彈性力學(xué)習(xí)題庫(kù)PPT課件

1、第1章 習(xí)題 1-2 1-4 1-7 1-8第1頁(yè)/共117頁(yè)習(xí)題 1-2 一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性體？一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？答：答：一般的混凝土構(gòu)件可以作為理想的彈性體，而鋼筋混凝土構(gòu)件不一般的混凝土構(gòu)件可以作為理想的彈性體，而鋼筋混凝土構(gòu)件不可以作為理想的彈性體；一般的巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體，而可以作為理想的彈性體；一般的巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體，而土質(zhì)地基可以作為理想的土質(zhì)地基可以作為理想的 彈性體。彈性體。第2頁(yè)/共117頁(yè)習(xí)題 1-4 應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有什么區(qū)別？答：答：應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定：當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的正方向時(shí)（

2、即正面時(shí)），應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定：當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的正方向時(shí)（即正面時(shí)），這個(gè)面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力還是切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?，沿坐這個(gè)面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力還是切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。相反，當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)（即負(fù)面標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。相反，當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)（即負(fù)面時(shí)）這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)向?yàn)檎?，正向?yàn)樨?fù)。時(shí)）這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)向?yàn)檎?，正向?yàn)樨?fù)。面力的符號(hào)規(guī)定：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時(shí)為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向面力的符號(hào)規(guī)定：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時(shí)為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)為負(fù)。時(shí)

3、為負(fù)。 試分別畫出正面和負(fù)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向。第3頁(yè)/共117頁(yè)xy負(fù)面正面習(xí)題 1-4 試分別畫出正面和負(fù)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向。xyyxyxyxxxyyyx負(fù)面正面yfxfxfyfxfyfxfyf應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有什么區(qū)別？第4頁(yè)/共117頁(yè)習(xí)題 1-7 試畫出圖1-4中矩形薄板的正的體力，面力和應(yīng)力的方向。xyOzxfyfyfxfxfyfxfyfxfyfyxyxyxxxyyyxxyOzyfxf第5頁(yè)/共117頁(yè)習(xí)題 1-8 試畫出圖1-5中的三角形薄板的正的面力和體力的方向。xyxfyfxfyfxfyfyfxfOz第6頁(yè)/共117頁(yè)第2章 題庫(kù) 例題 習(xí)題第7頁(yè)/

4、共117頁(yè)第2章 例題2.12.22.32.42.62.72.82.9 習(xí)題課第8頁(yè)/共117頁(yè)例例如果某一問(wèn)題中，如果某一問(wèn)題中， ，只存在平面應(yīng)力分量，只存在平面應(yīng)力分量 ，且它們不沿且它們不沿z方向變化，僅為方向變化，僅為x、y的函數(shù)，試考慮此問(wèn)題是否就是平面應(yīng)力問(wèn)題的函數(shù)，試考慮此問(wèn)題是否就是平面應(yīng)力問(wèn)題？0zzxzy,xyxy 例 答：答：平面應(yīng)力問(wèn)題，就是作用在物體上的外力，約束沿平面應(yīng)力問(wèn)題，就是作用在物體上的外力，約束沿 z 向均不變化，只有平面向均不變化，只有平面應(yīng)力分量應(yīng)力分量 ，且僅為，且僅為 x，y 的函數(shù)的彈性力學(xué)問(wèn)題，因此，此問(wèn)題是平面的函數(shù)的彈性力學(xué)問(wèn)題，因此，此

5、問(wèn)題是平面應(yīng)力問(wèn)題。應(yīng)力問(wèn)題。,xyxy 第9頁(yè)/共117頁(yè)圖 2-14xzOy例 （本章習(xí)題（本章習(xí)題2 21 1）如圖如圖2 21414，試分析說(shuō)明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層，試分析說(shuō)明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況。中，其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況。答：答：在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，可以認(rèn)為在該薄層的上在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，可以認(rèn)為在該薄層的上下表面都無(wú)面力，且在薄層內(nèi)所有各點(diǎn)都有下表面都無(wú)面力，且在薄層內(nèi)所有各點(diǎn)都有 ，只存在平面應(yīng)，只存在平面應(yīng)力分量力分量 ，且它們不沿，且它們不沿

6、z方向變化，僅為方向變化，僅為x、y的函數(shù)?？梢哉J(rèn)定此問(wèn)題是的函數(shù)?？梢哉J(rèn)定此問(wèn)題是平面應(yīng)力問(wèn)題。平面應(yīng)力問(wèn)題。0zzxzy,xyxy 第10頁(yè)/共117頁(yè)qoxyqqozyqoxyzqoyq q zoxy q zoy q zz如圖所示的幾種受力體是否是平面問(wèn)題？若是，則是平面應(yīng)力問(wèn)題，還是如圖所示的幾種受力體是否是平面問(wèn)題？若是，則是平面應(yīng)力問(wèn)題，還是平面應(yīng)變問(wèn)題？平面應(yīng)變問(wèn)題？平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題非平面問(wèn)題非平面問(wèn)題例 第11頁(yè)/共117頁(yè)例：例：如圖所示單位寬度薄板懸梁，跨度為如圖所示單位寬度薄板懸梁，跨度為l l，其上表面承受三角形分布載荷作用，其上表面承受

