第12彎曲變形

1、第十二章第十二章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)材料力學(xué)121 引言引言122 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程123 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法12124 4 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法125 簡(jiǎn)單靜不定梁簡(jiǎn)單靜不定梁126 梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)12121 1 引言一、一、工程實(shí)際中的彎曲變形工程實(shí)際中的彎曲變形二、梁的變形的度量二、梁的變形的度量撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角第十二章第十二章 彎曲變形彎曲變形b. .廠房里的吊車梁廠房里的吊車梁b. .游泳池中的跳板游泳池中的跳板弊弊a. .機(jī)器中的機(jī)器中的齒輪傳動(dòng)軸齒輪傳動(dòng)軸利利a. .車輛中的疊板

2、彈簧車輛中的疊板彈簧( (減振減振) )一、工程實(shí)際中的彎曲變形一、工程實(shí)際中的彎曲變形12 121 1 引言引言一、工程實(shí)際中的彎曲變形一、工程實(shí)際中的彎曲變形fx1fy1fy4fy2fy3fy1fx1m1fy2frx1fry1m1frx2fry2m212 121 1 引言引言二、梁的變形的度量撓度與轉(zhuǎn)角wab11qqf撓曲線撓曲線c11cwxxw撓度撓度q轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角( )ww x撓曲線方程撓曲線方程)(xqq轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程)()(tgxxq qq q ( )w x12 121 1 引言引言12-2 12-2 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程第十二章第十二章 彎曲變形彎曲變形1、力學(xué)方面

3、、力學(xué)方面wxabfafafsfffamfa)(xzeim1zeixmx)()(1( )w x2 2、數(shù)學(xué)方面、數(shù)學(xué)方面 3 2211wxw 3 22( )1zwm xeiw撓曲線微分方程撓曲線微分方程12-2 12-2 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程撓曲線微分方程3 22( )1zwm xeiwmmmm0w 0m0w0mxwo3 22( )1zwm xeiw3 3、撓曲線近似微分方程、撓曲線近似微分方程01701tg.0028901tg2.)(tgwq ( )zm xwei 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)1q2()0.00289 w一般一般1q1xwo12-2 12-2 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方

4、程12-3 12-3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法第十二章第十二章 彎曲變形彎曲變形 ddm xwxxcxdei ( )m xweiq dm xwxcei 等直梁等直梁q ddeiwm xxxcxd deim xxcqc和和d為積分常數(shù)為積分常數(shù)由由已知位移條件已知位移條件定定一一、積分運(yùn)算、積分運(yùn)算12-3 12-3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法二、邊界條件與連續(xù)條件0 x0wlx 0w lx 0w 0q0 xx 12ww21qq12邊界(約束)條件光滑條件連續(xù)條件wxfacbwxf0 xx 12-3 12-3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法例例1 試用積分法求圖示梁的

5、撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求梁的最大試用積分法求圖示梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求梁的最大撓度撓度 。已知已知 為常量為常量maxwei0w xlmmxm)(lx 0w 0d3mlc 0 xwxabmlmf ralmf rbx解：解：求積分常數(shù)求積分常數(shù)meiwmxl 22meiwmxxcl 2326mxmeiwxcxdl（2）（1）( )eiwm x 12-3 12-3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法例1解：解：轉(zhuǎn)角方程，撓度方程轉(zhuǎn)角方程，撓度方程 求求maxw226326mwlxxleilq22326mxwlxxleilllx42303310.20max0.0642mlww xei20

6、.06252clmlwwei0wq 畫撓曲線畫撓曲線m( )eiwm x 2lcwxabmlmf ralmf rb12-3 12-3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法例2 試求圖示簡(jiǎn)支梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程并確定其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。梁的抗彎剛度為常量xlbfxm )(解：解：1bfeiwxllbff ralaff rbac段段cb段段xxwxfacbabl)()(axfxlbfxm )(ax 0)(lxaac段段)(ax 0cb段段)(lxa2112bfeiwxcl 31116bfeiwxc xdl2()bfeiwxf xal 2222()22bff xaeiwxcl 33222()6

7、6bff xaeiwxc xdl12-3 12-3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法解：解：求積分常數(shù)求積分常數(shù)0wlx 12ww21dd 21cc ax 光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件21qq邊界條件邊界條件0 x0w 2212()6fbcclbl 021 ddlbff ralaff rbxxwxfacbabl1bfeiwxlac段段)(ax 0cb段段)(lxa2112bfeiwxcl 31116bfeiwxc xdl2()bfeiwxf xal 2222()22bff xaeiwxcl 33222()66bff xaeiwxc xdl12-3 12-3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法

8、解：解： 轉(zhuǎn)角方程，撓度方程轉(zhuǎn)角方程，撓度方程222136fblbxeilq 22222336fbllbxxaeilbq 22216fbxwlbxeil 322226fblwlbxxxaeilb 求求q qmax0)()(xmxqm()(),66abfab lbfab laeileilqq lbff ralaff rbxxwxfacbabl12-3 12-3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法例2解：解：找最大撓度的位置找最大撓度的位置 求求maxw()3cfab abeilq32210max9 3fbwwxlbeilac2220306fblbxeil3220blx222136fblbxei

