走向混沌的道路

1、第三章 走向混沌的道路我們知道，一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的充分發(fā)展是進(jìn)入混沌狀態(tài)。進(jìn)入混沌狀態(tài) 有哪些方式呢？這是非線性動(dòng)力學(xué)研究中的一個(gè)重要問(wèn)題。 本章將討論通向混沌 的倍周期分岔道路、陣發(fā)性混沌、同步與混沌、湍流道路、保守系統(tǒng)中的不規(guī)則 運(yùn)動(dòng)、電子電路中的混沌以及控制混沌與同步混沌等內(nèi)容。第一節(jié) 第一節(jié) 由倍周期分岔走向混沌前面已經(jīng)見(jiàn)到，在平方映射等的數(shù)學(xué)模型中，在液氦對(duì)流實(shí)驗(yàn)等的動(dòng)力學(xué)體 系中普遍存在著倍周期分岔現(xiàn)象， 說(shuō)明倍周期分岔是許多非線性動(dòng)力學(xué)過(guò)程中的 常見(jiàn)的現(xiàn)象， 也是進(jìn)入混沌的一種重要方式。 本節(jié)先以平方映射為例， 說(shuō)明一個(gè) 由單峰映射描述的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)可以通過(guò)倍周期分岔， 以費(fèi)根鮑

2、姆常數(shù)的收斂速度 從周期運(yùn)動(dòng)走向混沌， 接著以杜芬方程為例說(shuō)明一個(gè)物理系統(tǒng)也可從倍周期分岔 進(jìn)入混沌的道路。1. 平方映射的倍周期分岔道路上一章對(duì)平方映射的計(jì)算表明，隨著參數(shù) 的增長(zhǎng)，平方映射發(fā)生一系列的 倍周期分岔。然而倍周期分岔將在一臨界點(diǎn)c =3.5699時(shí)終止，從c開(kāi)始的大部分區(qū)域，每次迭代得到的值是隨機(jī)地出現(xiàn)的。圖 3-1 是 值為 3.7 時(shí)的迭代情 況。由圖可見(jiàn)每次迭代計(jì)算得到的 xn 值既不趨向于零或穩(wěn)定值，也不是重復(fù)， 而變?yōu)殡S機(jī)地出現(xiàn)了， 因此迭代計(jì)算可以無(wú)止境的延續(xù)下去， 偶然地某個(gè)迭代值 會(huì)出現(xiàn)在先前得到過(guò)的某點(diǎn)附近但并沒(méi)有準(zhǔn)確相同， 于是在繼續(xù)迭代計(jì)算中又很 快地分離

3、開(kāi)來(lái)了。說(shuō)明系統(tǒng)已從周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入到了非周期運(yùn)動(dòng)或稱混沌運(yùn)動(dòng)。實(shí)際上上一章對(duì)平方映射的計(jì)算僅取了少數(shù)幾個(gè)特殊的 值，因此對(duì)平方映 射通過(guò)倍周期分岔進(jìn)入混沌還沒(méi)有一個(gè)完整的印象，現(xiàn)在利用計(jì)算機(jī)編寫(xiě)的程 序，可以由小到大逐個(gè)對(duì) 值進(jìn)行計(jì)算。圖 3-2 的上部就是平方映射通過(guò)倍周期 分岔進(jìn)入混沌的分岔圖。 圖 3-2是從2.8開(kāi)始計(jì)算的， 平方映射的分岔現(xiàn)象實(shí)際是在1處開(kāi)始的，從這里迭代由零值進(jìn)入到單周期運(yùn)動(dòng)即出現(xiàn)了一次霍夫分岔；隨后在 二3處開(kāi)始了倍周期分岔，從這里先由單周期分岔為二周期，然 后在 二3.4495處由二周期分岔為四周期，接著在3.5441處從四周期分岔為八周 期，如此一直分岔下去，每

4、次分岔運(yùn)動(dòng)周期增加一倍，一直到c為止。當(dāng)c以后，映射迭代的終態(tài)值給出的圖象是一片模糊已無(wú)周期了，說(shuō)明進(jìn)入了隨機(jī)的混沌狀態(tài)。這就是平方映射在 c參數(shù)區(qū)域中進(jìn)入混沌的倍周期分岔道 路。為了將平方映射從規(guī)則運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌與李雅普諾夫指數(shù) 的變化聯(lián)系起來(lái)， 在圖 3-2 的下部連接了平方映射的 指數(shù)隨 的變化曲線。圖3-1=3.7時(shí)Xn 1在不確定值之間跳躍圖3-2平方映射分岔與李雅普諾夫指數(shù)入值隨卩的變化由圖3-2的上部可見(jiàn)，平方映射在c進(jìn)入了混沌狀態(tài)。進(jìn)入了混沌初看似乎模糊一片，但細(xì)看可見(jiàn)在模糊圖象的深淺程度上仍然可以區(qū)分出不同的區(qū) 域，說(shuō)明迭代終值Xn1并不總是混亂一片，而是存在著一定層次；此外，

5、在模糊 區(qū)域中還可見(jiàn)到有一些大大小小的窗口， 猶如兩片烏云之間有一小片藍(lán)天，說(shuō)明 這些區(qū)域仍存在規(guī)則運(yùn)動(dòng)。從圖3-2下部的李雅普諾夫指數(shù)曲線上可見(jiàn)，當(dāng)系統(tǒng) 作規(guī)則運(yùn)動(dòng)（c）時(shí)指數(shù) 始終處于負(fù)值，只在各個(gè)分岔點(diǎn)處上升到零值附近。而當(dāng)c以后，指數(shù) 便開(kāi)始轉(zhuǎn)為正值，但在c以后的各個(gè)窗口中指數(shù)值均又轉(zhuǎn)為負(fù)值，因?yàn)檫@里仍是規(guī)則運(yùn)動(dòng)。由此可見(jiàn)平方映射隨參數(shù) 值的 增加展現(xiàn)的是一幅規(guī)則一隨機(jī)一規(guī)則一隨機(jī)交織起來(lái)的豐富多彩的圖象，說(shuō)明混沌是一種特殊的、包含著無(wú)窮層次的運(yùn)動(dòng)形態(tài)。對(duì)于這種無(wú)窮層次的運(yùn)動(dòng)形式 還可以用分形理論作進(jìn)一步的分析。F面是一個(gè)用Quckbasic語(yǔ)言編寫(xiě)的平方映射隨參數(shù)變化的計(jì)算程序CLS

6、SCREEN 12VIEW (0, 0)-(638, 470), 15, 2WINDOW (0, 0)-(638, 470)x0 = .1u = 0m = 0DIM x(501)d = .001x(0) = x0WHILE u <= 4IF INKEY$ = "x" THEN GOTO fn = 1a = x0FOR i = 1 TO 130IF INKEY$ = "x" THEN GOTO fx(n) = u * a * (1 - a)a = x( n)IF n > 100 THEN PSET (d * m * 100 + 20, x( n

7、) * 200 + 40), 0n = n + 1NEXTu = u + dm = m + 1WENDf: END2. 費(fèi)根鮑姆常數(shù)七十年代初自從梅(R.May)發(fā)現(xiàn)了平方映射具有異常復(fù)雜的特性以后興起 了一股研究熱潮。因平方映射計(jì)算簡(jiǎn)單年輕的費(fèi)根鮑姆(M.Feige nbum)用一臺(tái)普通計(jì)算器計(jì)算去計(jì)算。他在計(jì)算中注意到數(shù)學(xué)家斯梅爾(S.Smale)曾經(jīng)指出過(guò)的非 線性系統(tǒng)在由周期運(yùn)動(dòng)變到混沌的轉(zhuǎn)變區(qū)域遺留著一些尚未解決的重要問(wèn)題。他每算一次記錄一次計(jì)算結(jié)果，并找出出現(xiàn)分岔時(shí)的各個(gè) 卩值。在一次次的記數(shù)中 費(fèi)根鮑姆發(fā)現(xiàn)平方映射每次分岔出現(xiàn)的卩值之間的間隔越來(lái)越小，他又將各個(gè)前后間隔進(jìn)行相除，

