-復(fù)平面上的點(diǎn)集

1、第二節(jié) 復(fù)平面上的點(diǎn)集一、平面點(diǎn)集的幾個(gè)概念二、區(qū)域與若爾當(dāng)(Jordan)曲線三、典型例題四、小結(jié)與思考2一、平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念一、平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念定義定義1.1 鄰域鄰域 .)(N 0;)(N )( , )(00000000zzzzzzzzzz 領(lǐng)領(lǐng)域域，常常記記為為的的去去心心為為并并稱稱領(lǐng)領(lǐng)域域，常常記記為為的的徑徑的的圓圓，稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)為為半半任任意意的的正正數(shù)數(shù)為為中中心心，就就是是以以稱稱點(diǎn)點(diǎn)集集簡簡所所確確定定的的平平面面點(diǎn)點(diǎn)集集由由不不等等式式3定義定義1.2 聚點(diǎn)、外點(diǎn)、孤立點(diǎn)聚點(diǎn)、外點(diǎn)、孤立點(diǎn). , , ), ( , 000EEzEzEzE 全全體體聚聚點(diǎn)點(diǎn)集集

2、記記作作的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為那那末末多多點(diǎn)點(diǎn)的的無無窮窮都都有有的的任任意意一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域如如果果對對必必屬屬于于不不復(fù)復(fù)平平面面中中任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)為為為為一一平平面面點(diǎn)點(diǎn)集集設(shè)設(shè) 如果如果z0屬于屬于E , 但但不是不是E的聚點(diǎn)，則稱的聚點(diǎn)，則稱z0為為E的孤立點(diǎn)的孤立點(diǎn). . 如果如果z0不屬于不屬于E ,又又不是不是E的聚點(diǎn)，則稱的聚點(diǎn)，則稱z0為為E的外點(diǎn)的外點(diǎn). .z0為為E的孤立點(diǎn)的孤立點(diǎn) 0: N (z0)E=z0z0為為E的外點(diǎn)的外點(diǎn) 0: N (z0)E= 4定義定義1.3 閉集、內(nèi)點(diǎn)、開集、邊界點(diǎn)閉集、內(nèi)點(diǎn)、開集、邊界點(diǎn). 00的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為內(nèi)內(nèi)，則則稱稱有有一一

3、領(lǐng)領(lǐng)域域全全含含于于的的點(diǎn)點(diǎn)為為閉閉集集；若若點(diǎn)點(diǎn)集集，則則稱稱，即即的的每每個(gè)個(gè)聚聚點(diǎn)點(diǎn)皆皆屬屬于于若若點(diǎn)點(diǎn)集集EzEzEEEEE 如果如果E E 內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn), ,那末那末E E 稱為稱為開集開集. . 如果在如果在z z0 0的任意一個(gè)鄰域內(nèi)的任意一個(gè)鄰域內(nèi), ,都有都有屬于屬于E E 的點(diǎn)的點(diǎn), ,也有也有不屬于不屬于E E 的點(diǎn)的點(diǎn), ,則稱則稱z z0 0為為E E 的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)。z0為為E E 的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn) 0: N (z0)E點(diǎn)集點(diǎn)集E E的全體邊界組成的集合稱為的全體邊界組成的集合稱為E E的邊界的邊界. .記為記為 E E. .5定義定義1.

4、4 有界集和無界集有界集和無界集. , , 0, , 否否則則稱稱為為無無界界的的稱稱為為有有界界的的那那末末足足使使區(qū)區(qū)域域的的每每一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)都都滿滿即即存存在在心心的的圓圓里里面面點(diǎn)點(diǎn)為為中中可可以以被被包包含含在在一一個(gè)個(gè)以以原原如如果果一一個(gè)個(gè)EMzME 點(diǎn)集xy有界！有界！o6二、區(qū)域與若爾當(dāng)二、區(qū)域與若爾當(dāng)(Jordan)曲線曲線定義定義1.5 區(qū)域區(qū)域 如果平面點(diǎn)集如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件滿足以下兩個(gè)條件, ,則稱則稱它為一個(gè)區(qū)域它為一個(gè)區(qū)域. .(1) D是一個(gè)是一個(gè)開集開集；(2) D是是連通的連通的, ,就是說就是說D中任何兩點(diǎn)中任何兩點(diǎn)都可以用都可以用D中的一條折

