概率統(tǒng)計第三章知識點小結(jié).

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第三章二維隨機變量及其分布第一節(jié)基本概念1、概念網(wǎng)絡(luò)圖均勻分布常見二維分布正態(tài)分布離散型分布律聯(lián)合分布連續(xù)型分布密度(X,Y)Z XY邊緣分布條件分布函數(shù)分布 Z max,min( X1, X 2 , X n )獨立性2分布三大統(tǒng)計分布t分布F分布學(xué)習(xí)必備歡迎下載2、重要公式和結(jié)論離散型（ 1 ）聯(lián)合分布連續(xù)型如果二維隨機向量（ X， Y）的所有可能取值為至多可列個有序?qū)Γ?x,y ），則稱為離散型隨機量。設(shè)=（ X，Y）的所有可能取值為( xi, y j )(i , j1,2, ) ，且事件 =( xi, y j ) 的概率為 pij, , 稱P( X ,Y)( xi , y

2、 j )pij (i, j1,2,)為=（X， Y）的分布律或稱為 X 和 Y 的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時也用下面的概率分布表來表示：Yy1y2yjXx1p11p12p1jx2pp22p2j21xipi1pij這里 pij 具有下面兩個性質(zhì)：（ 1） pij 0（ i,j=1,2,）；（ 2）pij1.i j對于二維隨機向量(X,Y)，如果存在非負(fù)函數(shù)f (x, y)(x,y) ，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有P( X ,Y)Df (x, y)dxdy,D則稱為連續(xù)型隨機向量；并稱f(x,y)為=（ X， Y）

3、的分布密度或稱為X 和 Y 的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：（ 1）f(x,y) 0;（ 2）f ( x, y)dxdy1.學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2）二維( Xx,Yy)( XxYy)隨機變量的本質(zhì)設(shè)（ X， Y）為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y, 二元函數(shù)F ( x, y)P Xx, Yy稱為二維隨機向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X 和 Y 的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件( 1,2 ) |X( 1)x,Y (2 )y 的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（ 3）聯(lián)合（1） 0F ( x, y)1;分布

4、函數(shù)（ 2） F（x,y ）分別對 x 和 y 是非減的，即當(dāng) x2>x1 時，有 F（ x2,y ） F(x 1,y); 當(dāng) y2>y 1 時，有 F(x,y2) F(x,y 1);（ 3） F（x,y ）分別對 x 和 y 是右連續(xù)的，即F ( x, y)F ( x0, y), F ( x, y)F ( x, y0);（4）F( ,)F (, y) F ( x,) 0,F(,) 1.（ 5）對于 x1x2， y1y2，F(xiàn) ( x2， y2 )F ( x2， y1 )F (x1， y2 )F (x1， y1 ) 0 .（ 4）離散P( Xx， Yy)P(xXx dx， y Yyd

5、y)f ( x， y) dxdy型與連續(xù)型的關(guān)系X 的邊緣分布為PiP( Xxi )pij (i , j1,2,) ；離散型jY 的邊緣分布為（ 5）邊緣P jP(Yy j )pij (i , j1,2,) 。i分布X 的邊緣分布密度為f X ( x)f (x, y) dy；連續(xù)型Y 的邊緣分布密度為f Y ( y)f ( x, y)dx.學(xué)習(xí)必備歡迎下載離散型（ 6 ）條件分布連續(xù)型一般型離散型在已知 X=xi 的條件下， Y 取值的條件分布為P(Yy j | Xxi )pij ；pi在已知 Y=yj 的條件下， X 取值的條件分布為pijP(Xxi |Yy j ),p j在已知 Y=y 的

6、條件下， X 的條件分布密度為f (x | y)f ( x, y)；fY ( y)在已知 X=x 的條件下， Y 的條件分布密度為f ( x, y)f ( y | x)f X ( x)F(X,Y)=F X(x)F Y(y)pijpi p j有零不獨立f(x,y)=fX(x)fY(y)連續(xù)型（ 7 ）獨立性二維正態(tài)分布直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形f ( x, y)1e21212 0x 1212 ( x 1 )( y 2 )y2(1 2)11 2222,隨機變量的函數(shù)若 X1,X 2, Xm,X m+1, Xn 相互獨立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X1， X2, Xm）和 g