8、發(fā)現(xiàn)平方映射是以恒定的速率接近臨界值c的。表3-1內(nèi)列出了幾個(gè)初始分岔的卩值，圖3-3畫(huà)出了迭代的終態(tài)值Xn+1隨卩 值的變化圖，圖中1, 2，為各次2n周期的分岔點(diǎn)，R1,R2,為與2n周期的超 穩(wěn)定點(diǎn)與x 1/2間的距離。表2-1平方映射的分岔值<11333.44953.44953.54413.5441 3.56443.5644>3.5688>3.5699Xn 10周期1周期2周期4周期8周期16軌道混沌軌道軌道軌道軌道圖3-3平方映射2n周期分岔曲線設(shè)n為第n次分岔的卩值，貝U相繼兩次分岔的間隔之比1 n n5 n n mH.K=4.6692趨于一個(gè)常數(shù)。再者，仔細(xì)分析

9、發(fā)現(xiàn)在各次分岔后的超穩(wěn)定參數(shù) 率m 0時(shí)的超穩(wěn)定點(diǎn)）之間也存在同樣的關(guān)系：Rn Rn 1limn Rn 1 Rn(3-1-1)Rn (當(dāng)映射斜被稱為費(fèi)根鮑姆第一常數(shù)。進(jìn)一步，費(fèi)根鮑姆找到2n周期分岔的超穩(wěn)定點(diǎn)之間的距離dn （參見(jiàn)圖3-3）之比也趨于一個(gè)常數(shù):dndn+12.5029(3-1-2)稱為費(fèi)根鮑姆第二常數(shù)。顯然，兩個(gè)費(fèi)根鮑姆常數(shù)與都反映了非線性系統(tǒng)沿倍周期分岔系列通向 混沌過(guò)程所具有的某種普適特性。 進(jìn)一步的研究又發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)費(fèi)根鮑姆常數(shù)雖然 是在平方映射的計(jì)算中獲得的，然而對(duì)于所有在 0，1區(qū)間內(nèi)為一條單峰的光滑 曲線的映射都可計(jì)算得同樣的常數(shù)，例如正弦曲線、圓與橢圓曲線等等。不僅

10、如 此,在許多包含耗散的非線性系統(tǒng)中，只要發(fā)生倍周期分岔序列也會(huì)得到同樣的 普適常數(shù)。由此可見(jiàn)，費(fèi)根鮑姆常數(shù)的普遍意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)一維映射。 科學(xué)發(fā)現(xiàn)證 明在大自然中存在一些普適常數(shù)，例如圓周長(zhǎng)度與直徑之比的圓周率，反映某個(gè)物理量隨時(shí)間衰變的自然對(duì)數(shù) e,反映物質(zhì)微觀量度的普朗克常數(shù) h,以及真 空中的光速c等，但是普適常數(shù)的為數(shù)并不太多，它們代表了大自然運(yùn)動(dòng)所遵循的某些規(guī)律。費(fèi)根鮑姆常數(shù)發(fā)現(xiàn)說(shuō)明人類(lèi)在對(duì)自然規(guī)律的認(rèn)識(shí)上又前進(jìn)了一步,它的所包含的意義還有待進(jìn)一步去發(fā)掘。 象圓周率 等許多普適常數(shù)一樣，費(fèi)根 鮑姆常數(shù) 與 并不終止于某一位數(shù)，它們可以一直計(jì)算下去，現(xiàn)在常見(jiàn)的位數(shù)為4.66920160

11、910209909， 位數(shù)為2.502907875095,并不是實(shí)際計(jì)算中需 要用到這么多位數(shù)，而是表明人類(lèi)對(duì)自然界的認(rèn)識(shí)能力。3. 杜芬方程的倍周期分岔非線性系統(tǒng)通過(guò)倍周期分岔進(jìn)入混沌的道路現(xiàn)在已普遍得到了確認(rèn)。例如第一章曾介紹過(guò)的杜芬方程也有這樣的特性。已知一個(gè)軟彈簧系統(tǒng)杜芬方程可以 寫(xiě)成如下形式：d2xdx3xx F cos tdt2dt(1-4-11)式中，F(xiàn)為約化驅(qū)動(dòng)力，為關(guān)于系統(tǒng)固有頻率的相對(duì)頻率。如第一章所述，一個(gè)軟彈簧系統(tǒng)杜芬方程有圖1-21所示的“傾倒”幅頻特性，它與參數(shù)，F(xiàn)等都有關(guān)。為研究杜芬方程進(jìn)入混沌的特性，可以以 為 可變參數(shù)，對(duì)方程（1-4-11）進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。設(shè)&

12、#176;4，1，4,F 0.115，先使驅(qū)動(dòng)頻率 由小到大增加，則如圖3-3所示，則系統(tǒng)的振動(dòng)幅度 A沿曲線1 2方向增加，在到達(dá)到約0.68的點(diǎn)2時(shí)，振幅發(fā)生點(diǎn)2 3的跳變?cè)龃?，然后?繼續(xù)增加時(shí)，振幅A逐漸單調(diào)地下降。當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率由大到小減小時(shí)，振幅A沿原來(lái)的路線逐漸增加，在到達(dá)點(diǎn) 3后便繼續(xù)沿34的路線變化。然而在 此過(guò)程中將出現(xiàn)復(fù)雜的情況，隨著 的減小，振幅A先發(fā)生倍周期分岔，然后便 進(jìn)入到混沌狀態(tài)。O圖3-4杜芬方程的幅頻特性計(jì)算表明，在 呈橢圓形狀。當(dāng)0.8時(shí)，方程（1-4-11 ）的解是反對(duì)稱的極限環(huán)，極限環(huán)0.8時(shí)，極限環(huán)的反對(duì)稱性雖然仍存在，但是橢圓形狀已發(fā)生明顯變形。當(dāng)?shù)竭_(dá)

13、0.535處時(shí)出現(xiàn)對(duì)稱性破缺，極限環(huán)分裂為兩個(gè)周期1的不對(duì)稱極限環(huán)，這兩個(gè)不對(duì)稱的極限環(huán)互為反演。在 0.53方程（1-4-11）0.53保持互為反演，所以在觀察3-5a是圖中右邊極限環(huán)0.528倍周期分岔結(jié)束并進(jìn)入到混沌狀°.°5，1，1，0.7，F(xiàn) 0.7的解開(kāi)始倍周期分岔。由于兩個(gè)吸引子在b.圖3-5杜芬方程的倍周期分岔a)與奇怪吸引子(b)0.53時(shí)的分岔特性可以只考慮其中一個(gè)極限環(huán)。圖 隨降低出現(xiàn)的倍周期分岔圖，直到 態(tài)。圖3-5b為杜芬方程(1-4-11)中取 時(shí)的奇怪吸引子。第二節(jié)陣發(fā)性混沌1. 陣發(fā)性混沌現(xiàn)象1979年，法國(guó)數(shù)學(xué)家玻木(Pomeau和曼維爾(

14、Manneville)在計(jì)算洛論茲方程 的y分量時(shí)發(fā)現(xiàn)了一種異?，F(xiàn)象。洛論茲方程的y分量比例于上流與下流液體之 間的溫差，在定常對(duì)流狀態(tài)下y分量作規(guī)則周期變化。玻木和曼維爾的計(jì)算發(fā)現(xiàn)， 當(dāng)瑞利參數(shù)r在到達(dá)臨界值rc附近時(shí)y分量的周期性變化被一種隨機(jī)的、 突發(fā)性 的沖擊所打斷。他們?nèi)?shù) b = 8/3, = 10,此時(shí)的臨界值rc= 166.07計(jì)算了 rc 附近的四個(gè)參數(shù)，一個(gè)rv rc，三個(gè)r rc。計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)當(dāng)r低于rc時(shí)，系統(tǒng)處 于長(zhǎng)時(shí)間的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)參數(shù)r剛超過(guò)閾值rc時(shí)，開(kāi)始偶爾出現(xiàn)一些突發(fā)性 的沖擊；隨著r數(shù)值的逐漸增長(zhǎng)，這種突發(fā)性沖擊越來(lái)越頻繁地出現(xiàn)，最后周期 運(yùn)動(dòng)將幾乎

