分析10-偏微方程數(shù)值解法課件

1、W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-1W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-2W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-3 “高數(shù)高數(shù)”中接觸了一些簡(jiǎn)單偏微分，也接觸了簡(jiǎn)單偏微分中接觸了一些簡(jiǎn)單偏微分，也接觸了簡(jiǎn)單偏微分方程，如：方程，如： zyzxxzyxxxxzy2ln1 ) 1, 0(其中：其中： 1yyxzzxxyzylnvuyvuxyxarctgz , , 1 yzxz滿足：滿足： W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-4 3. 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z 滿足：滿足： 1yzxz 4. 滿足：滿足： xeytknsin222xykty 5. 滿足：滿足

2、： 22lnyxz02222yuxu6. 滿足：滿足： 222zyxr 上面是已知函數(shù)，上面是已知函數(shù)， ，驗(yàn)證滿足等，驗(yàn)證滿足等式，反過(guò)來(lái)，將等式視為方程，則是求解方程，式，反過(guò)來(lái)，將等式視為方程，則是求解方程，得到解函數(shù)。得到解函數(shù)。 ),(yxfz rzryrxr2222222W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-5 因此因此偏微分方程偏微分方程： 1. 含偏微分的等式，含偏微分的等式， 2. 求解偏微分方程、求含多個(gè)自變量的函數(shù)求解偏微分方程、求含多個(gè)自變量的函數(shù) 3. 帶有初值、邊界條件。帶有初值、邊界條件。 常微分方程常微分方程的求解已很困難，通過(guò)分門的求解已很困難，通過(guò)分門別

3、類研究，能求得一些特殊類型方程的解別類研究，能求得一些特殊類型方程的解（只含一個(gè)變量），即便是（只含一個(gè)變量），即便是一階方程一階方程，也很，也很難求出解析解表達(dá)式，也因此，在上一章我難求出解析解表達(dá)式，也因此，在上一章我們研究了們研究了一階微分方程一階微分方程 的的 數(shù)值解法數(shù)值解法。W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-6 要求解偏微分方程比求解常微分方程更難，因此尋求偏要求解偏微分方程比求解常微分方程更難，因此尋求偏微分方程的數(shù)值解更顯重要，實(shí)際上，絕大部分偏微分方微分方程的數(shù)值解更顯重要，實(shí)際上，絕大部分偏微分方程不可能求到解析函數(shù)解，基本上都是數(shù)值解法。程不可能求到解析函數(shù)解，基

4、本上都是數(shù)值解法。 一般來(lái)說(shuō)，偏微分方程從實(shí)際問(wèn)題抽出后，多是下列幾一般來(lái)說(shuō)，偏微分方程從實(shí)際問(wèn)題抽出后，多是下列幾種類型種類型: （1）泊阿松泊阿松方程（方程（Poisson），又稱為橢圓型方程：），又稱為橢圓型方程： ),( ),(2222yxyxfyuxuu ：自變量的：自變量的變化區(qū)域，有變化區(qū)域，有界區(qū)域。界區(qū)域。 ： 的邊界，分段光滑曲線。的邊界，分段光滑曲線。 當(dāng)當(dāng) 稱為拉普拉斯方程（稱為拉普拉斯方程（Laplace）或調(diào)和方程，）或調(diào)和方程， 例如例如 滿足：滿足： 0u22lnyxz0uW Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-7相應(yīng)第一邊值條件相應(yīng)第一邊值條件： ),(|y

5、xu 第二、第三邊值條件：第二、第三邊值條件： ),(yxaunu 為邊界為邊界 的外法線方向，的外法線方向， 為第二邊界條件，為第二邊界條件， 為第三邊界條件。為第三邊界條件。 n0a0a 各種物理性質(zhì)的各種物理性質(zhì)的定長(zhǎng)問(wèn)題定長(zhǎng)問(wèn)題（不隨時(shí)間變化過(guò)程）（不隨時(shí)間變化過(guò)程），都可用橢圓型方程描述都可用橢圓型方程描述。如帶有穩(wěn)定熱源或內(nèi)。如帶有穩(wěn)定熱源或內(nèi)部無(wú)熱源的穩(wěn)定場(chǎng)的溫度分布，不可壓縮流體的部無(wú)熱源的穩(wěn)定場(chǎng)的溫度分布，不可壓縮流體的穩(wěn)定克旋流動(dòng)及靜電場(chǎng)的電熱等均滿足上述方程。穩(wěn)定克旋流動(dòng)及靜電場(chǎng)的電熱等均滿足上述方程。 橢圓型方程（續(xù)）橢圓型方程（續(xù)） W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解

