八年級初二數(shù)學(xué)第二學(xué)期勾股定理單元易錯題難題測試基礎(chǔ)卷試題

1、八年級初二數(shù)學(xué)第二學(xué)期勾股定理單元易錯題難題測試基礎(chǔ)卷試題一、解答題1. （1）如圖 1,在RUABC中，ZACB = 90°, ZA = 60°, CD平分ZACB.ffil小明為解決上面的問題作了如下思考：作MDC關(guān)于直線CD的對稱圖形A'DC, TCD平分ZACB , :. A'點(diǎn)落在CB上，且CA = CA,=初.因此，要證的問題轉(zhuǎn)化為只要證岀AD = AB即可.請根據(jù)小明的思考，寫岀該問題完整的證明過程.（2）參照（i）中小明的思考方法，解答下列問題：如圖 3,在四邊形 ABCD中，AC平分ZEW, BC = CD = 10, AC = 1, AZ

2、） = 9. 求qs的長.2. （發(fā)現(xiàn)）小慧和小雯用一個平而去截正方體，得到一個三角形截面（截出的而），發(fā)現(xiàn) 截面一宦是銳角三角形.為什么呢？她們帶著這個疑問請教許老師.（體驗(yàn)）（1）從特殊入手 許老師用1個釧釘把長度分別為4和3的兩根窄木棒的一端連 在一起（如圖仙=4, M = 3）,保持朋不動，讓兀從重合位置開始繞點(diǎn)力轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動的 過程，觀測EC的大小和ZUBC的形狀，并列岀下表：BC的大小4MC的形狀1 < BC <m BC va直角三角形m<BC <n BC = 7i直角三角形n<BC <7 請仔細(xì)體會其中的道理，并填空：, n=:（2）獵想一般結(jié)

3、論在山兀中，設(shè)BC = a, AC = b, AB = c（a<b<c）, 若山兀為直角三角形，貝舊恥滿足以+ b2 = c2； 若ZUBC為銳角三角形，貝呵b,c滿足: 若ZUBC為鈍角三角形，貝qa,b,c滿足.（探索）在許老師的啟發(fā)下，小慧用小刀在一個長方體橡皮上切出一個三角形截而 （如圖1），設(shè)=SB = y, SC = z,請幫助小慧說明為銳角三角形的道理.圏1（應(yīng)用）在小慧的基礎(chǔ)上，小雯又切掉一塊"角得到一個新的三角形截而DEF（如圖2）,那么4DEF的形狀是（）A. 一定是銳角三角形B. 可能是銳角三角形或直角三角形，但不可能是鈍角三角形C. 可能是銳角三角

4、形或直角三角形或鈍角三角形3. 在平而直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)& （0, 4） , B （m, 0）在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C, O關(guān)于直線&8對 稱，點(diǎn)D在線段43上.（1）如圖1，若m = 8,求&8的長；（2）如圖2,若m=4,連接OD,在y軸上取一點(diǎn)&使OD=DE,求證：CE=近DE；（3）如圖3,若m=4書,在射線AO上裁取&F,使AF=BD,當(dāng)CD+CF的值最小時，請 在圖中畫出點(diǎn)D的位垃，并直接寫岀這個最小值.4. （已知：如圖1,矩形OACB的頂點(diǎn)4, 3的坐標(biāo)分別是（6, 0）、（0, 10）,點(diǎn)D是 y軸上一點(diǎn)且坐標(biāo)為（0, 2）,點(diǎn)P從點(diǎn)&出

5、發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿線段AC-CB 方向運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)B時運(yùn)動停止.（1）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t，A BPD的面積為S,求S與r之間的函數(shù)關(guān)系式：（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到線段C3上時（如圖2）,將矩形OAC8沿OP折疊，頂點(diǎn)B恰好落在邊 AC上點(diǎn)F位置，求此時點(diǎn)P坐標(biāo)：（3）在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，是否存BPD為等腰三角形的情況？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)： 若不存在，請說明理由.組：24, 10. 26：第五組：35, 12, 37：第六組：48, 14, 50；（1）是否存在一組數(shù)，既符合上述規(guī)律，且其中一個數(shù)為71?若存在，請寫出這組數(shù):若不存在，請說明理由：（2）以任意一個大于2的偶數(shù)為一條直角邊的長

6、，是否一淀可以畫岀一個直角三角形，使 得該直角三角形的另兩條邊的長都是正整數(shù)？若可以，請說明理由；若不可以，請舉出反 例.6. 如圖2,在平而直角坐標(biāo)系中，直線43經(jīng)過點(diǎn)C （a, a）,且交x軸于點(diǎn)& （m,0）,交 y 軸于點(diǎn) B （0, n）,且 m, n 滿足 Jm-6 + <n - 12） 0.（1）求直線的解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)：（2）過點(diǎn)C作CD丄交x軸于點(diǎn)D,請在圖1中畫岀圖形，并求D點(diǎn)的坐標(biāo)：（3）如圖2,點(diǎn)E （0, -2），點(diǎn)P為射線A3上一點(diǎn)，且ZC£P=45。，求點(diǎn)P的坐標(biāo).7. 如圖 1, ABC 中，CD 丄&3 于 D,且 BD:AD:

7、CD=2:3:4,（1）試說明AABC是等腰三角形；（2）已知S,*8c=40cm2,如圖2,動點(diǎn)M從點(diǎn)B岀發(fā)以每秒2cm的速度沿線段助向點(diǎn)A 運(yùn)動，同時動點(diǎn)/V從點(diǎn)A出發(fā)以每秒lcm速度沿線段&C向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終 點(diǎn)時整個運(yùn)動都停止設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動的時間為t （秒）， 若DMA/的邊與BC平行，求t的值： 若點(diǎn)£是邊AC的中點(diǎn)，問在點(diǎn)M運(yùn)動的過程中，AMDE能否成為等腰三角形？若能， 求出r的值：若不能，請說明理由.圖1圖2備用圖8. 定義：在 AABC 中，若 BC=a, AC=b, AB=c,若 a, b, c 滿足 ac+a2 = b2,則稱這個 三角形為&qu

8、ot;類勾股三角形"，請根拯以上建義解決下列問題：BC(1) 命題"直角三角形都是類勾股三角形"是命題(填"真"或"假")：(2) 如圖1,若等腰三角形ABC是"類勾股三角形"，英中AB=BC, AC>AB,請求Z&的 度數(shù)；(3) 如圖 2,在公ABC 中，且ZC>ZA. 當(dāng)ZA = 32。時，你能把這個三角形分成兩個等腰三角形嗎？若能，請在圖2中畫出分割 線，并標(biāo)注被分割后的兩個等腰三角形的頂角的度數(shù)：若不能，請說明理由： 請證明&8C為“類勾股三角形9. 如圖，在2MBC

9、中，ZACB=90 AC=BC, AB=29 CD是邊&3的髙線，動點(diǎn)E從點(diǎn)A 出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線4C運(yùn)動：同時，動點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以相同的速度 沿射線CB運(yùn)動.設(shè)F的運(yùn)動時間為t (s) (t>0).(1) AE= (用含t的代數(shù)式表示)，ZBCD的大小是度；(2) 點(diǎn)£在邊AC上運(yùn)動時，求證：ADF竺厶CDF；(3) 點(diǎn)£在邊AC上運(yùn)動時，求ZEDF的度數(shù)：(4) 連結(jié)3&當(dāng)CE=AD時，直接寫岀r的值和此時BE對應(yīng)的值.10. 如圖，己知 RtMBC. ZACB = 90°. ZBAC = 30°,斜邊 =ED

10、為 43 垂直平分線，且DE = 2也,連接DB，D4(1)直接寫出BC =(2) 求證：誠是等邊三角形；(3) 如圖，連接CD,作丄CD，垂足為點(diǎn)F,直接寫出3F的長;BACD備用圖(4) P是直線AC上的一點(diǎn)，且CP = AC .連接PG 直接寫岀卩£的長.311如圖，在矩形ABCD中，AB二8, BC=10> E為CD邊上一點(diǎn)，將AADE沿AE折疊.使點(diǎn) D落在BC邊上的點(diǎn)F處.(1) 求BF的長：(2) 求CE的長.12. 已知 AABC 中，AB = AC （1）如圖 1,在zUDE中，AD = AE,連接 3£、CE,若ZDAE = ZBAC,求證:BD

11、= CE（2）如圖 2,在ADE 中，AD = AE,連接施、CE 若 ZDAE = ABAC = 60 ,CE丄AD于點(diǎn)F，4£ = 4, EC = 5,求施的長：（3）如圖3,在站仞中，ZCBD = ZCDB = 45S連接AD,若ZCAB = 45 求ADAB的值.D13. 如圖，、ABD為邊長不變的等腰直角三角形，AB = AD Zfi4Z)=9(r,在ABD 外取一點(diǎn)E，以人為直角頂點(diǎn)作等腰直角AEP，英中P在ABD內(nèi)部，ZE4P = 90°, AE = AP = 2> 當(dāng) E、P、D 三點(diǎn)共線時，BP =下列結(jié)論： E、P、D共線時，點(diǎn)3到直線AE的距離為

12、、廳： E、P、D 共線時，Swp+Swp = l + JL 作點(diǎn)A關(guān)于BD的對稱點(diǎn)C,在aAEP繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)的過程中，PC的最小值為 5+23 - >/2； AEP繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在A3上，當(dāng)點(diǎn)P落在ADk時，取上一點(diǎn)N,使得 AN = BN,連接ED,則如V丄ED.其中正確結(jié)論的序號是 B.14如圖，'ABC中，ZACB=90。，AB=5cmt BC=3cm,若點(diǎn)P從點(diǎn)&出發(fā)，以每秒2cm 的速度沿折線A-C-B-A運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為r秒(t>0).(!)若點(diǎn)p在AC上，且滿足PA=PB時，求岀此時r的值：(2) 若點(diǎn)P恰好在ZBAC的角平分線上，求t的值：(

13、3) 在運(yùn)動過程中，直接寫出當(dāng)r為何值時，aBCP為等腰三角形.15. 如圖，ZVICB和AECD都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=90°t點(diǎn)D在邊力3上, 點(diǎn)E在邊&C的左側(cè)，連接AE.（1）求證：AE=BD；（2）試探究線段AD、BD與CD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）過點(diǎn)C作CF丄DF交48于點(diǎn)F,若BD： AF=1： 2近,CD=忑十胚,求線段 的長.16. 泄義：如圖1,平而上兩條直線曲、Q相交于點(diǎn)0,對于平而內(nèi)任意一點(diǎn)"，點(diǎn)到 直線M、Q的距離分別為p、q,則稱有序?qū)崝?shù)對q）是點(diǎn)”的“距離坐標(biāo)”，根拯上 述定義，"距離坐標(biāo)”為（0, 0）的點(diǎn)有1