5、線連結(jié)起來中的一條折線連結(jié)起來.D加上加上D的邊界稱為閉域。記為的邊界稱為閉域。記為 DD+ D z1z2D定義定義1.6 閉域閉域7說明說明 (2) 區(qū)域的邊界可能是區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的的點(diǎn)所組成的.z 1C2C3Cz 1C2C3C (1) 區(qū)域都是開的區(qū)域都是開的.以上基以上基本概念本概念的圖示的圖示1z 2z 區(qū)域區(qū)域 0z 鄰域鄰域P 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)邊界邊界不包含邊界！不包含邊界！8(1) 圓環(huán)域圓環(huán)域:;201rzzr 0z 2r1r課堂練習(xí)課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界判斷下列區(qū)域是否有界?(2) 上半平面上半平面:; 0Im z(3)

6、角形域角形域:;arg0 z(4) 帶形域帶形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)無界無界.xyo9定義定義1.7 連續(xù)曲線連續(xù)曲線. , )( ),( , )( , )( )( 稱稱為為連連續(xù)續(xù)曲曲線線表表一一條條平平面面曲曲線線代代那那末末方方程程組組是是兩兩個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)的的實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)和和如如果果 ttyytxxtytx平面曲線平面曲線C的復(fù)數(shù)表示的復(fù)數(shù)表示:)().()()( ttiytxtzzC的實(shí)參數(shù)方程的實(shí)參數(shù)方程C的復(fù)參數(shù)方程的復(fù)參數(shù)方程起點(diǎn)起點(diǎn)z( )C終點(diǎn)終點(diǎn)z( )zxyCC的正向：起點(diǎn)的正向：起點(diǎn)終點(diǎn)終點(diǎn)o10 簡單曲線簡單曲線. )(

7、 )( , )()( :的起點(diǎn)和終點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別稱為分別稱為與與為一條連續(xù)曲線為一條連續(xù)曲線設(shè)設(shè)CbzazbtatzzC . )( , )()( , , 121212121的重點(diǎn)的重點(diǎn)稱為曲線稱為曲線點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)而有而有當(dāng)當(dāng)與與的的對于滿足對于滿足Ctztztzttttbtabta 沒有重點(diǎn)的曲線沒有重點(diǎn)的曲線 C 稱為簡單曲線稱為簡單曲線( (或若爾當(dāng)曲線或若爾當(dāng)曲線).). , )( )( , 為簡單閉曲線為簡單閉曲線那末稱那末稱即即的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合如果簡單曲線如果簡單曲線CbzazC 換句話說換句話說, 簡單曲線自身不相交簡單曲線自身不相交. 簡單閉曲線簡單閉曲線11簡單

8、閉曲線的性質(zhì)簡單閉曲線的性質(zhì)約當(dāng)定理約當(dāng)定理 任意一條簡單閉曲任意一條簡單閉曲線線 C C 將復(fù)平面唯一地分將復(fù)平面唯一地分成成C C, ,I I( (C C), ),E E( (C C) ) 三個(gè)互不相三個(gè)互不相交的點(diǎn)集交的點(diǎn)集. .滿足：滿足：xyoI(C)E(C)邊界邊界（1）I I( (C C) ) 是一個(gè)有界區(qū)域是一個(gè)有界區(qū)域（稱為（稱為C C的內(nèi)部）的內(nèi)部）. .（2）E E( (C C) ) 是一個(gè)無界區(qū)域（稱為是一個(gè)無界區(qū)域（稱為C C的外部）的外部）. .（3）若簡單折線）若簡單折線P的一個(gè)端點(diǎn)屬于的一個(gè)端點(diǎn)屬于I(C)，另一個(gè)，另一個(gè)端點(diǎn)屬于端點(diǎn)屬于E(C) ，則，則P必與