6、法10-8222tuatu 相應(yīng)有：柯西（相應(yīng)有：柯西（Cauchy）初值條件：）初值條件： )()0 ,(xxu),(x初邊值條件為：初邊值條件為： ) 0 ()( )(), () 0 () 0 ( )0 ( )(), 0 (0 )() 0 ,(2211gltgtlagTttgtulxxxu第一邊值條件：第一邊值條件： )(),()(), 0(21tgtlutgtu第二邊值條件：第二邊值條件： Tttgxutgxulxx0 )()(210W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-9第三邊值條件為：第三邊值條件為： Tttgutxutgutxutglxx0 )()()()(2)(21012其中

7、其中 0)(, 0)(21tt 在熱傳導(dǎo)過(guò)程的研究中，氣體的擴(kuò)散現(xiàn)象在熱傳導(dǎo)過(guò)程的研究中，氣體的擴(kuò)散現(xiàn)象及電磁場(chǎng)的傳播等隨時(shí)間變化的及電磁場(chǎng)的傳播等隨時(shí)間變化的非定常非定常物理物理問(wèn)題，都可用上述方程來(lái)描述。問(wèn)題，都可用上述方程來(lái)描述。 W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-10), 0( ), 0( 22222Ttlxxuatu 最簡(jiǎn)單形式為線性雙曲方程：最簡(jiǎn)單形式為線性雙曲方程： 0 0txuatu其初邊值其初邊值條件為：條件為： ),( )()() 0 ,(0 xxtuxut邊值條件同熱邊值條件同熱傳導(dǎo)方程。傳導(dǎo)方程。 物理中常見(jiàn)的一維振動(dòng)及各類波動(dòng)問(wèn)題，物理中常見(jiàn)的一維振動(dòng)及各類波

8、動(dòng)問(wèn)題，均可用波動(dòng)方程描述。均可用波動(dòng)方程描述。 W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-11 如果偏微分方程定解問(wèn)題的解存在，唯一，并且連如果偏微分方程定解問(wèn)題的解存在，唯一，并且連續(xù)依賴于定解數(shù)據(jù)（即出現(xiàn)在方程和定解條件中的已知函續(xù)依賴于定解數(shù)據(jù)（即出現(xiàn)在方程和定解條件中的已知函數(shù)），則此數(shù)），則此定解問(wèn)題定解問(wèn)題是適定的?？梢宰C明，上面所舉各種是適定的。可以證明，上面所舉各種定解問(wèn)題定解問(wèn)題都是適定的。都是適定的。 2. 差分方法的基本概念：差分方法的基本概念： 先對(duì)求解區(qū)域作先對(duì)求解區(qū)域作網(wǎng)格剖分網(wǎng)格剖分，將自變量的連續(xù)變化區(qū)域，將自變量的連續(xù)變化區(qū)域 用有限離散點(diǎn)（網(wǎng)格點(diǎn)）集代替；

9、將問(wèn)題中出現(xiàn)的連續(xù)用有限離散點(diǎn)（網(wǎng)格點(diǎn)）集代替；將問(wèn)題中出現(xiàn)的連續(xù)變量的函數(shù)用定義在網(wǎng)格點(diǎn)上離散變量的函數(shù)代替；通變量的函數(shù)用定義在網(wǎng)格點(diǎn)上離散變量的函數(shù)代替；通過(guò)用網(wǎng)格點(diǎn)上函數(shù)的過(guò)用網(wǎng)格點(diǎn)上函數(shù)的差商差商代替代替導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)，將含連續(xù)變量的，將含連續(xù)變量的偏偏微分方程定解問(wèn)題微分方程定解問(wèn)題化成只含化成只含有限個(gè)未知數(shù)的代數(shù)方程組有限個(gè)未知數(shù)的代數(shù)方程組（稱為差分格式）（稱為差分格式）。如果差分格式有解，且當(dāng)網(wǎng)格無(wú)限。如果差分格式有解，且當(dāng)網(wǎng)格無(wú)限變小時(shí)其解收斂于原微分方程定解問(wèn)題的解，則變小時(shí)其解收斂于原微分方程定解問(wèn)題的解，則差分格差分格式的解就作為原問(wèn)題的近似解（數(shù)值解）式的解就作為原問(wèn)題