7、三角形分布載荷作用，體力不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)中的應(yīng)力表達(dá)式，由平衡微分方程導(dǎo)出體力不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)中的應(yīng)力表達(dá)式，由平衡微分方程導(dǎo)出另兩個(gè)應(yīng)力分量。另兩個(gè)應(yīng)力分量。yxlhq330 x2例 第12頁(yè)/共117頁(yè)0)(32230yxyyxyfxyxfyxlhq02330 xyxxxfyxyxlhq)()(2330 xgyxfxylhqy)(32230 xfyxlhqxy解解:(1):(1)將將 代入平衡微分方程第一式代入平衡微分方程第一式x(2)(2)將將 代入平衡微分方程第二式代入平衡微分方程第二式xy第13頁(yè)/共117頁(yè)45xyO30ABC0000例例：在負(fù)載結(jié)構(gòu)中，某點(diǎn)：在負(fù)載結(jié)構(gòu)中，

8、某點(diǎn)O處的等厚平行四面體各面的受力處的等厚平行四面體各面的受力情況如圖所示（平面應(yīng)力狀態(tài)）。試求（情況如圖所示（平面應(yīng)力狀態(tài)）。試求（1）主應(yīng)力的大小）主應(yīng)力的大小及方向（及方向（2）沿與水平面成）沿與水平面成30傾角的微面上的全應(yīng)力和正傾角的微面上的全應(yīng)力和正應(yīng)力。應(yīng)力。 例 CB面上面上0, 0 xyy先求應(yīng)力分量先求應(yīng)力分量 ：xyyx,第14頁(yè)/共117頁(yè)45xyO30ABC0000例 先求應(yīng)力分量先求應(yīng)力分量 ：xyyx,xyxynmllm)()(2222 ,224545ooml)0(210 x02xAB面上面上:方向向量方向向量:第15頁(yè)/共117頁(yè)45xyO30ABC0000（1

9、）求主應(yīng)力的大小及方向）求主應(yīng)力的大小及方向) 12(1 arctg例 00, 0,2xyyx02 , 1)21 (xyx11tan222122xyyxyx第16頁(yè)/共117頁(yè)45xyO30ABC0000（2）沿與水平面成）沿與水平面成30傾角的微面上的全應(yīng)力和正應(yīng)力。傾角的微面上的全應(yīng)力和正應(yīng)力。 0021,232yxpp例 2/3 , 2/13030oomlmlpmlpyxyyxyxxxyyxnlmml2220231n第17頁(yè)/共117頁(yè)例例：當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)，e ex =a, , e ey =b , , g gxy =c ，試求對(duì)應(yīng)的位移分量。試求對(duì)應(yīng)的位移分量。例 cyux

10、vbyvaxu , , byxfvaxyfu21 ,cxvyu cxvyu, 第18頁(yè)/共117頁(yè)例例：當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)，e ex =a, , e ey =b , , g gxy =c ，試求對(duì)應(yīng)的位移分量。試求對(duì)應(yīng)的位移分量。例 byxfvaxyfu21 ,cxvyu cdxxdfxbyxfdyydfyaxyf2211 第19頁(yè)/共117頁(yè)例例：當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)，e ex =a, , e ey =b , , g gxy =c ，試求對(duì)應(yīng)的位移分量。試求對(duì)應(yīng)的位移分量。xcbyvvyaxuu)( ,00例 byxfvaxyfu21 , cdxxdfxbyxfdyydfy

11、axyf2211 xcvxfyuyf0201第20頁(yè)/共117頁(yè)例 試列出圖示問(wèn)題的邊界條件。試列出圖示問(wèn)題的邊界條件。yaxxyaxyxaxxyaxxflmfml)()()()(; 0, 1ml0, 0yxff(2),xa00 xx axyx a000,0 xxuvxyahhq0,x (1)第21頁(yè)/共117頁(yè)例 (3),yh 0yyhyxyhq qhyxyhyyhyxyhyx0) 1(0) 1(0; 1, 0mlqffyx , 0 xyahhq第22頁(yè)/共117頁(yè)例 (4),yh00yy hxyy h00) 1(0) 1(0hyxyhyyhyxyhyx; 1, 0ml0, 0yxffxya

12、hhq第23頁(yè)/共117頁(yè)例 試列出圖示問(wèn)題的邊界條件。試列出圖示問(wèn)題的邊界條件。左邊界：左邊界：0,xxyxhxhq右邊界：右邊界：0,xxyx hx hq上邊界：上邊界：000,yxyyyq下邊界：下邊界： 0,0y ay auvxyhaqoqhq第24頁(yè)/共117頁(yè)例 左邊界：左邊界：0,xxyxhxhq0, 1mlqfy0 xfysxysyxsxysxflmfml)()()()(qsxysysxysx)(1)(00)(0)(1hxxyhaqoqhq第25頁(yè)/共117頁(yè)例 右邊界：右邊界：0,xxyx hx hq0, 1mlqfy0 xfysxysyxsxysxflmfml)()()()

