周期信號(hào)的頻譜分析——傅里葉級(jí)數(shù)1

1、主要內(nèi)容三角函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)三角函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù) 指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)兩種傅氏級(jí)數(shù)的關(guān)系兩種傅氏級(jí)數(shù)的關(guān)系 頻譜圖頻譜圖函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系周期信號(hào)的功率周期信號(hào)的功率傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差一三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) tntn11sin,cos 是一個(gè)完備的正交函數(shù)集是一個(gè)完備的正交函數(shù)集t在一個(gè)周期內(nèi)，在一個(gè)周期內(nèi)，n=0,1,. 0sincos2211TTdttmtnnmnmTdttmtnTT, 0,2coscos2211nmnmTdttmtnTT, 0,2sinsin2211由積分可知由

2、積分可知1.三角函數(shù)集 1112 , , TTtf 基波角頻率為基波角頻率為周期為周期為周期信號(hào)周期信號(hào)在滿足在滿足狄氏條件狄氏條件時(shí)，可展成時(shí)，可展成 1 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 直流分量直流分量100d)(110TttttfTa余弦分量的幅度余弦分量的幅度100dcos)(211TttnttntfTa正弦分量的幅度正弦分量的幅度100dsin)(211TttnttntfTb稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)2級(jí)數(shù)形式狄利克雷（Dirichlet）條件條件條件3:3:在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。條件條件2 2：

3、在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。限個(gè)。條件條件1 1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。例3-2-1求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。 22110110d1TTttTATa 22111110dcos2TTnttntTATa 2211111dsin2TTnttntTATb 3 , 2 , 1 )1(1 nnAn周期鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為周期鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 tAtAtf112sin2sin0 22

4、)(111TtTtTAtf直流直流基波基波諧波諧波t tfA/2/221T21T 112T 其他形式00ac 22nnnbac nnnabarctannnnca cos nnncb sin 余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00ad nnnbaarctannnnda sin nnndb cos 110sin)(nnntnddtf 22nnnbad 2 cos)(110 nnntncctf 關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖；關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖；關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖。關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖?？僧?huà)出可畫(huà)出頻譜圖。頻譜圖。周期信號(hào)頻譜具有周期信號(hào)頻譜具有離散性、諧波性、收斂性離散性、諧波性、收斂性 。 nc

5、 n幅度頻率特性和相位頻率特性的線性組合。的線性組合?；ń穷l率的整數(shù)倍）基波角頻率的整數(shù)倍）（）和各次諧波）和各次諧波，基波（，基波（周期信號(hào)可分解為直流周期信號(hào)可分解為直流:11 n二指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)1 1復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集 2, 1, 0 e1j ntn 2 2級(jí)數(shù)形式級(jí)數(shù)形式3 3系數(shù)系數(shù) 111110jj0j1deede)()(TtntnTtntttfnF 4 e)()(1j1tnnnFtf 5 de )(1110j1TtnttfT利用利用復(fù)變函數(shù)的正交特性復(fù)變函數(shù)的正交特性nF 也可寫(xiě)為也可寫(xiě)為說(shuō)明 變換對(duì)。變換對(duì)。式是一對(duì)式是一對(duì)、惟一確定，惟一確定，則，則

6、如給出如給出)5()4()(1tfnF 的線性組合。的線性組合。區(qū)間上的指數(shù)信號(hào)區(qū)間上的指數(shù)信號(hào)周期信號(hào)可分解為周期信號(hào)可分解為tn1je, 4 e)()(1j1tnnnFtf 5 de)(1110j11TtnttfTnF三兩種系數(shù)之間的關(guān)系110j11de )(1)(TtnttfTnF11011011dsin)(1jdcos)(1TTttntfTttntfT nnbaj21 110110111dsin)(1jdcos)(1)(TTttntfTttntfTnF nnbaj21 nnFnF j11e)( 是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù))(),(11 nFnF nnncbanF2121)(221 相頻特性相頻特性

7、nnnabarctan 幅頻特性和相頻特性幅頻特性幅頻特性五函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)偶諧函數(shù)注：指交流分量注：指交流分量1偶函數(shù)為實(shí)函數(shù)。為實(shí)函數(shù)。項(xiàng)。項(xiàng)。項(xiàng)，只含直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)，只含直流項(xiàng)和余弦傅里葉級(jí)數(shù)中不含正弦傅里葉級(jí)數(shù)中不含正弦)(1 nF信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱的信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱的)()(tftf )(tfOtTET 0 nb 2010dcos)(4TnttntfTa nnnnabanFF21j21)(1 0 n 2奇函數(shù))()(tftf 對(duì)對(duì)稱稱的的：波波形形相相對(duì)對(duì)于于縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)是是反反)(tfOtTT 11 為虛函

8、數(shù)。為虛函數(shù)。量，量，傅里葉級(jí)數(shù)中無(wú)余弦分傅里葉級(jí)數(shù)中無(wú)余弦分)(1 nF 0= d)(1 220 TTttfTa 0dcos)(2221 TTnttntfTa TnttntfTb01dsin)(2 nnnnbbanFFj21j21)(1 2010dsin)(4TttntfT 六周期信號(hào)的功率這是這是帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理在傅里葉級(jí)數(shù)情況下的具體體現(xiàn)在傅里葉級(jí)數(shù)情況下的具體體現(xiàn); ;表明：表明： 周期信號(hào)平均功率周期信號(hào)平均功率= =直流、基波及各次諧波分直流、基波及各次諧波分量有效值的平方和；量有效值的平方和； 也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，時(shí)域和頻域的能量是守恒時(shí)域和頻域的能量是守恒的。的。 繪成的線狀圖形，表示繪成的線狀圖形，表示 各次諧波的平均功各次諧波的平均功率隨頻率分布的情況，稱為率隨頻率分布的情況，稱為功率譜系數(shù)功率譜系數(shù)。 2nF nnnnnnnFcabaa21220122202121 TttfTP02d)(1人有了知識(shí)，就會(huì)具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