等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

1、-作者xxxx-日期xxxx等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式【精品文檔】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式教學(xué)設(shè)計(jì) 一、教學(xué)內(nèi)容分析等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是高等教育出版社數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊下冊(cè)第六章的重要內(nèi)容之一，本節(jié)課主要研究如何應(yīng)用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及該求和公式的應(yīng)用等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見(jiàn)，因此等差數(shù)列求和就成為我們?cè)趯?shí)際生活中經(jīng)常遇到的一類問(wèn)題同時(shí)，求數(shù)列前n項(xiàng)和也是數(shù)列研究的基本問(wèn)題，通過(guò)對(duì)公式推導(dǎo)，可以讓學(xué)生進(jìn)一步掌握從特殊到一般的研究問(wèn)題方法。它反映了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思維形式，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維能力、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)等方面有著重要的作用。二、學(xué)情分析任教的班級(jí)是一年級(jí)物流專業(yè)。1

2、、知識(shí)基礎(chǔ)：在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，理解等差數(shù)列的基本性質(zhì)，小學(xué)時(shí)對(duì)高斯算法有所了解，這三者形成了學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，為新課學(xué)習(xí)提供了基礎(chǔ)；2、認(rèn)知水平與能力：學(xué)生初步具有一定的邏輯思維能力，但思維不夠深刻、片面、不嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)問(wèn)題解決的一般性思維過(guò)程認(rèn)識(shí)模糊3、班級(jí)學(xué)生特點(diǎn)：多數(shù)學(xué)生能積極主動(dòng)參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，動(dòng)手操作能力較強(qiáng)。但缺乏自信，同時(shí)渴望表現(xiàn)，渴望肯定。三、設(shè)計(jì)思想 建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，因此，應(yīng)該讓學(xué)生在具體的問(wèn)題情境中經(jīng)歷知識(shí)的生成與發(fā)展，讓學(xué)生利用自己的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，自主地在教師的引導(dǎo)下促進(jìn)對(duì)新知識(shí)的建

3、構(gòu)在教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，從張丘建算經(jīng)中等差數(shù)列的求和問(wèn)題及泰姬陵陵寢三角形圖案中的圓寶石談起，結(jié)合小學(xué)高斯的算法，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)任務(wù)完成為主線，通過(guò)設(shè)計(jì)一些從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般、從具體到抽象的問(wèn)題，層層鋪墊，步步深入，組織和啟發(fā)學(xué)生通過(guò)觀察、類比、聯(lián)想、猜測(cè)、實(shí)踐操作獲得公式的推導(dǎo)思路，并且充分引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)自主、合作、探究學(xué)習(xí)，通過(guò)生生互動(dòng)和師生互動(dòng)等形式，讓學(xué)生在問(wèn)題解決中學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)四、教學(xué)目標(biāo) 1、知識(shí)目標(biāo)： 掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，并能用公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題； 2、能力目標(biāo)： 通過(guò)公式的探索、發(fā)現(xiàn)，體驗(yàn)從特殊到一般的研究

4、方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察猜想、類比分析、歸納總 結(jié)和邏輯推理的能力，滲透方程（組）思想.3、情感目標(biāo)： 通過(guò)生動(dòng)有趣的數(shù)學(xué)史故事，激發(fā)學(xué)生求知的欲望和探究的熱情，滲透數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)學(xué)生愛(ài)國(guó)主義情感。 五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：探索并掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，學(xué)會(huì)用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題； 難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得；關(guān)鍵點(diǎn)：首尾配對(duì)法引出倒序相加法.六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情景，喚起學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的感悟和體驗(yàn)上節(jié)課同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和性質(zhì)。其實(shí)，早在我國(guó)北朝時(shí)，張丘建在張丘建算經(jīng)中就給出了等差數(shù)列的一些問(wèn)題，例如：今有女子不善織布，每天所織的布以同數(shù)遞減，初日織五尺

5、，末一日織一尺，共織三十日，問(wèn)共織幾何？這個(gè)涉及等差數(shù)列求和問(wèn)題，本節(jié)課學(xué)習(xí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。世界七大奇跡之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？這個(gè)問(wèn)題化為數(shù)學(xué)問(wèn)題就是求1+2+3+100=？200多年前，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在10歲時(shí)，當(dāng)老師提出這個(gè)問(wèn)題后，很快就說(shuō)出了答案，這是小學(xué)時(shí)就知道的一個(gè)故事，高斯的算法非常高明，請(qǐng)你想想他是怎樣算的？學(xué)情預(yù)設(shè)方案一：1+2+3+4+100=5050（逐個(gè)求和）。點(diǎn)評(píng)：方法可行，但是對(duì)于項(xiàng)數(shù)較多或數(shù)字較大的數(shù)列求和則不方便。方案二：（1

