武漢理工大學大學物理課件第六講

1、第六講第六講定軸轉動中的功和能定軸轉動中的功和能 對定軸的角動量定理對定軸的角動量定理 角動量守恒定律角動量守恒定律 外力矩做功外力矩做功一一.力矩的功力矩的功定軸轉動的功和能定軸轉動的功和能 0MdA討論討論：(1)恒力的功：恒力的功： MA (2)力矩的功率：力矩的功率：dtdAP MdtdM cosFvP 力的功率：力的功率：二二. 剛體的（轉動）動能剛體的（轉動）動能221 JEk三三. 定軸轉動的動能定理定軸轉動的動能定理設：剛體的轉動慣量不變，且設：剛體的轉動慣量不變，且t0時刻的角速度為時刻的角速度為0， t時刻的角速度為時刻的角速度為 ， 剛體角速度從剛體角速度從0增加到增加到

2、的整個的整個過程，合外力矩對剛體所作的功過程，合外力矩對剛體所作的功:2022121 JJA物理含義：物理含義：合外力矩對剛體所作的功，在數值合外力矩對剛體所作的功，在數值上等于剛體轉動動能的增量。上等于剛體轉動動能的增量。21222121 mmrdFA對比對比:質點動能定理：質點動能定理：四四. 剛體的重力勢能剛體的重力勢能cpmghE )(是質心距地面的高度是質心距地面的高度ch四四. 機械能守恒定律在剛體系統(tǒng)中的應用機械能守恒定律在剛體系統(tǒng)中的應用 一個包括有剛體在內的系統(tǒng)一個包括有剛體在內的系統(tǒng),如果只有保守內力如果只有保守內力作功作功,則這個系統(tǒng)的機械能也同樣守恒。則這個系統(tǒng)的機械能

3、也同樣守恒。 剛體的機械能為剛體的機械能為 221 JmghEc 例例1 一質量為一質量為m、長為、長為l的均勻細直棒可繞其一端且的均勻細直棒可繞其一端且與棒垂直的水平光滑固定軸與棒垂直的水平光滑固定軸o轉動。開始時，棒靜止轉動。開始時，棒靜止在豎直位置，求棒轉到與水平面成在豎直位置，求棒轉到與水平面成 角時的角速度和角時的角速度和角加速度。角加速度。Chco2lmg231mlJ 由上得由上得)sin1(3lg 解解 棒在轉動的過程中，只有保守力棒在轉動的過程中，只有保守力(重力重力)作功，作功，故機械能守恒。取水平面為零勢面，于是有故機械能守恒。取水平面為零勢面，于是有零勢面零勢面2212

4、Jlmgsindtd討論討論： 本題也可先由本題也可先由M=J 求求出出 ，再用，再用 =d /dt積分求積分求出出 。 但用但用機械能守恒顯然簡機械能守恒顯然簡單一些。單一些。角加速度：角加速度：)sin1(3lg3cos2gl dtdddddChco JL 物理含義物理含義：在定軸轉動中，剛體對轉軸的角動量的大?。涸诙ㄝS轉動中，剛體對轉軸的角動量的大小等于剛體對該軸的轉動慣量與剛體角速度的乘積。等于剛體對該軸的轉動慣量與剛體角速度的乘積。 定軸轉動的角動量定理定軸轉動的角動量定理1. 用角動量表述的用角動量表述的轉動定理轉動定理 JM 由由dtdJ dtJd)( dtdLdtdLM 剛體對

5、定軸的角剛體對定軸的角動量大小動量大小剛體對固定軸剛體對固定軸z的角動量的角動量角動量定理角動量定理dtdLM 理解理解：(1) 物理含義物理含義：在定軸轉動中，物體所受對某定軸的：在定軸轉動中，物體所受對某定軸的外力矩，等于物體對該軸的角動量的時間變化率。外力矩，等于物體對該軸的角動量的時間變化率。(2)dtdLdtJdM)( JM （只適用于剛體）（只適用于剛體）（適用于剛體和非剛體）（適用于剛體和非剛體）2. 角動量定理的角動量定理的微分形式微分形式得得兩邊同乘以兩邊同乘以將將,)(dtdtdLdtJdM dtdpF JdtddtdJ dLJdMdt)( 理解理解：(1) 與質點力學中的

6、動量定理與質點力學中的動量定理 類類似，反映了外力矩的時間累積效應。似，反映了外力矩的時間累積效應。dpmvdFdt)(2) 與定義與定義Fdt為元沖量類似，定義為元沖量類似，定義Mdt為為元角沖量元角沖量（或（或元沖量矩元沖量矩）。）。3. 角動量定理的角動量定理的積分形式積分形式00000 JJJdMdtttJJ)(ttttMdt00沖量沖量時間內作用于物體的角時間內作用于物體的角稱為在稱為在其中其中物理含義物理含義：在定軸轉動中，物體（不限于剛體：在定軸轉動中，物體（不限于剛體 ）所受）所受的角沖量，等于物體在同一時間內角動量的增量。的角沖量，等于物體在同一時間內角動量的增量。0M物物體

