2016屆高三數(shù)學一輪復習(知識點歸納與總結)：變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算(共18頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解導數(shù)概念的實際背景2.理解導數(shù)的幾何意義3.能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)yc(c為常數(shù))，yx，yx2，yx3，y的導數(shù)4.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù).1.對于導數(shù)的幾何意義，高考要求較高，主要以選擇題或填空題的形式考查曲線在某點處的切線問題，如2012年廣東T12，遼寧T12等2.導數(shù)的基本運算多涉及三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，主要考查對基本初等函數(shù)的導數(shù)及求導法則的正確利用.歸納·知識整合1導數(shù)的概念(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)：稱函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時

2、變化率 為函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)導數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù))相應地，切線方程為yy0f(x0)(xx0)(3)函數(shù)f(x)的導函數(shù)：稱函數(shù)f(x) 為f(x)的導函數(shù)探究1.f(x)與f(x0)有何區(qū)別與聯(lián)系？提示：f(x)是一個函數(shù)，f(x0)是常數(shù)，f(x0)是函數(shù)f(x)在x0處的函數(shù)值2曲線yf(x)在點P0(x0，y0)處的切線與過點，y0)的切線，兩種說法有區(qū)別嗎？提示：(1)曲線yf(x)

3、在點P(x0，y0)處的切線是指P為切點，斜率為kf(x0)的切線，是唯一的一條切線(2)曲線yf(x)過點P(x0，y0)的切線，是指切線經(jīng)過P點點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條3過圓上一點P的切線與圓只有公共點P，過函數(shù)yf(x)圖象上一點P的切線與圖象也只有公共點P嗎？提示：不一定，它們可能有2個或3個或無數(shù)多個公共點2幾種常見函數(shù)的導數(shù)原函數(shù)導函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logaxf

4、(x)f(x)ln xf(x)3導數(shù)的運算法則(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)4復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)yf(g(x)的導數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導數(shù)間的關系為yxyu·ux，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積自測·牛刀小試1(教材習題改編)f(x)是函數(shù)f(x)x32x1的導函數(shù)，則f(1)的值為()A0B3C4 D解析：選Bf(x)x32x1，f(x)x22.f(1)3.2曲線y2xx3在x1處的切線方程為()Axy20 Bxy2

5、0Cxy20 Dxy20解析：選Af(x)2xx3，f(x)23x2.f(1)231.又f(1)211，切線方程為y1(x1)，即xy20.3yx2cos x的導數(shù)是()Ay2xcos xx2sin xBy2xcos xx2sin xCy2xcos xDyx2sin x解析：選By2xcos xx2sin x.4(教材習題改編)曲線y在點M(，0)處的切線方程是_解析：f(x)，f(x)，f().切線方程為y(x)，即xy0.答案：xy05(教材習題改編)如圖，函數(shù)yf(x)的圖象在點P處的切線方程是yx8，則f(5)f(5)_.解析：由題意知f(5)1，f(5)583，f(5)f(5)312

6、.答案：2導數(shù)的計算例1求下列函數(shù)的導數(shù)(1)y(1)；(2)y；(3)ytan x；(4)y3xex2xe.自主解答(1)y(1)xx，y(x)(x)xx.(2)y.(3)y.(4)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3x(ln 3)·ex3xex2xln 2(ln 31)·(3e)x2xln 2.若將本例(3)中“tan x”改為“sin ”如何求解？解：ysin sin cos sin xycos x 求函數(shù)的導數(shù)的方法(1)求導之前，應先利用代數(shù)、三角恒等式等對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；(2)有的函數(shù)雖然

7、表面形式為函數(shù)的商的形式，但可在求導前利用代數(shù)或三角恒等變形將其化簡為整式形式，然后進行求導，這樣可以避免使用商的求導法則，減少運算量1求下列函數(shù)的導數(shù)(1)y；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)y；(4)y.解：(1)yxx3，y(x)(x3)(x2sin x)x3x22x3sin xx2cos x.(2)y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.(3)y，y.(4)ycos xsin x，ysin xcos x.例2求下列復合函數(shù)的導數(shù)：(1)y(2x3)5；(2)y；(3)ysin2；(4)yln(2x5)自主解答(1)設u2x3，則y(2x3)5由yu5與u

8、2x3復合而成，yf(u)·u(x)(u5)(2x3)5u4·210u410(2x3)4.(2)設u3x，則y由yu與u3x復合而成yf(u)·u(x)(u)(3x)u(1)u.(3)設yu2，usin v，v2x，則yxyu·uv·vx2u·cos v·24sin·cos2sin.(4)設yln u，u2x5，則yxyu·ux，y·(2x5).復合函數(shù)求導應注意三點一要分清中間變量與復合關系；二是復合函數(shù)求導法則，像鏈條一樣，必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能丟掉其中的任一環(huán)；三是必須正確分析復合函數(shù)