6、+100）+（2+99）+（3+98）+（50+51）=10150=5050 點(diǎn)評(píng)：方法巧妙。高斯就是這種方法。方案三：利用計(jì)算機(jī)“Excel”中的“”求得結(jié)果。點(diǎn)評(píng)：此法具有時(shí)代性，符合專業(yè)特點(diǎn)?！驹O(shè)計(jì)意圖】情境學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是與一定的知識(shí)背景，即“情境”相聯(lián)系通過(guò)富于人文氣息的歷史素材和有趣的數(shù)學(xué)史故事，激發(fā)學(xué)生求知的欲望和探究的熱情，并且可引導(dǎo)學(xué)生共同探討高斯算法更一般的應(yīng)用，為新課的講解作鋪墊同時(shí)，方案三的提出使得教學(xué)具有針對(duì)性、時(shí)代性，體現(xiàn)職業(yè)教育課改理念。（二）由易到難，在自主探究與合作中學(xué)習(xí)問(wèn)題1：第1層到第51層一共有多少顆寶石？該題組織學(xué)生分組討論，在合作中學(xué)習(xí)，并

7、把小組發(fā)現(xiàn)的方法一一呈現(xiàn)學(xué)情預(yù)設(shè) 學(xué)生可能出現(xiàn)以下求法方法1：原式（12252751）26方法2：原式（12350）51方法3：原式（125051+52）52方法4：原式0125051學(xué)生若將奇數(shù)個(gè)項(xiàng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個(gè)項(xiàng)求解，教師應(yīng)進(jìn)行充分肯定與表?yè)P(yáng)【設(shè)計(jì)意圖】這是求奇數(shù)個(gè)項(xiàng)和的問(wèn)題，若簡(jiǎn)單地摹仿高斯算法，將出現(xiàn)不能全部配對(duì)的問(wèn)題，借此滲透化歸思想 問(wèn)題2：求1+2+n=？學(xué)情預(yù)設(shè) 學(xué)生通過(guò)激烈的討論后，發(fā)現(xiàn)n為奇數(shù)時(shí)不能配對(duì)，可能會(huì)分n為奇數(shù)、偶數(shù)的情況分別求解，教師如何引導(dǎo)學(xué)生避免討論成為該環(huán)節(jié)的關(guān)鍵啟發(fā)：讓學(xué)生利用班級(jí)收集起來(lái)的礦泉水瓶，擺出等差數(shù)列求和模型。引導(dǎo)學(xué)生理解高斯首尾配對(duì)法是“

8、首尾配”，也可說(shuō)是“尾首配”。鼓勵(lì)學(xué)生操作，嘗試完成“首尾配”；（多媒體演示）在建筑中堆放的鋼材形成的三角形圖案左側(cè)倒放一個(gè)全等的三角形與原圖補(bǔ)成平行四邊形 通過(guò)以上啟發(fā)學(xué)生再自主探究，相信容易得出解法：1 + 2 + 3 +（n1） + n n +（n1）+ （n2）+ + 2 + 1_ (n+1) + (n+1) + (n+1) + +(n+1) + (n+1)【設(shè)計(jì)意圖】在動(dòng)手操作過(guò)程中，借助幾何圖形的直觀性，能啟迪思路，喚醒學(xué)生記憶深處的東西，為倒序相加法的出現(xiàn)提供了一個(gè)直接的模型。實(shí)現(xiàn)“做中學(xué)、做中教”的課改理念。該方法在生活中也有應(yīng)用，體現(xiàn)教學(xué)貼近學(xué)生、貼近生活、貼近專業(yè)“三貼近”

9、原則，進(jìn)一步體會(huì)倒序相加法的合理性。問(wèn)題3： 在公差為d的等差數(shù)列an中，定義前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+an，如何求Sn？讓學(xué)生觀察問(wèn)題2的結(jié)果猜測(cè)求和公式，鼓勵(lì)學(xué)生類比問(wèn)題2的解決方法完成對(duì)公式的推導(dǎo)。由前面的大量鋪墊，學(xué)生應(yīng)容易得出如下過(guò)程：方案一：Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +a1+(n1)d Sn=an + (and) +（an2d）+an(n1)d (公式1) 方案二：若m+n=p+q,則am+an=ap+aq （公式2） 組織學(xué)生討論：在公式1中若將an=a1+（n1）d代入又可得出哪個(gè)表達(dá)式?即： 【設(shè)計(jì)意圖】在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中，通過(guò)問(wèn)題獲得