7、體所所受受的的合合外外力力矩矩若若000 JJLL或或則則(1) 物理含義物理含義：在定軸轉動中，當對轉軸的合外力：在定軸轉動中，當對轉軸的合外力矩為零（注：不一定是外力為零）時，物體對該軸矩為零（注：不一定是外力為零）時，物體對該軸的角動量保持守恒。的角動量保持守恒。理解理解：(2 ) 角動量守恒的充要條件：合力矩為零角動量守恒的充要條件：合力矩為零（適用于質點、離散質點系、剛體）（適用于質點、離散質點系、剛體） (3) 定軸轉動的角動量守恒定律同樣適用于由若定軸轉動的角動量守恒定律同樣適用于由若干個物體組成的系統(tǒng)。干個物體組成的系統(tǒng)。系統(tǒng)的角動量守恒定律描系統(tǒng)的角動量守恒定律描述如下：述如

8、下：定軸轉動的角動量守恒定律定軸轉動的角動量守恒定律(5) 質點：動量守恒、角動量守恒、機械能守恒質點：動量守恒、角動量守恒、機械能守恒 角動量守恒、機械能守恒角動量守恒、機械能守恒 ，只要整個系統(tǒng)受，只要整個系統(tǒng)受到的外力矩對該軸的矢量和為零，則系統(tǒng)的總角動到的外力矩對該軸的矢量和為零，則系統(tǒng)的總角動量保持守恒。量保持守恒。 若有幾個物體組成一個系統(tǒng)，各物體對同一若有幾個物體組成一個系統(tǒng)，各物體對同一軸的角動量分別為軸的角動量分別為.,2211 JJiiiJ恒量恒量 (4) 對比：對比：系統(tǒng)角動量守恒條件：系統(tǒng)角動量守恒條件：系統(tǒng)動量守恒條件：系統(tǒng)動量守恒條件：0外外M0外外F動量守恒、動量

9、守恒、剛體：剛體：vovoompTR圓圓錐錐擺擺子子彈彈擊擊入入桿桿ov以子彈和桿為系統(tǒng)以子彈和桿為系統(tǒng)機械能機械能不不守恒守恒 .角動量守恒；角動量守恒；動量動量不不守恒；守恒；以子彈和沙袋為系統(tǒng)以子彈和沙袋為系統(tǒng)動量守恒；動量守恒；角動量守恒；角動量守恒；機械能機械能不不守恒守恒 .圓錐擺系統(tǒng)圓錐擺系統(tǒng)動量動量不不守恒；守恒；角動量守恒；角動量守恒；機械能守恒機械能守恒 .討討 論論子子彈彈擊擊入入沙沙袋袋細細繩繩質質量量不不計計四四. 角動量守恒定律的應用角動量守恒定律的應用（1）選取系統(tǒng)；）選取系統(tǒng)；（2）分析外力矩，明確守恒條件；）分析外力矩，明確守恒條件；（3）確定初態(tài)和末態(tài)角動量

10、，正確寫出角動量）確定初態(tài)和末態(tài)角動量，正確寫出角動量守恒的表達式。守恒的表達式。附：附：質點與剛體發(fā)生碰撞時，若碰撞的相互作質點與剛體發(fā)生碰撞時，若碰撞的相互作用力矩遠大于合外力矩，也可認為該系統(tǒng)的角用力矩遠大于合外力矩，也可認為該系統(tǒng)的角動量守恒。動量守恒。 解解 (1)(1)桿桿+ +子彈：豎直位置，外力子彈：豎直位置，外力( (軸軸o o處的力處的力和重力和重力) )均不產生力矩，故碰撞過程中角動量守恒：均不產生力矩，故碰撞過程中角動量守恒： )32(313222lmMllmo解得解得)43(6mMlmo 例例1 1 長為長為l、質量為、質量為M M的勻質桿可繞通過桿一端的水的勻質桿可

11、繞通過桿一端的水平光滑固定軸平光滑固定軸o o轉動，開始時桿豎直下垂，如圖所示。轉動，開始時桿豎直下垂，如圖所示。有一質量為有一質量為m m的子彈以水平速度的子彈以水平速度 o o射入桿上的射入桿上的A A點，點，并嵌在桿中，并嵌在桿中，oA=2oA=2l/3, /3, 求求: :(1)(1)子彈射入后瞬間桿的子彈射入后瞬間桿的角速度角速度; (2); (2)桿能轉過的最大角度桿能轉過的最大角度 。2l/3mvooA2l/3mvooA222)32(3121lmMl )322()32(31 2)32(1cos222lmglMglmMllmo由此得：由此得：(2)(2)桿在轉動過程中顯然機械能守恒