14、個，即點(diǎn)0.（1）“距離坐標(biāo)”為（1, 0）的點(diǎn)有個；（2）如圖2,若點(diǎn)"在過點(diǎn)0且與直線M垂直的直線上時，點(diǎn)"的“距離坐標(biāo)”為（P，q）,且乙BOD = 150%請寫出p、q的關(guān)系式并證明；（1）如圖1，D, F是等腰Rt"BC斜邊BC上兩動點(diǎn)，且ZDAE=45°,將"肚繞點(diǎn)A逆 時針旋轉(zhuǎn)90后，得到MFC,連接DF求證：AAEDAAFDt當(dāng)BE=39 CE=7時，求DE的長；(2) 如圖2,點(diǎn)D是等腰RtA&BC斜邊8C所在直線上的一動點(diǎn)，連接AD,以點(diǎn)A為直角 頂點(diǎn)作等腰Rt"DF,當(dāng)BD=39 BC=9時，求DF的長.

15、18. 如圖，MBC是等邊三角形，為AC上兩點(diǎn)，且AE = CD,延長BC至點(diǎn)F, 使CF = CD.連接3D(1) 如圖1，當(dāng)兩點(diǎn)重合時，求證：BD = DF；(2) 延長BD與EF交于點(diǎn)G . 如圖2,求證：ZBGE = 60°； 如圖3,連接BE、CG ,若ZEBD = 303BG = 4,則ABCG的而積為19. 如果一個三角形的兩條邊的和是第三邊的兩倍，則稱這個三角形是優(yōu)三角形"，這兩 條邊的比稱為"優(yōu)比"(若這兩邊不等，則優(yōu)比為較大邊與較小邊的比)，記為(1) 命題："等邊三角形為優(yōu)三角形，其優(yōu)比為1",是真命題還是假命題

16、？(2) 已知“ABC為優(yōu)三角形，AB = c, AC = b, BC = a,A圏1ABC圏2 如圖1,若ZACB = 90。，b>a, b = 6,求a的值. 如圖2, c>b>a,求優(yōu)比k的取值范圍.(3)已知 ABC是優(yōu)三角形，且ZABC = nO°, BC = 4,求aABC的而積.20. 我國古代數(shù)學(xué)家趙爽曾用圖1證明了勾股左理，這個圖形被稱為"弦圖”.2002年在北京 召開的國際數(shù)學(xué)家大會(ICM 2002)的會標(biāo)(圖2),英圖案正是由"弦圖"演變而來"弦圖"是由4 個全等的直角三角形與一個小正方形組成

17、，恰好拼成一個大正方形請你根據(jù)圖1解答下列 問題：(1) 敘述勾股宦理(用文字及符號語言敘述)；(2) 證明勾股定理；若大正方形的而枳是13川、正方形的面積是1球(“+b)2的值.圖1圖2【參考答案】試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一.解答題1. (1)證明見解析;(2) 21.【分析】(1) 只需要證明ZA'D3 = ZB = 30。，再根據(jù)等角對等邊即可證明A'D = A'B,再結(jié)合 小明的分析即可證明：(2) 作"DC關(guān)于AC的對稱圖形 AD'C,過點(diǎn)C作CE丄AB于點(diǎn)E,則D，£=BE.設(shè) D，£=BE=x.在RtACEB和RtAC

18、EA中，根據(jù)勾股左理構(gòu)建方程即可解決問題.【詳解】解：(1)證明：如下圖，作MDC關(guān)于CD的對稱圖形aATC,VCD 平分ZACB,A'點(diǎn)落在CB上V ZACB=90°,AZB=90°-ZA=30°, ZA/DB=ZCA/D-ZB=30 即ZA'DB二ZB,A'D 二 AB CA+AD 二 CA'+A'D 二 CA'+A'B 二 CB（2）如圖，作AADC關(guān)于AC的對稱圖形"（：D'A二DA二9, D'C二DC二 10,TAC 平分 ZBAD,D'點(diǎn)落在AB上，TBC=10,

19、A DX=BCt過點(diǎn)C作CE丄AB于點(diǎn)E,則D'E二BE,設(shè) D/E=BE=x,在 RtACEB 中，CE2=CB2-BE2=102-x2,在 RtACEA 中，CE2=AC2-AE2=172- (9+x) 6A102-x2=172- (9+x) 2,解得：x=6,AB 二 AD'+D'E+EB 二 9+6+6=21.【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì).(1)中證明 ZADB=ZB不是經(jīng)常用的等量代換，而是利用角之間的計算求得它們的度數(shù)相等，這有點(diǎn) 困難，需要多注意；(2)中掌握方程思想是解題關(guān)鍵.2. 【體驗(yàn)】 護(hù)，5； (2)

20、a2 + b2>c2:Q + b2<c2：【探索】Z1MC為銳角三 角形；道理見解析：【應(yīng)用】c.【解析】【分析】本題從各個角度證明了勾股定理，運(yùn)用圖形與證明結(jié)合，依次證明即可，具體見詳解.【詳解】體驗(yàn)：(1)如上圖BC = m = 麗匚死2 =屮,（2）根據(jù)大角對大邊，若為直角三角形，貝呵吐滿足a2 + b2 = c那么銳角、鈍角如下；q2 + b2> c2；®a2 + b2 < c2.【探索】在RtASAB中，AB2 = x2 + y2t在RMSBC中，BC2 = y2 + z2,在RtASCA 中，CA2 = z2 + x2,:.AB2 + BC2 =