15、完全消失，于是系統(tǒng)進(jìn)入完全隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。此后不久，玻木和曼維爾又在平方映射的計(jì)算中發(fā)現(xiàn)了與洛論茲方程的突發(fā)性沖擊相類(lèi)似的現(xiàn)象。這次是在平方映射參數(shù)3.85附近的計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，圖3-6是平方映射的Xn n的時(shí)間序列。總結(jié)兩次發(fā)現(xiàn)的突發(fā)性沖擊現(xiàn)象，他們將動(dòng)力 學(xué)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)這種現(xiàn)象進(jìn)入隨機(jī)的不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為陣發(fā)性混沌(In termitte ntchaos),實(shí)際上，在自然界中、科學(xué)實(shí)驗(yàn)中乃至社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活中，此類(lèi)似的突發(fā) 性的不規(guī)則現(xiàn)象是經(jīng)?？梢杂龅降?， 例如：太陽(yáng)黑子的出現(xiàn)，野生動(dòng)物數(shù)量的漲 落，電子或激光振蕩中的沖擊現(xiàn)象，電子等離子體放電與化學(xué)反應(yīng)中無(wú)不處處見(jiàn)到這樣的不規(guī)則現(xiàn)象，社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活的

16、明顯例子是股市的漲落， 這些都可以看作 為不同領(lǐng)域中的陣發(fā)性混沌。圖3-6 平方映射參數(shù)在 3.85附近的計(jì)算結(jié)果2. 陣發(fā)性混沌機(jī)理為了解釋陣發(fā)性混沌發(fā)生的機(jī)理，我們仔細(xì)分析一下平方映射在參數(shù)3.85附近的迭代特性。從上節(jié)的分析知道，在參數(shù)< c =3.5699時(shí)，是平方映射的規(guī)則區(qū)，但隨不同參數(shù) 發(fā)生一系列的倍周期分岔。參數(shù) > 3.56994是基本上 是平方映射的混沌區(qū)。說(shuō)基本，因?yàn)槠渲羞€有許多個(gè)大小不一的窗口，在這些窗口里仍有規(guī)則運(yùn)動(dòng)，例如3.83 3.85之間便是一個(gè)較大的規(guī)則運(yùn)動(dòng)窗口。實(shí)際上陣發(fā)性混沌便是發(fā)生在從混沌運(yùn)動(dòng)回到規(guī)則運(yùn)動(dòng)的邊界附近。圖3-7給出了3.82 3

17、.88間平方映射對(duì)值的迭代圖，圖上清楚地顯示出在3.83附近有一個(gè)周期3的解，此后在 3.84附近又開(kāi)始出現(xiàn)倍周期分岔，于是產(chǎn)生出周 期6( 3X 2)，周期12( 3X 22)，周期軌道，然后在3.85附近再次進(jìn)入混沌。陣發(fā)性混沌的發(fā)生地點(diǎn)是周期 3軌道出現(xiàn)地點(diǎn)，即在3.83附近。因此推論出陣發(fā)性混沌與周期3軌道有著某種聯(lián)系。顯然，倍周期分岔產(chǎn)生不出周期3軌道。 我們注意這條軌道的正確起點(diǎn)值為t 3.8284，平方映射在這里發(fā)生了一次切分岔。從前面討論我們知道，周期2是由二次平方映射產(chǎn)生的，類(lèi)似地周期3可由 三次平方映射f'(x)產(chǎn)生：f (x) f (f (f(x)圖3-7 平方映

18、射中的周期 3窗口圖3-8383附近的f(X)和f(X)的曲線圖3-8畫(huà)出了383附近的f(x)和f3(x)的曲線?？梢钥吹?，f3(x)有四個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)是由f(x)帶來(lái)的不穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)，而另外三個(gè)正好與對(duì)角迭代 線相切。切點(diǎn)處f3(x)曲線的斜率為+1，這是穩(wěn)定性條件的最大值。當(dāng)參數(shù) 值再稍許增大一點(diǎn)時(shí)，則f3(x)曲線將都越過(guò)切點(diǎn)與對(duì)角迭代線相交為兩個(gè)交點(diǎn)，一共產(chǎn)生出六個(gè)交點(diǎn)。由于相切點(diǎn)f'(x)曲線的斜率為+1，所以每對(duì)相交的兩個(gè)交點(diǎn)處f3(x)曲線的斜率一個(gè)大于1,另一個(gè)小于1。根據(jù)穩(wěn)定 性條件，大于1的是不穩(wěn)定的，小于1的是穩(wěn)定的，于是f'(x)就有了三個(gè)穩(wěn)定 不動(dòng)

19、點(diǎn)Xs與三個(gè)不穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)Xu。對(duì)f(x)來(lái)說(shuō)，它們分別給出一條穩(wěn)定的周 期3軌道，如圖3-7所示，和一條不穩(wěn)定的周期3軌道，其中不穩(wěn)定的周期3軌 道已經(jīng)退化。這種由每個(gè)切點(diǎn)產(chǎn)生出的一對(duì)穩(wěn)定與不穩(wěn)定軌道正是第二章分析過(guò) 的切分岔的特征。這就說(shuō)明在 3.83附近，平方映射中周期3軌道與切分岔緊 密地聯(lián)系著。圖3-9 f3(,x)< c附近的迭代為了理解陣發(fā)性混沌的產(chǎn)生，需要對(duì)圖 3-8作進(jìn)一步考察。如果將參數(shù)略為減小一些，可以看到，在圖3-8的下圖中f (x)曲線與對(duì)角迭代線的原三個(gè)切 點(diǎn)附近，形成一條狹窄的“走廊”。當(dāng)在此對(duì)映射f3(x)進(jìn)行迭代時(shí)，就成為在 走廊中的行走，如圖3-9所示

20、?？梢钥吹?，當(dāng)某一軌道點(diǎn)落入某一走廊的入口處 時(shí)，按迭代作圖的方式，在經(jīng)過(guò)若干次迭代以后走到了走廊出口處，并從這里離開(kāi)走廊，迭代的次數(shù)的多少?zèng)Q定于“走廊”的狹窄程度，也即與切分岔起點(diǎn)t 之間的距離決定?？梢?jiàn)在走廊中的迭代很象是在不動(dòng)點(diǎn)附近的迭代，因此它相應(yīng) 于周期的運(yùn)動(dòng)。在走出了走廊以后，迭代將是無(wú)規(guī)則的大幅度跳躍，當(dāng)其隨機(jī)地 再進(jìn)入到這個(gè)或那個(gè)走廊入口附近時(shí)，又將重復(fù)出現(xiàn)以上在走廊中的迭代過(guò)程。 當(dāng)然這種重復(fù)是不可能準(zhǔn)確相同的，所以每次在走廊中的迭代次數(shù)也不會(huì)相同。 顯然，當(dāng) t 0時(shí)，迭代穿越時(shí)間趨向于無(wú)窮長(zhǎng)，即達(dá)到完全周期的狀態(tài)。 這就是對(duì)從有序(周期)到無(wú)序的陣發(fā)混沌道路的解釋。也是數(shù)

21、學(xué)家李天巖與約克 曾通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析所證明的，在任何一維系統(tǒng)中，只要出現(xiàn)規(guī)則的周期3,必然會(huì)給出任意長(zhǎng)的規(guī)則周期運(yùn)動(dòng)和完全混沌的循環(huán)。3實(shí)際上，在切點(diǎn)處f (x)曲線可以近似用下式來(lái)表示：2xn 1xn axn(321)式中，0為一小參量，它比例于參量到切分岔起點(diǎn)t之間的距離：很小時(shí)，迭代次數(shù)n將會(huì)很這里可對(duì)穿過(guò)走廊所需的迭代次數(shù) n作個(gè)估算。當(dāng) 多，這時(shí)可?。篨n 1Xnx dx n dn利用式(3-2-1)得：dxdn2axn經(jīng)過(guò)積分可得：1X。XjJn arcta na./a(3-2-2)(3-2-3)式中，人與X。為走廊進(jìn)口與入口處的坐標(biāo)(如圖 3-9)。由于每次出入走廊的坐 標(biāo)不會(huì)

