第十四章 穩(wěn)定狀態(tài)模型

1、第十四章 穩(wěn)定狀態(tài)模型雖然動(dòng)態(tài)過(guò)程的變化規(guī)律一般要用微分方程建立的動(dòng)態(tài)模型來(lái)描述，但是對(duì)于某些實(shí)際問(wèn)題，建模的主要目的并不是要尋求動(dòng)態(tài)過(guò)程每個(gè)瞬時(shí)的性態(tài)，而是研究某種意義下穩(wěn)定狀態(tài)的特征，特別是當(dāng)時(shí)間充分長(zhǎng)以后動(dòng)態(tài)過(guò)程的變化趨勢(shì)。譬如在什么情況下描述過(guò)程的變量會(huì)越來(lái)越接近某些確定的數(shù)值，在什么情況下又會(huì)越來(lái)越遠(yuǎn)離這些數(shù)值而導(dǎo)致過(guò)程不穩(wěn)定。為了分析這種穩(wěn)定與不穩(wěn)定的規(guī)律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程穩(wěn)定性理論，直接研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性就行了。本章先介紹平衡狀態(tài)與穩(wěn)定性的概念，然后列舉幾個(gè)這方面的建模例子。§1 微分方程穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介定義1 稱(chēng)一個(gè)常微分方程（組）是自治的，如

2、果方程（組） （1）中的，即在中不含時(shí)間變量。事實(shí)上，如果增補(bǔ)一個(gè)方程，一個(gè)非自治系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化自治系統(tǒng)，就是說(shuō)，如果定義 ，且引入另一個(gè)變量，則方程（1）與下述方程是等價(jià)的。這就是說(shuō)自治系統(tǒng)的概念是相對(duì)的。下面僅考慮自治系統(tǒng)，這樣的系統(tǒng)也稱(chēng)為動(dòng)力系統(tǒng)。定義2 系統(tǒng) （2）的相空間是以為坐標(biāo)的空間，特別，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)相空間為相平面?？臻g中的點(diǎn)集 稱(chēng)為系統(tǒng)（2）的軌線，所有軌線在相空間中的分布圖稱(chēng)為相圖。定義3 相空間中滿足的點(diǎn)稱(chēng)為系統(tǒng)（2）的奇點(diǎn)（或平衡點(diǎn)）。奇點(diǎn)可以是孤立的，也可以是連續(xù)的點(diǎn)集。例如，系統(tǒng) （3）當(dāng)時(shí)，有一個(gè)連續(xù)的奇點(diǎn)的集合。當(dāng)時(shí)，是這個(gè)系統(tǒng)的唯一的奇點(diǎn)。下面僅考慮孤立奇點(diǎn)。為了知

3、道何時(shí)有孤立奇點(diǎn)，給出下述定理：定理1 設(shè)是實(shí)解析函數(shù)，且系統(tǒng)（2）的奇點(diǎn)。若在點(diǎn)處的Jacobian矩陣 是非奇異的，則是該系統(tǒng)的孤立奇點(diǎn)。定義4 設(shè)是（2）的奇點(diǎn)，稱(chēng)（i）是穩(wěn)定的，如果對(duì)于任意給定的，存在一個(gè)，使得如果，則對(duì)所有的都成立。（ii）是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的，且。這樣，如果當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)靠近于奇點(diǎn)，其軌線對(duì)所有的時(shí)間仍然接近它，于是說(shuō)是穩(wěn)定的。另一方面，如果當(dāng)時(shí)這些軌線趨于，則是漸近穩(wěn)定的。定義5 一個(gè)奇點(diǎn)不是穩(wěn)定的，則稱(chēng)這個(gè)奇點(diǎn)是不穩(wěn)定的。對(duì)于常系數(shù)齊次線性系統(tǒng)（3）有下述定理。定理2 設(shè)是系統(tǒng)（3）的通解。則（i）如果系統(tǒng)（3）的系數(shù)矩陣的一切特征根的實(shí)部都是負(fù)的，