7、（ Xm+1, Xn）相互獨立。特例：若X 與 Y 獨立，則： h（ X）和 g（Y）獨立。例如：若X 與 Y 獨立，則： 3X+1 和 5Y-2 獨立。學(xué)習(xí)必備歡迎下載設(shè)隨機向量（X， Y）的分布密度函數(shù)為1( x, y)DSDf ( x, y)0,其他其中 SD 為區(qū)域 D的面積，則稱（ X，Y）服從 D 上的均勻分布，記為（ X，Y）U（ D）。例如圖 3.1 、圖 3.2 和圖 3.3 。y1D1O1x（ 8）二維圖 3.1均勻分布y1D2O2x1圖 3.2ydD3cOabx圖 3.3學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 9 ）二維正態(tài)分布（ 10）函數(shù)分布設(shè)隨機向量（X， Y）的分布密度函數(shù)為x 12

8、2112 ( x 1 )( y 2 )y 2f ( x, y)e2(1 2)11 22,21212其中1,2,10,20, | 1是 5 個參數(shù)，則稱（ X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（ X，Y） N（1 ,2, 12,22 ,).由邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，即 XN（1, 12 ),Y N( 2,22 ).但是若 XN（ 1, 12 ),Y N(2, 22 ) ， (X， Y) 未必是二維正態(tài)分布。根據(jù)定義計算：FZ ( z) P( Z z) P( X Y z)對于連續(xù)型， f Z(z) f x zx dx( ,)Z=X+Y兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為

9、正態(tài)分布（12 ,22）。12n 個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。Cii ，222Ciiii若 X1, X2X n相互獨立，其分布函數(shù)分別為Fx1 (x)， Fx2 ( x)Fxn (x) ，則 Z=max,min(X 1 ,X 2, X n)的分布Z=max,min(函數(shù)為：X 1,X 2, X n)Fmax ( x)Fx1 (x)Fx2 ( x)Fxn ( x)Fmin ( x)11Fx1 ( x)1Fx2 ( x) 1 Fxn ( x)學(xué)習(xí)必備歡迎下載設(shè) n 個隨機變量X 1 , X 2 , X n 相互獨立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和nW X i2i 1的

10、分布密度為1nu1nu2e 2f (u)2 2n20,u 0, u 0.我們稱隨機變量W服從自由度為n 的2 分布，記為 W2 ( n) ，2 分布其中nn1x dx.x 2e20所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機變量的個數(shù)，它是隨機變量分布中的一個重要參數(shù)。2 分布滿足可加性：設(shè)Yi2 (ni ),則k2 (n1 n2ZYi nk ).i 1設(shè) X， Y 是兩個相互獨立的隨機變量，且X N (0,1),Y 2 (n),可以證明函數(shù)TXY / n的概率密度為t 分布n 12n 12t2(t).f (t)1nnn2我們稱隨機變量T 服從自由度為t 分布，記為T t(n)。t1(n)t(n)學(xué)習(xí)必備歡迎下

11、載設(shè) X 2 ( n1 ), Y 2 (n2 ) ，且X 與 Y 獨 立，可以 證明F X / n1 的概率密度函數(shù)為Y / n2n1n2n1n1 1n1n2221n1y2F 分布n1n1y 2, y 0f ( y)n2n2n2220, y0我們稱隨機變量F 服從第一個自由度為n1，第二個自由度為 n2的 F 分布，記為 F f(n 1, n 2).1F1(n1 , n2 )F (n2 , n1 )例 3 1二維隨機向量（X， Y）共有六個取正概率的點，它們是：（ 1， -1 ），（ 2，-1 ），（ 2，0）， 2， 2），（3， 1），（3， 2），并且（ X， Y）取得它們的概率相同，則