22、相同，上式還應(yīng)對(duì)(Xi-x。)做一次平均。然而，當(dāng) 很小時(shí),tan 1(xo有：Xi)“ /a/2，我們可以直接將式(3-2-3)看作平均近似式，于是n1/2可見(jiàn)平均迭代次數(shù) n反比于到切分岔點(diǎn)t距離的方根。當(dāng)0時(shí)，n按1/2指數(shù)發(fā)散，與前面的分析結(jié)果相同。需要說(shuō)明的是，在上述討論中并沒(méi)有涉 及到周期3的具體性質(zhì)，也就是說(shuō)，只要是切分岔為起點(diǎn)窗口附近的分析， 都可 以采用這種分析方法。值得注意的是導(dǎo)致出現(xiàn)陣發(fā)性混沌的原因也有多種，人們常稱上面分析的陣 發(fā)性為玻木-曼維爾型陣發(fā)性混沌， 它發(fā)生在周期吸引子穩(wěn)定性喪失的附近。 另 一種典型的陣發(fā)性混沌是由于混沌吸引子與不穩(wěn)定軌道產(chǎn)生沖突( coll

23、ision )引 起的，常稱為危機(jī)型陣發(fā)性混沌。一個(gè)具體的例子還是前面所說(shuō)的平方映射中的周期 3窗口。我們需要注意到 周期3窗口的出現(xiàn)是由于平方映射的參數(shù)3.83附近的切分岔，每次切分岔產(chǎn)生的是兩條軌道，一條是穩(wěn)定的還有一條是不穩(wěn)定的，在圖3-7上在參數(shù)3.833.86范圍內(nèi)只畫(huà)出了穩(wěn)定軌道的行為。 該圖實(shí)際上應(yīng)畫(huà)成圖3-10所示， 圖中的虛線就是切分岔產(chǎn)生的三條不穩(wěn)定軌道隨參數(shù)值的變化情況。由圖可見(jiàn)，由實(shí)線所示的三條穩(wěn)定軌道隨參數(shù)經(jīng)幾次倍周分岔后進(jìn)入混沌，在參數(shù)*附近，三條不穩(wěn)定軌道各與兩條混沌軌道相遇而發(fā)生沖突。圖3-10b用圖示的方式表示陣發(fā)性混沌的產(chǎn)生。如圖所示，平方映射與恒等線的上交

24、點(diǎn)是一個(gè) 不穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，以其影像點(diǎn)為一角的虛線方框?yàn)榛煦缥拥奈颉；煦缥涌砷L(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行于該吸引域內(nèi)。陣發(fā)性吸引子由兩個(gè)甚至更多個(gè)亞穩(wěn)吸引子組 成，由于不穩(wěn)定軌道與混沌吸引子的沖突， 混沌吸引子可越出吸引域而形成陣發(fā) 性混沌。a第三節(jié) 同步、鎖模與混沌1. 同步與鎖模同步(Syncronazation)與鎖模(Mode-locking)是指兩個(gè)或數(shù)個(gè)振子間的同 步振動(dòng)現(xiàn)象。早在 17 世紀(jì)，荷蘭物理學(xué)家惠更斯利用擺的等時(shí)性發(fā)明掛鐘的時(shí) 候就發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)懸掛在木板墻上的掛鐘當(dāng)靠得較近時(shí)會(huì)發(fā)生同步擺動(dòng)現(xiàn)象。 后來(lái) 瑞利也發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩根風(fēng)琴管在靠得較近時(shí)發(fā)出的音調(diào)趨于一致， 離得較遠(yuǎn)時(shí)則發(fā)生 差拍

25、現(xiàn)象。這就是物理史上較早觀察到的同步或鎖?，F(xiàn)象。對(duì)于一個(gè)性線性振子來(lái)說(shuō)，在其振動(dòng)方程：Asin( t+ ) (3-3-1) 中的三個(gè)特征量，即振幅A、頻率3與相位©，只有頻率是固有的，而振幅與相 位決定于初始條件。 與此不同， 對(duì)于一個(gè)非線性振子， 如前面研究過(guò)的范德玻耳 振子，其振幅、 頻率與相位是與非線性系統(tǒng)緊密相關(guān)的。 系統(tǒng)最終所達(dá)到的穩(wěn)定 振動(dòng)狀態(tài)與初始條件無(wú)關(guān)。 因此， 如果使兩個(gè)非線性振子間發(fā)生耦合， 就會(huì)出現(xiàn) 一個(gè)振子的狀態(tài)依賴于另一個(gè)振子的振幅。 或者一個(gè)振子的振動(dòng)頻率鎖定在另一 個(gè)振子的振動(dòng)頻率上， 或者兩個(gè)振子同步地以一個(gè)共同的頻率振動(dòng)。 所以同步與 鎖模是非線性

26、振動(dòng)系統(tǒng)的固有特性。設(shè) 1與 2 分別為兩個(gè)振子的固有頻率，如改變某個(gè)參數(shù)，當(dāng)一個(gè)振子的 P 倍振動(dòng)頻率 P 1與另一個(gè)振子的 Q 倍振動(dòng)頻率 Q 2 接近時(shí)，雖然 P 與 Q 互為質(zhì) 數(shù)，但是如果兩個(gè)振子之間存在某種耦合， 例如在擺線之間用一個(gè)弱彈簧連接起 來(lái)的兩個(gè)靠近的單擺，則兩個(gè)系統(tǒng)的頻率之比i/ 2 P/Q可能進(jìn)入有理數(shù)狀態(tài)，這種在一定的頻率范圍內(nèi)一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)與另一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)間出現(xiàn)同步的現(xiàn)象 稱為鎖模，也稱鎖相(Phase-locking或鎖頻(Frequency-locking),三個(gè)名字都指兩 個(gè)振子的同步振動(dòng)現(xiàn)象， 但在含義上略有區(qū)別。 顯然鎖模的范圍與兩個(gè)振子間的 耦合強(qiáng)度有關(guān)

27、， 在耦合的很弱情況下鎖模范圍很小， 對(duì)大多數(shù)振動(dòng)頻率運(yùn)動(dòng)是非 鎖模的，兩個(gè)振子基本上在獨(dú)立振動(dòng)，它們處于準(zhǔn)周期( Qusipriodicity，或稱擬 周期)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。隨著耦合的增強(qiáng)鎖模范圍增大，兩振子的振動(dòng)密切相關(guān)，當(dāng)耦 合達(dá)到某個(gè)閾值之后系統(tǒng)可能進(jìn)入混沌狀態(tài)。 這是與倍周期分岔或陣發(fā)性混沌不 同的的進(jìn)入混沌的道路， 稱為準(zhǔn)周期道路。 本節(jié)首先通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的振動(dòng)水桶的 滴水實(shí)驗(yàn)來(lái)建立一個(gè)所謂標(biāo)準(zhǔn)圓映射， 然后利用該映射描述通過(guò)同步鎖模進(jìn)入混 沌的道路。標(biāo)準(zhǔn)圓映射可以利用多種受驅(qū)振子模型導(dǎo)出。為容易理解，這里采用振動(dòng)水 桶的滴水實(shí)驗(yàn)來(lái)推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)圓映射。實(shí)驗(yàn)設(shè)備非常簡(jiǎn)單，一只水桶通過(guò)一根彈簧懸

28、掛到天花板上，桶底有一小孔向下滴水，如圖3-11所示。為保證在滴水過(guò)程中不受水位的影響，實(shí)驗(yàn)中要采取措施不斷補(bǔ)充進(jìn)水，以保證水桶中的總水量保持 恒定不變。在重力與表面張力的共同作用下，在桶底的小孔處形成與時(shí)間成正比的增大 水滴，當(dāng)水滴的質(zhì)量達(dá)到表面張力不能再支持的某個(gè)臨界值時(shí)m，水滴便脫離桶底滴落下來(lái)。水滴落下以后，在桶底小孔處又將形成新的水滴， 它從零質(zhì)量開(kāi) 始并隨時(shí)間線性增長(zhǎng)直至脫落。因此如果水桶不是用彈簧而是用一根繩子懸掛起 來(lái)，落下的每個(gè)水滴的質(zhì)量一般應(yīng)是相等的。 兩水滴之間的滴落時(shí)間間隔為一個(gè) 水滴的形成時(shí)間，即：t= m /c如圖3-12a所示。然而，如果水桶是通過(guò)彈簧懸掛起來(lái)的，