10、的近似解（數(shù)值解）。 W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-12 所以，偏微分方程數(shù)值解法，實(shí)際上是通過(guò)所以，偏微分方程數(shù)值解法，實(shí)際上是通過(guò)網(wǎng)格網(wǎng)格及及差分差分格式格式將將偏微分方程定解問(wèn)題離散化偏微分方程定解問(wèn)題離散化后后求求定義域上有限離散定義域上有限離散點(diǎn)（網(wǎng)格點(diǎn)）對(duì)應(yīng)函數(shù)值點(diǎn)（網(wǎng)格點(diǎn)）對(duì)應(yīng)函數(shù)值u(x,y)的近似值（差分值）的近似值（差分值），體，體現(xiàn)現(xiàn)在常微分方程數(shù)值解法中在常微分方程數(shù)值解法中是求定義區(qū)間上是求定義區(qū)間上離散點(diǎn)離散點(diǎn)xi對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)y(xi)的近似值的近似值yi。 因此，用差分方法求解偏微分方程定解問(wèn)題，一般因此，用差分方法求解偏微分方程定解問(wèn)題，一般需解決以下問(wèn)

11、題：需解決以下問(wèn)題： （1）選取網(wǎng)格：對(duì)定義區(qū)域如何劃分？常用的有矩形、）選取網(wǎng)格：對(duì)定義區(qū)域如何劃分？常用的有矩形、 菱形等格式。菱形等格式。 （2）對(duì)偏微分方程及定解條件，選擇充分近似，列）對(duì)偏微分方程及定解條件，選擇充分近似，列 出差分格式，化偏微分方程為差分方程組（線出差分格式，化偏微分方程為差分方程組（線 性代性代 數(shù)方程組）。數(shù)方程組）。 W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-13 如可用差商（差分）代替導(dǎo)數(shù)：如可用差商（差分）代替導(dǎo)數(shù)： )(0)()(hhxfbxfdxdf)( 0)()(hhbxfxfdxdf)( 02)()(hhbxfbxfdxdf 對(duì)偏導(dǎo)數(shù)同樣有：對(duì)偏導(dǎo)

12、數(shù)同樣有： )( 0),(),(),(txutxuttxu)(0,),(txutxutu)( 02,),(2txutxutu一般還可以得出：一般還可以得出： 等等；等等； )(0)(),(2),(2222hhhtxutxuthxuxuW Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-14 （3）求解充分方程（解的存在性與唯一性）求解充分方程（解的存在性與唯一性） （4）討論充分方程的解是否可作為偏微分方程的解的近）討論充分方程的解是否可作為偏微分方程的解的近似值（收斂性及誤差估計(jì)）。似值（收斂性及誤差估計(jì)）。 按上述方法，差分方法也可用于求解常微分按上述方法，差分方法也可用于求解常微分方程，為了幫助理

13、論，下面先簡(jiǎn)單介紹在常微分方程，為了幫助理論，下面先簡(jiǎn)單介紹在常微分方程中近值問(wèn)題數(shù)值解法；方程中近值問(wèn)題數(shù)值解法； 二階線性微分方程第一邊值問(wèn)題：二階線性微分方程第一邊值問(wèn)題： )( ,)(, )()()(byaybaxxfyxqxyW Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-15（1）差分方程的建立：）差分方程的建立： 將將a, b分為分為n個(gè)相等的小區(qū)間，個(gè)相等的小區(qū)間， , ), 1 , 0(nabhniihaxN要將要將 離散化，建立充分方程，即要用：離散化，建立充分方程，即要用： )()()(xfyxqxy ),( )(12)()(2)()(1) 4(2211 iiiiiiiixxy

14、hhxyxyxyxy則在內(nèi)節(jié)點(diǎn)則在內(nèi)節(jié)點(diǎn)xi處，方程化為：處，方程化為： 1, 2 , 1 )(12)()()()()(2)() 4 (2211niyhxfxyxqhxyxyxyiiiiiii x1 ,xn-1 稱為內(nèi)節(jié)點(diǎn)，稱為內(nèi)節(jié)點(diǎn)，x0 ,xn稱為邊界點(diǎn)。稱為邊界點(diǎn)。 W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-16 在上式中略去余項(xiàng)，并記在上式中略去余項(xiàng)，并記qi=q(xi), fi=f(xi), yi=y(xi),則得則得差分方程：差分方程： 此為此為（n-1)(n-1)階線性代數(shù)方程組。其解階線性代數(shù)方程組。其解作為邊值問(wèn)題精確解作為邊值問(wèn)題精確解y(x)在在x1,x2,xn-1處的近