10、知識(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷“提出問(wèn)題分析問(wèn)題解決問(wèn)題”的過(guò)程. 【歸納小結(jié)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式:師生共同剖析公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，明確知三求Sn,并引導(dǎo)學(xué)生由公式的結(jié)構(gòu)特征類比聯(lián)想到梯形面積公式.【設(shè)計(jì)意圖】利用圖形的直觀性，深化對(duì)公式的記憶與理解。（三）設(shè)置典例，促進(jìn)學(xué)生對(duì)公式的應(yīng)用例1、在等差數(shù)列an中， （1）已知：a1=1，a10=10，求S10 ; （2）已知：a1=3，d = -2，求S10例2、已知等差數(shù)列an中，d=2，an=1，Sn= -8，求n.小結(jié)：在兩個(gè)求和公式中,各有五個(gè)元素,只要知道其中三個(gè)元素,結(jié)合通項(xiàng)公式就可求出另兩個(gè)元素.【設(shè)計(jì)意圖】“順”用公式，讓學(xué)生熟悉公式的要素與結(jié)構(gòu)，

11、加深對(duì)公式的基本量意義的認(rèn)識(shí)； “變”用公式可以培養(yǎng)學(xué)生思維的高度靈活性,滲透方程思想;小結(jié)及時(shí)給學(xué)生學(xué)法指導(dǎo).（四）反饋調(diào)控，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握1、教材P10練習(xí)；2、下面，大家試著給同桌出一個(gè)等差數(shù)列，然后用公式求出它的前n項(xiàng)和。典型展示：（1）1+2+3+n=？（2）1+3+5+（2n-1）=？（3）2+4+6+2n=？【設(shè)計(jì)意圖】拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個(gè)學(xué)生都得到符合自身實(shí)踐的感悟，使不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而實(shí)現(xiàn)“以人為本”的教育理念。 3、張丘建算經(jīng)中關(guān)于等差數(shù)列求和問(wèn)題：“今有女子不善織布，每天所織的布以同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，共織

12、三十日，問(wèn)共織幾何？”。 （術(shù)曰：并初、末織布數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得。）【設(shè)計(jì)意圖】體會(huì)付出就有回報(bào)。（五）回顧反思，深化知識(shí)組織學(xué)生分組共同反思本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容及思想方法，小組之間互相補(bǔ)充完成課堂小結(jié)，實(shí)現(xiàn)對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的再次深化1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：2.在兩個(gè)求和公式中,各有五個(gè)元素,只要知道其中三個(gè)元素,結(jié)合通項(xiàng)公式就可求出另兩個(gè)元素.； 【設(shè)計(jì)意圖】歸納總結(jié)，完成知識(shí)的建構(gòu)； （六）布置作業(yè): 1、必做題：教材P11習(xí)題A組5、6題； 【設(shè)計(jì)意圖】鞏固知識(shí)，發(fā)現(xiàn)和彌補(bǔ)課堂學(xué)習(xí)中的不足，培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)學(xué)習(xí)的習(xí)慣. 2、課后思考：張丘建算經(jīng)中關(guān)于等差數(shù)列求和又一問(wèn)題：“今

13、有女子善織布，逐日所織的布以同數(shù) 遞增，初日織五尺，計(jì)織三十日，共織九匹三丈，問(wèn)日增幾何？”。（一匹為四丈，一丈為十尺） 【設(shè)計(jì)意圖】為學(xué)有余地的學(xué)生思維發(fā)展提供平臺(tái)，進(jìn)一步了解古代中國(guó)在數(shù)學(xué)方面取得的偉大成就，喚起生的愛(ài)國(guó)熱情。七、板書(shū)設(shè)計(jì)：¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦ 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 張邱建算經(jīng)問(wèn)題1：?jiǎn)栴}2:一、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn二、公式推導(dǎo)（問(wèn)題3）三、剖析公式公式1：公式2：四、例題及解答八、教學(xué)反思： 本節(jié)課沒(méi)有因?yàn)槁殞W(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)薄弱，學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)而直接給公式，否則的話，就如同波利亞所說(shuō)的“帽子里跳出的兔子”。倒序相加法也只不過(guò)是美麗的傳說(shuō)。所以在教學(xué)中對(duì)教材靈活處理，不回避教學(xué)困難，通過(guò)分解難點(diǎn)，迎難而上，通過(guò)師生共同努力，很好完成了教、學(xué)任務(wù)。師生之情、生生之誼在也合作交流中得到融洽，培育和諧的可持續(xù)發(fā)展的教學(xué)生態(tài)環(huán)境。體現(xiàn)了“以人為本”、“做中學(xué)、做中教”教學(xué)理念。