9、必與C相交相交. . （4）C是是I(C)，E(C) 的公共邊界的公共邊界. .12定義定義1.9 光滑曲線光滑曲線.0, )( )( , , )( )( , 22稱這曲線為光滑的稱這曲線為光滑的那末那末有有的每一個(gè)值的每一個(gè)值且對于且對于都是連續(xù)的都是連續(xù)的和和上上如果在如果在 tytxttytxbta 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為逐段光滑曲線稱為逐段光滑曲線. .xyoxyo定義定義1.10 逐段光滑曲線逐段光滑曲線 特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1）光滑曲線上的各點(diǎn)都有切線；光滑曲線上的各點(diǎn)都有切線； （2）光滑曲線可以求長光滑曲線可以求長13課堂練習(xí)課堂

10、練習(xí) 判斷下列曲線是否為簡單曲線判斷下列曲線是否為簡單曲線?答答案案簡簡單單閉閉簡簡單單不不閉閉不不簡簡單單閉閉不不簡簡單單不不閉閉 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz 14定義定義1.11 單連通域與多連通域的定義單連通域與多連通域的定義 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域D, 如果在其中任作如果在其中任作一條簡單閉曲線一條簡單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于而曲線的內(nèi)部總屬于D, 就稱就稱為單連通域?yàn)閱芜B通域. 一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域, 就稱就稱為多連通域?yàn)槎噙B通域.單連通域單連通域多連通域多連通域15三、典型例題三、典型例題例例

11、1 1 指明下列不等式所確定的區(qū)域指明下列不等式所確定的區(qū)域, 是有界的還是有界的還是無界的是無界的,單連通的還是多連通的單連通的還是多連通的.; 411)4(; 31)3(;3arg)2(; 1)Re()1(2 zzzzz 解解 , )1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)iyxz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz無界的單連通域無界的單連通域(如圖如圖).163arg)2( z,3arg33arg zz是角形域是角形域, 無界的單連通域無界的單連通域(如圖如圖).31)3( z,3131 zz, 31 ,的圓的外部的圓的外部半徑為半徑為是以原點(diǎn)為中心是以原點(diǎn)為中心無界的多連通域無界的多連通域.

12、17411)4( zz表示到表示到1, 1的距離之的距離之和為定值和為定值4的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡, 是橢圓是橢圓,411 zz ,411表示該橢圓內(nèi)部表示該橢圓內(nèi)部 zz有界的單連通域有界的單連通域.18例例2 2解解 滿足下列條件的點(diǎn)集是什么滿足下列條件的點(diǎn)集是什么, 如果是區(qū)域如果是區(qū)域, 指出是單連通域還是多連通域指出是單連通域還是多連通域?, 3Im)1( z是一條平行于實(shí)軸的直線是一條平行于實(shí)軸的直線, -3-2-1123x123456y不是區(qū)域不是區(qū)域., 2Re)2( z), 2Re ( 2Re zz不包括直線不包括直線為左界的半平面為左界的半平面以以單連通域單連通域.19, 2

13、10)3( iz, 2 , )1( 的去心圓盤的去心圓盤為半徑為半徑為圓心為圓心以以i 是多連通域是多連通域.,4)arg()4( iz), ( 1 , ii不包括端點(diǎn)不包括端點(diǎn)的半射線的半射線斜率為斜率為為端點(diǎn)為端點(diǎn)以以不是區(qū)域不是區(qū)域.20,4arg0)5( iziz , 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)iyxz iziz ,)1(2)1(1222222 yxxiyxyx 4arg0 知知由由 iziz0,)1(12222 yxyx0,)1(222 yxx21, 0)1( 22 yx因?yàn)橐驗(yàn)?,21, 01, 02 2222xyxyxx于是于是 . 2)1(, 022yxx, 2)1( 22集集部且屬于左半平面的