15、似值，稱為處的近似值，稱為差分解。差分解。 121,nyyyniiiiiiyynifyqhyyy , 1, 2 , 1 20211以以 iiiiiiyqhyyyyL2112)( 則差分方程則差分方程組可簡(jiǎn)記為：組可簡(jiǎn)記為： 1, 2 , 1 ,)(0niyyfyLniiW Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-17 可證：可證： 1. 極值定解：設(shè)極值定解：設(shè)y0 ,y1 ,yn不全相等不全相等: 若滿足條件若滿足條件 ， ，則，則 y0 ,y1 ,yn 中正的最大值只能是中正的最大值只能是 y0 或或yn 。) 1, 2 , 1(0)(niyLi 2. 充分方程解唯一存在。充分方程解唯一存在

16、。 ) 1, 2 , 1(0)(niyLi 若滿足若滿足 ，則，則 y0,y1,yn 中負(fù)的最小值只能是中負(fù)的最小值只能是y0 或或 yn 。 W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-18121121212121 1)2 ()2 (111)2 (nnhfhfhfyyyhqhqhq 這是這是(n-1)(n-1)的的三對(duì)角方程組，三對(duì)角方程組， 系數(shù)矩陣對(duì)角占優(yōu)系數(shù)矩陣對(duì)角占優(yōu)追趕法求解。追趕法求解。 0iq3. 方程組解法：方程組解法： niiiiiyynifhyyhqy ,1, 2 , 1 )2( 02121亦即：亦即： W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-19例例用差分法解用差分法解

17、 二階線性二階線性微分方程第一邊值問(wèn)題：微分方程第一邊值問(wèn)題： 1(1) 0)0(10 yyxxyy解：取解：取h = 0.1,則則xxfxgiixi)(, 1)( )10, 2 , 1 , 0 (1 . 001. 2)01. 02()2(2hqi所以：所以：9 , 2 , 1 ,001. 001. 01 . 0iiifi因此差分因此差分方程為方程為 ：002. 0001. 0 01. 21101. 21101. 21101. 21221nnyyyyW Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-20 xeeeexyxx1)( 2)(xiyiy(xi）xiyiy(xi)0.10.07048940.0

18、7046730.60.48356840.48348010.20.14268360.142464090.80.71147910.71141090.30.21830480.21824360.90.84700450.84696330.40.29910890.2990332 解此差分方程，計(jì)算結(jié)果列在下表中：解此差分方程，計(jì)算結(jié)果列在下表中：其中：其中：二階線性微分二階線性微分 方程的解函數(shù)為方程的解函數(shù)為W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-21 下面，我們?cè)偻ㄟ^(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明用下面，我們?cè)偻ㄟ^(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明用差差分方法求解偏微分方程問(wèn)題分方法求解偏微分方程問(wèn)題的一般過(guò)程及差分方的一

19、般過(guò)程及差分方法的基本概念。法的基本概念。 設(shè)有一階雙曲型設(shè)有一階雙曲型方程初值問(wèn)題：方程初值問(wèn)題： ) 110()()0 ,(, 0 0 xxuxtxuatu首先對(duì)定解區(qū)域：首先對(duì)定解區(qū)域： 0,| ),(txtxD, 2, 1, 0(,kjttkhxxjk 作網(wǎng)格剖分，最簡(jiǎn)單常用的一種網(wǎng)格是：作網(wǎng)格剖分，最簡(jiǎn)單常用的一種網(wǎng)格是： 用兩族分別平用兩族分別平行于行于x軸與軸與t 軸的等距直線軸的等距直線W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-22將將D分成許多小矩形區(qū)域（見(jiàn)圖分成許多小矩形區(qū)域（見(jiàn)圖10-1）。這些直線稱為網(wǎng)）。這些直線稱為網(wǎng)格線，其交點(diǎn)稱為網(wǎng)格點(diǎn)，格線，其交點(diǎn)稱為網(wǎng)格點(diǎn)，也