4、則系統(tǒng)（3）的零解是漸近穩(wěn)定的。（ii）如果的特征根中至少有一個(gè)根的實(shí)部是正的，則系統(tǒng)（3）的零解是不穩(wěn)定的。（iii）如果的一切特征根的實(shí)部都不是正的，但有零實(shí)部，則系統(tǒng)（3）的零解可能是穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的，但總不會(huì)是漸近穩(wěn)定的。定理2告訴我們：系統(tǒng)（3）的零解漸近穩(wěn)定的充分必要條件是的一切特征根的實(shí)部都是負(fù)的。對(duì)于非線性系統(tǒng)，一般不可能找出其積分曲線或軌跡，也就不可能直接導(dǎo)出奇點(diǎn)的穩(wěn)定性。為克服這一困難，在奇點(diǎn)附近用一個(gè)線性系統(tǒng)來(lái)近似這個(gè)非線性系統(tǒng)，用這個(gè)近似系統(tǒng)的解來(lái)給出這個(gè)奇點(diǎn)的穩(wěn)定解。定義6 設(shè)是系統(tǒng)（2）的一個(gè)孤立奇點(diǎn)。稱(chēng)系統(tǒng)在點(diǎn)幾乎是線性的，如果在的Jacobian矩陣是非

5、奇異的，即。設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，并有直到二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則由多元函數(shù)的Taylor公式，可將展開(kāi)成，其中 是一個(gè)常數(shù)矩陣，這樣得到的線性系統(tǒng) （4）稱(chēng)為系統(tǒng)（2）的線性近似。一開(kāi)始，人們以為總可以用線性近似系統(tǒng)來(lái)代替所研究的原系統(tǒng)。但后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)，這種看法是不對(duì)的，或至少說(shuō)是不全面的，非線性系統(tǒng)中的許多性質(zhì)，在它的線性近似中不再保留。即使象零解穩(wěn)定性這樣一個(gè)問(wèn)題，也要在一定條件下，才可用它的線性近似系統(tǒng)代替原系統(tǒng)來(lái)研究。關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，我們有下述定理：定理3 如果系統(tǒng)（4）的零解是漸近穩(wěn)定的，或不穩(wěn)定的，則原系統(tǒng)的零解也是漸近穩(wěn)定的或不穩(wěn)定的。然而，如果系統(tǒng)（4）的零解是穩(wěn)定的，則原系統(tǒng)的零解是

6、不定的，即此時(shí)不能從線性化的系統(tǒng)來(lái)導(dǎo)出原系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)（3）在其系數(shù)矩陣的行列式的條件下，可知是系統(tǒng)（3）的唯一的平衡點(diǎn)，它的穩(wěn)定性由特征方程： 的根（特征根）決定。定理4 設(shè)線性系統(tǒng)（3）所對(duì)應(yīng)的特征方程是 其中，。設(shè)和是它的根，則當(dāng)時(shí)關(guān)于奇點(diǎn)有下述結(jié)論：（i），是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)；（ii），是穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)；（iii），是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)；（iv），是不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)；（v），是不穩(wěn)定鞍點(diǎn)；（vi），是穩(wěn)定焦點(diǎn)；（vii），是不穩(wěn)定焦點(diǎn)；（viii），是不穩(wěn)定中心。定理5 設(shè)非線性系統(tǒng) （5）中的和滿足條件：（i）在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。（ii）存在常數(shù)，使得 ，（）又設(shè)系統(tǒng)（5）的一次近似

7、系統(tǒng)（3）的特征方程的根沒(méi)有零實(shí)部，則（5）式與（3）式的奇點(diǎn)的類(lèi)型相同，并有相同的穩(wěn)定性或不穩(wěn)定性。§2 再生資源的管理和開(kāi)發(fā)漁業(yè)資源是一種再生資源，再生資源要注意適度開(kāi)發(fā)，不能為了一時(shí)的高產(chǎn)“竭澤而漁”，應(yīng)該在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)的前提下追求最高產(chǎn)量或最優(yōu)的經(jīng)濟(jì)效益。這是一類(lèi)可再生資源管理與開(kāi)發(fā)的模型，這類(lèi)模型的建立一般先考慮在沒(méi)有收獲的情況下資源自然增長(zhǎng)模型，然后再考慮收獲策略對(duì)資源增長(zhǎng)情況的影響。2.1 資源增長(zhǎng)模型考慮某種魚(yú)的種群的動(dòng)態(tài)。在建立模型之前，做如下的基本假設(shè)：（i）魚(yú)群的數(shù)量本身是離散變量，談不到可微性。但是，由于突然增加或減少的只是單一個(gè)體或少數(shù)幾個(gè)個(gè)體，與全體數(shù)量相比，