9、是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復合而成的，分清其復合關系2求下列復合函數(shù)的導數(shù)：(1)y(1sin x)2；(2)yln ；(3)y；(4)yx .解：(1)y2(1sin x)·(1sin x)2(1sin x)·cos x.(2)y(ln )·( )·(x21)·(x21).(3)設u13x，yu4.則yxyu·ux4u5·(3).(4)y(x )x·x .導數(shù)的幾何意義例3(1)(2012·遼寧高考)已知P，Q為拋物線x22y上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交

10、于點A，則點A的縱坐標為_(2)已知曲線yx3.求曲線在點P(2,4)處的切線方程；求斜率為4的曲線的切線方程自主解答(1)y，yx，y|x44，y|x22.點P的坐標為(4,8)，點Q的坐標為(2,2)，在點P處的切線方程為y84(x4)，即y4x8.在點Q處的切線方程為y22(x2)，即y2x2.解得A(1，4)，則A點的縱坐標為4.(2)P(2,4)在曲線yx3上，且yx2，在點P(2,4)處的切線的斜率ky|x24.曲線在點P(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.設切點為(x0，y0)，則切線的斜率kx4，x0±2.切點為(2,4)或，切線方程為y44(x2)

11、或y4(x2)，即4xy40或12x3y200.答案(1)4若將本例(2)中“在點P(2,4)”改為“過點P(2,4)”如何求解？解：設曲線yx3與過點P(2,4)的切線相切于點A，則切線的斜率ky|xx0x.切線方程為yx(xx0)，即yx·xx. 點P(2，4)在切線上，42xxf(4,3)，即x3x40.xx4x40.x(x01)4(x01)(x01)0.(x01)(x02)20.解得x01或x02.故所求的切線方程為4xy40或xy20.1求曲線切線方程的步驟(1)求出函數(shù)yf(x)在點xx0處的導數(shù)，即曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處切線的斜率；(2)由點斜式方程求

12、得切線方程為yy0f(x0)·(xx0)2求曲線的切線方程需注意兩點(1)當曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線平行于y軸(此時導數(shù)不存在)時，切線方程為xx0；(2)當切點坐標不知道時，應首先設出切點坐標，再求解3已知函數(shù)f(x)2 (x>1)，曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線l分別交x軸和y軸于A，B兩點，O為坐標原點(1)求x01時，切線l的方程；(2)若P點為，求AOB的面積解：(1)f(x)，則f(x0)，則曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)的切線方程為yf(x0)(xx0)，即y .所以當x01時，切線l的方程為xy30.(2)當x0時，

13、y；當y0時，xx02.SAOB，SAOB.導數(shù)幾何意義的應用例4已知a為常數(shù)，若曲線yax23xln x存在與直線xy10垂直的切線，則實數(shù)a的取值范圍是()A.B.C. D.自主解答由題意知曲線上存在某點的導數(shù)為1，所以y2ax31有正根，即2ax22x10有正根當a0時，顯然滿足題意；當a<0時，需滿足0，解得a<0.綜上，a.答案A導數(shù)幾何意義應用的三個方面導數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，應用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)已知切點A(x0，f(x0)求斜率k，即求該點處的導數(shù)值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切點A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知

14、過某點M(x1，f(x1)(不是切點)的切線斜率為k時，常需設出切點A(x0，f(x0)，利用k求解4若函數(shù)f(x)sin(0<<)，且f(x)f(x)是奇函數(shù)，則_.解析：f(x)sin，f(x)cos.于是yf(x)f(x)sincos2sin2sin2cos(x)，由于yf(x)f(x)2cos(x)是奇函數(shù)，k(kZ)又0<<，.答案：1個區(qū)別“過某點”與“在某點”的區(qū)別曲線yf(x)“在點P(x0，y0)處的切線”與“過點P(x0，y0)的切線”的區(qū)別：前者P(x0，y0)為切點，而后者P(x0，y0)不一定為切點4個防范導數(shù)運算及切線的理解應注意的問題(1)

15、利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆(2)利用導數(shù)公式求導數(shù)時，只要根據(jù)幾種基本函數(shù)的定義，判斷原函數(shù)是哪類基本函數(shù)，再套用相應的導數(shù)公式求解，切不可因判斷函數(shù)類型失誤而出錯(3)直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點(4)曲線未必在其切線的同側，如曲線yx3在其過(0,0)點的切線y0的兩側. 易誤警示導數(shù)幾何意義應用的易誤點典例(2013·杭州模擬)若存在過點(1,0)的直線與曲線yx3和yax2x9都相切，則a等于()A1或B1或C或 D

16、或7解析設過(1,0)的直線與yx3相切于點(x0，x)，所以切線方程為yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切線上，則x00或x0，當x00時，由y0與yax2x9相切可得a；當x0時，由yx與yax2x9相切可得a1，所以選A.答案A1如果審題不仔細，未對點(1,0)的位置進行判斷，誤認為(1,0)是切點，則易誤選B.2解決與導數(shù)的幾何意義有關的問題時， 應重點注意以下幾點：(1)首先確定已知點是否為曲線的切點是解題的關鍵；(2)基本初等函數(shù)的導數(shù)和導數(shù)運算法則是正確解決此類問題的保證；(3)熟練掌握直線的方程與斜率的求解是正確解決此類問題的前提1曲線y在點M處的切線的斜率為(