20、稱為節(jié)點(diǎn)，也稱為節(jié)點(diǎn)，h和和分別稱分別稱作作x方向和方向和t方向的步長(zhǎng)。方向的步長(zhǎng)。這種網(wǎng)格稱為矩形網(wǎng)格。這種網(wǎng)格稱為矩形網(wǎng)格。如果我們用向前差商如果我們用向前差商表示一階偏導(dǎo)數(shù)，即表示一階偏導(dǎo)數(shù)，即 :),(2),()(1, 1),(2jkxjkjktxthxuhhtxutxuxujk ),(2),()(21,),(2 jktjkjktxtxuhtxutxutujk其中其中: 1,0210233h-h2hh-2htx（圖（圖10-1）W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-23于是，方程（于是，方程（10-1）在節(jié)點(diǎn)）在節(jié)點(diǎn) 處可表示為處可表示為 :),(jktx htxutxuatxut

21、xujkjkjkjk),(),(),(),(11),(2),(21222jkxjktthxuahtxu )0,1,2,2,1,0,( ),(jktxRjk其中：其中： )2,1, 0( )()0 ,(kxxukk由于當(dāng)由于當(dāng)h，足夠小時(shí)，足夠小時(shí)， 是小量，在式（是小量，在式（10-2）中略）中略去去 就得到一個(gè)與方程（就得到一個(gè)與方程（10-1）相近似的差分方程。）相近似的差分方程。),(jktxR),(jktxRW Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-240, 1,1,huuauujkjkjkjk此處，此處， 可看作是問(wèn)題（可看作是問(wèn)題（10-13）的解在節(jié)點(diǎn)）的解在節(jié)點(diǎn) 處處的近似值。

22、由初條件有：的近似值。由初條件有： jku,),(jktx), 2, 1, 0( )(0,kxukk式式（10-3）與與（10-4）結(jié)合，就得到求問(wèn)題（結(jié)合，就得到求問(wèn)題（10-1）的數(shù)值解的差分格式。的數(shù)值解的差分格式。 而稱式而稱式（10-5）為差分方程（為差分方程（10-3）的截?cái)嗾`差。）的截?cái)嗾`差。),(2),(2),(1222jkxjktjkthxuahtxutxR )(hOW Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-25 如果一個(gè)差分方程的截?cái)嗾`差為 ，則稱差分方程對(duì)t是q階精度階精度，對(duì)x是是p階精度階精度的。顯然，截?cái)嗾`差的階數(shù)越大截?cái)嗾`差的階數(shù)越大，差分方程對(duì)微分方程差分方程對(duì)

23、微分方程的逼近越好。的逼近越好。 )(pqhOR 若若網(wǎng)格步長(zhǎng)網(wǎng)格步長(zhǎng)趨于趨于0時(shí)，差分方程的時(shí)，差分方程的截?cái)嗾`差也趨截?cái)嗾`差也趨于于0，則稱差分方程與相應(yīng)的微分方程是則稱差分方程與相應(yīng)的微分方程是相容相容的。的。這是用差分方法求解偏微分方程問(wèn)題的這是用差分方法求解偏微分方程問(wèn)題的必要條件必要條件。 如果當(dāng)如果當(dāng)網(wǎng)格步長(zhǎng)趨于網(wǎng)格步長(zhǎng)趨于0時(shí)，差分格式的時(shí)，差分格式的解收斂到相應(yīng)微解收斂到相應(yīng)微分方程定解問(wèn)題的解分方程定解問(wèn)題的解，則稱這種差分格式是，則稱這種差分格式是收斂的收斂的。 用差分格式求解時(shí)，除了截?cái)嗾`差外，每步計(jì)算都會(huì)用差分格式求解時(shí)，除了截?cái)嗾`差外，每步計(jì)算都會(huì)產(chǎn)生產(chǎn)生舍入誤差舍