9、lq 22216fbxylbxeil mlbff ralaff rbxxwxfacbabl12-3 12-3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法例2解：解： 工程中最大撓度的近似計(jì)算工程中最大撓度的近似計(jì)算llx577030.22max0.06429 3fblfblweiei2220.062516lxfblfblweiei0b對(duì)于簡(jiǎn)支梁，只要撓曲線上對(duì)于簡(jiǎn)支梁，只要撓曲線上無無拐點(diǎn)拐點(diǎn)總可以用跨中撓度代替總可以用跨中撓度代替最大撓度，并且不會(huì)引起很大誤差最大撓度，并且不會(huì)引起很大誤差32210max9 3fbwwxlbeil2lba20lx 3220blx lbff ralaff rbxxw

10、xfacbabl12-3 12-3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法拐點(diǎn)拐點(diǎn)mmkn60mkn240mkn603 m3m1mabcde1mkn602 fkn2001 f2f12-3 12-3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法( )eiwm x 3axy 設(shè)梁下有一曲面設(shè)梁下有一曲面 ，欲，欲使梁變形后恰好與曲面密合，且曲面不受壓力。試問梁上應(yīng)加什么使梁變形后恰好與曲面密合，且曲面不受壓力。試問梁上應(yīng)加什么載荷？并且定載荷的大小和方向載荷？并且定載荷的大小和方向 解：解：由彎矩方程求剪力方程，并畫剪力彎矩圖由彎矩方程求剪力方程，并畫剪力彎矩圖3wax ( )( )sdm xfxdx例例3

11、 圖示等截面梁，抗彎剛度圖示等截面梁，抗彎剛度ei。3axy wlx( )m xeiw6aeix aei6sfaei6maeil6mfaeif6 aeilm612-3 12-3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法12124 4 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法一一、疊加原理、疊加原理二、疊加法在變形計(jì)算中的應(yīng)用二、疊加法在變形計(jì)算中的應(yīng)用第十二章第十二章 彎曲變形彎曲變形一、疊加原理 = 由由各個(gè)各個(gè)外力外力單獨(dú)單獨(dú)作用時(shí)所引起的構(gòu)件內(nèi)的該一參數(shù)的作用時(shí)所引起的構(gòu)件內(nèi)的該一參數(shù)的疊加原理疊加原理由由幾個(gè)幾個(gè)外力外力同時(shí)同時(shí)作用時(shí)所引起的構(gòu)件內(nèi)的某一參數(shù)作用時(shí)所引起的構(gòu)件內(nèi)的某一參數(shù)(內(nèi)力

12、內(nèi)力、應(yīng)力應(yīng)力或或位移位移等等)小變形、彈性范圍內(nèi)小變形、彈性范圍內(nèi)矢量和矢量和或或代數(shù)和代數(shù)和12 124 4 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法二、疊加法在變形計(jì)算中的應(yīng)用abmfqabqabfabmfqmfqmwwwwqqqq12 124 4 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法abcfab4flm 例例4 試用疊加法求圖示懸臂梁自由端的轉(zhuǎn)角和撓度試用疊加法求圖示懸臂梁自由端的轉(zhuǎn)角和撓度1. .當(dāng)當(dāng)f單獨(dú)作用時(shí)單獨(dú)作用時(shí)2. . 當(dāng)當(dāng)m單獨(dú)作用時(shí)單獨(dú)作用時(shí)3. .當(dāng)當(dāng)f與與m同時(shí)作用時(shí)同時(shí)作用時(shí)解解28bffleiq 244bmfllfleieiqbmbfbqqq23428bmfllf

13、lweieibbfbmwww28flei348flei3548bfflwei acf4flm wx2l2l12 124 4 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法畫撓曲線的大致形狀畫撓曲線的大致形狀解解23848bbfleiflweiq4fl4fl4flm+4l例4 試用疊加法求圖示懸臂梁自由端的轉(zhuǎn)角和撓度由由彎矩的正負(fù)號(hào)彎矩的正負(fù)號(hào)判斷凹凸性判斷凹凸性acf4flm wx2l2l12 124 4 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法1. . c截面相對(duì)于截面相對(duì)于b截面截面的變形的變形3. . c截面隨著截面隨著b截面截面變形的變形變形的變形2. . b截面截面的變形的變形解解3116cqbe

14、iq 4118cqbwei 例例5 求圖示階梯形截面梁求圖示階梯形截面梁c截面的轉(zhuǎn)角和撓度截面的轉(zhuǎn)角和撓度abcabq1ei2eiacbabcqqbf 222cbqab abeiqq 222222222222bbqab abm afaqb aqba eieieieieiq 22322222224333232 212bbqa babm afaqb aqbaw eieieieiei 221qbmb1cq1cwbqbw2cq2cw222249612cbbqabaabbwwbeiq 4.疊加疊加相對(duì)變形相對(duì)變形牽引位移牽引位移12 124 4 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法解解例5 求圖示階梯形