8、這種增長(zhǎng)率是微小的。所以，可以近似地假設(shè)魚(yú)群的數(shù)量隨時(shí)間連續(xù)地，甚至是可微地變化。（ii）假設(shè)魚(yú)群生活在一個(gè)穩(wěn)定的環(huán)境中，即其增長(zhǎng)率與時(shí)間無(wú)關(guān)。（iii）種群的增長(zhǎng)是種群個(gè)體死亡與繁殖共同作用的結(jié)果。（iv）資源有限的生存環(huán)境對(duì)種群的繁衍，生長(zhǎng)有抑制作用，而且這一作用與魚(yú)群的數(shù)量是成正比的。記時(shí)刻漁場(chǎng)中魚(yú)量為，我們可以得到所滿足的Logistic 模型： （6）其中是固有增長(zhǎng)率，是環(huán)境容許的最大魚(yú)量。由分離變量法求得方程（6）解為（6）式有兩個(gè)平衡點(diǎn)，即，其中是不穩(wěn)定的，在正半軸內(nèi)全局穩(wěn)定。2.2 資源開(kāi)發(fā)模型建立一個(gè)在捕撈情況下漁場(chǎng)魚(yú)量遵從的方程，分析魚(yú)量穩(wěn)定的條件，并且在穩(wěn)定的前提下，討論

9、如何控制捕撈使持續(xù)產(chǎn)量或經(jīng)濟(jì)效益達(dá)到最大。設(shè)單位時(shí)間的捕撈量與漁場(chǎng)魚(yú)量成正比，比例系數(shù)表示單位時(shí)間捕撈率，可以進(jìn)一步分解分解為，稱(chēng)為捕撈強(qiáng)度，用可以控制的參數(shù)如出海漁船數(shù)來(lái)度量；稱(chēng)為捕撈系數(shù)，表示單位強(qiáng)度下的捕撈率。為方便取，于是單位時(shí)間的捕撈量為。常數(shù)，表示一個(gè)特定的捕撈策略，即要求捕魚(yú)者每天只能捕撈一定的數(shù)量。這樣，捕撈情況下漁場(chǎng)魚(yú)量滿足方程 （7）這是一個(gè)一階非線性方程，且是黎卡提型的。也稱(chēng)為Scheafer模型。希望知道漁場(chǎng)的穩(wěn)定魚(yú)量和保持穩(wěn)定的條件，即時(shí)間足夠長(zhǎng)以后漁場(chǎng)魚(yú)量的趨向，并且由此確定最大持續(xù)產(chǎn)量。在平衡點(diǎn)處有，方程（7）有兩個(gè)平衡點(diǎn)，。顯然，它們均是方程的解。在的情況下，是

10、一正平衡點(diǎn)。（7）式可改寫(xiě)為 （8）易知，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，即平衡解是不穩(wěn)定的，而是穩(wěn)定平衡解。即在捕撈強(qiáng)度的情況下，漁場(chǎng)魚(yú)量將穩(wěn)定在的水平，因此產(chǎn)量（單位時(shí)間的捕撈量）也將穩(wěn)定在的水平，即此時(shí)可獲得持續(xù)收獲量。當(dāng)然，當(dāng)時(shí)，漁場(chǎng)魚(yú)量將逐漸減少至，這時(shí)的捕撈其實(shí)是“竭澤而漁”，當(dāng)然談不上獲得持續(xù)產(chǎn)量了。如何才能做到漁資源在持續(xù)捕撈的條件下為我們提供最大的收益？從數(shù)學(xué)上說(shuō)，就是在或的條件下極大化所期望的“收益”，這里的“收益”可理解為產(chǎn)量，則問(wèn)題就可以數(shù)學(xué)地?cái)⑹鰹橄率鰞?yōu)化問(wèn)題： 約束條件為。這里它可以歸結(jié)為的二次函數(shù)的最大值問(wèn)題。簡(jiǎn)單的推導(dǎo)不難得到最大持續(xù)捕撈強(qiáng)度為，最大持續(xù)產(chǎn)量為。捕撈強(qiáng)度是得到最大持

