常系數(shù)線性微分方程的解法

1、.一一復(fù)復(fù)值值函函數(shù)數(shù)與與復(fù)復(fù)值值解解:( ),( ) , .atbtttitta b 如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間中中的的每每一一個個實實數(shù)數(shù) , ,有有復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)z z( ( ) )= = ( ( ) )+ +與與它它對對應(yīng)應(yīng) 則則稱稱z z是是定定義義在在實實值值區(qū)區(qū)間間上上的的一一個個復(fù)復(fù)定定值值函函數(shù)數(shù)義義,實實變變量量的的復(fù)復(fù)值值函函數(shù)數(shù)的的極極限限 連連續(xù)續(xù)性性 可可導(dǎo)導(dǎo)性性與與實實變變量量的的實實值值函函數(shù)數(shù)相相應(yīng)應(yīng)概概念念一一致致. .,Ki 設(shè)設(shè)是是任任一一復(fù)復(fù)數(shù)數(shù) 定定義義(cossin)Ktteetit 則則有有11cos(),sin()22i ti ti ti tteete

2、ei另另外外, ,還還有有如如下下重重要要性性質(zhì)質(zhì): :1212()(1),(2),(3)().KKtK tK tKtKtnKtnKtneeedeKedtdeK edt :( )z t如如果果實實變變量量復(fù)復(fù)值值復(fù)復(fù)值值函函解解數(shù)數(shù)滿滿足足方方程程1111( )( )( )(4.1()nnnnnnd xdxdxa tatat xf tdtdtdt ( )(4.1).z t則則稱稱實實變變量量復(fù)復(fù)值值函函數(shù)數(shù)為為方方程程的的復(fù)復(fù)值值解解:關(guān)關(guān)于于復(fù)復(fù)值值解解有有如如下下結(jié)結(jié)論論(4.2)( ),( )( )( ),( )( ),( )4.2.1( )(4.2).ia txz ttitz tttz

3、 t如如果果方方程程中中所所有有系系數(shù)數(shù)都都是是實實值值函函數(shù)數(shù) 而而是是方方程程的的復(fù)復(fù)值值解解 則則的的實實部部虛虛部部和和其其共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)也也都都是是方方程程定定的的解解理理1111( )( )(4.( )02)nnnnnnd xdxdxa tatat xdtdtdt 4.2.2定定理理設(shè)設(shè)方方程程1111( )( )( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tatat xu tiv tdtdtdt ( )( ),( ), ( ), ( ),( )( )ixU tiV ta t u t v tU tV t 有有復(fù)復(fù)值值解解這這里里都都是是實實函函數(shù)數(shù) 那那么么這這解解的的實實部

4、部和和虛虛部部分分別別是是方方程程1111( )( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tatat xu tdtdtdt 1111( )( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tatat xv tdtdtdt 和和.的的解解n如如果果 階階線線性性微微分分方方程程1111( ).( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tatat xf tdtdtdt 1( )(1,2,., )a t tnn 中中的的系系數(shù)數(shù)都都是是常常數(shù)數(shù)，則則稱稱它它們們?yōu)闉?階階常常系系數(shù)數(shù)線線性性微微分分方方程程，即即1111.( )(1)nnnnnnd xdxdxaaa xf tdtdtdt

5、， (1,2,., )( )0ia infnx 其其中中都都是是常常數(shù)數(shù)。特特別別地地，如如果果方方程程中中的的階階常常系系數(shù)數(shù)齊齊線線性性非非齊齊次次項項，則則稱稱它它微微分分方方程程為為。如如果果令令1111 .nnnnnnd xdxdxL xaaa xdtdtdt ，(1) ( ) 0L xf xL x 則則方方程程可可簡簡記記為為，而而它它所所對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊線線性性方方程程可可記記為為。 0itxeL x 函函數(shù)數(shù)為為方方程程的的解解當(dāng)當(dāng)且且僅僅定定理理當(dāng)當(dāng) 為為1 1：代代數(shù)數(shù)方方程程11.0nnnFaa 的的根根。定定義義1 1：11. 0nnnFaaL x 稱稱多多項項式式為為

6、的的特特征征多多項項式式；11.0 0nnnFaaL x 稱稱方方程程為為的的特特征征方方程程；11.0 0nnnFaaL x 稱稱方方程程的的根根為為的的特特征征根根。 0itL xxe 于于是是，為為求求的的形形式式為為解解，只只須須求求特特征征方方程程11.0nnnFaa 的的根根即即可可。下下面面根根據(jù)據(jù)特特征征根根是是單單根根還還是是重重根根，分分兩兩種種情情況況討討論論。結(jié)結(jié)果果1 1：111212 0.0()nnnnnL xFaan 如如果果的的特特征征方方程程有有 個個互互異異的的根根 ，. . . ., ,，. . . ., ,中中可可能能有有一一些些是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù) ，12,.