12、（X，Y）的聯(lián)合分布及邊緣分布為Y-1012p ·X1110001662110116662300111663p·j111113663例 3 2： 設(shè)二維連續(xù)型隨機變量（ X， Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，其中D( x, y) :| xy |1, | xy | 1,求 X 的邊緣密度 f(x)X例 3 3：設(shè)隨機變量 X 以概率 1 取值 0，而 Y 是任意的隨機變量，證明X 與 Y 相互獨立。例 3 4：如圖 3.1，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, f Y(y)=4y-4y3，不獨立。例 3 5： f(x,y)=Axy2 ,0 x2,0 y10, 其他例 36

13、：設(shè) X 和 Y 是兩個相互獨立的隨機變量，且X U（ 0，1），Y e（ 1），求 Z=X+Y的分布密度函數(shù) f z(z) 。學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 3 7：設(shè)隨機變量X 與 Y 獨立，其中X 的概率分布為12X ,0.40.6而 Y 的概率密度為e(1) ，求隨機變量 U=X的概率密度 g(u) 。Y1第二節(jié)重點考核點二維隨機變量聯(lián)合分布函數(shù)、隨機變量的獨立性、簡單函數(shù)的分布第三節(jié)常見題型1、二維隨機變量聯(lián)合分布函數(shù)例 3 8：如下四個二元函數(shù)，哪個不能作為二維隨機變量（X， Y）的分布函數(shù)？(1 e x )(1ey ),0x,0y,（A） F1 (x, y)0,其他 .（B） F2 (x,

14、y)1arctanxy.222arctan231,x2 y1,（C） F3 (x, y)0,x2 y1.1 2 x2 y2 x y ,0 x,0 y,（D） F4 (x, y)0,其他 .例 3 9：設(shè) X 與 Y 是兩個相互獨立的隨機變量，它們均勻地分布在（0, l ）內(nèi)，試求方程t 2+Xt+Y=0 有實根的概率。例 3 10：將一枚均勻硬幣連擲三次，以X 表示三次試驗中出現(xiàn)正面的次數(shù)，Y 表示出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)的差的絕對值，求（X， Y）的聯(lián)合分布律。學(xué)習(xí)必備歡迎下載101例 311：設(shè)隨機變量 X i 1, i 1,2，且 P(X1X20) 1，求 P(X1 X 2 ).1

15、1424例 312：設(shè)某班車起點站上車人數(shù)X 服從參數(shù)為(0) 的泊松分布， 每位乘客在中途下車的概率為 p(0<p<1) ，并且他們在中途下車與否是相互獨立的，用Y 表示在中途下車的人數(shù)，求：二維隨機向量（X，Y）的概率分布。例 3 13：設(shè)平面區(qū)域D 是由 y1與直線 y=0,x=1,x=e2 所圍成（如圖 3.15 ），二維隨機向x量 =（ X，Y）在 D上服從均勻分布，求（ X， Y）關(guān)于 X 的邊緣分布密度在x=2 處的值。例 3 14：設(shè)隨機變量X 在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布，在 Xx(0 x1) 的條件下，隨機變量 Y 在區(qū)間 (0, x) 上服從均勻分布，求(

16、) 隨機變量X 和 Y 的聯(lián)合概率密度；( ) Y 的概率密度；() 概率 PXY12、隨機變量的獨立性例 3 15：設(shè)隨機變量X 在 1， 2， 3， 4 四個整數(shù)中等可能地取值，另一隨機變量Y 在 1 X中等可能地取一整數(shù)值，試求（X， Y）的分布律， X， Y 的邊緣分布律，并判斷獨立性。例 316：設(shè)隨機變量 X 與 Y 獨立，并且 P(X=1)=P(Y=1)=p ，P(X=0)=P(Y=0)=1-p=q ，0<p<1。定義隨機變量 Z 為1若X為偶數(shù)，YZ若X為奇數(shù)，0Y問當(dāng) p 取何值時， X與 Z 相互獨立？例 3 17：設(shè)( X ,Y) F ( x, y) A B