13、(qsxysysxysx)(1)(00)(0)(1hx xyhaqoqhq第26頁(yè)/共117頁(yè)例 上邊界：上邊界：000,yxyyyq1, 0ml0yfqfxysxysyxsxysxflmfml)()()()(0)(0)(1)(1)(0sxysysxysxq0yxyhaqoqhq第27頁(yè)/共117頁(yè)例 下邊界：下邊界：ay 0,0y ay auvxyhaqoqhq第28頁(yè)/共117頁(yè)例 ABCxyhp(x)p0lN(1) AB段（段（y = 0）：）：1, 0ml0)(, 0plxxpffyx代入邊界條件公式，有代入邊界條件公式，有000)(0plxxpyyyxy)(0) 1(0) 1(0 x

14、pyxyxyx試列出圖示問(wèn)題的邊界條件。試列出圖示問(wèn)題的邊界條件。第29頁(yè)/共117頁(yè)例 ABCxyhp(x)p0lN(2) BC段（段（x = l）：）：0, 1ml 0 , 0lxlxvu0 , 0lxlxxvyu第30頁(yè)/共117頁(yè)例 ABCxyhp(x)p0lN0)sin(cos0cos)sin(tantanxyyxyxyxyx(3) AC段（段（y =x tan ）:sin)90cos(),cos(xNlcos),cos(yNm第31頁(yè)/共117頁(yè)例圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。用。試

15、寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。左側(cè)面：左側(cè)面：0, 1ml代入應(yīng)力邊界條件公式代入應(yīng)力邊界條件公式0 xyff()()()()xsxysxysxysylmfmlf00 xxhxyxhxh 第32頁(yè)/共117頁(yè)例右側(cè)面：右側(cè)面：0, 1ml代入應(yīng)力邊界條件公式，有代入應(yīng)力邊界條件公式，有hx ,0 xyfy fg 0 xx hxyx hhg 第33頁(yè)/共117頁(yè)例上端面：上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。為次要邊界，可由圣維南原理求解。0y0()sinhyhydxFxyyxyF0yF0sin0Fdxyhhy取圖示微元體，取圖示微元體，由微元體的平衡求由微元體的平衡求得，得，第34頁(yè)/共117頁(yè)例

16、上端面：上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。為次要邊界，可由圣維南原理求解。0yxyyxyF0 xF0cos0Fdxyhhxy取圖示微元體，取圖示微元體，由微元體的平衡求由微元體的平衡求得，得，0()coshyxhydxF第35頁(yè)/共117頁(yè)例上端面：上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。為次要邊界，可由圣維南原理求解。0yxyyxyF0OM取圖示微元體，取圖示微元體，由微元體的平衡求由微元體的平衡求得，得，0sin02hyhyhxdxF0sin2hyhyFhxdx第36頁(yè)/共117頁(yè)例上端面：上端面：注意：注意：必須按正向假設(shè)！必須按正向假設(shè)！0y0()sinhyhydxF 0()si

17、n2hyhyFhxdx 0()coshyxhydxF ,yxy第37頁(yè)/共117頁(yè)如圖所示，列出其邊界條件（固定邊不寫）。如圖所示，列出其邊界條件（固定邊不寫）。qbxgyxbxxybxxxxyxx)(, 0)( :0)(,)( :000左右邊界：左右邊界：上邊界：上邊界：2)(43)(23)(000000FxdFbxdxFdxbyxybyybyy例 xyFOgyh/2b/2bq,1hb030第38頁(yè)/共117頁(yè)習(xí)題習(xí)題2-9（1）0)(,)(010yxyyygh在主要邊界在主要邊界 上，應(yīng)精確滿足下列邊上，應(yīng)精確滿足下列邊界條件：界條件：例 在小邊界（次要邊界）在小邊界（次要邊界） 上，能精

18、確滿足下列邊界條件上，能精確滿足下列邊界條件:0101(), ()0(), ()0 xxxyxxx bxyx bg yhg yh bxx , 00yxy2h1hbgo2hb第39頁(yè)/共117頁(yè)習(xí)題習(xí)題2-9（1）例 在小邊界（次要邊界）在小邊界（次要邊界） 上，有位移邊界條件：上，有位移邊界條件：2hy xy2h1hbgo2hb 220,0y hy huv第40頁(yè)/共117頁(yè)習(xí)題習(xí)題2-9（1）例 xy2h1hbgo2hb222100000byy hbyy hbyxy hdxghbxdxdx這兩個(gè)位移邊界條件可以用圣維南原理，改用三個(gè)這兩個(gè)位移邊界條件可以用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條