29、當(dāng)水滴從水桶底下脫 落時(shí)，對(duì)水桶有一反沖從而引起水桶上下振動(dòng)。 因此小孔滴水與水桶的振動(dòng)是兩 個(gè)相互耦合的振動(dòng)系統(tǒng)。水桶的振動(dòng)周期T則由水桶的質(zhì)量與彈簧的勁度決定的。振動(dòng)的水桶反過(guò)來(lái)又會(huì)影響水滴的形成， 相當(dāng)于在水滴的重量上附加了一個(gè) 周期性的慣性力，于是水滴的質(zhì)量要改寫(xiě)為：meq m*1f(t/T)(332圖3-12 水滴質(zhì)量與時(shí)間的關(guān)系，a.水桶為靜止情況，b.水桶為振動(dòng)情況式中f(t/T)是周期T的函數(shù)。如圖3-12b所示，水桶的振動(dòng)對(duì)水滴的生成產(chǎn)生 了兩方面的影響，一是落下的水滴有大有小，不再相等。二是兩水滴之間的間隔 有長(zhǎng)有短，一般不會(huì)相同，i 2 3 。為了普遍化需對(duì)式(3-3-2

30、)無(wú)量綱化。具體做法是用周期 T來(lái)約化時(shí)間t,用 CT來(lái)約化質(zhì)量m,貝拡量的增長(zhǎng)率為I，等效臨界質(zhì)量為：meq ( /T)m*1 f( )(3-3-3)這里 t/T ,相當(dāng)于以2進(jìn)行約化的相位。通過(guò)這些變換以后，相繼兩次滴水時(shí)的相位關(guān)系可由圖 3-13求得。圖中由時(shí) 軸上A點(diǎn)出發(fā)的45°斜線代表水滴質(zhì)量的線性增長(zhǎng)，頂部的曲線代表等效臨界 質(zhì)量。C點(diǎn)表示水滴落時(shí)間，此時(shí)在水平軸上的位置為B點(diǎn)。由圖3-13給出以下的關(guān)系：AB = 1 i i 1某整數(shù)BC = /T + f ( i+J =+ f( i+J + 某整數(shù)其中 代表 t /T的非整數(shù)部分。由于AB = BC，得歷次滴水是的相位

31、推遞關(guān)系：i+1 i f( i+1 )(3-3-4)由此可以倒解出i ( i+1, )(3-3-5)i在0,1區(qū)間循環(huán)變化。這個(gè)映射將圓上的點(diǎn)映射成圓，所以叫做圓周映射(circlemap)。圖3-13水滴脫落的鎖相條件2.魔梯與混沌由于圓周映射(3-3-4)的特征與迭代函數(shù)的細(xì)節(jié)關(guān)系不太大，因此我們可以把 它取為正弦函數(shù)的形式：i+i i (K/2 )sin2 i(3-3-6)這個(gè)映射叫做標(biāo)準(zhǔn)圓映射(standard map)它含有K， 兩個(gè)參量。K代表非線性 耦合的強(qiáng)度，則代表兩個(gè)振動(dòng)的頻率之比。當(dāng)不考慮標(biāo)準(zhǔn)圓映射中的非線性項(xiàng)時(shí)，K = 0,則式(3-3-6)簡(jiǎn)化為線性映射：i+1 i(3

32、-3-7)圖3-14給出用此式進(jìn)行迭代的情況。先取為有理數(shù)的情況：2/5 0.4，設(shè)初始值從0.3出發(fā)，由(3-3-7)得：i 0.4 當(dāng) i 0.6 時(shí)i 1 i 0.41 當(dāng) i 0.6 時(shí)如圖3-14a所示，經(jīng)過(guò)五次迭代，軌線繞了兩圈以后回到了原處。顯然，這是個(gè)周期解。周期解反映了兩個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)處于同步狀態(tài)。再選為與0.4很接近的0.40404，它是個(gè)無(wú)理數(shù)，這時(shí)迭 0代總不能精確地回到原處，軌線不會(huì)閉 合起來(lái)，這是一種準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，如圖3-14b所示。說(shuō)明若為無(wú)理數(shù)，在線性情況下兩個(gè)系統(tǒng)間一般不會(huì)出現(xiàn)頻率同步現(xiàn)象。a=0.4=0.40404 圖3-14線性標(biāo)準(zhǔn)映射迭代關(guān)系圖如果K 0 ,就

33、是存在非線性時(shí)的迭代情況。設(shè)K二0.95,參數(shù) 仍為無(wú)理數(shù)頻率=0.40404，這次從初始值 0 = 0.4出發(fā)在經(jīng)過(guò)了五次迭代繞了兩圈以后回到了出發(fā)點(diǎn)，如圖3-15所示?？梢?jiàn)在非線性的情況下，即使參數(shù)為無(wú)理數(shù)頻率也可以實(shí)現(xiàn)軌線閉合，出現(xiàn)了周期解，達(dá)到了同步狀態(tài)。因此非線性使同 步范圍得到了加寬。為了更深入一些描述兩個(gè)不同頻率的系統(tǒng)間同步現(xiàn)象，我們引進(jìn)n的每次迭代的平均增量：1W lim ( n 0)n n(3-3-8)稱為卷繞數(shù)(winding number)。由(3-3-7)可知，在線性情況下，W=，兩者同為有理數(shù)或無(wú)理數(shù)。但在非線性的情況下，若為無(wú)理數(shù)頻率，W可則鎖定在與接近的有理數(shù)頻率

34、上。例如上面曾取無(wú)理數(shù)頻率=0.40404，非線性可導(dǎo)致 W鎖定在與此接近的有理數(shù)頻率 0.4上。說(shuō)明非線性將使兩個(gè)不同頻率的系統(tǒng)間發(fā) 生同步。圖3-15標(biāo)準(zhǔn)映射的非線性迭代關(guān)系顯然，非線性情況下出現(xiàn)的同步，其鎖定范圍應(yīng)與參數(shù)K的大小有關(guān)。在參數(shù)K接近零時(shí)，每個(gè)鎖模范圍都非常小，卷繞數(shù) W為有理數(shù)的幾率幾乎為零， 而W為無(wú)理數(shù)的幾率幾乎為1。隨著K的增加，所有的鎖模頻率范圍都會(huì)增加， 圖3-16是給出鎖模頻率范圍與參數(shù) K關(guān)系的K平面相圖。由圖可見(jiàn)，鎖模范圍隨K值的增加而增加，人們形象地稱這樣的圖象為阿諾德舌頭(Arnoldtongue),因?yàn)榘⒅Z德首先用這樣的方式表示鎖模范圍與K值的關(guān)系。阿

35、諾德是前蘇聯(lián)的一位著名數(shù)學(xué)家，他在證明保守力學(xué)系統(tǒng)的KAM定律中有著重要的貢 獻(xiàn)。由圖3-16可見(jiàn)，K二1是條臨界線，當(dāng)K<1時(shí)，所有的共振區(qū)域之間是彼此 分離的；當(dāng)K二1時(shí)，阿諾德舌頭寬度增大到彼此銜接的程度，說(shuō)明這時(shí)對(duì)任何 值都滿足共振條件；當(dāng)K > 1時(shí)，阿諾德舌頭開(kāi)始出現(xiàn)重迭，這時(shí)迭代函數(shù)不 再是單調(diào)的了，說(shuō)明系統(tǒng)已進(jìn)入了混沌狀態(tài)?？梢?jiàn)K二1實(shí)際上定義了由周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦绲呐R界線。圖3-16 K平面相圖一阿諾德舌頭其次我們需要注意到在不同頻率比下，同步范圍的寬度是不同的。大體來(lái)說(shuō)，兩個(gè)系統(tǒng)的有理數(shù)頻率之比P/Q的分母Q越小，鎖定的范圍越寬。例如,在全部的分式中，除1以外，

