浙江省2016屆高三數(shù)學專題復習專題七計數(shù)原理與概率、推理證明與數(shù)學歸納法過關提升理

1、 1 專題七專題七 計數(shù)原理與概率、推理證明與數(shù)學歸納法計數(shù)原理與概率、推理證明與數(shù)學歸納法 專題過關提升卷 第卷 (選擇題) 一、選擇題 1用反證法證明命題“設a，b為實數(shù)，則方程x3axb0 至少有一個實根”時，要做的假設是( ) A方程x3axb0 沒有實根 B方程x3axb0 至多有一個實根 C方程x3axb0 至多有兩個實根 D方程x3axb0 恰好有兩個實根 2.z是z的共軛復數(shù)，若zz2，(zz)i2(i 為虛數(shù)單位)，則z( ) A1i B1i C1i D1i 3若數(shù)列an是等差數(shù)列，bna1a2ann，則數(shù)列bn也為等差數(shù)列類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列cn是等比數(shù)列，且dn也

2、是等比數(shù)列，則dn的表達式應為( ) Adnc1c2cnn Bdnc1c2cnn Cdnncn1cn2cnnn Ddnnc1c2cn 4(2015勤州中學模擬)有 6 名男醫(yī)生、5 名女醫(yī)生，從中選出 2 名男醫(yī)生、1 名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有( ) A60 種 B70 種 C75 種 D150 種 5若(12x)2 015a0a1xa2 015x2 015(xR R)，則a12a222a2 01522 015的值為( ) A2 B0 2 C1 D2 6(2015義烏模擬)從正方形四個頂點及其中心這 5 個點中，任取 2 個點，則這 2 個點的距離不小于該正方形邊長的概率為(

3、 ) A.15 B.25 C.35 D.45 7用a代表紅球，用b代表白球，根據(jù)分類加法計數(shù)原理及分步乘法計數(shù)原理，從 1 個紅球和 1 個白球中取出若干個球的所有取法可由(1a)(1b)的展開式 1abab表示出來其中“1”表示一個球都不取， “a”表示取一個紅球， “b”表示取一個白球， “ab”表示把紅球和白球都取出來，以此類推：下列各式中，其展開式中可用來表示從 5 個無區(qū)別的紅球、5 個無區(qū)別的白球中取出若干個球，且所有的白球都取出或都不取出的所有取法的是( ) A(1aa2a3a4a5)(1b5) B(1a5)(1bb2b3b4b5) C(1a)5(1bb2b3b4b5) D(1a

4、5)(1b)5 8 已知定義在 R R 上的函數(shù)f(x)，g(x)滿足f（x）g（x）ax， 且f(x)g(x)f(x)g(x)，f（1）g（1）f（1）g（1）52，若有窮數(shù)列 f（n）g（n）(nN N*)的前n項和等于3132，則n等于( ) A4 B5 C6 D7 第卷 (非選擇題) 二、填空題 9已知復數(shù)z3i（13i）2，z是z的共軛復數(shù)，則zz_ 10觀察下列不等式 112232， 112213253， 112213214274， 3 照此規(guī)律，第五個不等式為_ 11(2015瑞安中學模擬)觀察下列等式 121 12223 1222326 1222324210 照此規(guī)律，第n個等

5、式可為_ 12 (2015效實中學模擬)(xy)(xy)8的展開式中x2y7的系數(shù)為_(用數(shù)字填寫答案) 13若在122xn的展開式中第 5 項、第 6 項與第 7 項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為_ 14(2015樂清模擬)從 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七個不同的數(shù)，則這七個數(shù)的中位數(shù)是 6 的概率為_ 15將全體正奇數(shù)排成一個三角形數(shù)陣： 按照以上排列的規(guī)律，第 45 行從左向右的第 17 個數(shù)為_ 三、解答題 16 (2015桐鄉(xiāng)高級中學模擬)為推動乒乓球運動的發(fā)展， 某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員 3 名

6、，其中種子選手 2 名；乙協(xié)會的運動員 5 名，其中種子選手 3 名從這 8 名運動員中隨機選擇 4 人參加比賽 (1)設A為事件“選出的 4 人中恰有 2 名種子選手，且這 2 名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率； 4 (2)設X為選出的 4 人中種子選手的人數(shù)，求X分別為 1，2，3，4 的概率 17(2015杭州高級中學模擬)設an是公比為q的等比數(shù)列 (1)推導an的前n項和公式； (2)設q1，證明：數(shù)列an1不是等比數(shù)列 18(2015諸暨中學模擬)已知數(shù)列an滿足a11，an1an2an1. (1)求數(shù)列an的通項公式； (2)若2bn1an1，且Pn(1b1)(1b