19、件來(lái)代替，當(dāng)板厚積分的應(yīng)力邊界條件來(lái)代替，當(dāng)板厚=1時(shí)，時(shí)，第41頁(yè)/共117頁(yè)習(xí)題習(xí)題2-9（2）0)(,)(22hyxyhyyq下邊界：下邊界：例 上邊界上邊界:122)( , 0)(qhyxyhyy2hy 2hyxyl/2h/2hMNFSF1qq第42頁(yè)/共117頁(yè)習(xí)題習(xí)題2-9（2）左邊界左邊界例 202202202()()()hx xNhhx xhhxy xShdyFydyMdyFxyl/2h/2hMNFSF1qq0 x第43頁(yè)/共117頁(yè)習(xí)題習(xí)題2-9（2）右邊界右邊界例 212221222()()22()hx x lNhhx x lShhxy x lShdyqlFqlhqlydy

20、MF ldyqlFxyl/2h/2hMNFSF1qqxl第44頁(yè)/共117頁(yè)例 習(xí)題2-11： 檢驗(yàn)平面問(wèn)題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？（1）用位移表示的平衡微分方程（）用位移表示的平衡微分方程（2-18）021211021211222222222222yxfyxuxvyvEfyxvyuxuEvvuuss,ysxsfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulE21121122（2）用位移表示的位移邊界條件（）用位移表示的位移邊界條件（2-14）（3）或用位移表示的應(yīng)力邊界條件（）或用位移表示的應(yīng)力邊界條件（2-19）【答答】第45頁(yè)/共117頁(yè)xyhgo( )a( ) bxygo

21、1 1、將問(wèn)題作為一維問(wèn)題處理。有、將問(wèn)題作為一維問(wèn)題處理。有 u=0 , v = v(y)泊松比泊松比 =0，代入用位移表示的平衡微分，代入用位移表示的平衡微分方程，第一式自然滿足，第二式變?yōu)榉匠蹋谝皇阶匀粷M足，第二式變?yōu)樵O(shè)如圖設(shè)如圖(a)所示的桿件所示的桿件，在在y方向的上端固定，下端自由，受方向的上端固定，下端自由，受自重體力自重體力fx=0， fy = g（ 為桿的密度為桿的密度，g為重力加速度為重力加速度）的的作用。試用位移法求解此問(wèn)題。作用。試用位移法求解此問(wèn)題。Egdyvd22BAyyEgyv22)(求解上述常微分方程，積分得求解上述常微分方程，積分得例 第46頁(yè)/共117頁(yè)2

22、 2、根據(jù)邊界條件來(lái)確定常數(shù)、根據(jù)邊界條件來(lái)確定常數(shù) A 和和 B )2 (2)(2yhyEgyv上下邊的邊界條件為：上下邊的邊界條件為： v(y)|y=0=0 和和 y |y=h=0分別代入位移函數(shù)及式分別代入位移函數(shù)及式（2-17）的）的第二式第二式)(1)(2)(22xuyvEyBAyyEgyvy可求得待定常數(shù)可求得待定常數(shù) A= gh/E 和和 B=0。從而有：從而有：Chapter 2.8xyhgo( )a第47頁(yè)/共117頁(yè)3、代入幾何方程代入幾何方程（2-8）求應(yīng)變求應(yīng)變 e ey)()(yhgyyChapter 2.8xyhgo( )a4、代入用位移表示的物理方程代入用位移表示

23、的物理方程（2-17）求應(yīng)力求應(yīng)力 y )()(yhEgyye第48頁(yè)/共117頁(yè)( )bxygo圖圖(b)所示的桿件所示的桿件例 )2(2)(yhgyy)2(2)(yhEgyye位移：位移：應(yīng)變：應(yīng)變：應(yīng)力：應(yīng)力：22)(yhyEgyv第49頁(yè)/共117頁(yè)( )bxygo1、用位移表示的平衡微分方程、用位移表示的平衡微分方程圖圖(b)所示的桿件所示的桿件Egdyvd22BAyyEgyv22)(求解上述常微分方程，積分得求解上述常微分方程，積分得例 第50頁(yè)/共117頁(yè)( )bxygo2、由邊界條件求常數(shù)項(xiàng)、由邊界條件求常數(shù)項(xiàng)圖圖(b)所示的桿件所示的桿件BAyyEgyv22)(例 上下邊的邊

24、界條件為：上下邊的邊界條件為： v(y)|y=0=0 和和 v(y) |y=h=0EghAB2, 022)(yhyEgyv第51頁(yè)/共117頁(yè)3、代入幾何方程代入幾何方程（2-8）求應(yīng)變求應(yīng)變 e ey，)2(2)(yhgyyChapter 2.84、代入用位移表示的物理方程代入用位移表示的物理方程（2-17）求應(yīng)力求應(yīng)力 y )2(2)(yhEgyye( )bxygo第52頁(yè)/共117頁(yè)下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。

25、Chapter 2.9例 （1）3422,41,23xyyyxxyyx（a）（2）CxyCyyxCxyyx2,),(222gee（b）第53頁(yè)/共117頁(yè)Chapter 2.9解解（1）將式（將式（a a）代入平衡方程：）代入平衡方程：03322xyxy033 yy滿足滿足（2-2）00 xyxxyxyyfxyfxy3422,41,23xyyyxxyyx（a）第54頁(yè)/共117頁(yè)Chapter 2.9將式（將式（a a）代入相容方程：）代入相容方程：2222()0 xyxy)4123(422yyxyx2222222()3330 xyyxyxy 式（式（a）不是一組可能的應(yīng)力場(chǎng)。）不是一組可能的