36、分母最小為2，即P / Q =1/2，這里的同步區(qū)域較大； 分母次小的為3,因此P/Q=1/3、2/3的同步范圍雖比1/2的要小，但要比其他 頻率比值的同步范圍要大，依次可以類(lèi)推。由于不同頻率比 下有不同的同步范 圍，在給定的K值下，如果以W為縱坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)，就將得到與全部頻率比相應(yīng)的同步范圍所構(gòu)成的一座特殊的樓梯，它有無(wú)數(shù)個(gè)臺(tái)階與寬窄不等平 臺(tái)，如圖3-17所示。圖3-17 表示W(wǎng)與 關(guān)系的魔梯圖3-17中，不同的臺(tái)階代表不同的鎖模頻率 W，平臺(tái)的寬度代表鎖模范圍 的大小。由于在一個(gè)給定的數(shù)值區(qū)間范圍內(nèi)有無(wú)窮多個(gè)無(wú)理數(shù)，因此這個(gè)樓梯也就有無(wú)數(shù)個(gè)臺(tái)階與平臺(tái)，它變幻莫測(cè)，戲稱魔梯（devil&

37、#39;s staircase。值得稱奇的是， 如果把圖上的某個(gè)局部（如圖中以P/q=2/9附近的一小方塊）進(jìn)行適當(dāng)放大，可以得到一座與整體相象的樓梯；如果在這局部放大后的圖上再選擇一小塊進(jìn)行 放大，仍能獲得與整體相象的圖形，以致將這樣的做法不斷進(jìn)行下去，所得到的局部放大的圖形始終與整體圖形是相象的。也就是說(shuō)，魔梯也具有自相似性，這種自相似特性可以用下章要講的分形理論去進(jìn)行分析。由于標(biāo)準(zhǔn)映射是一個(gè)雙參量映射，所以與單參數(shù)映射相比，走向混沌的道路 更加豐富多采。我們注意到在重迭區(qū) W的取值與初始值有關(guān)，也就說(shuō)明通過(guò)同 步與鎖模進(jìn)入混沌的道路也有多種方式，圖3-18中給出了有代表性的三種走向混沌的

38、路線，如圖中的虛線所示。（a）從 W為無(wú)理數(shù)的區(qū)域進(jìn)入阿諾德舌頭（即從 準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)過(guò)渡到周期性的鎖模狀態(tài)），最后當(dāng)K值超過(guò)臨界值時(shí)進(jìn)入混沌。（b） 始終處在阿諾德舌頭外的準(zhǔn)周期區(qū)，然后從兩阿諾德舌頭的銜接處進(jìn)入混沌狀 態(tài)；（c）始終處在阿諾德舌頭內(nèi)的鎖模狀態(tài)下，當(dāng)K值超過(guò)臨界值后，通過(guò)一系列的倍周期分叉走向混沌，與平方映射非常相象。圖3-18 標(biāo)準(zhǔn)映射走向混沌的幾種途徑3. 受驅(qū)貝納德對(duì)流實(shí)驗(yàn)雖然具有耦合的振子通過(guò)同步與鎖模走向混沌的例子有許多，但是鑒于實(shí)際測(cè)量上的復(fù)雜性，要完美地顯示這樣的混沌道路需要有精細(xì)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與巧妙的 實(shí)驗(yàn)技術(shù)，在這方面，曾經(jīng)從實(shí)驗(yàn)上首次證明倍周期分岔而聞名的利布沙伯

39、顯然 技高一籌。這次他們采用水銀來(lái)做對(duì)流實(shí)驗(yàn)， 水銀是導(dǎo)體，可以用來(lái)加入對(duì)對(duì)流 運(yùn)動(dòng)進(jìn)行電流驅(qū)動(dòng)的第二個(gè)振子系統(tǒng)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果清晰地給出了振蕩鎖模的阿諾德 舌頭，以及進(jìn)入混沌的準(zhǔn)周期道路。3利布沙伯采用了 0.7 0.7 1.4 cm的一種扁長(zhǎng)盒來(lái)裝載水銀。水銀是一種低 Prandtl數(shù)（洛倫茲方程中的 因子）流體，當(dāng)槽底加熱到一定程度時(shí)發(fā)生貝納德對(duì)流，產(chǎn)生出一種垂直的交變渦流，這是本實(shí)驗(yàn)中的第一種振蕩，設(shè)振蕩頻率為01。 這種流體從靜止到出現(xiàn)對(duì)流是一次霍夫分岔。第二種振蕩是外加的，方法是在與對(duì)流圈的軸心相平行的方向上加一水平的直流磁場(chǎng)， 磁場(chǎng)強(qiáng)度為200高斯，此外, 在垂直方向上通以隨時(shí)間交變的

40、薄片電流， 該薄片的平面設(shè)置在流體的兩個(gè)對(duì)流 圈的中間，因此該平面是與磁場(chǎng)相平行的，電流強(qiáng)度約20毫安。電流在磁場(chǎng)中會(huì)受到洛侖茨力的作用，于是在流體的速度場(chǎng)中產(chǎn)生一交變渦流。利布沙伯等人 在本實(shí)驗(yàn)中以脈沖激發(fā)電流作這種第二種振蕩，其脈寬約為周期的1/10。顯然只要改變交變電流的頻率與電流大小，就相應(yīng)地改變了第二種振蕩的振蕩頻率EXT與振蕩幅度，從而在較大范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)繞卷數(shù)與幅度的掃描。為了對(duì)對(duì)流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量，在水銀盒的底部的裝置了熱探測(cè)器，測(cè)量得的數(shù)據(jù)經(jīng)快速傅立葉變換來(lái)分析， 從中得到同步時(shí)的繞卷數(shù)與振子的幅度。 為 使實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確可靠，要求使用高穩(wěn)定度的振蕩，其中內(nèi)部振子的頻率01約為-

41、50.2230Hz,穩(wěn)定度在10，而驅(qū)動(dòng)振蕩器的頻率 ext穩(wěn)定度比這還要高，并且其 頻率與幅度應(yīng)能方便地調(diào)節(jié)。實(shí)驗(yàn)表明，兩個(gè)振蕩之間存在著競(jìng)爭(zhēng)。在對(duì)第二個(gè)振蕩的頻率與幅度進(jìn)行調(diào) 節(jié)時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)第一個(gè)振蕩的頻率由于鎖模而隨之發(fā)生移動(dòng)。如果對(duì)驅(qū)動(dòng)頻率EXT與幅度進(jìn)行掃描，就可以獲得若干個(gè)鎖模態(tài)，如圖3-19所示。圖中的水平(0)坐標(biāo)為零激發(fā)時(shí)第一個(gè)振蕩頻率01與驅(qū)動(dòng)頻率EXT之比，縱坐標(biāo)為激勵(lì)電流的幅度，該圖是在瑞利數(shù)R 4.°9Rc下獲得的，這里Rc為臨界瑞利數(shù)。由圖可見(jiàn)， 隨著驅(qū)動(dòng)幅度(電流)的增加，鎖模范圍越來(lái)越大，因此該圖實(shí)際上就是一幅阿 諾德舌頭圖。當(dāng)驅(qū)動(dòng)電流達(dá)到一定程度時(shí)，

42、舌頭開(kāi)始發(fā)生重迭，在圖中即為實(shí)線 轉(zhuǎn)為虛線的地方，從這里是系統(tǒng)開(kāi)始進(jìn)入混沌的臨界狀態(tài)。(0)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，達(dá)到臨界所需的驅(qū)動(dòng)幅度與無(wú)理數(shù)頻率01 / EXT比的起點(diǎn)值有關(guān)，因此系統(tǒng)的各個(gè)臨界點(diǎn)并不聯(lián)成一條水平直線。實(shí)驗(yàn)觀察了兩個(gè)無(wú)理數(shù)頻率 比，即圖中所示的G 5 1/2與S 2 1無(wú)理數(shù)頻率比，臨界點(diǎn)最高的地 方是G處，實(shí)驗(yàn)測(cè)到的臨界驅(qū)動(dòng)電流為17.4mA。D.30.50,70.9« + lt選擇以G與S無(wú)理數(shù)作為測(cè)量頻率的原因是它們是不易為有理數(shù)逼近的 數(shù)。原來(lái)一個(gè)在區(qū)間0，1內(nèi)的任何實(shí)數(shù)都可以用下面的連分?jǐn)?shù)表示：11m11 1m2m3（3-3-9）這里，m1 , m2 , m3 ,都