21、x2 + y2 + y2 + z2 = x2 + z2 + 2y2 >x2 + z2 = CA2,"BC為銳角同理，LBCA和乙C4B都為銳角.zMBC為銳角三角形.【應(yīng)用】根據(jù)【探索】中的方法，進(jìn)行探究可以發(fā)現(xiàn)，可能是銳角三角形或直角三角形或鈍角三角 形，故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了勾股左理的證明及應(yīng)用，以及三角形的邊與邊的關(guān)系，能利用數(shù)形結(jié)合是解答 此題的關(guān)鍵.3. 加=4點(diǎn)；（2）見解析；（3） CD+CF的最小值為40.【分析】（1）根據(jù)勾股定理可求AB的長：（2）過點(diǎn)D作”丄A0,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得OF=EF，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)等腰直角 三角形的性質(zhì)可得AF=DF

22、，設(shè)OF=EF=x, AE=4 - 2x,根據(jù)勾股定理用參數(shù)x表示DE, CE的長，即可證CE=DE；（3）過點(diǎn)8作丄03,在BA4上截取BM=A0,過點(diǎn)C作CNLBM,交MB的延長線于 點(diǎn)N,根據(jù)銳角三角函數(shù)可得厶30=30°，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AC=40=4, B0=BC =43 » Z4BO=Z&8C=30° , ZOAB=ZCAB=60° ,根據(jù) “SAS” 可證 ACFWZXBMD,可得CF=DM,則當(dāng)點(diǎn)D在CM上時，CF+CD的值最小，根據(jù)直角三角形 的性質(zhì)可求C/V, 3A/的長，根據(jù)勾股定理可求CM的長，即可得CF+CD的最小值

23、.【詳解】（1）.點(diǎn) 4 （0, 4） , B （m, 0）,且 m = 8,+0=4, 80=8.在 RtA>4fi0 中，AB= + BO2 = 4>/5(2) 如圖，過點(diǎn)D作DF丄人0,9：DE=D0, DF丄力O,:.EF=FO,Vm=4f&0=B0=4,A ZABO= Z0AB=n5<i ,點(diǎn)C, O關(guān)于直線對稱，ZC&8=ZCB&=45° , AO=AC=OB=BC=n.ZC&O=ZCBO=90° ,9：DFA.A0, Z8/40=45° ,ZD4F=Z&M=45° ,:.AF=DF.

24、設(shè) OF=EF=*, AE=4 - 2xt:.AF=DF=n- x,在 RtADEF 中，DE= yEF2 + DF2 = yjx2 +（4-x）' = 2x2-Sx + 6:CE=DE、(3) 如圖，過點(diǎn)3作BM丄OB, /£BM上截取BM=A0.過點(diǎn)C作C/V丄B/VT交M3的延 長線于點(diǎn)N，Vm=4 3 03=4屈 'tan ZABO= ZABO=30°點(diǎn)c, 0關(guān)于直線對稱， &C=AO=4, BO=BC=4*, ZABO= ZABC=30" , ZOAB= ZCAB=60° ,A ZC/AF= 120° , Z

25、CBO=60°9：BM丄OB, ZABO=30" 9:.ZABM= 12Q",:.ZCAF= ZABM. K DB=AF, BM=AO=AC=49:.AACFABMD (SAS):.CF=DM,: CF+CD=CD+DM,.當(dāng)點(diǎn)D在CM上時，CF+CD的值最小，即CF+CD的最小值為CM的長，VZCBO=60° , BM丄08,AZCBA/=30° ,且 B/Vf 丄OB, BC=4 屆 :CN=2*、BN=*CN=6,I MN=BM+BN=4+6 = 10,在 RtACA4/V 中，CM = yCN2+MN2 = 4>/7 »

26、CD+CF的最小值為4j7【點(diǎn)睛】的判左和性質(zhì)，最短路徑問題等知識 關(guān)鍵.本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股左理，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形 靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識是解題的4.(1) S詔24(0*6)(2)-4t + 64(6 < t < 16)¥，ioj (3)存在，(6,6)或(6,10-2>/7), (6,2丁7+2)【解析】【分析】(1) 當(dāng)P在AC段時，ABPD的底BD與高為固上值，求出此時而積：當(dāng)P在BC段時，底 邊BD為固定值，用t表示岀高，即可列出S與t的關(guān)系式：(2) 當(dāng)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在AC邊上時，設(shè)P

27、(m, 10),則PB=PB, =m,由勾股定理得m2=22+ (6-m )即可求岀此時P坐標(biāo)；(3) 存在，分別以BD, DP, BP為底邊三種情況考慮，利用勾股泄理及圖形與坐標(biāo)性質(zhì)求 出P坐標(biāo)即可.【詳解】解:(1) VA, B的坐標(biāo)分別是(6, 0)、(0, 10),0A二6, OB=10,當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時,OD=2, BD=OB-OD=10-2=8,髙為6,.* S= x8x6=24;2當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時,BD=8,高為6+10E6t,AS=- X8X (16-t) =-4t+64：2S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為:24 (0<t<6)S = < -4t + 64 (