7、, 0nttteeeL x 則則，為為的的一一個個基基本本解解組組。323220d xd xxdtdt 例例1 1：求求方方程程的的一一個個基基本本解解組組。問問題題：如如何何求求實實系系數(shù)數(shù)方方程程的的實實值值基基本本解解組組？1121 0.0,2 (2)1nnnkL xFaakl kln 如如果果的的特特征征方方程程有有 個個互互異異的的實實根根 ，.,.,及及結(jié)結(jié)果果 ：個個復(fù)復(fù)根根111111,.,iiilillllliiii 則則121111,.,cossincossiniiitttttttiieeeetetetet ，. . . .， 0L x 為為的的一一個個實實值值基基本本解解

8、組組。1112121212 0.0,2()(),nnnmmmmL xFaamkkkkkkn 如如果果的的特特征征方方程程有有個個互互異異的的實實根根 ，. . . ., ,，. . . ., ,中中可可能能有有一一些些是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù) ，重重次次分分別別為為 ， ，. . . ., ,+ + +. . . .+ +結(jié)結(jié)果果 ：則則11112222111,.,.,.,.,mmmmttktttktttkteteteeteteetete ， 0L x 為為的的一一個個基基本本解解組組。424220d xd xxdtdt 例例2 2：求求方方程程的的一一個個基基本本解解組組。問問題題：如如何何求求實實系系

9、數(shù)數(shù)方方程程的的實實值值基基本本解解組組？11121211 0.0222,(2)nnnrrL xFaarkkkl kln ：如如果果的的特特征征方方程程有有 個個互互異異的的實實根根 ，.,.,重重次次分分別別為為 ， ，.,.,及及+ +結(jié)結(jié)果果個個互互異異復(fù)復(fù)根根111111,.,iiilillllliiii 12,.,.rs ss重重次次分分別別為為顯顯然然1212.2(.),rrkkksssn 則則11112222111111111111,.,.,.,.,coscoscossin,sinsinrrrririrttkttttkttttktttttktttketeteeteteetetee

10、ttettetet tettet ，.，.，.111111cos,coscossin,insinirirtttkiiitttkiiiet tettetet tettet .,.,，.，.， 0L x 為為的的一一個個實實值值基基本本解解組組。解法：解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為量代換可化為常系數(shù)微分方程常系數(shù)微分方程.( )1(1)11( )(4.29)nnnnnnx yp xypxyp yf x 的方程的方程(其中其中nppp21,形如形如叫叫歐拉方程歐拉方程.為常數(shù)為常數(shù))特點：特點：各項未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自各項未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)

11、的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同變量的方次數(shù)相同作變量變換作變量變換,ln xtext 或或,1dtdyxdxdtdtdydxdy ,122222 dtdydtydxdxyd將自變量換為將自變量換為, t,2312233333 dtdydtyddtydxdxyd用用D表示對自變量表示對自變量t求導(dǎo)的運(yùn)算求導(dǎo)的運(yùn)算,dtd上述結(jié)果可以寫為上述結(jié)果可以寫為,Dyyx ,)1()(2222yDDyDDdtdydtydyx ,)2)(1()23(232322333yDDDyDDDdtdydtyddtydyx .)1()1()(ykDDDyxkk 將上式代入歐拉方程，則化為以將上式代入歐拉方程，則化為

12、以 為自變量為自變量t的常系數(shù)的常系數(shù)線性微分方程線性微分方程.一般地，一般地，11110(4.30)nnnnnd ydydybbb ydtdtdt (4.30),(4.29),(4.29),tKKKKyeyxyxyxxK 如如果果有有形形如如的的解解 則則方方程程有有形形如如的的解解 因因此此可可以以直直接接求求歐歐拉拉方方程程形形如如的的解解. .以以代代入入并并約約去去因因子子就就得得到到確確定定 的的代代數(shù)數(shù)方方程程1(1)(1)(1)(2)0nK KKna K KKna 特征方程的根為特征方程的根為1230,1,3.kkk 所以所求方程的通解為所以所求方程的通解為tteCeCCY3321 .3321xCxCC 原方程的特征方程為原方程的特征方程為32230,kkk例例求歐拉方程求歐拉方程3240 x yx yxy解解作變量變換作變量變換,ln xtext 或或的通解的通解歐拉方程解法思路歐拉方程解法思路變系數(shù)的線性變系數(shù)的線性微分方程微分方程常系數(shù)的線性微常系數(shù)的線性微分方程分方程變量代換變量代換注意：歐拉