14、點(diǎn)部且屬于左半平面的點(diǎn)的外的外表示在圓表示在圓 yx單連通域單連通域.22四、小結(jié)與思考四、小結(jié)與思考應(yīng)理解區(qū)域的有關(guān)概念應(yīng)理解區(qū)域的有關(guān)概念:鄰域、去心鄰域、內(nèi)點(diǎn)、開集、邊界點(diǎn)、邊界、鄰域、去心鄰域、內(nèi)點(diǎn)、開集、邊界點(diǎn)、邊界、區(qū)域、有界區(qū)域、無界區(qū)域區(qū)域、有界區(qū)域、無界區(qū)域理解單連通域與多連通域理解單連通域與多連通域.放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的概念二、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性三、典型例題四、小結(jié)與思考24一、復(fù)變函數(shù)的定義一、復(fù)變函數(shù)的定義).( ),( , , , , . zfwzwivuwzGiyxzG 記作記作復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)簡稱簡稱

15、的函數(shù)的函數(shù)是復(fù)變數(shù)是復(fù)變數(shù)那末稱復(fù)變數(shù)那末稱復(fù)變數(shù)之對應(yīng)之對應(yīng)與與就有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)就有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)每一個(gè)復(fù)數(shù)每一個(gè)復(fù)數(shù)中的中的對于集合對于集合按這個(gè)法則按這個(gè)法則個(gè)確定的法則存在個(gè)確定的法則存在如果有一如果有一的集合的集合是一個(gè)復(fù)數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)設(shè)設(shè)1.復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義:252.單單(多多)值函數(shù)的定義值函數(shù)的定義:. )( , 是單值的是單值的我們稱函數(shù)我們稱函數(shù)那末那末的值的值的一個(gè)值對應(yīng)著一個(gè)的一個(gè)值對應(yīng)著一個(gè)如果如果zfwz. )( , 是多值的是多值的那末我們稱函數(shù)那末我們稱函數(shù)的值的值兩個(gè)以上兩個(gè)以上的一個(gè)值對應(yīng)著兩個(gè)或的一個(gè)值對應(yīng)著兩個(gè)或如果如果zfwz3.定義集合

16、和函數(shù)值集合定義集合和函數(shù)值集合: ; )( )( 定義域定義域的定義集合的定義集合稱為稱為集合集合zfG. )( , * 值域值域稱為函數(shù)值集合稱為函數(shù)值集合值所成的集合值所成的集合的一切的一切中所有中所有對應(yīng)于對應(yīng)于GwzG264. 復(fù)變函數(shù)與自變量之間的關(guān)系復(fù)變函數(shù)與自變量之間的關(guān)系: )( 相當(dāng)于兩個(gè)關(guān)系式相當(dāng)于兩個(gè)關(guān)系式之間的關(guān)系之間的關(guān)系自變量自變量與與復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)zfwzw ),(),(yxvvyxuu . 的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)和和它們確定了自變量為它們確定了自變量為yx例如例如, , , 2zw 函數(shù)函數(shù), ivuwiyxz 令令2)( iyxivu 則則,

17、222xyiyx : 2數(shù)數(shù)對應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函對應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函于是函數(shù)于是函數(shù)zw ,22yxu .2xyv 27映射的概念映射的概念1. 引入引入:. , , , , 的點(diǎn)集之間的對應(yīng)關(guān)系的點(diǎn)集之間的對應(yīng)關(guān)系上上必須看成是兩個(gè)復(fù)平面必須看成是兩個(gè)復(fù)平面的幾何圖形表示出來的幾何圖形表示出來因而無法用同一平面內(nèi)因而無法用同一平面內(nèi)之間的對應(yīng)關(guān)系之間的對應(yīng)關(guān)系和和由于它反映了兩對變量由于它反映了兩對變量對于復(fù)變函數(shù)對于復(fù)變函數(shù)yxvu282.映射的定義映射的定義:).()( * )( )( , , 或變換或變換的映射的映射函數(shù)值集合函數(shù)值集合平面上的一個(gè)點(diǎn)集平面上的一個(gè)點(diǎn)集變到變到定義集合定

