計(jì)算方法的一般概念(3)課件

1、*)()(xxxxxExErbAx ni, 3 ,2)(*yEr*2*2*2*1*1*1rrxfyxxfyx& 參考參考教材教材 (Text Book) 計(jì)算方法計(jì)算方法 鄧建中鄧建中 劉之行劉之行 西安交通大學(xué)出版社西安交通大學(xué)出版社 Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) 數(shù)值分析數(shù)值分析 （英文版（英文版 第第3版版 ） David Kincaid & Ward Cheney（機(jī)械工業(yè)出版社（機(jī)械工業(yè)出版社) Numerical Analysis (Seventh Edi

2、tion) 數(shù)值分析數(shù)值分析 （第七版（第七版 影印版）影印版） Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）（高等教育出版社） 數(shù)值分析數(shù)值分析 李慶揚(yáng)等李慶揚(yáng)等 清華大學(xué)出版社清華大學(xué)出版社 數(shù)值分析數(shù)值分析 馮果忱等馮果忱等 高等教育出版社高等教育出版社學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)方法1.注意掌握各種方法的基本原理注意掌握各種方法的基本原理2.注意各種方法的構(gòu)造手法注意各種方法的構(gòu)造手法3.重視各種方法的誤差分析重視各種方法的誤差分析4.做一定量的習(xí)題做一定量的習(xí)題5.注意與實(shí)際問題相聯(lián)系注意與實(shí)際問題相聯(lián)系iiijjijiilxlbx11nnn

3、nnnaaaaaaaaaA212222111211bAx ni, 3 ,2 3 誤差 1 數(shù)值計(jì)算的研究對象與特點(diǎn) 2 數(shù)值問題與數(shù)值方法第1章 計(jì)算方法的一般概念本章要點(diǎn):絕對誤差(限)和相對誤差(限)有效數(shù)字位數(shù)及其與誤差的關(guān)系數(shù)值問題的性態(tài)與誤差的關(guān)系數(shù)值算法設(shè)計(jì)原則以計(jì)算機(jī)為工具,求解各種數(shù)學(xué)模型,都要經(jīng)歷三個(gè)過程:總體設(shè)計(jì)模型的細(xì)化詳細(xì)設(shè)計(jì)主要為算法設(shè)計(jì)程序設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)數(shù)值方法研究的是將數(shù)學(xué)模型化為數(shù)值問題，并研究求解數(shù)值問題的數(shù)值方法進(jìn)而設(shè)計(jì)數(shù)值算法 1 計(jì)算機(jī)數(shù)值方法的研究對象與特點(diǎn)數(shù)值問題：輸入數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)之間函數(shù)關(guān)系的一個(gè)確定而無歧義的描述即： 輸入與輸出的都是數(shù)值的數(shù)學(xué)問題

4、如求解線性方程組bAx 求解二次方程02cbxax是數(shù)值問題一、數(shù)值問題2 數(shù)值問題與數(shù)值算法求解微分方程0)0(32yxy不是數(shù)值問題xxy3,2函數(shù)但輸出的不是數(shù)據(jù)而是輸入的雖是數(shù)據(jù)將其變成數(shù)值問題，即將其“離散化”xxy32即將求函數(shù)nnxxxxyxyxy2121),(,),(),(改變成求函數(shù)值二、數(shù)值方法數(shù)值方法:是指解數(shù)值問題的在計(jì)算機(jī)上可執(zhí)行的系列計(jì)算公式在計(jì)算機(jī)上可執(zhí)行的公式是指只含有加減乘除的公式現(xiàn)在的計(jì)算機(jī)中幾乎都含有關(guān)于開方的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)sqrt()常見的在計(jì)算機(jī)上不能直接運(yùn)行的計(jì)算有:開方、極限、超越函數(shù)、微分、積分等等要在計(jì)算機(jī)上實(shí)行上述運(yùn)算需將其化為可執(zhí)行的等價(jià)或近似等

5、價(jià)運(yùn)算xe超越函數(shù)應(yīng)化為! 212nxxxenx的計(jì)算應(yīng)化為的導(dǎo)數(shù)函數(shù))()(xyxyhxyhxyxy)()()(如求根公式aacbbx2422,1應(yīng)化為公式aacbsqrtbx2)4(22,1研究數(shù)值方法的主要任務(wù):1.將計(jì)算機(jī)上不能執(zhí)行的運(yùn)算化為在計(jì)算機(jī)上可 執(zhí)行的運(yùn)算2.針對所求解的數(shù)值問題研究在計(jì)算機(jī)上可執(zhí)行 的且有效的計(jì)算公式3.因?yàn)榭赡懿捎昧私频葍r(jià)運(yùn)算,故要進(jìn)行誤差分析, 即數(shù)值問題的性態(tài)及數(shù)值方法的穩(wěn)定性本課程的重點(diǎn)就是對線性方程組、微積分、微分方程、及插值、擬合等問題尋找行之有效的數(shù)值方法三、數(shù)值算法數(shù)值算法是指有步驟地完成解數(shù)值問題的過程.數(shù)值算法有四個(gè)特點(diǎn):1.目的明確

