北航空氣動力學課后題答案

1、習題解答1-2兩平行豳，直徑都是D,兩者相距h,下盤固定，上盤以角謹度3旋轉，盤間有一種粘度為注的祓體.假設與直徑D相比兩盤的h為小鶯 兩盤之間潑體的 速度分布呈線性關系.試推導枯度"與轉矩T及角速度g之間的關系.解 如右圖建立坐標系，垃的周向速度 飾為：u(r, h) = d)r因為兩盤之碗體的謹度分布呈線性 關系，所以兩盤之間液體的周向潼度 分布為； nu (r , n ) = a> rh 摩擦應3匕帝du w尸dn hJj&drSt不的轉矩為；dT = t ds r / ds = rd 6 dr.小絲2 nr 2 dr =習題解答必處京以玄統(tǒng)久“的壓強為多少？請將

2、該壓強值和相同高度下標準大氣的對應值相比 較，并解釋產(chǎn)生差別的主要原因。解：單位質(zhì)量的徹體力是fx = 0, fy = -g, f2 = 0由歐拉方程的綜合形式有 dp = p(-gdy) = -g/?dy所以 J" = gp dy由氣體狀態(tài)方程，f從而可以得到.SPdpgdydyRTpRT今丨 v EX1TJ習題解答T=288.15K, R=287 m2 /(s2 K), g=9.80665m/s2pdp_= _g_ p dy> 2U-= e_fr h = 5000m 時，= 0.55272 Jp。p RT Jo PoPoph = O.55272po = 0.55272x1.

3、013252x10s = 5.600x2 p.5.25588Po288.15 - 0.0065 x 5000相同高度下標準大氣的壓強為I288.15=0.53313x1.013252 105 = 5402*10° p。ph /p'= 1.03665產(chǎn)生差別的主要原因是因為壓強梯度與密度成正匕而氣體的密度與 溫度有關，在本題中的溫度與標準大氣的溫度隨高度的變化規(guī)律不同。 1. EX1TJJT1'07 "iw ytiivaat»rv2-1什么是流線、流管？流線和跡線有什么區(qū)別？解：流場中有一條曲線，線上任何一點的切線方向均與占據(jù)該點的流體質(zhì)點速度方向一

4、致，這樣曲線稱為雌。流管是在流場中通過一任意的非流線的封閉曲線上每一點作流線所 圍成的管狀面。跡線是流體質(zhì)點在空間運動的軌跡線。跡線：同一質(zhì)點不同時刻的軌跡線。跡線是流場中實際存在的。流線：同一時刻，由不同流體質(zhì)點組成的反映流場瞬時流速方向的曲 線。流線是假想的線。在定常流中流線與跡線重合；不定常流中流線與跡線不重合。I J !EXIT|習題解答2- 2 fi角坐標系中，流場速度分量的分布為u = 2xyv=Zx2y , 試證過點（1, 7的流線方程為y2-x2 = 48-解：由流線微分方程=UVxdx = ydy積分后得到 /-擴過（人7）的流線方程為：x2-y2 = l-49 = -48即

5、 yx2 = 48習題解答23設流場中的速度大小及流線的表達式為旳二&?+2心+", /+2&二常數(shù)， 求速度分量的表達式。解：由流線方程y + 2今=常數(shù)求微分，+ 2xdy + 2ydx = 2ydx + (2x + 2y)dy = 0=,u = c(x,y)-(x + y v = -c(x,y)yx + y -y |r |= lu2 + v2 = yc2 (x,y)-(x2 + 2xy + 2y2) = y/x2 + 2xy + 2y2 c(x,y) = ±l一+y或嚴tW = _y W = y* I V EXIT* | EXITJ26在不可壓流中，下

6、列哪幾個流動滿足質(zhì)量守恒條件?(b) u=x3 siny, v = -3x2 cosy(d) |F| = A <+八常數(shù)解：(b) = 3x2sin/, = 3x2 sin7dx,dy+ = 6x3 sin 7 * 0& 卽'：( IWARG y vf BIT v所以此流動不滿足質(zhì)量守恒條件。習題解答 2加 + lydy =0,=，y 一天u = c(x.y)y, v = -c(x,y)x卩| = J/+，= c(x,y)x2+y2 =與c(x，7)= ±x+h)色=色尸車3切fix dxdv dedy dy5(x2 +y2ydii 加所以此流動滿足質(zhì)量守恒條件