43、是正整數(shù)。當(dāng)連分?jǐn)?shù)表示的整數(shù)序列m1 , m2 ,，mn 有限長(zhǎng)時(shí)是有理數(shù)；而連分?jǐn)?shù)表示的整數(shù)序列 m1 , 口2，mn為無(wú)限長(zhǎng)時(shí)，即 n，為無(wú)理數(shù)。對(duì)于 G，它是連分式（3-3-9）中數(shù)m1，m2，m3，都為1時(shí)的結(jié)果：1,1,1,(3-3-10)0.618033985對(duì)于S，它是連分式（3-3-9）中數(shù)m1，m2，m3，都為2時(shí)的結(jié)果:s 2,2,2,、-210.41421356 若把連分式（3-3-9）在序列的第q個(gè)整數(shù) 叫處截?cái)啵偷玫綄?duì)無(wú)理數(shù)的第q個(gè)有理逼近：q m1,m2, , mq P/Q。值得一提的是G C 5 1）/2，它是在所有無(wú)理數(shù)中有理逼近最慢的，其值等于 三角上的黃金

44、分割數(shù)，所以G被稱為黃金數(shù)。現(xiàn)在回到實(shí)驗(yàn)上來(lái)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)電流低于臨界電流時(shí)，信號(hào)的功率譜主要由兩個(gè)（0）基頻0I、 ext的線性組合得到的少數(shù)譜峰；當(dāng)達(dá)到臨界驅(qū)動(dòng)電流時(shí)，組合得譜 峰數(shù)便很快增加起來(lái)，尤其是低頻分量的密度越來(lái)越多；而當(dāng)超過(guò)臨界電流時(shí)， 高頻逐步地為噪聲所替代，這是進(jìn)入了混沌的特征。圖3-20給出了在瑞利數(shù)R 4.09Rc下無(wú)理數(shù)頻率比 g時(shí)的功率譜。各譜的驅(qū)動(dòng)電流為：（a）為16.9mA, 低于臨界電流；（b）為17.4mA，最接近臨界電流；（c）為21.5mA，高于臨界電流。圖3-20瑞利數(shù)為R4.°9Rc時(shí)無(wú)理數(shù)頻率比G下的功率譜4. 受驅(qū)單擺的混沌道路4.1受驅(qū)單擺

45、的分岔圖我們已在第一章通過(guò)數(shù)值計(jì)算的結(jié)果，在給定阻尼參數(shù)及驅(qū)動(dòng)力頻率，取不 同驅(qū)動(dòng)力的幅度，對(duì)單擺的混沌有了一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)。 在系統(tǒng)地介紹了動(dòng)力學(xué)系 統(tǒng)的各種混沌道路之后，現(xiàn)在我們?cè)倩仡櫼幌聠螖[進(jìn)入混沌的道路。當(dāng)取單擺的自振頻率1，阻尼參數(shù)用品質(zhì)因子q表示，21/q， 為無(wú)量綱阻尼系數(shù)，則一個(gè)受驅(qū)單擺方程(1-4-1)可以寫(xiě)為：F cos t(3-3-11)d21 d2sindt2q dt式中B是單擺的角位移，F(xiàn)是約化驅(qū)動(dòng)力矩幅度，是約化驅(qū)動(dòng)力頻率，q，F(xiàn)，三個(gè)參數(shù)是受驅(qū)單擺的可控參數(shù)。從前面介紹的非線性系統(tǒng)進(jìn)入混沌的方式知道，一個(gè)單參數(shù)的平方映射進(jìn)入混沌已有倍周期分岔及陣發(fā)性之分。顯然對(duì)于具

46、有三參數(shù)的受驅(qū)單擺來(lái)說(shuō)，進(jìn)入混沌的道路應(yīng)有更豐富的形式。首先，根據(jù)第一章受迫振動(dòng)的討論知道，一個(gè)阻尼弱非線性單擺可用杜芬振 子方程近似，即這時(shí)方程(3-3-11)可近似為：d2ddt2dt3/6 Fcos t(3-3-12)該方程的主共振的頻率特性曲線如圖1-21，它是向低頻方向傾倒的 S形曲線。2當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率大于系統(tǒng)自振頻率時(shí)，1，方程(1-4-12)的解是單值的；而當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率小于系統(tǒng)自振頻率時(shí),1，方程(1-4-12)的解有可能有三個(gè)值，其中兩個(gè)是穩(wěn)定的，一個(gè)是不穩(wěn)定的，如圖1-24所示。由于混沌總是與方程解的失穩(wěn)聯(lián)系相聯(lián)系的，因此可以認(rèn)定受驅(qū)單擺的混沌應(yīng)該出現(xiàn)在驅(qū)動(dòng)頻率小于單擺自振頻率的區(qū)

47、域圖3-21受驅(qū)單擺的角速度對(duì)驅(qū)動(dòng)力矩的分岔圖從前面關(guān)于混沌道路的討論中知道，分析一個(gè)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的 一個(gè)重要方法是繪制出它的分岔圖。對(duì)于分析受驅(qū)單擺的混沌道路也是一樣，我們可以從繪制它的分岔圖出發(fā)。受驅(qū)單擺的分岔圖可以可利用四階龍格-庫(kù)塔法對(duì)方程(3-3-11)編制Q-Basic程序來(lái)取得。給定小于單擺自振頻率的某個(gè)驅(qū)動(dòng)頻 率，再給定單擺的品質(zhì)因子q,以驅(qū)動(dòng)力矩幅度F為控制參數(shù)，則可得單擺的 角速度對(duì)F的分岔圖。取 2/3，1/q 1/2，F(xiàn) 0.96 1.52，并對(duì)數(shù)個(gè)初始角速度0進(jìn)行計(jì)算得分岔圖如圖3-21所示。4.2不同驅(qū)動(dòng)力矩下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)根據(jù)圖3-21所示的 2/3，1/

48、q 1/2條件下的受驅(qū)單擺分岔圖，大致可按 F 01.25和F 1.25 1.52將單擺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分成兩個(gè)區(qū)域，并對(duì)它們分別加 以討論。F = 0 1.25間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)從第一章初識(shí)單擺運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性中知道，小擺角受驅(qū)阻尼單擺存在一個(gè)橢圓 閉合軌道的周期吸引子，單擺鎖定在驅(qū)動(dòng)頻率上。在驅(qū)動(dòng)頻率及阻尼力(1/q)大小為定值時(shí)，閉合軌道的半徑由驅(qū)動(dòng)力矩F決定，隨著驅(qū)動(dòng)力矩的增加半徑逐漸增大；在 2/3，1/q 1/2的條件下，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力矩F趨近于約0.99時(shí)，受 驅(qū)單擺相軌線類(lèi)似于無(wú)阻尼單擺相圖(圖1-6) 上由 到 的異宿線所圈定內(nèi)的圖形。然而由圖3-21可見(jiàn)，當(dāng)F 0.99時(shí)單擺的角速度分岔成上下兩

49、支，系統(tǒng)的運(yùn) 動(dòng)狀態(tài)似乎從這里開(kāi)始出現(xiàn)倍周期分岔。然而繪畫(huà)出的相圖來(lái)看，單擺在 F 0.99 1.0487間的運(yùn)動(dòng)仍是單周期運(yùn)動(dòng)，只是相軌線左右是不對(duì)稱的。從F 0.99開(kāi)始角速度分岔成上下兩支說(shuō)明單擺運(yùn)動(dòng)發(fā)生了對(duì)稱性破缺。由于對(duì)稱性破缺，單擺的振動(dòng)相對(duì)于零擺角0是不對(duì)稱的。單擺到底進(jìn)入那一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由初始角速度決定。由圖3-22可以看出，在F 1.05時(shí)雖然初始角度相同， 但初始角速度不同，得到的是左右對(duì)稱性不同的兩條的相軌線。圖3-22受驅(qū)阻尼單擺在F1.05時(shí)的兩條的相軌線由于對(duì)稱性破缺，當(dāng)產(chǎn)生與，d dt d dt，相關(guān)的變換時(shí)產(chǎn)生了新吸引子對(duì)。這些新產(chǎn)生的吸引子對(duì)其平均角速度一般不為