28、6<t <16)m,如圖1,AB' =VOB2-OA2/.B* C=10-8=2,*. PC 二 6mA m2=22+ （6-m） 2,解得m=y則此時點(diǎn)P的坐標(biāo)是（巴，10）；3（3）存在，理由為：若ABDP為等腰三角形，分三種情況考慮：如圖2,BC、嚴(yán)D0圖25 當(dāng) BD=BP1=OB-OD=10-2=8>在 RtABCPi 中,BPi=8, BC二6,根據(jù)勾股定理得：CP嚴(yán)爲(wèi)W = 2斤A APi=10-277,即 Pi (6, 10-2>/7)> 當(dāng) BP2=DP2時，此時 P2 (6, 6):當(dāng)DB二DP尸8時，RtADEP3 中，DE=6,根據(jù)

29、勾股左理得：啡=龐匸歹=2丿7，.AP3=AE+EP3=2x/7+2,即 P3 （6, 2J7+2）,綜上，滿足題意的P坐標(biāo)為（6, 6）或（6, 10-2“），（6, 27+2）.【點(diǎn)睹】本題是四邊形綜合題，考査了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定 理等知識，注意分類討論思想和方程思想的運(yùn)用.5. （1）不存在，見解析；（2）以任意一個大于2的偶數(shù)為一條直角邊的長，一定可以畫 出一個直角三角形，使得該直角三角形的另兩條邊的長都是正整數(shù)，見解析.【分析】（1）根據(jù)題意可知，這n組正整數(shù)符合規(guī)律m2-l, 2m, m2+l （m>2,且m為整數(shù)）.分 三種情況：m2-l=

30、71； 2m=71； m2+l=71；進(jìn)行討論即可求解；（2）由于（m2-l） 2+ （2m） 2=m4+2m2+l= （m2+l）根據(jù)勾股定理的逆左理即可求解.【詳解】（1）不存在一組數(shù)，既符合上述規(guī)律，且貝中一個數(shù)為71.理由如下：根據(jù)題意可知，這組正整數(shù)符合規(guī)律一1, 2m, m2 + （m>2,且加為整數(shù)）.若nr-1 = 71,則nr = 72，此時加不符合題意;若2加= 71,則加= 35.5,此時加不符合題意：若nr + 1=71，則nr = 70，此時m不符合題意,所以不存在一組數(shù)，既符合上述規(guī)律，且其中一個數(shù)為71.（2）以任意一個大于2的偶數(shù)為一條直角邊的長，一泄可以

31、畫出一個直角三角形，使得該直角三角形的另兩條邊的長都是正整數(shù).理由如下：對于一組數(shù)：一,2m, m2+ （/h>2,且加為整數(shù)）.因?yàn)椋? 一 1）2 + （2m）2 =m4 + 2m2 +1 = （m2 +1）2所以若一個三角形三邊長分別為m2 -1, 2m , m2+ （w>2,且川為整數(shù)），貝ij該三 角形為直角三角形.因?yàn)楫?dāng)m>2.且加為整數(shù)時，2加表示任意一個大于2的偶數(shù)，加2_,加2十均為正 整數(shù)，所以以任意一個大于2的偶數(shù)為一條宜角邊的長，一泄可以畫出一個直角三角形，使得該 直角三角形的另兩條邊的長都是正整數(shù).【點(diǎn)睛】考查了勾股泄理的逆泄理：如果三角形的三邊長

32、a, b, c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形 就是直角三角形.注意分類思想的應(yīng)用6. (1) y=2x4-12,點(diǎn)C坐標(biāo)(4, 4) :(2)畫圖形見解析，點(diǎn)D坐標(biāo)(一4, 0)：1464(3) 點(diǎn)P的坐標(biāo)(一一，)33【分析】(1) 由已知的等式可求得"八"的值，于是可得直線AB的函數(shù)解析式，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代 入可求得"的值，由此即得答案：(2) 畫岀圖象，由CD丄ABkAH.kCD=-可設(shè)出直線CD的解析式，再把點(diǎn)C代入可得 CD的解析式，進(jìn)一步可求D點(diǎn)坐標(biāo)：(3) 如圖2,取點(diǎn)F (-2, 8),易證明CE丄CF且CE=CF,于是得ZPEC=45。，進(jìn)一

33、步 求出直線FF的解析式，再與直線聯(lián)立求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即為點(diǎn)P.【詳解】解：(1) V+ (n- 12) 2=0,.m = 6, n = 12,& (6, 0) , B (0, 12),設(shè)直線AB解析式為y=kx+b, b = 2則有6'解得k=2 b = 2 'J .直線AB解析式為y=-2x+12,直線AB過點(diǎn)C (a, a),.a=-2a+12, .,.a=4,點(diǎn)C坐標(biāo)(4, 4).(2)過點(diǎn)C作CD丄血交x軸于點(diǎn)D,如圖1所示，設(shè)直線CD解析式為y=；x+b；把點(diǎn)C(4, 4)代入得到廳=2,直線CD解析式為y=|x+2,.點(diǎn)D坐標(biāo)(一4, 0).(3) 如