26、應(yīng)力場(chǎng)。3422,41,23xyyyxxyyx（a）第55頁(yè)/共117頁(yè)Chapter 2.9CxyCyyxCxyyx2,),(222gee（b）（2 2）將式（）將式（b b）代入應(yīng)變表示的相容方程：）代入應(yīng)變表示的相容方程：02222222CCyxxyxyyxgeeCyxxCyxyyx2, 0,222222gee式（式（b）滿足相容方程，）滿足相容方程，（b）為可能的應(yīng)變分量。）為可能的應(yīng)變分量。22222yxyxyxx yege 第56頁(yè)/共117頁(yè)在無(wú)體力的情況下，試考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)力分量是否可能存在？在無(wú)體力的情況下，試考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)力分量是否可能存在？ x =A(x2+y

27、2)， y = B(x2+y2) ， xy=Cxy解解：彈性體的應(yīng)力，在單連體中必須滿足（：彈性體的應(yīng)力，在單連體中必須滿足（1）平衡微分）平衡微分方程（方程（2）應(yīng)力表示的相容方程（）應(yīng)力表示的相容方程（3）應(yīng)力邊界條件）應(yīng)力邊界條件1 1、為了滿足平衡微分方程，代入可得：、為了滿足平衡微分方程，代入可得： A A = = B B = -= -C/2C/20, 0 xyyxxyyyxxChapter 2.9例 第57頁(yè)/共117頁(yè)2 2、為了滿足相容方程，代入可得：、為了滿足相容方程，代入可得：A AB B = 0= 00)(2222yxyx顯然上述兩組條件是矛盾的，故此組應(yīng)力分量不存在。顯

28、然上述兩組條件是矛盾的，故此組應(yīng)力分量不存在。Chapter 2.9第58頁(yè)/共117頁(yè)例圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力 P 作用，不計(jì)體力。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎曲應(yīng)力 和剪應(yīng)力 的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力 ，然后說(shuō)明這些表達(dá)式是否代表正確解。x0yxy第59頁(yè)/共117頁(yè)【解解】材料力學(xué)解答：材料力學(xué)解答：046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM是否滿足三個(gè)條件：是否滿足三個(gè)條件：（1）平衡方程？）平衡方程？（2）相容方程？）相容方程？（3）邊界條件？）邊界條件？（a）第60頁(yè)/共117頁(yè)00 xyxxyxyyfxyfxy（1）代入）代入平衡微分方程：平衡微分方程：

29、顯然，顯然，平衡微分方程平衡微分方程滿足。滿足。00 yIFyIF0000046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM第61頁(yè)/共117頁(yè)滿足滿足相容方程。相容方程。002222xyIFyx0)(2222yxyx（2）代入相容）代入相容方程：方程：046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM第62頁(yè)/共117頁(yè)滿足滿足（3）驗(yàn)證應(yīng)力分量是否滿足）驗(yàn)證應(yīng)力分量是否滿足邊界條件：邊界條件：0, 022hyyxhyy上、下側(cè)邊界：上、下側(cè)邊界：046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM第63頁(yè)/共117頁(yè)滿足滿足（3）驗(yàn)證應(yīng)力分量是否滿足）驗(yàn)證應(yīng)力分量是否

30、滿足邊界條件：邊界條件：00 xx近似滿足近似滿足左側(cè)邊界：左側(cè)邊界：0220 xdyhhxx 滿足滿足202hhxyxdyF 046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM第64頁(yè)/共117頁(yè)（3）驗(yàn)證應(yīng)力分量是否滿足）驗(yàn)證應(yīng)力分量是否滿足邊界條件：邊界條件：近似滿足近似滿足右側(cè)邊界：右側(cè)邊界：2222220hhxx lhhxx lhhxyx ldyydyFldyF 由圣維南原理：由圣維南原理：FFl046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM第65頁(yè)/共117頁(yè)結(jié)論：式結(jié)論：式(a)為正確解為正確解所以材料力學(xué)所得應(yīng)力表達(dá)式為正確解。所以材料力學(xué)所得應(yīng)力表達(dá)式為正

31、確解。046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM第66頁(yè)/共117頁(yè)第2章 習(xí)題課第67頁(yè)/共117頁(yè)如圖所示的幾種受力體是否是平面問(wèn)題？若是，則是平面應(yīng)力問(wèn)題，還是如圖所示的幾種受力體是否是平面問(wèn)題？若是，則是平面應(yīng)力問(wèn)題，還是平面應(yīng)變問(wèn)題？平面應(yīng)變問(wèn)題？qoxyqqozyqoxyzqoyq q zoxy q zoy q zz q zoxyqoyqz下列幾種受力體中，哪個(gè)可以考慮為平面應(yīng)力下列幾種受力體中，哪個(gè)可以考慮為平面應(yīng)力( (應(yīng)變應(yīng)變) )問(wèn)題？問(wèn)題？第68頁(yè)/共117頁(yè)習(xí)題習(xí)題2-162-16：設(shè)已求得一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，試求：設(shè)已求得一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，試求題 2.2