7、3)(1b2n1)，求證：Pn 2n1. 19小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋游戲規(guī)則為：以O為起點，再從A1、A2、A3、A4、A5、A6(如圖)這 6 個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X0 就去打球，若X0 就去唱歌，若X0 就去下棋 (1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值； (2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率 5 20(2015臺州一中模擬)已知函數(shù)f(x)ex，xR R. (1)求f(x)的反函數(shù)的圖象上點(1，0)處的切線方程； (2)證明：曲線yf(x)與曲線y12x2x1 有唯一公共點； (3)設ab，比較fab2與f（b）f（a）

8、ba的大小，并說明理由 專題過關提升卷 1A 依據(jù)反證法的要求，即至少有一個的反面是一個也沒有，直接寫出命題的否定方程x3axb0 至少有一個實根的反面是方程x3axb0 沒有實根，故選 A. 2D 設zabi(a，bR R)，由zz2，得a1，(zz)i2， 2b2，b1，z1i，故選 D. 3D 由an為等差數(shù)列，設公差為d， 則bna1a2anna1n12d， 又正項數(shù)列cn為等比數(shù)列，設公比為q， 則dnnc1c2cnncn1qn2n2c1qn12，故選 D. 4C 從 6 名男醫(yī)生任選 2 名有 C26種，從 5 名女醫(yī)生任選 1 名有 C15種，共有 C26C1575種 5C (1

9、2x)2 015a0a1xa2 015x2 015，令x12，則12122 015a0a12a222a2 01522 0150，其中a01，所以a12a222a2 01522 0151. 6C 如圖：不妨取正方形邊長為 1.基本事件總數(shù)為 C2510， 其中等于正方形邊長的有：AB，AD，DC，BC共 4 條， 長度為2的有：BD，AC，共 2 條， 6 不小于該正方形邊長的有 6 條， 概率為P61035，故選 C. 7A 取出紅球的所有可能為1aa2a3a4a5；取出白球的方法只有1b5.故滿足條件的所有取法為(1aa2a3a4a5)(1b5) 8B 令h(x)f（x）g（x），則h(x)

10、f（x）g（x）f（x）g（x）g2（x）0，故函數(shù)h(x)為減函數(shù)，即 0a1. 再根據(jù)f（1）g（1）f（1）g（1）52，得a1a52，解得a2(舍去)或者a12.所以f（n）g（n）12n，數(shù)列 f（n）g（n）的前n項和是12112n112112n，由于 112n3132，所以n5. 9.14 z3i（13i）23i223i3i2（13i） （3i）（13i）2（1 3i）（13i）232i83414i， 故z3414i， zz3414i3414i 31611614. 101122132142152162116 歸納觀察法 觀察每行不等式的特點， 每行不等式左端最后一個分數(shù)的分母與右

11、端值的分母相等， 且每行右端分數(shù)的分子構成等差數(shù)列 第五個不等式為 1122132142152162116. 11 12223242(1)n1n2(1)n1n（n1）2 左邊共n項， 每項的符號為(1)n1， 通項為(1)n1n2. 等式右邊的值符號為(1)n1，各式為(1)n1(123n) (1)n1n（n1）2， 第n個等式為 12223242(1)n1n2 7 (1)n1n（n1）2. 1220 (xy)8展開式中的通項為Tk1Ck8x8kyk， 當k7 時，T8C78xy78xy7. 當k6 時，T7C68x2y628x2y6. (xy)(xy)8展開式中x2y7項為x8xy7(y)2

12、8x2y620 x2y7. 故x2y7的系數(shù)為20. 13.352、70 或 3 432 因為 C4nC6n2C5n，所以n221n980， 解得n7 或n14，當n7 時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T4和T5. 所以T4的系數(shù)為 C3712423352， T5的系數(shù)為 C471232470. 當n14 時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T8. 所以T8的系數(shù)為 C714127273 432. 14.16 十個數(shù)中任取七個不同的數(shù)共有 C710種情況，七個數(shù)的中位數(shù)為 6，那么 6 只有處在中間位置，有 C36種情況，于是所求概率PC36C71016. 152 013 觀察數(shù)陣，記第n行的第

