圓周臨界問題

1、圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題 班別 姓名 學(xué)號(hào) 1.長(zhǎng)L0.5 m質(zhì)量可忽略的細(xì)桿，其一端可繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端固定著一個(gè)小球A。A的質(zhì)量為m2 kg，如圖435所示，求在下列兩種情況下，球在最高點(diǎn)時(shí)桿對(duì)小球的作用力：(1)A在最低點(diǎn)的速率為 m/s；(2)A在最低點(diǎn)的速率為6 m/s。2.如圖所示，細(xì)繩一端系著質(zhì)量M0.6 kg的物體A，靜止于水平面，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量m0.3 kg的物體B，A的中點(diǎn)與圓孔距離為0.2 m，且A和水平面間的最大靜摩擦力為2 N，現(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，問角速度滿足什么條件時(shí)，物體B會(huì)處于靜止?fàn)顟B(tài)？(g10 m/s2) 3物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)所需

2、的向心力F需由物體運(yùn)動(dòng)情況決定，合力提供的向心力F供由物體受力情況決定。若某時(shí)刻F需F供，則物體能做圓周運(yùn)動(dòng)；若F需>F供，物體將做離心運(yùn)動(dòng)；若F需<F供，物體將做近心運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)有一根長(zhǎng)L1 m的剛性輕繩，其一端固定于O點(diǎn)，另一端系著質(zhì)量m0.5 kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，將小球提至O點(diǎn)正上方的A點(diǎn)處，此時(shí)繩剛好伸直且無(wú)張力，如圖所示。不計(jì)空氣阻力，g取10 m/s2，則：(1)為保證小球能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)至少應(yīng)施加給小球多大的水平速度？(2)在小球以速度v14 m/s水平拋出的瞬間，繩中的張力為多少？(3)在小球以速度v21 m/s水平拋出的瞬間，繩中若有張力，求

3、其大小；若無(wú)張力，試求繩子再次伸直時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間。4如圖所示，有一內(nèi)壁光滑的試管裝有質(zhì)量為1 g的小球，試管的開口端封閉后安裝在水平軸O上，轉(zhuǎn)動(dòng)軸到管底小球的距離為5 cm，讓試管在豎直平面內(nèi)做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。問：(1)轉(zhuǎn)動(dòng)軸達(dá)某一轉(zhuǎn)速時(shí)，試管底部受到小球的壓力的最大值為最小值的3倍，此時(shí)角速度多大？(2)當(dāng)轉(zhuǎn)速10 rad/s時(shí)，管底對(duì)小球的作用力的最大值和最小值各是多少？(g取10 m/s2)。5如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，由一段斜的直軌道和與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R。一質(zhì)量為m的小物塊從斜軌道上某處由靜止開始下滑，然后沿圓形軌道運(yùn)動(dòng).要求物塊能通過圓形軌道最高點(diǎn)，且

4、在該最高點(diǎn)與軌道間的壓力不能超過5mg（g為重力加速度）。求物塊初始位置相對(duì)于圓形軌道底部的高度h的取值范圍。6、如圖所示，AB是足夠長(zhǎng)的傾角為、動(dòng)摩擦因數(shù)為的粗糙直軌道，BCD是半徑為R的光滑圓弧軌道，它們?cè)贐點(diǎn)相切。P點(diǎn)與圓弧的圓心O等高，D、E與O點(diǎn)在同一條豎直直徑上。一個(gè)質(zhì)量為m的物體（可以看作質(zhì)點(diǎn)）從AB軌道上的某點(diǎn)由靜止釋放。（1）為使物體能到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)D，釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離L至少應(yīng)為多少；（2）若物體從P點(diǎn)釋放，則它在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中在AB軌道上運(yùn)動(dòng)的總路程s為多少；（3）最終當(dāng)物體通過圓弧軌道最低點(diǎn)E時(shí)，對(duì)圓弧軌道的壓力的大小.7.如圖所示，粗糙的斜面AB下端與光滑的圓弧

5、軌道BCD相切于B，整個(gè)裝置豎直放置，C是最低點(diǎn)，圓心角BOC=37°，D與圓心O等高圓弧軌道半徑R=0.5m，斜面長(zhǎng)L=2M現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg的小物體P從斜面AB上端A點(diǎn)無(wú)初速下滑，物體P與斜面AB之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為=0.25求：（1）物體P第一次通過C點(diǎn)時(shí)的速度大小和對(duì)C點(diǎn)處軌道的壓力各為多大？（2）物體P第一次離開D點(diǎn)后在空中做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，則最高點(diǎn)E和D點(diǎn)之間的高度差為多大？（3）物體P從空中又返回到圓軌道和斜面多次反復(fù)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，物體P對(duì)C點(diǎn)處軌道的最小壓力為多大？（取g=10m/s2，）8、過山車是游樂場(chǎng)中常見的設(shè)施。下圖是一種過山車的簡(jiǎn)易模

6、型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個(gè)圓形軌道組成，B、C、D分別是三個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，B、C間距與C、D間距相等，半徑R1=2.0m、R2=1.4m。一個(gè)質(zhì)量為m=1.0kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以v0=12.0m/s的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，A、B間距L1=6.0m。小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)=0.2，圓形軌道是光滑的。假設(shè)水平軌道足夠長(zhǎng)，圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取g=10m/s2，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字。試求 （1）小球在經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球作用力的大??； （2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距應(yīng)是多少； （3）在滿足（2）的條件下