12、：桿在轉動過程中顯然機械能守恒：)cos1 (32)cos1 (2lmglMg)43(6mMlmo由前由前直升飛機為什么要安裝反向雙旋翼？直升飛機為什么要安裝反向雙旋翼？演示儀為什么在拉線的作用下會轉動起來？演示儀為什么在拉線的作用下會轉動起來？體操運動員的體操運動員的“晚旋晚旋”茹科夫斯基凳實驗茹科夫斯基凳實驗芭蕾花樣滑冰芭蕾花樣滑冰跳水跳水請看請看: 貓剛掉下的時候，由于體重的緣故，四腳朝貓剛掉下的時候，由于體重的緣故，四腳朝天，脊背朝地，這樣下來肯定會摔死。請你注意，天，脊背朝地，這樣下來肯定會摔死。請你注意，貓狠狠地甩了一下尾巴，結果，四腳轉向地面，當貓狠狠地甩了一下尾巴，結果，四腳轉

13、向地面，當它著地時，四腳伸直，通過下蹲，緩解了沖擊。那它著地時，四腳伸直，通過下蹲，緩解了沖擊。那么，甩尾巴而獲得四腳轉向的過程，就是角動量守么，甩尾巴而獲得四腳轉向的過程，就是角動量守恒過程。恒過程。為什么貓從高處落下時總能四腳著地？為什么貓從高處落下時總能四腳著地？沿直線平動沿直線平動繞定軸轉動繞定軸轉動沖量沖量動量動量動量動量定理定理動量守動量守恒定律恒定律角沖量角沖量角動量角動量（動量矩）（動量矩）角動量角動量定理定理Fdtmv J時，時，0FMdt00mvmvFdttt000 JJMdttt恒量恒量mv角動量守角動量守恒定律恒定律時，時，0M恒量恒量 J力的功力的功力矩的功力矩的功F

14、dxA MdA動能動能轉動動能轉動動能221mvEk221 JEk動能動能定理定理轉動動轉動動能定理能定理20221210mvmvFdxxx20221210 JJMd練習練習8 8、剛體轉動定律、剛體轉動定律1 1、解：、解：質點質點B ：設繩的張力為：設繩的張力為T2 ，質點質點A ：設繩的張力為：設繩的張力為T1 ，則由牛頓定律：則由牛頓定律：amT22 amTgm111 m1T1m1ga則水平方向上則水平方向上m2Nm2gT2加速度為加速度為a ，滑輪：設物體滑輪：設物體A 、B 對系統(tǒng)的反作用力分別為對系統(tǒng)的反作用力分別為 ，2T 1T 1T 2T 22TT 11TT 由轉動定律（設角

15、加速度由轉動定律（設角加速度垂直紙面向下為正）垂直紙面向下為正）IRTT21 )(由于繩和滑輪無滑動，則由于繩和滑輪無滑動，則Ra 聯立上述方程，得：聯立上述方程，得：2211R/Immgma 由圓盤由圓盤 代入上式得：代入上式得： 23Rm21I 3211mmm2gm2a )(gmmm2mm2magmT32132111 )()()(gmmm2gmm2amT3212122 )( m mAB2rr2 2、解：分析受力如圖：、解：分析受力如圖：mgmgT1T2a2a11T 2T 設設A 的加速度為的加速度為a1方向向下；方向向下；B 的加速度為的加速度為a2方向向上；方向向上；滑塊的加速度為滑塊的

16、加速度為方向垂直方向垂直紙面向外。紙面向外。質點質點A ：11maTmg 質點質點B ：22mamgT 兩個圓盤粘在一起，視作一兩個圓盤粘在一起，視作一個剛體，其轉動慣量為個剛體，其轉動慣量為221mr29III 由轉動定律列方程：由轉動定律列方程：IrTr2T21 由牛頓第三定律：由牛頓第三定律：22TT 11TT 由角量與線量的關系：由角量與線量的關系：r2a1 ra2 解以上方程組得：解以上方程組得：r19g2mr5Imgr2 練習練習9 9、轉動的功與能、轉動的功與能 剛體的角動量剛體的角動量彈簧原長彈簧原長m5.00.15.1l0 1 1、解：、解：棒轉到水平位置時彈簧伸長量棒轉到水平位置時彈簧伸長量m3.15.05.11l22 棒下擺過程中，系統(tǒng)機械能守恒棒下擺過程中，系統(tǒng)機械能守恒2lmglk21I2122 )(2ml31I 且：且：解得：解得：s/