24、入誤差，在，在遞推計(jì)算遞推計(jì)算的過(guò)程中，的過(guò)程中，誤差還會(huì)傳播誤差還會(huì)傳播。對(duì)。對(duì)計(jì)算過(guò)程中計(jì)算過(guò)程中誤差傳播的討論誤差傳播的討論就是差分格式的就是差分格式的穩(wěn)定性問(wèn)題穩(wěn)定性問(wèn)題。W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-26 如果利用某種差分格式求解，計(jì)算過(guò)程中誤差越來(lái)越如果利用某種差分格式求解，計(jì)算過(guò)程中誤差越來(lái)越大，以致所求的解完全失真，則稱該差分格式是大，以致所求的解完全失真，則稱該差分格式是數(shù)值不數(shù)值不穩(wěn)定的穩(wěn)定的。后面的討論表明，差分格式的。后面的討論表明，差分格式的穩(wěn)定性不僅與差穩(wěn)定性不僅與差分格式本身有關(guān)分格式本身有關(guān)，而且與網(wǎng)格步長(zhǎng)之比（稱為而且與網(wǎng)格步長(zhǎng)之比（稱為網(wǎng)格比網(wǎng)格

25、比）的大小有關(guān)的大小有關(guān)。如果一種差分格式對(duì)任意網(wǎng)格比都穩(wěn)定，。如果一種差分格式對(duì)任意網(wǎng)格比都穩(wěn)定，則稱該差分格式是則稱該差分格式是無(wú)條件穩(wěn)定的無(wú)條件穩(wěn)定的；若只對(duì)某些網(wǎng)格比的；若只對(duì)某些網(wǎng)格比的值穩(wěn)定；則稱為值穩(wěn)定；則稱為條件穩(wěn)定條件穩(wěn)定。如果對(duì)任何。如果對(duì)任何網(wǎng)格比都不穩(wěn)定，網(wǎng)格比都不穩(wěn)定，則稱完全不穩(wěn)定則稱完全不穩(wěn)定。完全不穩(wěn)定的差分格式是無(wú)效的完全不穩(wěn)定的差分格式是無(wú)效的。值。值得指出的是，穩(wěn)定性與微分方程無(wú)關(guān)。得指出的是，穩(wěn)定性與微分方程無(wú)關(guān)。 定理定理10.1 （Lax等價(jià)定理）等價(jià)定理） 給定一個(gè)適定的初值問(wèn)題，給定一個(gè)適定的初值問(wèn)題，如果逼近它的差分格式與它相容，則該差分格式收

26、斂的充如果逼近它的差分格式與它相容，則該差分格式收斂的充分必要條件為它是數(shù)值穩(wěn)定的。分必要條件為它是數(shù)值穩(wěn)定的。 由此定理，在對(duì)差分格式的穩(wěn)定性進(jìn)行討論的同時(shí)，由此定理，在對(duì)差分格式的穩(wěn)定性進(jìn)行討論的同時(shí)， 收斂性問(wèn)題也就解決了。收斂性問(wèn)題也就解決了。 （證明略）（證明略）W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-27 本節(jié)以本節(jié)以Poisson方程為方程為基本模型討論第一邊值基本模型討論第一邊值問(wèn)題的差分方法。問(wèn)題的差分方法。 2.1 差分格式的建立差分格式的建立 考慮考慮Poisson方程的第一邊值問(wèn)題：方程的第一邊值問(wèn)題： ),(| )(),( ),(),(2222yxx,yuyxyxf

27、yuxuyx 取取h和和分別為分別為x方向和方向和 y方向的步長(zhǎng)，如圖方向的步長(zhǎng)，如圖10-2所示，以兩族平行線：所示，以兩族平行線： jyykhxxjk, 0,(jk), 2, 1將定解區(qū)域剖分成矩形網(wǎng)格將定解區(qū)域剖分成矩形網(wǎng)格 。節(jié)點(diǎn)的全體記為：節(jié)點(diǎn)的全體記為： 為整數(shù)jijykhxyxRikjk,| ),(RQPTS圖圖10-2W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-28定解區(qū)域內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)稱為內(nèi)點(diǎn)，記內(nèi)點(diǎn)集定解區(qū)域內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)稱為內(nèi)點(diǎn)，記內(nèi)點(diǎn)集 為為 。邊界邊界 與網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為邊界點(diǎn)，邊界點(diǎn)全體記為與網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為邊界點(diǎn)，邊界點(diǎn)全體記為 。與節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn) 沿沿x方向或方向或y方向只差