34、圖2中，取點(diǎn)F (2, 8),作直線FF交直線AB于P,3220丁直線FC解析式為y =牙“一2,直線CF解析式為$= kx+k , 厶丿丿直線CE丄CF,EC=2 屈,CF=2 屈,:EC=CF、:.ZCE是等腰直角三角形，AZF£C=45° ,：直線FE解析式為y= 一5x-2,14y = -2a +12由，c c解得5b' = _5x_2x =- 364v =點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一一,)33【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)的綜合題，綜合考查了坐標(biāo)系中兩直線的垂直問題、兩條宜線的交點(diǎn)問題 和求特殊角度下的直線解析式，并綜合了勾股定理和等腰直角三角形的判左和性質(zhì)，解題 的關(guān)鍵是熟

35、知坐標(biāo)系中兩宜線垂直滿足g =, 一次函數(shù)的交點(diǎn)與對應(yīng)方程組的解的關(guān)系苴中，第(3)小題是本題的難點(diǎn)，尋找到點(diǎn)F (2, 8)是解題的突破口.10497. (1)見詳解：(2)t值為：s或6s：t值為：4.5或5或幣【分析】(1) 設(shè)BD=2x, AD=3x, CD=4x,則AB=5x,由勾股定理求出AC,即可得出結(jié)論;(2) 由ZkABC 的而積求出 BD、AD. CD、AC：當(dāng) MNBC 時，AM=AN：當(dāng) DN/BC 時， AD=AN；得岀方程，解方程即可；根據(jù)題意得岀當(dāng)點(diǎn)M在DA上，即2VtW5時，AMDE為等腰三角形，有3種可能：如 果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t

36、-4：分別得岀方程，解方程即可.【詳解】解：(1)證明：設(shè) BD=2x, AD=3x, CD=4x,則 AB二5x,在 RtA ACD 中，AC=5x,AB二 AC,A A ABC是等腰三角形；(2) 解:由(1)知，AB=5x, CD=4x,ASabc=丄 x5xx4x=40cm2,而 x>0,2x=2cm»則 BD=4cmt AD二6cm, CD=8cm, AB=AC=10cm 由運(yùn)動知，AM=10-2tt AN二t, 當(dāng) MNBC 時，AM二AN.即 10-2t=t,10 t = 一 3當(dāng) DN/7BC 時，AD=AN,.6=t,得：t=6；.若ADM N的邊與BC平行時

37、，t值為¥$或6$. 存在，理由：I、當(dāng)點(diǎn)M在BD上，即0<t<2時，AMDE為鈍角三角形，但DMHDE：1【、當(dāng)t=2時，點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)D,不構(gòu)成三角形III、當(dāng)點(diǎn)M在DA上，即2<t<5時，AMDE為等腰三角形，有3種可能. 點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，.DE=4aC=52當(dāng) DE=DM,則 2t-4=5,.t=4.5s：當(dāng)ED=EM,則點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)A,At=5s；當(dāng) MD=ME=2t-4>如圖，過點(diǎn)E作EF垂直AB于F,DF二AF丄 AD=3,2在 RtAAEF 中，EF=4：VBM=2t. BF二BD+DF二4+3=7,AFM=2t-7在 RtA EFM

38、中，(2t-4) 2- (2t-7) 2=42,49 t=.1249綜上所述，符合要求的t值為4.5或5或一12【點(diǎn)睛】本題主要考査了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的而積公式，勾股泄理，解本 題的關(guān)鍵是分情況討論.8. (1)假：(2)厶=45。；(3)不能，理由見解析，見解析【分析】(2)先由直角三角形是類勾股三角形得出ab+a2=c再由勾股泄理得a2+b2=c2,即可判斷 出此直角三角形是等腰直角三角形：(2) 由類勾股三角形的左義判斷出此三角形是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論：(3) 分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；先求出 CD=CB=a, AD=CD=a, DB=A

39、B-AD=c-a, DG=BG=- (c-a) , AG=- (a+c),兩個2 2直角三角形中利用勾股左理建立方程即可得出結(jié)論.【詳解】解：(1)如圖1,假設(shè)RtA>4BC是類勾股三角形，圖1ab+az = cz, 在RtAABC中，ZC= 90°，根據(jù)勾股定理得,*+夕=已/. ab+b2 = o2+b29/. ab=az,a = b,.ABC是等腰直角三角形，等腰直角三角形是類勾股三角形，即：原命題是假命題，故答案為：假：(2) 9：AB = BC. AOAB,.a=ct b>c,ABC是類勾股三角形，/. ac+cr2 = b2,:.c2+a2=b2,是等腰直角三

40、角形， ZA = 45°,(3) 在 ABC 中，ZABC=2ZBAC, ZBAC=32:.ZABC= 64°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和泄理得，ZCB=180°- ZBAC- Z&BC=84。，把這個三角形分成兩個等腰三角形， ( I ).當(dāng) ZBCD=ZBDC 時，J ZABC=64:.ZBCD=ZBDC=58:.ZACD= ZACB - ZBCD=84° - 58°=26 ZADC= ZABCZBCD=122° .&CD不是等腰三角形，此種情況不成立：(II) 、當(dāng)ZBCD=ZABC=64°時，ZBDC=52。

41、，A ZACD=20 ZADC=128&CD是等腰三角形，此種情況不成立：(III) 、當(dāng)ZBDC=ZABC=64。時，ZBCD=52°, ZACD= ZACB - 8CD=32°= ABAC.ACD是等腰三角形，即：分割線和頂角標(biāo)注如圖2所示，II. 分zabc9同(I )的方法,判斷此種情況不成立;III、分ABAC,同(II)的方法，判斷此種情況不成立; 如圖3,在AB邊上取點(diǎn)D,連接CD,使ZACD=ZA作CG丄于G, ZCDB= ZACDZA = 2ZA99： ZB=2ZA.:ZCDB=ZB、CD=CB=6 ZACD=ZA. AD=CD=ctt/.DB=A