15、截面梁的轉(zhuǎn)角和撓度4.疊加疊加31212412122262849612ccccccqab abqbeieiqbwwweiqabaabb eiqqq abcabq1ei2eiacbabcqqbf 221qbmb1cq1cwbqbw2cq2cw12 124 4 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法125 簡(jiǎn)單靜不定梁一一、概述、概述二、二、求法求法第十二章第十二章 彎曲變形彎曲變形一、概述一次超靜定一次超靜定二次超靜定二次超靜定多余約束反力多余約束反力多余約束多余約束多余約束多余約束12 125 5 簡(jiǎn)單靜不定梁簡(jiǎn)單靜不定梁平衡方程平衡方程變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件物理關(guān)系物理關(guān)系二、求法arafa

16、靜定基靜定基 ( (相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)) )超靜定梁變成靜定梁超靜定梁變成靜定梁變形比較變形比較1. .選擇靜定基選擇靜定基 解除多余約束，以多余約束力代之解除多余約束，以多余約束力代之2. .由變形比較由變形比較( (變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件) )求多余約束力求多余約束力12 125 5 簡(jiǎn)單靜不定梁簡(jiǎn)單靜不定梁例例8 試作圖示超靜定梁的剪力圖和彎矩圖試作圖示超靜定梁的剪力圖和彎矩圖解：解： 1. .取靜定基取靜定基3. .求靜定基的支反力求靜定基的支反力maxm并求并求2. .求求rbfbqwlabqabqrbfbpwabqwxarbf=+0bw rb34rb, 83bqbfflqlwwei

17、ei rbqlf83 281,85qlmqlfa rarafamrbbqbfww12 125 5 簡(jiǎn)單靜不定梁簡(jiǎn)單靜不定梁例8 試作圖示超靜定梁的剪力圖和彎矩圖4. .作作f fs、m圖圖解：解：maxm并求并求lx830 fsql85ql830 x281qlm21281ql ra28185qlmqlfa labqabqrbfrafam12 125 5 簡(jiǎn)單靜不定梁簡(jiǎn)單靜不定梁例8 試作圖示超靜定梁的剪力圖和彎矩圖5.討論討論解：解：maxm并求并求靜定基的選取不是唯一的靜定基的選取不是唯一的0aqeiqlaq243 q q281qlmaeilmaama3 q qaamaqqqabqamaqb

18、baqamab+12 125 5 簡(jiǎn)單靜不定梁簡(jiǎn)單靜不定梁解：解：1. .取靜定基取靜定基2. .求求rcfccrw例例9 靜不定梁對(duì)制造精度靜不定梁對(duì)制造精度、裝配技術(shù)等要求較高，否則將產(chǎn)生裝配裝配技術(shù)等要求較高，否則將產(chǎn)生裝配應(yīng)力。有一實(shí)心圓軸，應(yīng)力。有一實(shí)心圓軸， ，裝配時(shí)中間軸承，裝配時(shí)中間軸承c偏偏離離ab連線連線 。設(shè)鋼的彈性模量。設(shè)鋼的彈性模量 ，求最大裝配，求最大裝配應(yīng)力應(yīng)力mm.10cm6dcm20lagp200eablyxcrcfabc3rc48ccrflwei348leif rc3. .找危險(xiǎn)截面，求最大應(yīng)力找危險(xiǎn)截面，求最大應(yīng)力12 125 5 簡(jiǎn)單靜不定梁簡(jiǎn)單靜不定梁

19、解：解：1. .取靜定基取靜定基例例9 靜不定梁對(duì)制造精度靜不定梁對(duì)制造精度、裝配技術(shù)等要求較高，否則將產(chǎn)生裝配裝配技術(shù)等要求較高，否則將產(chǎn)生裝配應(yīng)力。有一實(shí)心圓軸，應(yīng)力。有一實(shí)心圓軸， ，裝配時(shí)中間軸承，裝配時(shí)中間軸承c偏偏離離ab連線連線 。設(shè)鋼的彈性模量。設(shè)鋼的彈性模量 ，求最大裝配，求最大裝配應(yīng)力應(yīng)力mm.10cm6dcm20lagp200eablyxcrcfabc348leif rc3. .找危險(xiǎn)截面，求最大應(yīng)力找危險(xiǎn)截面，求最大應(yīng)力24484leilfmrcmaxmpa18062ldewmzmaxmax12 125 5 簡(jiǎn)單靜不定梁簡(jiǎn)單靜不定梁126 梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)一、梁的剛度條件一、梁的剛度條件二、提高梁彎曲剛度的措施二、提高梁彎曲剛度的措施第十二章第十二章 彎曲變形彎曲變形一、梁的剛度條件maxmax wqqq q 許用轉(zhuǎn)角許用轉(zhuǎn)角 許用撓度許用撓度等直梁：等直梁：( )zm xeiq wq 對(duì)于簡(jiǎn)支梁，只要撓曲線上對(duì)于簡(jiǎn)