28、一個(gè)步長(zhǎng)的點(diǎn)方向只差一個(gè)步長(zhǎng)的點(diǎn) 和和 稱為節(jié)點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn) 的相鄰節(jié)點(diǎn)。的相鄰節(jié)點(diǎn)。 Rhh),(jkyx),(1jkyx),(1jkyx),(jkyx 如果一個(gè)內(nèi)點(diǎn)的四個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)均屬于如果一個(gè)內(nèi)點(diǎn)的四個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)均屬于 ，如圖，如圖10-2中的點(diǎn)中的點(diǎn)S，T 稱為正則內(nèi)點(diǎn)稱為正則內(nèi)點(diǎn)，正則內(nèi)點(diǎn)的全體記為正則內(nèi)點(diǎn)的全體記為 ，至少有一個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)不屬于至少有一個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)不屬于 的內(nèi)點(diǎn)稱為非正則內(nèi)點(diǎn)，的內(nèi)點(diǎn)稱為非正則內(nèi)點(diǎn)，非正則內(nèi)點(diǎn)的全體記為非正則內(nèi)點(diǎn)的全體記為 。我們的問(wèn)題是要求出問(wèn)題我們的問(wèn)題是要求出問(wèn)題（10-3）在全體內(nèi)點(diǎn)上的數(shù)值解。）在全體內(nèi)點(diǎn)上的數(shù)值解。 ) 1 ()2( 為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，記為

29、簡(jiǎn)便起見(jiàn)，記: ),(),(),(),(),(,jkjkjkjkyxffyxujkuyxjk對(duì)正則內(nèi)點(diǎn)對(duì)正則內(nèi)點(diǎn) ，由二階中心差商公式，由二階中心差商公式:)1(),(jkW Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-29 ),(12), 1(),(2), 1(1)4(22),(224jkxjkyhxuhhjkujkujkuxu),(12) 1,(),(2) 1,(2)4(22),(224jkyjkyxujkujkujkuyuPoisson方程（方程（10-6）在點(diǎn)在點(diǎn)(k , j)處可表示為處可表示為 :22) 1,(),(2) 1,(), 1(),(2), 1(jkujkujkuhjkujku

30、jku),(,jkRfjk)910() 1,(0 )(),(12),(12),(21222)4(21)4(244hOyxuyhxuhjkRjkyjkx其中：其中：W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-30在式（在式（10-8）中略去）中略去R(k , j)即得與方程（即得與方程（10-6）相近似的）相近似的差分方程差分方程 : 式（式（10-9）為其截?cái)嗾`差表示式）為其截?cái)嗾`差表示式 .jkjkjkjkjkjkjkfuuuhuuu,21,1,2, 1, 122（10-10） 式式（10-10）中方程的個(gè)數(shù)等于正則內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，中方程的個(gè)數(shù)等于正則內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，而未知數(shù)而未知數(shù)uk ,j 則除了

31、包含正則內(nèi)點(diǎn)處解則除了包含正則內(nèi)點(diǎn)處解u的近似值的近似值外，還包含一些非正則內(nèi)點(diǎn)處外，還包含一些非正則內(nèi)點(diǎn)處u的近似值，因而方的近似值，因而方程個(gè)數(shù)少于未知數(shù)個(gè)數(shù)。在非正則內(nèi)點(diǎn)處程個(gè)數(shù)少于未知數(shù)個(gè)數(shù)。在非正則內(nèi)點(diǎn)處Poisson方程方程的差分近似不能按式的差分近似不能按式（10-10）給出，給出，需要利需要利用邊界條件得到。用邊界條件得到。 W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-31 邊界條件的處理可以有各種方案，下面介紹較簡(jiǎn)單的邊界條件的處理可以有各種方案，下面介紹較簡(jiǎn)單的兩種。兩種。 （1）直接轉(zhuǎn)移）直接轉(zhuǎn)移 用最接近非正則內(nèi)點(diǎn)的邊界點(diǎn)上的用最接近非正則內(nèi)點(diǎn)的邊界點(diǎn)上的u值作為該點(diǎn)上值

32、作為該點(diǎn)上u值的值的近似，這就是邊界條件的直接轉(zhuǎn)移。如圖近似，這就是邊界條件的直接轉(zhuǎn)移。如圖10-2，點(diǎn)，點(diǎn)R(k , j)為非正則內(nèi)點(diǎn)，其最接近的邊界點(diǎn)為為非正則內(nèi)點(diǎn)，其最接近的邊界點(diǎn)為Q點(diǎn)，則有點(diǎn)，則有 )2(,),( )()(jkQQuujk（10-11）將式將式（10-11）代入式代入式（10-10），方程個(gè)數(shù)即與未，方程個(gè)數(shù)即與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等。式知數(shù)個(gè)數(shù)相等。式（10-11）可以看作是用零次插可以看作是用零次插值得到非正則內(nèi)點(diǎn)處值得到非正則內(nèi)點(diǎn)處u的近似值，容易求出，其截的近似值，容易求出，其截?cái)嗾`差為斷誤差為O(h+ ) 。 W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-32（2）線性