50、零， 這時(shí) 角速度d /dt （mn），這里m, n為非零的整數(shù)。當(dāng)m 1, n 1，新吸引 子對(duì)的平均角速度為零d /dt 。然而隨著驅(qū)動(dòng)力矩的逐漸增加，單擺確實(shí)發(fā)生倍周期分岔。它的第一次倍周 期分岔是從 F=1.04873附近開(kāi)始的，F(xiàn)=1.04873, 1.0645，1.0672，1.0678等處 是各級(jí)倍周期分岔的分岔點(diǎn)。圖3-23給出了在F 1.055與F 1.065時(shí)的二周期 與四周期相軌線。隨著驅(qū)動(dòng)力矩的繼續(xù)增加，單擺進(jìn)入無(wú)限長(zhǎng)周期的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖3-24為驅(qū)動(dòng)力F 1.072與F 1.093時(shí)的相圖及其龐加萊截面，從相圖看這時(shí) 的相軌線已無(wú)明顯的周期性，但從龐加萊截面來(lái)看相點(diǎn)基本

51、出現(xiàn)在線上沒(méi)有擴(kuò)散 開(kāi)來(lái)，因此可以認(rèn)定單擺所作的是準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。O- o>-1.072I4圖24在F 1.072與F 1.093時(shí)的混沌吸引子及其龐加萊截面進(jìn)一步計(jì)算表明，驅(qū)動(dòng)力直到F 1.0942單擺仍限于擺角為到 的范圍之內(nèi)振動(dòng)，也就是說(shuō)單擺運(yùn)動(dòng)尚受約束于以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的勢(shì)能曲線范圍內(nèi)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力F超過(guò)1.0942后，單擺的擺角將超出,范圍，這時(shí)單擺運(yùn)動(dòng)會(huì)進(jìn) 入到與坐標(biāo)中心勢(shì)谷相鄰的勢(shì)谷中。正如由分岔圖可見(jiàn)，在F 1.0951.145之間有一段很寬的窗口，可見(jiàn)窗口的起點(diǎn)與單擺的擺角超出，范圍時(shí)的驅(qū)動(dòng)力相當(dāng)。在這窗口中單擺處于鎖模狀態(tài)，屬規(guī)則運(yùn)動(dòng)。在F 1.145的窗口外，單擺將進(jìn)入混沌

52、運(yùn)動(dòng)，圖3-25給出了 F 1.18時(shí)的相軌線及龐加萊截面。從相軌 線來(lái)看，單擺在無(wú)規(guī)地來(lái)回振動(dòng)中可以進(jìn)入到（2n 1） ，n 0,1,2，的多個(gè)勢(shì)谷之中。從龐加萊截面來(lái)看相點(diǎn)已在相平面上擴(kuò)散開(kāi)來(lái)，說(shuō)明這是一個(gè)混沌吸引子。亡:尹 &b圖3-25阻尼受驅(qū)單擺在 F 1.18時(shí)的相軌線與龐加萊截面F = 1.251.52間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)從圖3-21可見(jiàn)，在驅(qū)動(dòng)力F 1.25 1.46內(nèi)，單擺的從F 1.25處的混沌區(qū) 又轉(zhuǎn)入規(guī)則運(yùn)動(dòng)，單擺將進(jìn)入兩種不同角速度之一的鎖模狀態(tài)。實(shí)際上這兩個(gè)鎖模狀態(tài)與初始角速度有關(guān)，就是說(shuō)不同初始角速度將進(jìn)入不同鎖模狀態(tài)。 計(jì)算表 明0 °5時(shí)可以進(jìn)入較低

53、角速度，而0 °時(shí)則進(jìn)入較高角速度的狀態(tài)。從計(jì) 算得的相圖可以發(fā)現(xiàn)，這時(shí)單擺處于單方向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 兩種不同鎖模狀態(tài) 分別對(duì)應(yīng)單擺的左旋或右旋的運(yùn)動(dòng)，這兩支狀態(tài)分別對(duì)應(yīng)的平均角速度為d /dt 。在f 1.44時(shí)單擺作等周期的單方向旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，屬規(guī)則運(yùn)動(dòng)；在 F 1.44時(shí)單擺作單方向二周期旋轉(zhuǎn)，說(shuō)明在F 1.44附近發(fā)生了一次岔式分岔。 這是單擺發(fā)生的第二次倍周期分岔，它的第一個(gè)分岔點(diǎn)在F 1.405附近。在經(jīng)過(guò)一系列倍周期分岔以后，在F 1.47附近再次進(jìn)入混沌。從圖3-21可以看到在F 1.50附近有一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)窗口，為了對(duì)它進(jìn)行分析， 對(duì)F 1.4921.514驅(qū)動(dòng)力范圍進(jìn)

54、行了更精細(xì)的計(jì)算得分岔圖3-26,于是在圖3-21上看不清楚的一些結(jié)構(gòu)這里顯示出來(lái)了?？梢园l(fā)現(xiàn)在F 1.493處有一個(gè)鞍結(jié)分岔。根據(jù)混沌道路分析，鞍結(jié)分岔可以產(chǎn)生陣發(fā)性混沌。 從計(jì)算得的單擺角 速度隨循環(huán)周期的變化的圖3-27上可以看到，在F 1.49275處單擺為周期運(yùn)動(dòng)， 但在驅(qū)動(dòng)力稍小一點(diǎn)的F 1.492745處，單擺的周期運(yùn)動(dòng)不時(shí)地被打斷，說(shuō)明這 里確實(shí)存在陣發(fā)性混沌。這是玻木-曼維爾型陣發(fā)性。在F 1.49275直到F 1.508單擺為周期運(yùn)動(dòng)，此后又通過(guò)被周期分岔進(jìn)入混沌，圖3-28為F 1.514 時(shí)的相圖及三個(gè)不同截面上的龐加萊圖形。綜上所述，一個(gè)看似簡(jiǎn)單的單擺系統(tǒng)在不同的驅(qū)動(dòng)

55、力作用下呈現(xiàn)出豐富多彩 的運(yùn)動(dòng)形式，它是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。它可處在鎖模狀態(tài)作規(guī)則運(yùn)動(dòng)， 也可 作不規(guī)則的混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；可以通過(guò)倍周期進(jìn)入混沌，也可處在陣發(fā)性混沌狀態(tài)。 因此受驅(qū)單擺是一個(gè)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)復(fù)雜行為研究的典型力學(xué)系統(tǒng)。I九 I 49" 5C3圖3-26阻尼受驅(qū)單擺在 F 1.492 1.514間的分岔圖護(hù) .w1.4925綁 AJ* MQ軸 *詢iWt 伽 TJfl W圖3-27 在F 1.493附近單擺角速度隨循環(huán)周期的變化圖3-28 F 1-514的相圖與龐加萊截面第四節(jié)湍流道路1. 湍流是什么？如上所述，當(dāng)貝耐特對(duì)流實(shí)驗(yàn)中上下液體間的溫度相差很大時(shí)，液體將激烈 翻

56、動(dòng)，成為湍流。湍流是流體中一種重要而非常復(fù)雜的流動(dòng)現(xiàn)象， 在科學(xué)技術(shù)的 各個(gè)方面：氣象、水利、航天等等凡是涉及到流體運(yùn)動(dòng)的地方，湍流問(wèn)題始終是 一個(gè)需要迫切解決的問(wèn)題。我們知道，液體流動(dòng)有層流與湍流之分。為了研究湍流發(fā)生的規(guī)律，可以做 一下如下實(shí)驗(yàn)：將某種透明的液體沿著一個(gè)玻璃管道流動(dòng)， 并在液體注入一滴墨 水。如果管內(nèi)流速很慢，則可看到沿著管道絲絲延伸的墨水， 好象液體被分成許 多層，各層間彼此間不相混雜，這樣的流動(dòng)稱為層流運(yùn)動(dòng)。然而當(dāng)流速逐漸增大 時(shí)，流體將出現(xiàn)由弱到強(qiáng)的擾動(dòng)，這時(shí)流動(dòng)進(jìn)入所謂湍流狀態(tài)。我們可再注視一 支點(diǎn)燃的香煙，一縷青煙從煙頭處冉冉升起，煙在上升過(guò)程中流速越來(lái)越快，突 然，在某個(gè)高度上飄忽開(kāi)來(lái)，紊亂異常，青煙從層流轉(zhuǎn)變成了湍流。這是湍流產(chǎn) 生的一個(gè)絕妙的例子。那么湍