17、arctan xCyarctan ,23求：（ 1） A， B， C 的值；(2) f(x,y);(3) f 1(x),f 2(y)(4) 判斷獨立性。e yx0, yx,例 3 18：設(shè)（ X， Y）的密度函數(shù)為( x, y)0,其他 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載試求：（1） X， Y的邊緣密度函數(shù)，并判別其獨立性；（ 2）（ X， Y）的條件分布密度；（ 3） P（ X>2|Y<4） .3、簡單函數(shù)的分布例 3 19：設(shè)隨機變量X i (i1,2,3,4) 相互獨立同B（ 1， 0， 4），求行列式X 1X 2XX 3X 4的概率分布。例 3 20：設(shè)隨機變量（X， Y）的分布密度為3x

18、0x1,0yx,( x, y)0,其他 .試求Z=X-Y 的分布密度。例 321：設(shè)隨機變量X和 Y 的聯(lián)合分布是正方形G=（ x,y分布，試求隨機變量U=|X-Y| 的概率密度f(u).例 322：設(shè)某型號的電子元件壽命（以小時計）近似服從件，求其中沒有一件壽命小于180 小時的概率。）|1 x 3, 1y 3 上的均勻2N（160，20 ）分布，隨機選取4例 323：對某種電子裝置的輸出測量了5 次，得到的觀察值X1,X2,X3, X4, X5，設(shè)它們是相互獨立的變量，且都服從同一分布z21e8,x0,F (z)0,其他 .試求： max X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X

19、 5 4 的概率。例 324：設(shè) X1, X2,2a, b, c, d, X 10 相互獨立同 N（0， 2）分布，求常數(shù)使Y aX 12b( X 2X3)2c( X 4 X 5 X 6 ) 2d ( X 7X8 X9X10)2服從2分布，并求自由度 m。例 325：設(shè)隨機變量 X 與 Y 相互獨立同服從N（ 0，32）分布， x1 , x2 , x9 以及 y1 , y2 , , y9是分別來自總體X，Y 的樣本，求統(tǒng)計量學(xué)習(xí)必備歡迎下載9xii1K9yi2i1的分布。例 3 26：設(shè)隨機變量X t(n)(n>1),1求 Y2 的分布。X第四節(jié)歷年真題數(shù)學(xué)一：1（ 87， 6 分）設(shè)隨

20、機變量X，Y 相互獨立，其概率密度函數(shù)分別為1,0 x 1e y ,y0f X ( x)f Y ( y)0,y00,其他求隨機變量 Z=2X+Y的概率密度函數(shù)。2（ 91， 6 分）設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f ( x, y)2e ( x2 y)x0, y 00,其他求隨機變量Z=X+2Y的分布函數(shù)。3（ 92， 6 分）設(shè)隨機變量 X與 Y 相互獨立，X 服從正態(tài)分布 N (,2 ) ，Y 服從 - ， 上均勻分布， 試求 Z=X+Y的概率分布密度 （計算結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) 表示，其中1xt 2( x)e2 (dt) 。24（ 94， 3 分）設(shè)相互獨立的兩個數(shù)隨機變量X 與

21、Y具有同一分布律， 且 X 的分布律X 01為則隨機變量 Z=maxX， Y 的分布律為。11p225（ 95， 3 分）設(shè) X 和 Y 為兩個隨機變量，且P X0, Y0304,PX 0 PY77則 Pmax( X ,Y)0。6（ 98， 3 分）設(shè)平面區(qū)域 D 由曲線 y1 及直線 y0, x 1, xe2 所圍成 ，二維隨x學(xué)習(xí)必備歡迎下載機變量（）在區(qū)域D上服從均勻分布，則（）關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2 處的值X，YX，Y為。7（ 99， 3 分）設(shè)兩個相互獨立的隨機變量X 和 Y 分別服從正態(tài)分布N（ 0， 1）和 N（1， 1），則（ A）（ C）P XY1（B） P XY101