18、義集合平面上的一個(gè)點(diǎn)集平面上的一個(gè)點(diǎn)集是把是把在幾何上就可以看作在幾何上就可以看作那末函數(shù)那末函數(shù)值值的的平面上的點(diǎn)表示函數(shù)平面上的點(diǎn)表示函數(shù)而用另一個(gè)平面而用另一個(gè)平面的值的值平面上的點(diǎn)表示自變量平面上的點(diǎn)表示自變量如果用如果用GwGzzfwwwzz 29. ),( , * )( 的原象的原象稱為稱為而而映象映象的象的象稱為稱為那末那末中的點(diǎn)中的點(diǎn)映射成映射成被映射被映射中的點(diǎn)中的點(diǎn)如果如果wzzwwGzfwzG . )( 所構(gòu)成的映射所構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)這個(gè)映射通常簡稱為由這個(gè)映射通常簡稱為由zfw 30 . )1(構(gòu)成的映射構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)zw xyouvoiz321 iw321 iz

19、212 iw212 ABCA B C ,11wz ,22wz .CBAABC 3. 兩個(gè)特殊的映射兩個(gè)特殊的映射:. ibawwibazz 的點(diǎn)的點(diǎn)平面上平面上映射成映射成平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn)將將31xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C ,11wz ,22wz .CBAABC . , 映射映射是關(guān)于實(shí)軸的一個(gè)對稱是關(guān)于實(shí)軸的一個(gè)對稱不難看出不難看出重疊在一起重疊在一起平面平面平面和平面和如果把如果把zwwz o1w 2w 1z 2z 且是全同圖形且是全同圖形.32 . )2(2構(gòu)成的映射構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)zw . 1 ,43, 1 1,21, 32132

20、1 wiwwwzizizz平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn)映射成映射成平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn)顯然將顯然將xyouvo 1z 2z 2w 3w1w3z33 . )2(2構(gòu)成的映射構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)zw 根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法公式可知根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法公式可知, . 2的輻角增大一倍的輻角增大一倍將將映射映射zzw xyouvo 2 . 2 的角形域的角形域平面上與實(shí)軸交角為平面上與實(shí)軸交角為的角形域映射成的角形域映射成平面上與實(shí)軸交角為平面上與實(shí)軸交角為將將 wz34 . )2(2構(gòu)成的映射構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)zw : 2數(shù)數(shù)對應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函對應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函函數(shù)函數(shù)zw .2,22xyvyxu ,2, 2122cx

21、ycyxxyz 曲線曲線標(biāo)軸為漸近線的等軸雙標(biāo)軸為漸近線的等軸雙和坐和坐線線平面上的兩族分別以直平面上的兩族分別以直它把它把(如下頁圖如下頁圖)., 21cvcuw 平面上的兩族平行直線平面上的兩族平行直線分別映射成分別映射成35 . )2(2構(gòu)成的映射構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)zw 將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中同一個(gè)長方形同一個(gè)長方形.xyouvo364. 反函數(shù)的定義反函數(shù)的定義: .)( * , * , )( 點(diǎn)點(diǎn)或幾個(gè)或幾個(gè)中的一個(gè)中的一個(gè)必將對應(yīng)著必將對應(yīng)著每一個(gè)點(diǎn)每一個(gè)點(diǎn)中的中的那末那末平面上的集合平面上的集合函數(shù)值集合為函數(shù)值集合為平面上的集合