11、續(xù)捕魚(yú)量的策略。2.3 經(jīng)濟(jì)效益模型當(dāng)今，對(duì)魚(yú)類(lèi)資源的開(kāi)發(fā)和利用已經(jīng)成為人類(lèi)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的一部分。其目的不是追求最大的漁產(chǎn)量而是最大的經(jīng)濟(jì)收益。因而一個(gè)自然的想法就是進(jìn)一步分析經(jīng)濟(jì)學(xué)行為對(duì)魚(yú)類(lèi)資源開(kāi)發(fā)利用的影響。如果經(jīng)濟(jì)效益用從捕撈所得的收入中扣除開(kāi)支后的利潤(rùn)來(lái)衡量，并且簡(jiǎn)單地設(shè)魚(yú)的銷(xiāo)售單價(jià)為常數(shù)，單位捕撈強(qiáng)度（如每條出海漁船）的費(fèi)用為常數(shù)，那么單位時(shí)間的收入和支出分別為 ，單位時(shí)間的利潤(rùn)為 利潤(rùn)是漁民所關(guān)注的焦點(diǎn)。因此在制定管理策略時(shí)所期望極大化的“收益”，這時(shí)就應(yīng)理解為經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)或凈收入而不是魚(yú)的產(chǎn)量。因而所討論的問(wèn)題就變成了在使魚(yú)量穩(wěn)定在的約束條件下的。即求 的最大值。容易求出使達(dá)到最大的捕撈

12、強(qiáng)度為 最大利潤(rùn)下的漁場(chǎng)穩(wěn)定魚(yú)量 最大利潤(rùn)下漁場(chǎng)單位時(shí)間的持續(xù)產(chǎn)量為 最大可持續(xù)凈收益 與前一模型相比較可以看出，在最大效益原則下捕撈強(qiáng)度和持續(xù)產(chǎn)量均有減少，而漁場(chǎng)的魚(yú)量有所增加。并且，減少或增加的比例隨著捕撈成本的增長(zhǎng)而變大，隨著銷(xiāo)售價(jià)格的增長(zhǎng)而變小，這顯然是符合實(shí)際情況的。2.4 種群的相互競(jìng)爭(zhēng)模型有甲乙兩個(gè)種群，當(dāng)它們獨(dú)自在一個(gè)自然環(huán)境中生存時(shí)，數(shù)量的演變均遵從Logistic規(guī)律。記是兩個(gè)種群的數(shù)量，是它們的固有增長(zhǎng)率，是它們的最大容量。于是，對(duì)于種群甲有 其中，因子反映由于甲對(duì)有限資源的消耗導(dǎo)致的對(duì)它本身增長(zhǎng)的阻滯作用，可解釋為相對(duì)而言單位數(shù)量的甲消耗的食物量（設(shè)食物總量為1）。當(dāng)兩

13、個(gè)種群在同一自然環(huán)境中生存時(shí)，考察由于乙消耗同一種有限資源對(duì)甲的增長(zhǎng)產(chǎn)生的影響，可以合理地在因子中再減去一項(xiàng)，該項(xiàng)與種群乙的數(shù)量（相對(duì)于而言）成正比，于是，種群甲增長(zhǎng)的方程為 （9）這里的意義是，單位數(shù)量乙（相對(duì)而言）消耗的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲（相對(duì)）消耗的供養(yǎng)乙的食物量的倍，類(lèi)似地，甲的存在也影響了乙的增長(zhǎng)，種群乙的方程應(yīng)該是 （10）對(duì)可作相應(yīng)的解釋。在兩個(gè)種群的相互競(jìng)爭(zhēng)中，是兩個(gè)關(guān)鍵的指標(biāo)。從上面對(duì)它們的解釋可知，表示在消耗供養(yǎng)甲的資源中，乙的消耗多于甲，對(duì)可作相應(yīng)的理解。一般來(lái)說(shuō)，之間沒(méi)有確定的關(guān)系，在此我們僅討論相互獨(dú)立的情形。目的是研究?jī)蓚€(gè)種群相互競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)局，即時(shí)，的趨向，不