32、121,5010,50,100 xyyx400, 0,200 xyyx400,1000,2000 xyyx500,1500,1000 xyyx(a) (a) (b) (b) (c) (c) (d) (d) minmax,nn第69頁(yè)/共117頁(yè)212222xyxyxy11tanxxy11arctanxxy12maxmin,nn第70頁(yè)/共117頁(yè)題 2.3試寫出下圖所示各平面物體的位移邊界條件（用直角坐標(biāo)）。試寫出下圖所示各平面物體的位移邊界條件（用直角坐標(biāo)）。(a) (b) x=0, y= -h/2, u=0 x=0, y=h/2, u=0, v=0 x=0, y= 0, u=0, v=0

33、x=l, y= 0, u=0, v=0 x=l, y=h/2, v=0第71頁(yè)/共117頁(yè)題 2.4試寫出圖示平面物體的應(yīng)力邊界條件。試寫出圖示平面物體的應(yīng)力邊界條件。xyl/2h/2hMNFSF1qq【解解】第72頁(yè)/共117頁(yè)題 2.5試考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)變分量是否可能存在：試考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)變分量是否可能存在：Cxyxyyxgee, 0, 0其中：其中：A、B、C C 為常數(shù)。為常數(shù)。23,DyCByAxyxyyxgeeCxyyBxAyxyyxgee,22(a) (a) (b) (b) (c) (c) 第73頁(yè)/共117頁(yè)yxyxxyxygee22222判斷是否滿足相容方程（判斷是

34、否滿足相容方程（2-20）(a)(a)相容；相容； (b)(b)須滿足須滿足B=0,2A=C; B=0,2A=C; (c) (c) 不相容。只有不相容。只有C=0C=0，則，則0 xyyxgee第74頁(yè)/共117頁(yè)題 2.6(1)3422,41,23xyyyxxyyx在無(wú)體力情況下（單連通域）在無(wú)體力情況下（單連通域） ，試考慮下列應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在，試考慮下列應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在：(2)Cxy) y B(x )yA(xxyyx,2222第75頁(yè)/共117頁(yè)【解解】彈性體的應(yīng)力，在單連體中必須滿足彈性體的應(yīng)力，在單連體中必須滿足:（1）平衡微分方程）平衡微分方程（2）應(yīng)力

35、表示的相容方程）應(yīng)力表示的相容方程（3）應(yīng)力邊界條件）應(yīng)力邊界條件（1）式不滿足平衡微分方程）式不滿足平衡微分方程（2）式，由平衡微分方程得）式，由平衡微分方程得A=B= -C/2, 相容方程得相容方程得A+B=0,兩者矛盾。兩者矛盾。第76頁(yè)/共117頁(yè)第2章 習(xí)題 2-9 2-14 2-18第77頁(yè)/共117頁(yè)習(xí)題 2-14 （a）【解解】彈性體的應(yīng)力，在單連體中必須滿足彈性體的應(yīng)力，在單連體中必須滿足:（1）平衡微分方程）平衡微分方程（2）應(yīng)力表示的相容方程）應(yīng)力表示的相容方程（3）應(yīng)力邊界條件）應(yīng)力邊界條件0,22xyyxqbyqqqqababyxO第78頁(yè)/共117頁(yè) (1) 檢驗(yàn)是

36、否滿足平衡微分方程0,0yxxyyxxyffxyxy（2-2）0 xyff將應(yīng)力分量代入方程（將應(yīng)力分量代入方程（2-2），得等式左右均等于），得等式左右均等于0。故該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程。故該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程。第79頁(yè)/共117頁(yè) (2)檢驗(yàn)是否滿足應(yīng)力表示的相容方程結(jié)論結(jié)論：該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程，但不滿足相容方程，因此，該應(yīng)力分量：該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程，但不滿足相容方程，因此，該應(yīng)力分量不是圖示問(wèn)題的解答。不是圖示問(wèn)題的解答。220qb體力為常數(shù)時(shí)，應(yīng)力表示的相容方程為：體力為常數(shù)時(shí)，應(yīng)力表示的相容方程為：將應(yīng)力分量代入上式，得將應(yīng)力分量代入上式，得20 xy等式左

37、邊等式左邊= =故該應(yīng)力分量不滿足相容方程。故該應(yīng)力分量不滿足相容方程。第80頁(yè)/共117頁(yè)第3章 題庫(kù) 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 習(xí)題課第81頁(yè)/共117頁(yè)例判斷 能否作為求解平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)。3axy 3axy 可見， 能滿足相容方程，可作為應(yīng)力函數(shù)。解：第82頁(yè)/共117頁(yè)解：按逆解法解：按逆解法 1、將、將 代入相容方程，可知其是滿足的。因此，它有可能成為該問(wèn)題的解。代入相容方程，可知其是滿足的。因此，它有可能成為該問(wèn)題的解。2、將、將 代入式（代入式（224），得出應(yīng)力分量：），得出應(yīng)力分量：例習(xí)題習(xí)題3-6223222221203(1 4)2xxyyxyFxyf x

