   for   routine   sor     int  

43、jmax,   i,   j,   midl;     double   pi,   rjac,   aaa;     double   a   =   new   double1212;     double   b   =   new   double1212;     double   c   =   new   double121

44、2;     double   d   =   new   double1212;     double   e   =   new   double1212;     double   f   =   new   double1212;     double   u   =   new   double1212;     d16r1f

45、  g   =   new   d16r1f();     decimalformat   form   =   new   decimalformat(“0.00”);     jmax   =   11;     pi   =   3.1415926;     for   (i   =   1;   i   <=   jmax;

46、   i+)                                 for   (j   =   1;   j   <=   jmax;   j+)                            

47、             aij   =   1.0;                                     bij   =   1.0;                       

48、0;             cij   =   1.0;                                     dij   =   1.0;                       &#

49、160;             eij   =   -4.0;                                     fij   =   0.0;                      

50、               uij   =   0.0;                                     midl   =   jmax   /   2   +   1;     fmidlmidl   =

51、60; 2.0;     rjac   =   math.cos(pi   /   jmax);     g.sor(a,   b,   c,   d,   e,   f,   u,   jmax,   rjac);     system.out.println();     system.out.println(“sor   solution:”);     sys

52、tem.out.println();     for   (i   =   1;   i   <=   jmax;   i+)                 for   (j   =   1;   j   <=   jmax;   j+)               

53、0;             system.out.print(form.format(uij)   +   “     “);             system.out.println();         system.out.println();     system.out.println(“test   that   sulotion 

54、0; satisfies   difference   eqns:”);     system.out.println();     for   (i   =   2;   i   <=   jmax   -   1;   i+)         for   (j   =   2;   j   <=   jmax   - &#

55、160; 1;   j+)         aaa   =   ui   +   1j   +   ui   -   1j   +   uij   +   1   +   uij   -   1;     fij   =   aaa   -   4.0   *   uij;    

56、60;   for   (j   =   2;   j   <=   jmax   -   1;   j+)     system.out.print(form.format(fij)   +   “     “);     system.out.println();                運(yùn)行結(jié)果：   

57、0; sor   solution:         0.00     0.00     0.00     0.00     0.00     0.00     0.00     0.00     0.00     0.00     0.00         0.00     -0.02

58、    -0.04     -0.06     -0.08     -0.09     -0.08     -0.06     -0.04     -0.02     0.00         0.00     -0.04     -0.09     -0.13     -0.17   &

59、#160; -0.19     -0.17     -0.13     -0.09     -0.04     0.00         0.00     -0.06     -0.13     -0.20     -0.28     -0.32     -0.28     -0.20     -0

60、.13     -0.06     0.00         0.00     -0.08     -0.17     -0.28     -0.41     -0.55     -0.41     -0.28     -0.17     -0.08     0.00       

61、0; 0.00     -0.09     -0.19     -0.32     -0.55     -1.05     -0.55     -0.32     -0.19     -0.09     0.00         0.00     -0.08     -0.17     -0.28

62、    -0.41     -0.55     -0.41     -0.28     -0.17     -0.08     0.00         0.00     -0.06     -0.13     -0.20     -0.28     -0.32     -0.28   &

63、#160; -0.20     -0.13     -0.06     0.00         0.00     -0.04     -0.09     -0.13     -0.17     -0.19     -0.17     -0.13     -0.09     -0.04     0.

64、00         0.00     -0.02     -0.04     -0.06     -0.08     -0.09     -0.08     -0.06     -0.04     -0.02     0.00         0.00     0.00    

65、 0.00     0.00     0.00     0.00     0.00     0.00     0.00     0.00     0.00             test   that   sulotion   satisfies   difference   eqns:      

66、;   0.00     0.00     0.00     0.00     0.00     0.00     0.00     0.00     0.00         0.00     -0.00     0.00     -0.00     0.00     -0.00

67、60;   0.00     -0.00     0.00         0.00     0.00     -0.00     0.00     -0.00     0.00     -0.00     0.00     0.00         0.00     -0.00 

68、0;   0.00     -0.00     0.00     -0.00     0.00     -0.00     0.00         0.00     0.00     -0.00     0.00     2.00     0.00     -0.00     0.00

69、    0.00         0.00     -0.00     0.00     -0.00     0.00     -0.00     0.00     -0.00     0.00         0.00     0.00     -0.00     0.00 &

70、#160;   -0.00     0.00     -0.00     0.00     0.00         0.00     -0.00     0.00     -0.00     0.00     -0.00     0.00     -0.00     0.00     &

71、#160;   0.00     0.00     0.00     0.00     0.00     0.00     0.00     0.00     0.00(三)：松弛算法法的證明證明 令，由已知條件，不妨設(shè)在上嚴(yán)格增加，于是對(duì)，必有，使得，且，即（1） 若，則結(jié)論成立. （2） ，則令由于-=所以在上連續(xù)，又.，故由連續(xù)函數(shù)介值定理知存在，使得，即.再記即得結(jié)論.(3)若，則令用與情形（2）類(lèi)似的方法可證得存在，

72、使得. 即.再記，即得結(jié)論. 當(dāng)（2）中的時(shí)，即得推論1 設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)連續(xù)，則對(duì)，使得 .令（2）式中的即得推論2 設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)連續(xù)，在內(nèi)連續(xù)，,且不變號(hào)，則對(duì)，使得.推論3 若ca,b且，則.定理：設(shè)函數(shù)在上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)在上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，若是由（1）式所確定的，則有四 簡(jiǎn)單的單步法及基本概念（一）：解初值問(wèn)題的梯形方法若在(3.4)的積分中用梯形公式，則得(3.6)稱(chēng)為梯形方法.上述三個(gè)公式(3.2)，(3.5)及(3.6)都是由計(jì)算，這種只用前一步即可算出的公式稱(chēng)為單步法，其中(3.2)可由逐次求出的值，稱(chēng)為顯式方法，而(3.5)及(3.6)右端含有當(dāng)f對(duì)y非線性時(shí)它不能直

73、接求出，此時(shí)應(yīng)把它看作一個(gè)方程，求解，這類(lèi)方法稱(chēng)為穩(wěn)式方法.此時(shí)可將(3.5)或(3.6)寫(xiě)成不動(dòng)點(diǎn)形式的方程這里對(duì)式(3.5)有，對(duì)(7.2.6)則，g與無(wú)關(guān)，可構(gòu)造迭代法(3.7)由于對(duì)y滿(mǎn)足條件(3.2)，故有當(dāng)或，迭代法(3.7)收斂到，因此只要步長(zhǎng)h足夠小，就可保證迭代(3.7)收斂.對(duì)后退euler法(3.5)，當(dāng)時(shí)迭代收斂，對(duì)梯形法(3.6)，當(dāng)時(shí)迭代序列收斂.例3.1用euler法、隱式euler法、梯形法解取h=0.1，計(jì)算到x=0.5，并與精確解比較.解 本題可直接用給出公式計(jì)算.由于，euler法的計(jì)算公式為n=0時(shí)，.其余n=1,2,3,4的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表7-1.對(duì)隱式euler法，計(jì)算公式為解出當(dāng)n=0時(shí)，.其余n=1,2,3,4的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表7-1.表4-2的三種方法及精確解的計(jì)算結(jié)果 圖4-2對(duì)梯形法，計(jì)算公式為證明 作輔助函數(shù) 一方面，由已知條件及法則有= （1）另一方面，又