6、算法必須有明確的目的,其條件和結(jié)論均應(yīng)有清楚的規(guī)定2.定義精確對算法的每一步都必須有精確的定義3.可執(zhí)行算法中的每一步操作都是可執(zhí)行的4.步驟有限算法必須在有限步內(nèi)能夠完成解題過程例1. 給出等差數(shù)列1,2,3,10000的求和算法解:0, 0. 1SN取記數(shù)器置零SNSNN,1. 2，否則轉(zhuǎn)若2,10000. 3NSN,. 4 輸出一、誤差的種類及來源模型誤差在建立數(shù)學(xué)模型過程中,要將復(fù)雜的現(xiàn)象抽象歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型,往往要忽略一些次要因素的影響,而對問題作一些簡化,因此和實(shí)際問題有一定的區(qū)別.觀測誤差在建模和具體運(yùn)算過程中所用的數(shù)據(jù)往往是通過觀察和測量得到的,由于精度的限制,這些數(shù)據(jù)一般是近似

7、的,即有誤差截?cái)嗾`差由于計(jì)算機(jī)只能完成有限次算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算,因此要將有些需用極限或無窮 3 誤差過程進(jìn)行的運(yùn)算有限化,對無窮過程進(jìn)行截?cái)?這就帶來誤差.! 3! 2132xxxex! 7! 5! 3sin753xxxxx! 4! 3! 2)1ln(432xxxxx如:若將前若干項(xiàng)的部分和作為函數(shù)值的近似公式,由于以后各項(xiàng)都舍棄了,自然產(chǎn)生了誤差Taylor展開舍入誤差在數(shù)值計(jì)算過程中還會遇到無窮小數(shù),因計(jì)算機(jī)受到機(jī)器字長的限制,它所能表示的數(shù)據(jù)只能有一定的有限位數(shù),如按四舍五入規(guī)則取有限位數(shù),由此引起的誤差14159265. 3414213562. 12 166666666. 061! 3

8、11415927. 34142136. 12 16666667. 0! 31數(shù)值計(jì)算中誤差是難以避免的.數(shù)學(xué)模型一旦建立,進(jìn)入具體計(jì)算時(shí)所考慮和分析的就是截?cái)嗾`差和舍入誤差經(jīng)過大量的運(yùn)算之后,積累的總誤差有時(shí)會大得驚人,因此如何控制誤差的傳播也是數(shù)值方法的研究對象.二、誤差和誤差限定義1. 稱的一個(gè)近似值為為準(zhǔn)確值設(shè),*xxx*exx*,.x為近似值 的絕對誤差 簡稱誤差知道的往往是未知甚至是無法因?yàn)闇?zhǔn)確值 x*exx因此往往也無法求出*,exx而只能知道絕對值的某個(gè)上界 即*| |exx*x數(shù)值稱為 的絕對誤差限或誤差限,定義2. 稱的一個(gè)近似值為為準(zhǔn)確值設(shè),*xxx*rexxexx*.x為

9、近似值 的相對誤差*rxxex的相對誤差限為近似值*xrelativeerror*|rx絕對誤差限相對誤差限往往未知*rexxexx*|rx代替相對誤差代替相對誤差限例1.*2.718 281 82,2.718 28,.reee已知其近似值為求 的絕對誤差限和相對誤差限解:eeE*絕對誤差82001000. 082001000. 0|E002000. 06102*62 10*|re28718. 2102628718. 2102661071. 0*r和并不是唯一的例2.,7 ,5 ,3求絕對誤差限位數(shù)的近似值經(jīng)四舍五入取小數(shù)點(diǎn)后若解:65592141. 359141. 3*142. 3*7592

10、141. 3*|*407000. 065002000. 004000000. 03105 . 05105 . 07105 . 0可見,經(jīng)四舍五入取近似值,其絕對誤差限將不超過其末位數(shù)字的半個(gè)單位有4位有效數(shù)字有6位有效數(shù)字三、有效數(shù)字定義3. .,*位有效數(shù)字有簡稱有效數(shù)字位時(shí)具有近似則稱用位一位非零數(shù)字共有的第而該位數(shù)字到單位超過某一位數(shù)字的半個(gè)其絕對誤差的絕對值不的近似值作為若nxnxxnxxx65592141. 359141. 3*142. 3*7592141. 3*有8位有效數(shù)字1415. 3*只有4位有效數(shù)字例3.求下列四舍五入近似值的有效數(shù)字個(gè)數(shù).218.0*1x18002.0*2