42、B - AD=c a,TCG 丄.DG=BG= (ccr),2:.AG=AD+DG=a+ (c- a) (a+c),在RZCG中，CGF*宀丐(門2,b2 - (a+c) 2=a2 - (c - a) 2,2 2b2 = ac+a2,.ABC是“類勾股三角形【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考査了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，新泄義"類勾股三角 形”，分類討論的數(shù)學(xué)思想，解本題的關(guān)鍵是理解新泄義.9. (1) t, 45；(2)詳見解析；(3) 90°：(4) t 的值為 -1 或BE=書.【解析】【分析】(1) 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題：(2) 根據(jù)SAS即可證明

43、厶ADE竺“CDF：(3) 由厶ADE9/CDF,即可推出 ZADE=ZCDF,推岀 ZEDF=ZADC=90° :(4) 分兩種情形分別求解即可解決問題.【詳解】(1) 由題意：AE=t.9：CA=CB. ZACB=90° , CD丄A Z8CD=ZCD=45° 故答案為r, 45.(2) V ZACB=90° , CA二CB CD1AB, :.CD=AD=BD. :. Z=ZDCB=45° &QCF, :./ADE/CDF (SAS).(3) 點(diǎn) E 在邊 AC 上運(yùn)動時，ZX/WE竺CDF,二 ZADE二ZCDF, :. ZEDF

44、=ZADC=90"(4) 當(dāng)點(diǎn) F 在 &C邊上時，如圖 1在 RtA>ACB 中，V ZACB=90° , AC=CB. AB=2. CD丄&B, :.CD=AD=DB=1. AC=BC= 2 VCE=CD=1, :.AE=AC- CE=y/21 :人=近_vbc=7PT7=72» be=仮2+bc" VTH=書: 當(dāng)點(diǎn)£在AC的延長線上時，如圖2,處“c+fc=JT+2, .r=JI+i.BC=J2 + 12 =妊 BE二 JeD +BC2 二 VT巨二 * :綜上所述：滿足條件的r的值為邁或JI+1，BE=y/3【點(diǎn)

45、睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判左和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活 運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.10. (1) 2. 2* (2)證明見解析(3)(4)空或竺733【分析】(1) 根據(jù)含有30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BC=2,再由勾股左理即可求出AC的長；(2) 由劭為A3垂直平分線可得DB=DA,在RtABDE中，由勾股左理可得BD=4,可得BD=2BE,故ZBDE為60° ,即可證明是等邊三角形；(3) 由(1) (2)可知，AC=2jJ, AD=4,進(jìn)而可求得CD的長，再由等積法可得阿邊形ACW = S“BCD + AACD »

46、代入求解即可；（4）分點(diǎn)P在線段AC上和AC的延長線上兩種情況，過點(diǎn)E作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q, 構(gòu)造RtAPQE,再根據(jù)勾股定理即可求解.【詳解】（1）/ RtMBC, ZACB = 90。，ABAC = 30°,斜邊 AB = 4,BC = AB = 2, :、AC = J AB 匚 BC，=2 書:（2）: ED為A3垂直平分線，ADB=DA,在 RtABDE 中，V BE = AE = -AB = 2, DE = 2*，2 BD = ylBE2+DE2=4 ABD=2BE> ZBDE 為 60° ,AAABD為等邊三角形；（3）由（1） （2）可知，AC=2&

47、gt;/3 > ad二4, cd=Vac2+ad2 =25/7，T S四邊形acbd = »BCD + S»CD -（BC + AD）xAC = -ACxAD + -BFxCD ,2 2 2T（4）分點(diǎn)P在線段AC上和AC的延長線上兩種情況, 如圖，過點(diǎn)E作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q,TAE二2, ZBAC=30° , A EQ=1,: AC=2® :CQ = QA二羽, 若點(diǎn)P在線段AC上，則 PQ = CQ CP=®2 =尊,. PE = yjPQ2 + EQ2 =斗： 若點(diǎn)P在線段AC的延長線上，則 PQ = CQ + Z 書=迫,:.

48、PE = Jpq + EQ?二 :綜上，PE的長為冷或竺.33【點(diǎn)睹】本題考查勾股左理及英應(yīng)用、含30°的直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵一是能用等積法 表示并求出BF的長，二是對點(diǎn)P的位宜要分情況進(jìn)行討論.11. (1)BF長為6：(2) CE長為3,詳細(xì)過程見解析.【分析】(1) 由矩形的性質(zhì)及翻折可知，ZB=90°, AF=AD=10,且AB=&在RtAABF中，可由勾 股定理求岀BF的長：(2) 設(shè)CE=x，根據(jù)翻折可知，EF=DE=8-x,由(1)可知BF=6,則CF=4,在RtACEF中， 可由勾股定理求出CE的長.【詳解】解：(1) 四邊形ABCD為矩形