38、yhf yxFyx yhh 第83頁(yè)/共117頁(yè)3 3、由邊界形狀和應(yīng)力分量反推出邊界上的面力：、由邊界形狀和應(yīng)力分量反推出邊界上的面力：0, 0,2xyyhy在主要邊界上：在主要邊界上：因此，在因此，在y=h/2的邊界面上，無(wú)任何面力作用，即的邊界面上，無(wú)任何面力作用，即0, 0yxff)41 (23, 0,12223hyhFxyhFxyyx第84頁(yè)/共117頁(yè)在在 x=0, l 的次要邊界上的次要邊界上：)41 (23,12,)41 (23, 0, 022322hyhFfyhFlflxhyhFffxyxyx各邊界面上的面力分布如圖所示：各邊界面上的面力分布如圖所示：xxyxy第85頁(yè)/共1

39、17頁(yè)在在x=0,l 的次要邊界上，其主失量和主矩如下：的次要邊界上，其主失量和主矩如下：0 xlx 0, 0221221221hhxhhyShhxNydyfMFdyfFdyfFFlydyfMFdyfFdyfFhhxhhyShhxN222222222, 0第86頁(yè)/共117頁(yè)因此上述應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力因此上述應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F 作用的問(wèn)題作用的問(wèn)題FFFlF第87頁(yè)/共117頁(yè)習(xí)題習(xí)題3-2例第88頁(yè)/共117頁(yè)習(xí)題習(xí)題3-17例第89頁(yè)/共117頁(yè)習(xí)題習(xí)題3-12解解：按半逆解法：按半逆解法 例第90頁(yè)/共117頁(yè)習(xí)題習(xí)題3-10解解：按半逆解法：按半逆

40、解法 1、將、將 代入相容方程，可知其是滿足的。代入相容方程，可知其是滿足的。2、將、將 代入式（代入式（2-24），得出應(yīng)力分量：），得出應(yīng)力分量：)3(),(0,662),(222222DyAyxyxyfxyxDxyCyBxfyyxxyyyxx例第91頁(yè)/共117頁(yè)3 3、考察邊界條件、考察邊界條件0)(, 0)(22hyxyhyy在主要邊界上，應(yīng)精確滿足式（在主要邊界上，應(yīng)精確滿足式（215）：）：第一式自然滿足，由第二式有：第一式自然滿足，由第二式有：043)(22DhAhyxy（a）)3(, 0,6622DyADxyCyBxyyx)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx第

41、92頁(yè)/共117頁(yè)在次要邊界在次要邊界x=0上，只給出了面力的主失量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積上，只給出了面力的主失量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分邊界條件代替：分邊界條件代替：由此得：由此得：ShhxxyhhxxNhhxxFdyMydyFdy2/2/02/2/02/2/01)(1)(1)(SNFDhAhhMChFB33412,2（b）)3(, 0,6622DyADxyCyBxyyx第93頁(yè)/共117頁(yè)結(jié)合結(jié)合(a)、(b)求解：求解：代入應(yīng)力分量，得：代入應(yīng)力分量，得：SFDhAhDhA32410433223hFDhFASS)41 (23)623(01212222333yhhFyh

42、FhFxyhFyhMhFSSSxyySNx第94頁(yè)/共117頁(yè)如果區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程和相容方程已經(jīng)滿足，且除了最后一個(gè)小邊如果區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程和相容方程已經(jīng)滿足，且除了最后一個(gè)小邊界外，其余的應(yīng)力邊界條件也都分別滿足。則可以推論出，最后一個(gè)小邊界界外，其余的應(yīng)力邊界條件也都分別滿足。則可以推論出，最后一個(gè)小邊界上的三個(gè)積分應(yīng)力邊界條件（即主失量和主矩條件）必然是滿足的。上的三個(gè)積分應(yīng)力邊界條件（即主失量和主矩條件）必然是滿足的。推論第95頁(yè)/共117頁(yè)【解解】采用半逆解法。采用半逆解法。（1）判斷應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程）判斷應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程將應(yīng)力函數(shù)將應(yīng)力函數(shù)例題40 4444

43、4220, 0, 0 xyxy 代入相容方程代入相容方程其中其中很顯然滿足相容方程。很顯然滿足相容方程。xyhqoq/2bhb/2b習(xí)題 3-11第96頁(yè)/共117頁(yè)（2）求解應(yīng)力分量表達(dá)式）求解應(yīng)力分量表達(dá)式222222063xyxyyBxyxABxx y 第97頁(yè)/共117頁(yè)/2/20, xxyxbxbq00,yy00yxy/20/20byxybdx（3）考察邊界條件：）考察邊界條件：/2xb 在主要邊界上，在主要邊界上，0y 在次要邊界在次要邊界圣維南原理圣維南原理代代替替滿足滿足不不滿滿足足xyhqoq/2bhb/2b第98頁(yè)/共117頁(yè)22, 2qqABb 2220121 122xy