33、插值）線性插值 這種方案是通過(guò)用同一條網(wǎng)格線上與點(diǎn)這種方案是通過(guò)用同一條網(wǎng)格線上與點(diǎn)P相鄰的邊界相鄰的邊界點(diǎn)與內(nèi)點(diǎn)作線性插值得到非正則內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)與內(nèi)點(diǎn)作線性插值得到非正則內(nèi)點(diǎn)P(k,j)處處u值的近似。值的近似。如圖如圖10-2，由點(diǎn)，由點(diǎn)R與與T的線性插值確定的線性插值確定u(p)的近似值的近似值uk,j，得得: )()(,TdhdRdhhujk（10-12）其中其中 ，其截?cái)嗾`差為，其截?cái)嗾`差為 。RPd )(2hO 將式（將式（10-12）與（）與（10-10）聯(lián)立，得到方程個(gè)數(shù)與未知）聯(lián)立，得到方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的方程組，求解此方程組可得到數(shù)個(gè)數(shù)相等的方程組，求解此方程組可得到Poi

34、sson方程方程第一邊值問(wèn)題（第一邊值問(wèn)題（10-6）的數(shù)值解）的數(shù)值解。W Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-33（10-13）由式（由式（10-10）所給出的差分格式稱為五點(diǎn)菱形格式，它）所給出的差分格式稱為五點(diǎn)菱形格式，它所涉及的節(jié)點(diǎn)如所涉及的節(jié)點(diǎn)如圖圖10-3所示。所示。jkjkjkjkjkjkfuuuuuh,1,1, 1, 12)4(1簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為: （10-14）21hjkjkfu,jk圖圖10-3 實(shí)際計(jì)算時(shí)經(jīng)常取實(shí)際計(jì)算時(shí)經(jīng)常取h= ，此時(shí)此時(shí)五點(diǎn)菱形五點(diǎn)菱形格式可化為格式可化為: 其中其中: jkjkjkjkjkjkuuuuuu,1,1, 1, 1,4W Y第章 十章 偏

35、微分方程數(shù)值解法10-34用五點(diǎn)菱形格式用五點(diǎn)菱形格式求解求解Laplace方程方程第一邊值問(wèn)題第一邊值問(wèn)題 )1 (lg| ),(),( 0222222yxyxuyxyuxuP.1,0| ),(yxyx31h其中其中 取取 。 解解 如圖如圖10-4所示，所示，網(wǎng)格中有四個(gè)內(nèi)點(diǎn)，網(wǎng)格中有四個(gè)內(nèi)點(diǎn)，均為正則內(nèi)點(diǎn)。由五均為正則內(nèi)點(diǎn)。由五點(diǎn)菱形格式（點(diǎn)菱形格式（10-13），得方程組，得方程組:(0.3)(1.3)(2.3)(3.3)(3.2)(3.1)(2.1)(1.1)(0.1)(0.2)(1.2)(2.2)(0.0)(1.0)(2.0)(3.0)Oy 圖圖10-4W Y第章 十章 偏微分方程

36、數(shù)值解法10-350)4(10)4(10)4(10)4(12 , 21 , 23 , 22 , 12 , 322 , 11 , 13 , 12 , 02 , 221 , 20 , 22 , 21 , 11 , 321 , 10 , 12 , 11 , 01 , 22uuuuuhuuuuuhuuuuuhuuuuuh代入邊界條件：代入邊界條件： 925lg ,916lg0, 20, 1uu913lg ,910lg2, 01 , 0uu934lg ,925lg3 , 23 , 1uu940lg ,937lg2, 31 , 3uuW Y第章 十章 偏微分方程數(shù)值解法10-36其解為其解為4603488. 0 ,2756919. 02,11 , 1uu5080467. 0 ,3467842. 02,22, 1uu934lg940lg4 925lg913lg4 925lg937lg 4916lg910lg 42,22,11 ,22,2211 ,12,21