11、x180.2*3x0.218*4x2*51018.2x6*51000218.0 x3個(gè)3個(gè)4個(gè)4個(gè)3個(gè)5個(gè)例4.個(gè)近似值有設(shè)395. 3x0 . 4*1x9 . 3*2x4*3x|*1xx |95. 30 . 4|05. 010.5 10|*2xx |95. 39 . 3|05. 0|*3xx |95. 34| 05. 0都具有兩個(gè)有效數(shù)字即*2*1,xx?*3字嗎也至少具有兩個(gè)有效數(shù)x實(shí)際上只1有個(gè)10.5 1010.5 10例5.:1000效數(shù)字位數(shù)的下面兩個(gè)近似值的有判斷 x9 .999*1x1 .1000*2x3109999. 041010001. 0|*11xxE1 . 000.5

12、10|*22xxE1 . 0位有效數(shù)字有所以3*1x位有效數(shù)字卻有而4*2x從以上分析可見,四舍五入的近似值的數(shù)字都是有效數(shù)字而不是四舍五入得到的近似值的數(shù)字不一定是有效數(shù)字00.5 10四、誤差的傳播與估計(jì)為二元函數(shù)設(shè)),(21xxfy ,21*2*1的近似值分別為xxxx的近似值為相應(yīng)的 yy*),(*2*1*xxfy 即的絕對誤差分別為*2*121,xxEE的絕對誤差限分別為*2*121,xx的相對誤差限分別為*2*1*2*1,xxrr的相對誤差分別為*2*1*2*1,xxEErr2*22*222*22*11*2122*11*212)()()(! 21xxxfxxxxxxfxxxf),(

13、*2*1xxf2*21*1ExfExf),(21xxf),(*2*1xxf)()(*22*2*11*1xxxfxxxf的誤差的關(guān)系的誤差與考察*2*1*,xxy展開式為處的在點(diǎn)函數(shù)Taylorxxxxf),(),(*2*121)(*yE),(21xxf的絕對誤差為*y),(*2*1xxf2*21*1ExfExf為的絕對誤差限*y)(*yE2*21*1ExfExf2*21*1ExfExf2*21*1xfxf)(*yEyr的相對誤差*)()(yyEyEr*2*2*1*1yExfyExf*22*2*2*11*1*1xExfyxxExfyx*2*2*2*1*1*1rrExfyxExfyx)(*yyr的

14、相對誤差限)(*yEr*2*2*2*1*1*1rrxfyxxfyx)(*yr)(*yE2*21*1xfxf2*21*1ExfExf*2*2*2*1*1*1rrExfyxExfyx)(*yEr*2*2*2*1*1*1rrxfyxxfyx)(*yr絕對誤差增長因子相對誤差增長因子思考:試分析四則運(yùn)算、乘方和開方的誤差傳播規(guī)律數(shù)據(jù)誤差影響的估計(jì)數(shù)據(jù)誤差影響的估計(jì)( )yf x xx dyxyy dxy1.421 1 13.50.4yx 2111.41 10.4(1 1.4)21yx五、數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計(jì)原則例7.101dxexeIxnn計(jì)算定積分0,1,2,7n 解:nI101xndexe1

15、01xnexe101dxexenxn11nnI,0I如果先計(jì)算721,III然后再計(jì)算,*00II 的近似值為假設(shè)計(jì)算出)(*0IE誤差為)(*1*11IEII的誤差為的近似值則2)(*2*22IEII的誤差為的近似值! 3)(*3*33IEII的誤差為的近似值! 7)(*7*77IEII的誤差為的近似值5040誤差放大 5千倍!nIInn11但如果利用遞推公式,7I先計(jì)算!570千分之一誤差的的誤差只有II因此在計(jì)算公式選用及算法設(shè)計(jì)時(shí),應(yīng)注意以下原則1. 四則運(yùn)算中的穩(wěn)定性問題(1) 防止大數(shù)吃小數(shù)這一類問題主要由計(jì)算機(jī)的位數(shù)引起假如作一個(gè)有效數(shù)字為4位的連加運(yùn)算11nnnII公式nIIn

16、n11公式誤差會放大誤差不會放大4012. 04697. 04896. 04987. 01234. 01041234. 01044697. 0 ,4896. 0 ,4987. 01234. 0104吃了將小數(shù)大數(shù)而如果將小數(shù)放在前面計(jì)算1234. 0104012. 04697. 04896. 04987. 041236. 0104在作連加時(shí),為防止大數(shù)吃小數(shù),應(yīng)從小到大進(jìn)行相加,如此,精度將得到適當(dāng)改善.當(dāng)然也可采取別的方法.(2) 作減法時(shí)應(yīng)避免相近數(shù)相減兩個(gè)相近的數(shù)相減,會使有效數(shù)字的位數(shù)嚴(yán)重?fù)p失01. 0cos1510999958. 4xcos12sin22x201. 0sin22510999958333. 4由于在算法設(shè)計(jì)中,若可能出現(xiàn)兩個(gè)相近數(shù)相減,則改變計(jì)算公式,如使用三角變換、有理化等等(3) 避免小數(shù)作除數(shù)和大數(shù)作乘數(shù)由誤差傳播的估