49、，.ZB=90。，且 AD=BC=10,又J AAFE是由 ADE沿AE翻折得到的，.AF=AD=10,又 VAB=8,itRtAABF 中，由勾股左理得：BF=AF2-AB2 =>/102-82 =6 »故BF的長為6.(2)設(shè) CE=x,四邊形ABCD為矩形，CD=AB=8, ZC=90°, DE=CD-CE=8-x,又V AAFE是由AADE沿AE翻折得到的，A FE=DE=8-x,由(1)知：BF=6,故 CF=BC-BF=10-6=4,RtACEF 中，由勾股定理得:CF2+CE2=EF2 >42+x2=(8-x)2 ,解得：x=3,故CE的長為3.【

50、點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變 化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等，利用勾股窪理求解是本題的關(guān)鍵.12(1)詳見解析：(2)頃；(3) ®【分析】(1) 證ZEAC=ZDAB.利用5人$證厶ACEAABD可得：(2)連接BD,證ZFEA = -AAED = 30 證厶ACEAABD 可得 ZFEA = ZBDA = 30；CE=BD=5,利用勾 2股定理求解：<3)作CE垂直于AC,且CE=AC,連接AE,R'J ZACE = 90 ,ZCAE = 45° ,利用 勾股泄理得ae=JLw，BE裁血，根據(jù)(2)思路得AD

51、=BE=J.【詳解】證明：VZDAE=ZBAC, Z DAE+ Z CAD= Z BAC+ Z CA D.即 ZEAC=ZDAB AACE 與AABD 中，AD = AE< ZEAC = ZBAB ,AC = AB.ACE 仝ABD(SAS),：BD = CE:連接BD因?yàn)? ZDAE = ABAC = 60 ,所以AADE是等邊三角形因?yàn)橐褼AE = ZDEA = ZEDA = 60 ,ED=AD=AE=4因?yàn)镃£丄A£>所以 ZFEA = - ZAED = 30 同可知厶ACEAABD(SAS),所以 ZFEA = ZBDA = 3OCE=BD=5 所以 Z

52、BDE = ZBDA + ZADE = 90所以 B E = ylBD2+DE2 =屈 +4? = JJTD作 CE 垂直于 AC,且 CE=AC#連接 AE,則 ZACE = 90 , ZCAE = 45 所以 AE= yjAB2+AC2 =2AC因?yàn)锳B = AC所以 AE = y/2AB又因?yàn)閆CAB = 45所以 ZABE = 90所以 BE = >jAE2 + AB =(屁B$ + AB，=忑AB因?yàn)?ZCBD = ZCDB = 45。所以 BC=CD, ZBCD = 9O因?yàn)橥傻?ACD旦ECB(SAS)所以 AD=BE=7Jj5所以竺=獨(dú)=更AB ABE圖3【點(diǎn)睛】考核知

53、識點(diǎn):等邊三角形;勾股圮理構(gòu)造全等三角形和直角三角形是關(guān)鍵.13. 【分析】 先證得令A(yù)BE“ADP,利用鄰補(bǔ)角和等腰直角三角形的性質(zhì)求得ZPEB = 90。，利 用勾股從理求出3£，即可求得點(diǎn)3到直線AE的距離： 根據(jù)的結(jié)論，利用S異加+ Swp = Swe + S、pb = SEP + S皿p即可求得結(jié)論； 在R2AHB中，利用勾股逹理求得AB再利用三角形而積公式即可求得S® 當(dāng)A、P、C共線時，PC最小，利用對稱的性質(zhì)，AB = BC的長，再求得AC的長, 即可求得結(jié)論； 先證得ABPWADE,得到=根據(jù)條件得到=利用互余的關(guān)系即可證得結(jié)論.【詳解】ABD與AEP都是

54、等腰直角三角形，ZBAD = 90。，ZE4P = 90°,=AE = AP ZAPE = ZAEP = 45。,:.ZEAB = ZPAD， ABEHADP(SAS),:.ZAEB = ZAPD = 180°-TAPE = 180°-45° = l35°, ZPEB = ZAEB-ZAEP = 135°-45° = 90°,PE2 + BE2 =PB2AE = AP = d ZE4P = 90°,: PE = AE = 2. 22 + BE2=(>/7)2, 解得：BE = *作BH±A

55、E交AE的延長線于點(diǎn)HV ZAEP = 45% ZPEB = 90°, AHEB = 180°-APEB - ZAEP = 180°-90°-45° = 45°>點(diǎn)3到直線HE的距離為VE，故錯誤：2由知：ABE"ADP, EP = 2, BE = ® SPD + SBP = SBE + S“PB=x V2 xa/2+ x2x>/32 2= 1 + J5，故正確； 在RlAHB中，由知：EH = HB =ah = ae+ehN生,AB2=AH2+BH2= >/2 +SBl)=-AB-AD = -A

56、B2=- + y/3 ,故正確：2 2 2 因?yàn)锳C是定值，所以當(dāng)A、P、C共線時，PC最小，如圖，連接BC,TA、C關(guān)于BD的對稱,： AB = BC = y5 + 2， AC = y/2BC = y/25 + 23 = J10 + M，A PCmin=AC-AP, =Jio+4>/5-V5,故錯誤： ©ABD與AEP都是等腰直角三角形，/. ABAD = 90°，ZEAP = 90°, AB = AD AE = AP>AB = AD在ABP 和 ADE 中， ZBAP = ZDAE ,AP = AE:.ABP=ADE(SAS),：.ZABP = ZADE,: AN = BN, ZABP = ZNAB，:.AEAN = AADE,'：ZEAN + ZDAN = 90