17、)A B.C D.解析：選By，故y.曲線在點M處的切線的斜率為.2已知函數(shù)f(x)x3fx2x，則函數(shù)f(x)的圖象在點處的切線方程是_解析：由f(x)x3fx2x，可得f(x)3x22fx1，f3×22f×1，解得f1，即f(x)x3x2x.則f32，故函數(shù)f(x)的圖象在處的切線方程是y，即27x27y40.答案：27x27y40一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1(2013·永康模擬)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則yf(x)的圖象可能是()解析：選D據(jù)函數(shù)的圖象易知，x<0時恒有f(x)>0，當x>0時，恒有f(x)&l

18、t;0.2若函數(shù)f(x)cos x2xf，則f與f的大小關系是()AffBf>fCf<f D不確定解析：選C依題意得f(x)sin x2f，fsin 2f，f，f(x)sin x1，當x時，f(x)>0，f(x)cos xx是上的增函數(shù)，注意到<，于是有f<f.3已知t為實數(shù)，f(x)(x24)(xt)且f(1)0，則t等于()A0 B1C. D2解析：選Cf(x)3x22tx4，f(1)32t40，t.4曲線yxex2x1在點(0，1)處的切線方程為()Ay3x1 By3x1Cy3x1 Dy2x1解析：選A依題意得y(x1)ex2，則曲線yxex2x1在點(0，

19、1)處的切線的斜率為y|x0，故曲線yxex2x1在點(0，1)處的切線方程為y13x，即y3x1.5(2013·大慶模擬)已知直線ykx與曲線yln x有公共點，則k的最大值為()A1 B.C. D.解析：選B從函數(shù)圖象知在直線ykx與曲線yln x相切時，k取最大值y(ln x)k，x(k0)，切線方程為yln k，又切線過原點(0,0)，代入方程解得ln k1，k.6設函數(shù)f(x)在R上的導函數(shù)為f(x)，且2f(x)xf(x)>x2.下面的不等式在R上恒成立的是()Af(x)>0 Bf(x)<0Cf(x)>x Df(x)<x解析：選A由已知，令x

20、0得2f(0)>0，排除B、D兩項；令f(x)x2，則2x2x4x2>x2，但x2>x對x不成立，排除C項二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7已知f(x)x22xf(1)，則f(0)_.解析：f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4.f(0)4.答案：48已知函數(shù)yf(x)及其導函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則曲線yf(x)在點P處的切線方程是_解析：根據(jù)導數(shù)的幾何意義及圖象可知，曲線yf(x)在點P處的切線的斜率kf(2)1，又過點P(2,0)，所以切線方程為xy20.答案：xy209若曲線f(x)ax5ln x存在垂直于y

21、軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：曲線f(x)ax5ln x存在垂直于y軸的切線，即f(x)0有正實數(shù)解又f(x)5ax4，方程5ax40有正實數(shù)解5ax51有正實數(shù)解a<0.故實數(shù)a的取值范圍是(，0)答案：(，0)三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10已知函數(shù)f(x)的圖象在點(1，f(1)處的切線方程為x2y50，求yf(x)的解析式解：由已知得，12f(1)50，f(1)2，即切點為(1，2)又f(x)，解得f(x).11如右圖所示，已知A(1,2)為拋物線C：y2x2上的點，直線l1過點A，且與拋物線C相切，直線l2：xa(a<1)交拋物線C于點B，

22、交直線l1于點D.(1)求直線l1的方程；(2)求ABD的面積S1.解：(1)由條件知點A(1,2)為直線l1與拋物線C的切點y4x，直線l1的斜率k4.所以直線l1的方程為y24(x1)，即4xy20.(2)點A的坐標為(1,2)，由條件可求得點B的坐標為(a,2a2)，點D的坐標為(a，4a2)，ABD的面積為S1×|2a2(4a2)|×|1a|(a1)3|(a1)3.12如圖，從點P1(0,0)作x軸的垂線交曲線yex于點Q1(0,1)，曲線在Q1點處的切線與x軸交于點P2.再從P2作x軸的垂線交曲線于點Q2，依次重復上述過程得到一系列點：P1，Q1；P2，Q2；Pn，Qn，記Pk點的坐標為(xk,0)(k1,2，n)(1)試求xk與xk1的關系(k2，n)；(2)求|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.解：(1)設點Pk1的坐標是(xk1,0)，yex，yex，Qk1(xk1，exk1)，在點Qk1(xk1，exk1)處的切線方程是yexk1exk1(xxk1)，令y0，則xkxk11(k2，n)(2)x10，xkxk11，xk(k1)，|PkQk|e