14、必要解方程組（9）和（10），只需對(duì)它的平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。為此我們解代數(shù)方程 (11)得到四個(gè)平衡點(diǎn)分別為，。為分析這些點(diǎn)的穩(wěn)定性，需使用相空間的技巧。首先找出在平面上使或的區(qū)域。注意到，當(dāng)時(shí)，但要使和，當(dāng)且僅當(dāng) 類(lèi)似地，當(dāng)且僅當(dāng) 這樣我們得到在平面中,直線 (12)把平面劃分為和兩個(gè)區(qū)域。類(lèi)似地，對(duì)進(jìn)行分析得到（i），當(dāng)且僅當(dāng) （ii），當(dāng)且僅當(dāng) （iii）直線 （13）將平面劃分為和兩個(gè)區(qū)域。兩直線（12）和（13）之間的位置關(guān)系可以由下圖的四種情況來(lái)說(shuō)明。每種可能性對(duì)應(yīng)于平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性說(shuō)明如下：（i），由圖（b）知，兩直線將平面劃分為三個(gè)區(qū)域： （14） （15） （16）可以說(shuō)明不

15、論軌線從哪個(gè)區(qū)域出發(fā)，時(shí)都將趨向。若軌線從出發(fā)，由（14）式可知隨著的增加軌線向右上方運(yùn)動(dòng)，必然進(jìn)入；若軌線從出發(fā)，由（15）式可知軌線向下方運(yùn)動(dòng)，那么它或者趨向點(diǎn)，或者進(jìn)入，但進(jìn)入是不可能的。因?yàn)?，如果設(shè)軌線在某時(shí)刻經(jīng)直線（12）式進(jìn)入，則，由式（9）、（10）不難看出。由式（15）、（16）知，故，表明在達(dá)到極小值，而這是不可能的，因?yàn)樵谥?，即一直是增加的。若軌線從出發(fā)，由（16）式可知軌線向左下方運(yùn)動(dòng)，那么它或者趨向點(diǎn)，或者進(jìn)入，而進(jìn)入后，根據(jù)上面的分析最終也將趨向。綜合上述分析可以畫(huà)出軌線示意圖。因?yàn)橹本€（12）式上，所以在（12）式上軌線方向垂直于軸；在（13）式上，軌線方向平行于軸

16、。（ii），類(lèi)似的分析可知穩(wěn)定。 （iii），穩(wěn)定。（iv），不穩(wěn)定（鞍點(diǎn)）。因?yàn)檐壘€的初始位置不同，其走向也不同或趨于或趨于。根據(jù)建模過(guò)程中的含義，可以說(shuō)明點(diǎn)穩(wěn)定在生態(tài)學(xué)上的意義：意味著在對(duì)供養(yǎng)甲的資源的競(jìng)爭(zhēng)中乙弱于甲，意味著在對(duì)供養(yǎng)乙的資源的競(jìng)爭(zhēng)中甲強(qiáng)于乙，于是種群乙終將滅絕，種群甲趨向最大容量，即趨向平衡點(diǎn)。：情況與正好相反。：因?yàn)樵诟?jìng)爭(zhēng)甲的資源中乙較弱，而在競(jìng)爭(zhēng)乙的資源中甲較弱，于是可以達(dá)到一個(gè)雙方共存的穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，這是種群競(jìng)爭(zhēng)中很少出現(xiàn)的情況。 ：留作習(xí)題。§3 Volterra模型意大利生物學(xué)家D'Ancona曾致力于魚(yú)類(lèi)種群相互制約關(guān)系的研究，在研究過(guò)程中他

17、無(wú)意中發(fā)現(xiàn)了第一次世界大戰(zhàn)期間地中海各港口捕獲的幾種魚(yú)類(lèi)占捕獲總量百分比的資料，從這些資料中他發(fā)現(xiàn)各種軟骨掠肉魚(yú)，如鯊魚(yú)、鰱魚(yú)等我們稱(chēng)之為捕食者的一些不是很理想的魚(yú)占總漁獲量的百分比，在19141923年期間，意大利阜姆港收購(gòu)的捕食者所占的比例有明顯的增加：年代 1914 1915 1916 1917 1918百分比 11.9 21.4 22.1 21.2 36.4年代 1919 1920 1921 1922 1923百分比 27.3 16.0 15.9 14.8 10.7他知道，捕獲的各種魚(yú)的比例基本上代表了地中海漁場(chǎng)中各種魚(yú)類(lèi)的比例。戰(zhàn)爭(zhēng)中捕獲量大幅度下降，當(dāng)然使?jié)O場(chǎng)中食用魚(yú)（食餌）增加，