13、1 個數(shù)為an，則有 a2a12， a3a24， a4a36， a5a48， anan12(n1) 將以上各等式兩邊分別相加，得ana124682(n1)n(n1)， 所以ann(n1)1，所以a451 981. 又從第 3 行起數(shù)陣每一行的數(shù)都構成一個公差為 2 的等差數(shù)列，則第 45 行從左向右的第 17 8 個數(shù)為 1 9811622 013. 16解 (1)由已知，有P(A)C22C23C23C23C48635. 所以，事件A發(fā)生的概率為635. (2)P(Xk)Ck5C4k3C48(k1，2，3，4) P(X1)C15C33C48114，P(X2)C25C23C4837， P(X3)

14、C35C13C4837，P(X4)C45C03C48114. 17(1)解 設an的前n項和為Sn， 當q1 時，Sna1a1a1na1； 當q1 時，Sna1a1qa1q2a1qn1. qSna1qa1q2a1qn， 得，(1q)Sna1a1qn， Sna1（1qn）1q， Snna1，q1，a1（1qn）1q，q1. (2)證明 假設an1是等比數(shù)列，則對任意的kN N， (ak11)2(ak1)(ak21)， a2k12ak11akak2akak21， a21q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1， a10，2qkqk1qk1. q0，q22q10， q1，這與已知矛盾

15、 假設不成立，故an1不是等比數(shù)列 18(1)解 1an12an1an21an， 所以 1an是首項為 1，公差為 2 的等差數(shù)列， 所以1an12(n1)2n1，即an12n1. (2)證明 2bn1an12n，所以bn1n， 9 所以Pn(1b1)(1b3)(1b2n1) (11)113115112n1. 用數(shù)學歸納法證明如下： 當n1 時，P12 3. 假設當nk(k1)時命題成立， 則Pk1(1b1)(1b3)(1b2k1)(1b2k1) (11)113115112k1112k1 112k12k1. 因為112k12k12k22k1， 所以P2k1(2k3)22k22k12(2k3)2

16、 4k28k4（4k28k3）2k112k10， 所以Pk1 2k3，即當nk1 時結論成立 由可得對于任意正整數(shù)n，Pn 2n1都成立 19解 (1)X的所有可能取值為2，1，0，1. (2)數(shù)量積為2 的有2OA5OA，共 1 種； 數(shù)量積為1 的有1OA5OA，1OA6OA，2OA4OA，2OA6OA，3OA4OA，3OA5OA，共 6 種； 數(shù)量積為 0 的有1OA3OA，1OA4OA，3OA6OA，4OA6OA，共 4 種； 數(shù)量積為 1 的有1OA2OA，2OA3OA，4OA5OA，5OA6OA，共 4 種 故所有可能的情況共有 15 種 所以小波去下棋的概率為P1715； 因為去

17、唱歌的概率為P2415， 所以小波不去唱歌的概率為P1P214151115. 20(1)解 f(x)的反函數(shù)為g(x)ln x, 設所求切線的斜率為k， 10 g(x)1x，kg(1)1. 于是在點(1，0)處的切線方程為yx1. (2)證明 法一 曲線yex與y12x2x1 公共點的個數(shù)等于函數(shù)(x)ex12x2x1零點的個數(shù) (0)110，(x)存在零點x0. 又(x)exx1，令h(x)(x)exx1， 則h(x)ex1， 當x0 時，h(x)0 時，h(x)0，(x)在(0，)上單調(diào)遞增 (x)在x0 處有唯一的極小值(0)0， 即(x)在 R R 上的最小值為(0)0. (x)0(僅當x0 時等號成立)， (x)在 R R 上是單調(diào)遞增的， (x)在 R R 上有唯一的零點， 故曲線yf(x)與y12x2x1 有唯一的公共點 法二 ex0，12x2x10， 曲線yex與y12x2x1 公共點的個數(shù)等于曲線 y12x2x1ex與y1 公共點的個數(shù)， 設(x)12x2x1ex，則(0)1，即x0 時，兩曲線有公共點 又(x)（x1）ex（12x2x1）exe2x12x2ex0(僅當