7、，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑R3應(yīng)滿足的條件。R1R2R3ABCDv0第一圈軌道第二圈軌道第三圈軌道LLL1圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題答案1.設(shè)小球在最高點(diǎn)速度為v，對(duì)小球A由最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過程，取圓周的最低點(diǎn)為參考平面，由機(jī)械能守恒定律得mv2mg·2Lmv在最高點(diǎn)，假設(shè)細(xì)桿對(duì)A的彈力F向下，則A的受力圖如圖所示。以A為研究對(duì)象，由牛頓第二定律得mgFm所以Fm(g)(1)當(dāng)v0 m/s時(shí)，由式得v1 m/s，F(xiàn)2×(10) N16 N，負(fù)值說明F的實(shí)際方向與假設(shè)向下的方向相反，即桿給A向上16 N的支持力。(2)當(dāng)v06 m/s時(shí)，由式得v4 m/

8、s；F2×(10) N44 N。正值說明桿對(duì)A施加的是向下44 N的拉力。2.當(dāng)為所求范圍的最小值時(shí)，A有向圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，水平面對(duì)A的靜摩擦力方向背離圓心，大小等于最大靜摩擦力2 N，此時(shí)對(duì)A有：FTfmMr，B靜止時(shí)受力平衡，F(xiàn)Tmg3 N，解得12.9 rad/s當(dāng)為所求范圍的最大值時(shí)，A有遠(yuǎn)離圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，水平面對(duì)A的摩擦力方向指向圓心，且大小也為2 N，此時(shí)對(duì)A有：FTfmMr解得26.5 rad/s故的范圍為：2.9 rad/s6.5 rad/s3. 解析：(1)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件為重力剛好提供頂點(diǎn)時(shí)物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即mgm，解得v0 m/s。(2)因?yàn)関

9、1>v0，故繩中有張力。根據(jù)牛頓第二定律有Tmgm，代入數(shù)據(jù)得繩中張力T3 N。(3)因?yàn)関2<v0，故繩中無(wú)張力，小球?qū)⒆銎綊佭\(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中實(shí)線所示，有L2(yL)2x2，xv2t，ygt2，代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得t0.6 s。4. 解析：(1)轉(zhuǎn)至最低點(diǎn)時(shí)，小球?qū)艿讐毫ψ畲?；轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)時(shí)，小球?qū)艿讐毫ψ钚。畹忘c(diǎn)時(shí)管底對(duì)小球的支持力F1應(yīng)是最高點(diǎn)時(shí)管底對(duì)小球支持力F2的3倍，即F13F2根據(jù)牛頓第二定律有最低點(diǎn)：F1mgmr2最高點(diǎn)：F2mgmr2由得 4×102×0.05 rad/s20 rad/s(2)在最高點(diǎn)時(shí)，設(shè)小球不掉下來的最小角速度為0，則

10、mgmr0 rad/s14.1 rad/s因?yàn)?0 rad/s<014.1 rad/s，故管底轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時(shí)，小球已離開管底，因此管底對(duì)小球作用力的最小值為F0當(dāng)轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，管底對(duì)小球的作用力最大為F1，根據(jù)牛頓第二定律知F1mgmr2，則F1mgmr21.5×102 N。5.若物體恰好能夠通過最高點(diǎn)，則有，解得，初始位置相對(duì)于圓軌道底部的高度為，則根據(jù)機(jī)械能守恒可得，得當(dāng)小物塊對(duì)最高點(diǎn)的壓力為5mg時(shí)，有，得初始位置到圓軌道的底部的高度為，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得解得，故物塊的初始位置相對(duì)于圓軌道底部的高度的范圍為Rh5R。6.解：（1）設(shè)物體剛好到D點(diǎn)，則mg （2分）對(duì)全過

11、程由動(dòng)能定理得：mgLsin mgR（1cos ）mv （2分）得：L= （1分）（2）因?yàn)槟Σ亮κ冀K對(duì)物體做負(fù)功，所以物體最終在圓心角為2的圓弧上往復(fù)運(yùn)動(dòng)對(duì)整個(gè)過程由動(dòng)能定理得：mgR·cosmgcos·s0-0 （2分）所以總路程為s （1分）（3）對(duì)BE過程mgR（1cos ）mv （1分）Nmg （1分）由牛頓第三定律，物體對(duì)軌道的壓力 （1分）.7.（1）物體P從A下滑經(jīng)B到C過程中根據(jù)動(dòng)能定理：（2分） （2分）經(jīng)點(diǎn)時(shí)（2分）根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)點(diǎn)的壓力（1分）（2）從到機(jī)械能守恒（2分）與間高度差（1分）（3）物體最后在與其等高的圓弧軌道上來回運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)點(diǎn)壓力最小，由到根據(jù)機(jī)械能守恒（2分）（1分）根據(jù)牛頓第三定律壓力（1分）8.（1）設(shè)小于經(jīng)過第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度為v1根據(jù)動(dòng)能定理 小球在最高點(diǎn)受到重力mg和軌道對(duì)它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律 由得 （2）設(shè)小球在第二個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)