18、以此為生的鯊魚(yú)也隨之增加。但是捕獲量的下降為什么會(huì)使鯊魚(yú)的比例增加，即對(duì)捕食者而不是對(duì)食餌有利呢？他無(wú)法解釋這個(gè)現(xiàn)象，于是求助于著名的意大利數(shù)學(xué)家V. Volterra，希望建立一個(gè)食餌捕食者系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，定量地回答這個(gè)問(wèn)題。 3.l 形成模型為建立這樣的模型，我們分別用和記食餌和捕食者在時(shí)刻的數(shù)量。因?yàn)榇蠛Ｖ恤~(yú)類(lèi)的資源豐富，可以假設(shè)如果食餌獨(dú)立生存則食餌將以增長(zhǎng)率按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)，即有。捕食者的存在使食餌的增長(zhǎng)率降低，設(shè)降低的程度與捕食者數(shù)量成正比，于是滿足方程 （17）比例系數(shù)反映捕食者掠取食餌的能力。捕食者離開(kāi)食餌無(wú)法生存，若設(shè)它獨(dú)自存在時(shí)死亡率為，即，而食餌為它提供食物的作用相當(dāng)于使死

19、亡率降低，或使之增長(zhǎng)。設(shè)這個(gè)作用與食餌數(shù)量成正比，于是滿足 （18）比例系數(shù)反映食餌對(duì)捕食者的供養(yǎng)能力。 方程（17）和（18）是在沒(méi)有人工捕獲情況下自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制約關(guān)系，是Volterra提出的最簡(jiǎn)單的模型。這個(gè)模型沒(méi)有引入競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。 3.2 模型分析這是一個(gè)非線性模型，不能求出其解析解，所以我們還是通過(guò)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析，研究的變化規(guī)律。容易得到方程（17）和（18）的平衡點(diǎn)為 , (19)當(dāng)然，平衡解對(duì)我們來(lái)說(shuō)是沒(méi)有意義的。這個(gè)方程組還有一族解，和，。因此，軸和軸都是方程組（17），（18）的軌線。這意味著：方程（17）、（18）在由第一象限出發(fā)的每一個(gè)解在以后一切時(shí)間都保

20、持在第一象限內(nèi)。當(dāng)時(shí)，方程（17）、（18）的軌線是一階方程 的解曲線。用分離變量方法解得 (20)是任意常數(shù)。因此，方程（17），（18）的軌線是由式（20）定義的曲線族，我們來(lái)證明這些曲線是封閉的。引理1 當(dāng)時(shí)，方程（20）定義了一組封閉曲線。證明 我們首先來(lái)確定當(dāng)時(shí)函數(shù) 和 的性狀。利用微積分方法可以作出和的圖形。如下圖所示。若它們的極大值分別記作和，則不難確定滿足 ， （21） ， （22）顯然，僅當(dāng)（20）式右端常數(shù)時(shí)相軌線才有定義。當(dāng)時(shí)，將式（21）和（22）與（19）式比較可知正是平衡點(diǎn)，所以是相軌線的退化點(diǎn)。為了考察時(shí)軌線的形狀，我們只需考慮的情況，其中。首先注意到：方程具有一

21、個(gè)解和另一個(gè)解。因此，當(dāng)或時(shí)，方程 沒(méi)有解。當(dāng)或時(shí)，這個(gè)方程具有唯一的解，而對(duì)于，則具有兩個(gè)解和。較小的解總是小于，較大的解總是大于。當(dāng)趨于或時(shí)，和都趨向于。因此，當(dāng)和是正數(shù)時(shí)，由（20）所定義的曲線都是封閉的。而且，這些封閉曲線中的每一條（除和以外）， 都不含（17）和（18）的任何平衡點(diǎn)。所以（17）和（18）的具有初始條件，的所有的解，都是時(shí)間的周期函數(shù)。也就是說(shuō)，（17）和（18）的具有初始條件，的每一個(gè)解，都具有這樣的性質(zhì)：，其中是某一正數(shù)。D'Ancona 所用的數(shù)據(jù)實(shí)際上是捕食者的百分比在每一年中的平均值。因此，為了把這些數(shù)據(jù)同方程組（17）和（18）的結(jié)果進(jìn)行比較，對(duì)于（17）和（18）的任何解，我們必須算出和的“平均值”。值得注意的是，即使還沒(méi)有準(zhǔn)確地求得和，我們?nèi)匀荒軌蛩愠鲞@些平均值。引理2 設(shè)，是（17）和（18）的周期解，其周期，和的平均值定義為 ，這時(shí)，。換句話