22、平面上的集合的定義集合為的定義集合為設(shè)設(shè)GwGGwGzzfw . )( , )( ),()( )( * 1的逆映射的逆映射也稱為映射也稱為映射數(shù)數(shù)的反函的反函它稱為函數(shù)它稱為函數(shù)函數(shù)函數(shù)或多值或多值上就確定了一個(gè)單值上就確定了一個(gè)單值于是在于是在zfwzfwwfwzG 37根據(jù)反函數(shù)的定義根據(jù)反函數(shù)的定義,*,Gw ),(wfw 當(dāng)反函數(shù)為單值函數(shù)時(shí)當(dāng)反函數(shù)為單值函數(shù)時(shí), .),(Gzzfz . * . )() ( ,)( )( )( )( 是一一對應(yīng)的是一一對應(yīng)的合合與集與集也可稱集合也可稱集合是一一對應(yīng)的是一一對應(yīng)的射射映映那末稱函數(shù)那末稱函數(shù)都是單值的都是單值的逆映射逆映射與它的反函數(shù)與

23、它的反函數(shù)映射映射如果函數(shù)如果函數(shù)GGzfwwzzfw 今后不再區(qū)別函數(shù)與映射今后不再區(qū)別函數(shù)與映射.38二、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性二、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性1.函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的定義. )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0000時(shí)的極限時(shí)的極限趨向于趨向于當(dāng)當(dāng)為為那末稱那末稱有有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)相應(yīng)地必有一正數(shù)相應(yīng)地必有一正數(shù)對于任意給定的對于任意給定的存在存在如果有一確定的數(shù)如果有一確定的數(shù)內(nèi)內(nèi)的去心鄰域的去心鄰域定義在定義在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)zzzfAAzfzzAzzzzfw )( .)(lim 00AzfAzfzzzz 或或記作記作注意注意: : . 0的方式是任意

24、的的方式是任意的定義中定義中zz 392. 極限計(jì)算的定理極限計(jì)算的定理定理定理1.2.),(lim,),(lim)(lim,),(),()(000000000000vyxvuyxuivuzfEiyxzyxivyxuzfyyxxyyxxEzzz 的的充充要要條條件件是是則則的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)為為定定義義，上上有有于于點(diǎn)點(diǎn)集集函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) 說明說明. ),( ),( , ),(),()( 的極限問題的極限問題和和函數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)變轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)變的極限問題的極限問題該定理將求復(fù)變函數(shù)該定理將求復(fù)變函數(shù)yxvyxuyxivyxuzf 40證證 ,)(lim 0Azfzz 如果如果根據(jù)極限的

25、定義根據(jù)極限的定義 , 0 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) zz ,)()(00 ivuivu(1) 必要性必要性. , )()(0 2020時(shí)時(shí)或當(dāng)或當(dāng) yyxx ,)()(00 vviuu, ,00 vvuu.),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 故故0, 0 ,)( Azf41,),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 若若 , )()(0 2020時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yyxx(2) 充分性充分性.,2 ,2 00 vvuu有有 )()()(00vviuuAzf 00vvuu , 0 0時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng) zz,)( Azf .)(lim 0Azfzz 所

26、以所以證畢證畢0, 0 42定理定理).0()()(lim (3);)()(lim (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 BBAzgzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那末那末設(shè)設(shè)與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似.433. 連續(xù)的定義連續(xù)的定義 )()(lim)( 0000zfzfEzEzEzfEzzz ，若，若且且的聚點(diǎn)，的聚點(diǎn)，為為上有定義，上有定義，于點(diǎn)集于點(diǎn)集設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 連續(xù)的連續(xù)的三要素三要素:（1） f(z)在在z0處有定義處有定義 （2）f(z)在在z0處有極限處有極限 （3）f(z)在在z0處的

27、極限值等于函數(shù)值處的極限值等于函數(shù)值 . )( )()(, 0 0000連續(xù)連續(xù)于于沿沿則稱則稱就有就有，只要只要，有有，即對任給的即對任給的zEzfzfzfEzzz 444. 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì). ) ( )( )( (1) 000處仍連續(xù)處仍連續(xù)在在不為零不為零分母在分母在積、商積、商的和、差、的和、差、和和連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)在在zzzgzfz. )( , )( )( , )( (2) 0000處連續(xù)處連續(xù)在在那末復(fù)合函數(shù)那末復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在如果函數(shù)如果函數(shù)zzgfwzghhfwzzgh 定理定理1.3.) ,( ),( ),( : ),(),(