22、22P XY1（D） P XY101228（ 99， 8 分）設(shè)隨機變量 X 與 Y 相互獨立，下表列出了二維隨機變量（X，Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X 和關(guān)于 Y 的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處。Yy1y2y3P X xi p jXx1181x28p Y y j p j1169（02，3 分）設(shè) X1和 X 2是任意兩個相互獨立的連續(xù)型隨機變量，它們的概率密度分別為 f1 ( x)和 f 2 ( x) ，分布函數(shù)分別為F1 ( x)和 F2 (x) ，則（ A） f1 ( x) f 2 ( x) 必為某一隨機變量的概率密度；（ B） f1 (x) f2 (x) 必為某一隨機

23、變量的概率密度；（ C） F1 (x) F2 ( x) 必為某一隨機變量的分布函數(shù)；（ D） F1 (x) F2 (x) 必為某一隨機變量的分布函數(shù)。10（ 03，4 分）設(shè)二維隨機變量（ X，Y）的概率密度為6x,0xy1f ( x, y)0 其他則PXY1=。11（ 05， 4 分）從數(shù) 1， 2， 3， 4 中任取一個數(shù)，記為X ，再從 1, X 中任取一個數(shù)，記為 Y ，則 P Y2_。12（ 05， 4 分）設(shè)二維隨機變量X ,Y 的概率分布為學(xué)習(xí)必備歡迎下載已知隨機事件X0與 XY1 互相獨立，則（A ） a0.2, b0.3（B ） a0.4,b0.1（C） a0.3, b0.2

24、（D ） a0.1,b0.4（）13（ 05， 9 分）設(shè)二維隨機變量X ,Y的概率密度為f x, y1,0 x1,0y2x,0,其他求：（ I ） X ,Y 的邊緣概率密度f X x， fYy ；（II） Z2 XY 的概率密度f Zz。14（ 06， 4分）設(shè)隨機變量 X 與 Y 相互獨立，且均服從區(qū)間0,3 上的均勻分布，則P max X ,Y1_。1x0, 1215（06，9 分）隨機變量 x 的概率密度為f xx1 , 0x2 令 yx 2 ， F x, y40,其他為二維隨機變量X ,Y 的分布函數(shù)。（ I）求 Y 的概率密度fY y（II） F1 ,42數(shù)學(xué)三：1（ 90， 3

25、分）設(shè)隨機變量X 和 Y 相互獨立，其概率分布為學(xué)習(xí)必備歡迎下載m11m11P Xm11PYm112222則下列式子正確的是：（A）X Y（B）PX Y 0（C） P X Y1（D）PX Y 122（ 90， 5 分）一電子儀器由兩個部件構(gòu)成， 以 X 和 Y 分別表示兩個部件的壽命（單位：千小時），已知 X 和 Y 的聯(lián)合分布函數(shù)為：F (x, y)1 e0. 5xe 0.5 ye 0.5 (x y )若x , y 00,其他（ 1）問 X和 Y是否獨立？（ 2）求兩個部件的壽命都超過100 小時的概率。3（ 92， 4 分）設(shè)二維隨機變量（ X，Y）的概率密度為e y , 0 x yf (

26、x, y)其他0,（ 1）求 X 的概率密度 f X ( x);求PXY1 。4（ 94， 8 分）設(shè)隨機變量 X 1, X 2 , X 3 , X 4 相互獨立且同分布，P( X i0)0.6, P( X i1) 0.4(i1,2,3,4) 。求行列式XX1X 2X 3X 4的概率分布。5（ 95， 8 分）已知隨機變量（ X， Y）的聯(lián)合概率密度為f ( x, y)4xy,若0 x 1,0y10,其他求（ X， Y）的聯(lián)合分布函數(shù)。6（ 97， 3 分）設(shè)兩個隨機變量X 與 Y相互獨立且同分布，P（ X=-1 ） =P（Y=-1 ）= 1 ， P（ X=1） =P（ Y=1） = 1 ，則