44、xyqxybqxb（4）把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得）把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得應(yīng)力分量為應(yīng)力分量為第99頁(yè)/共117頁(yè)第3章 習(xí)題課第100頁(yè)/共117頁(yè)習(xí)題3-1【解答解答】彈性力學(xué)問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問(wèn)題，而要使邊界條件完全彈性力學(xué)問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問(wèn)題，而要使邊界條件完全得到滿足，往往遇到很大的困難。這時(shí)，圣維南原理可為簡(jiǎn)化局部邊界上的應(yīng)得到滿足，往往遇到很大的困難。這時(shí)，圣維南原理可為簡(jiǎn)化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效（主矢量、主矩均相同

45、），只影響近處的應(yīng)力分布，對(duì)遠(yuǎn)處的應(yīng)力影靜力等效（主矢量、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對(duì)遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個(gè)應(yīng)力邊界條件來(lái)響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個(gè)應(yīng)力邊界條件來(lái)代替精確的邊界條件，式（代替精確的邊界條件，式（2-15），就會(huì)影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會(huì)使問(wèn)），就會(huì)影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會(huì)使問(wèn)題的解答具有更大的近似性。題的解答具有更大的近似性。第101頁(yè)/共117頁(yè)習(xí)題3-3【解答解答】在在m個(gè)主要的邊界上，每個(gè)邊界應(yīng)有兩個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件，如個(gè)主要的邊界上，每個(gè)邊界應(yīng)有兩個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件，如式（式（2

46、-15）。在）。在n個(gè)次要邊界上，每邊的應(yīng)力邊界條件若不能精確滿足式（個(gè)次要邊界上，每邊的應(yīng)力邊界條件若不能精確滿足式（2-15），可以用三個(gè)靜力等效的積分邊界條件來(lái)替代兩個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件），可以用三個(gè)靜力等效的積分邊界條件來(lái)替代兩個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件。第102頁(yè)/共117頁(yè)例：例：已知函數(shù)已知函數(shù) = =a(x4 -y4)，試檢查它能否作為應(yīng)力函數(shù)？若能，試求出應(yīng)力分試檢查它能否作為應(yīng)力函數(shù)？若能，試求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），并求出如圖所示矩形薄板邊界上的面力。量（不計(jì)體力），并求出如圖所示矩形薄板邊界上的面力。逆解法例xyolh21l2第103頁(yè)/共117頁(yè) 1 1、將、將 =a(x4

47、-y4)代入相容方程，可知其是滿足的。因此，它有可能作為應(yīng)力函數(shù)代入相容方程，可知其是滿足的。因此，它有可能作為應(yīng)力函數(shù)。2 2、將、將 代入式（代入式（2-242-24），得出應(yīng)力分量：），得出應(yīng)力分量：解：解：按逆解法按逆解法222222212120 xxyyxyf xayyf yaxxx y 第104頁(yè)/共117頁(yè)3 3、由邊界形狀和應(yīng)力分量反推出邊界上的面力：、由邊界形狀和應(yīng)力分量反推出邊界上的面力：在主要邊界上：在主要邊界上：0)(,12)(,2222hyxyxhyyyfaxfhyNoImage第105頁(yè)/共117頁(yè)0)(,12)(,2222lxxyylxxxfayflx0)(,12

48、)(,2222lxxyylxxxfayflx0, 0,2222322hhxhhyShhxNydyfMdyfFahdyfF0, 0,2222322hhxhhyShhxNydyfMdyfFahdyfF在次要邊界上：在次要邊界上：第106頁(yè)/共117頁(yè)xyo33al3ah3ah第107頁(yè)/共117頁(yè)如圖所示，如圖所示，矩形截面長(zhǎng)柱體（長(zhǎng)度矩形截面長(zhǎng)柱體（長(zhǎng)度 h 遠(yuǎn)大于深度遠(yuǎn)大于深度 2b），寬度為），寬度為1，遠(yuǎn)小于深度和長(zhǎng)度，在頂部受集中力，遠(yuǎn)小于深度和長(zhǎng)度，在頂部受集中力F和和力矩力矩 M=Fb/2 作用，體力不計(jì)。試用如下應(yīng)力函數(shù)：作用，體力不計(jì)。試用如下應(yīng)力函數(shù)：23BxAx 求解：求解：（1）分析該問(wèn)題能簡(jiǎn)化成什么平面問(wèn)題？）分析該問(wèn)題能簡(jiǎn)化成什么平面問(wèn)題？（2）求應(yīng)力分量；）求應(yīng)力分量；（3）設(shè)）設(shè)A點(diǎn)無(wú)位移且過(guò)它的垂直線段轉(zhuǎn)角為點(diǎn)無(wú)位移且過(guò)它的垂直線段轉(zhuǎn)角為0，試求，試求位移分量；位移分量；