28、)( 00000處連續(xù)處連續(xù)在在和和連續(xù)的充要條件是連續(xù)的充要條件是在在函數(shù)函數(shù)yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 45例如例如),()ln()(2222yxiyxzf , )ln(),(22處連續(xù)處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處yxyxu . ),( 處處連連續(xù)續(xù)在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)除除原原點(diǎn)點(diǎn)外外處處故故yxf. , )()(lim )( 000CzzfzfzCzfzz 處連續(xù)的意義是處連續(xù)的意義是上上在曲線在曲線函數(shù)函數(shù) ( ) ( )( , ( ) . f zEff zCEEz 如如果果在在內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù) 我我們們說說在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù) 記記為為：46例例1.

29、26 設(shè)設(shè) 1( ) 0,2zzf zzizz證證111()()( ) =22zx iyzzzzzzf zizzizz 222212222xiyxyixyxy 22( , )02 limx yxyxy 不不存存在在01lim2zzzizz 不不存存在在證證2（書）（書）試證：試證： 在原點(diǎn)無極限，從而在原點(diǎn)不連續(xù)在原點(diǎn)無極限，從而在原點(diǎn)不連續(xù) )(zf475. 有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1.7 設(shè)E是有界閉集，是有界閉集，f(z)C(E),則有：則有： （1） f(z)在在E上有界：上有界： M0 z E |f(z)|M （2） |f(z)|在在E上有最值上有最值.

30、即：即： z1, z2 E z E |f(z)|f(z2)| （3） f(z)在在E上一致連續(xù)上一致連續(xù).即即0, 0 當(dāng)當(dāng)z1, z2 E且且|z1- z2| 有有|f(z1)-f(z2)| 486 復(fù)變函數(shù)的極限性質(zhì)定理定理1(Bolzano-Weiestrass聚點(diǎn)定理聚點(diǎn)定理) 每一個(gè)每一個(gè)有界無窮點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)。有界無窮點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)。定理定理2(閉集套定理閉集套定理)., 2 , 1, 0)(lim,01nFzFdFFFnnnnnn則必有唯一點(diǎn)至少一個(gè)有界，且設(shè)有無窮閉集列定理定理3(Heine-Borel有限覆蓋定理有限覆蓋定理)限個(gè)圓中一個(gè)。的每一點(diǎn)至少屬于這有說，蓋住

31、，也就是中必有有限個(gè)圓把這些圓則的圓心都是圓的每一點(diǎn)設(shè)有有界閉集EEKKzEzz,49解解三、典型例題三、典型例題例例1 1: 2上的象上的象平面平面下求下列平面點(diǎn)集在下求下列平面點(diǎn)集在在映射在映射wzw ;4 , 20 )1( r線段線段, , iiewrez 設(shè)設(shè),2, 2 r則則,2 , 40 4 , 20 映射為映射為故線段故線段r還是線段還是線段.xyouvo 2zw50例例1 1: 2上的象上的象平面平面下求下列平面點(diǎn)集在下求下列平面點(diǎn)集在在映射在映射wzw ; 4 )2(22 yx雙曲線雙曲線, ivuwiyxz 令令ivu 則則,222xyiyx ,22yxu 解解, 4422 uyx . 軸的直線軸的直線平行于平行于 vxyo 2zwuvo22 451例例1 1: 2上的象上的象平面平面下求下列平面點(diǎn)集在下求下列平面點(diǎn)集在在映射在映射wzw 解解. 20 ,40 )3( r 扇形域扇形域, , iiewrez 設(shè)設(shè),2, 2 r則則, 40,20 映射為映射為故扇形域故扇形域20