27、下列各式成立的是22學(xué)習(xí)必備歡迎下載（A） P(X Y)1（B） P(X Y) 12（C） P(XY1（D） P( XY1)10)447（ 98， 3 分）設(shè) F1 (x)與 F2 (x) 分 別 為 隨 機 變 量 X1 與 X2的分布函數(shù)。為使F ( x) a1 F1 (x)bF2 ( x) 是某一隨機變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)?。?A） a3 ,b2（ B） a2 ,b25533（ C） a13（ D） a13,b2,b2228（ 99， 3 分）設(shè)隨機變量 X i101( i1,2),111424且滿足 P X1X201,則P X1X2等于（A）0（B） 1（C） 1（D

28、） 19（ 01， 8 分）4X和 Y2設(shè)隨機變量的聯(lián)合分布是正方形G ( x, y : 1x 3,2 y 3 上的均勻分布。試求 隨機變量U| XY | 的概率 p密(u) 。度1210（ 03，13 分）設(shè)隨機變量 X 與 Y 獨立，其中 X 的概率分布為 X 0.30.7而 Y 的概率密度為f(y) ，求隨機變量的概率密度( ) 。U=X+Yg u11（ 05，4）從數(shù) 1,2,3,4 中任取一個數(shù)， 記為 X ，再從 1, X 中任取一個數(shù)， 記為 Y ，則 P Y 2_。12（ 05， 4 分）設(shè)二維隨機變量X ,Y的概率分布為若隨機事件X0 與XY1 互相獨立，則a_， b_。學(xué)習(xí)

29、必備歡迎下載13（ 05， 13 分）設(shè)二維隨機變量X , Y 的概率密度為fx, y1,0x1,0y2 x0,其他求：（I） X ,Y的邊緣概率密度f X x , f Yy ；（II） Z2 X Y 的概率密度f Zz ；（III）P Y1 X1.2214（ 06， 4分）設(shè)隨機變量X 與 Y 相互獨立，且均服從區(qū)間0,3 上的均勻分布，則P max X ,Y1_數(shù)學(xué)四：1（ 90， 6 分）甲、乙兩人獨立地各進(jìn)行兩次射擊，設(shè)甲的命中率為0.2 ，乙的命中率為 0.5 ，以X和Y分別表示甲和乙的命中次數(shù)，試求（）的聯(lián)合概率分布。X，Y2（ 93， 3 分）設(shè)隨機變量 X 與 Y 均服從正態(tài)分

30、布， X N（ ，42），Y N（ ，52），記 p1=P X -4 ， p2=P Y +5 ，則（ A） 對任何實數(shù) ，都有 p1=p2。（ B） 對任何實數(shù) ，都有 p1= p2。（ C） 只對 的個別值，才有 p1=p2。對任何實數(shù) 都有 p =p2。13（ 96， 7 分）設(shè)一電路裝有三個同種電氣元件，其工作狀態(tài)相互獨立， 且無故障工作時間都服從參數(shù)為>0 的指數(shù)分布。當(dāng)三個元件都無故障時，電路正常工作，否則整個電路不能正常工作。試求電路正常工作的時間T 的概率分布。4（ 97， 3 分）設(shè)隨機變量服從參數(shù)為（ 2，p）的二項分布，隨機變量 Y 服從參數(shù)為（3， p）的二項分布，若 P X 0=5 ，則 P Y1=。95（ 98， 3 分）設(shè)F1 (x)與 F2 (x)分別為隨機變量12X 與X 的分布函數(shù)。為使F( x)= aF1( x)- bF2( x) 是某一隨機變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)?。?A） a3 ,b2（B） a2 , b25533（C） a1 , b3（ D） a1 , b322226（ 99， 9 分）設(shè)二維隨機變量（X，Y）在矩形 G=( X,Y)0