7、。v | EXIT!習題解答其京JU玄純氏天爭I kA«A y<> vt tit v2-8有不可壓流作定常運動，其速度場為式中a為常數(shù)。求：u ax< v = ayw » -2az9(1) 線變形率.角變形率;(2) 流場是否有旋；<3)是否有速度位函數(shù)存在。«=Ot這是一個無旋流場，存在速度位(3) d<f> = udx 七 vdy+ 'wdz axdx+ aydy- lazdz0二加* +比處積常數(shù)取0 |. 4 L A 丨 EXIT習題解答乙9設不可壓流動的流函數(shù)為/=3x2y-y3，問是否有位函數(shù)存在？如 有，求

8、出位函數(shù)。解： 2斗+ £苓=6y - 6=0,有位函數(shù)存在dx2 dyd=udx+vd.y=-dx-dy = (3x2內(nèi) dx=3x2cix-3d(xy2)積分得 f=x3-3x)P© =慶心 + v矽=GF-3y2)dx-6xydy=- 3y2 )dx - 6xydy +-3y2)dx-6xydy-3x2dx +- ydy = x3 - 3xy2* | EXITJ習題解答2-10二維位流流場為 卄牛宀砂+幾 求曲線x V = -4上點(2,-1 處的切向速度分量。解:曲線兀b = _4, /(x，7)= x27 + 4 = 0切向單位向量乙晟疔於嚴法歹'歹盍 &

9、amp;=*札 切向遞度分屋 spg把x=2zy =-1代入，得滬=570 = T + J = (x-2x-y)r + (-x + 2y)j = f-4 Jdx dy2xy(1 r 丄 1 J 33-tj2l+12Jr'2* l-2J/ EXIT.加一&<§&/¥ + + + <§¥<§¥力一 + + + 加 一 &加一 <8加一寵加一龕 : + av莎 -卽 + + <8 一比加一ote a(4習題解答< 11 EXIT習題解答2-13二維點禍誘導的無旋流場是否滿足

10、連續(xù)條件?解：設點渦強度為r，點渦的誘導速度為及=一乙cos 6 =F°2tv x* 1 2 + y廠 x2tt x2 + y2=廠 2期2tt (x2 + y 2)2 dv °+ = 0dvr 2xydy2/r (x2 + 72)2所以二維點渦誘導的無旋流場滿足連續(xù)條件.ef I!> I Vi tlf v習題解答1,丨I EXI T習題解答2-16有一救火機，出水口直徑7.5cm，入水直徑30cm，流量是 3640L/min,進水口處水壓為2xlO5N/m i求救火機所受的作用力。流量。二36401000 x60進口面積出口面積=6.066667 xl0*2m3；s

11、=7.068584 x 10 -2m2=4 417865 xW3m2進口流速出口流速V. =-2-= 0.8582577 m/sAV2 =2-= 13.73212 m/sA進水壓 Pi= 2xlO5N/m2V I JEXIT習題解答出水口處水壓為大氣壓p2=pa =1.013252xl05 帕設救火機所受的反作用力為Fx,Fy,由積分形 式的動量定理P/-P2冬 cos30。一代=jpu7ndS= pV2 cosBO% - s-$企 sin 30°-化=砂 VndS = £冬 sin 30%s代入數(shù)據(jù)后求得F入=1.30801x104N=-6.403616x102N | E

12、XIT習題解答3-1設有直勻流乙以正x軸方向流過位于原點的點源，點源強度為Q,試求半無限體表面上最大垂直分速卩嘶的位置及速度值，并證明在該點處，合速度的大小正好等于直勻流速度卩8。解：流動的流函數(shù)是Q y 0>,刃=乙丿 + arctg - 27T 兩個分速是卯Q Xdy/_Q y dx In x2 +護 駐點A的位置由uA =0,=0求得"二2松兒=0習題解答過駐點的流線方程為：乙卩+ 學 arctg乙=A兒+ 字arctg2tt x2tt即 y = (力-arctg )2必x Q 3 - &)2 開 g sin 0在半無限體上垂直方向速度為： IEX1T1Q y Q

13、 sill。兀sii?8V =«2tt +y2 2tt r 7t-0F面求極佰dv2乙 sin&cos& K. sin2 0 八d0=z * =71-0sin =0, 7 = =0呂=-2, 汕 JFXIT |習題解答只京狀玄社比天爭/ 11wara yHivtasir 用迭代法數(shù)值求解- 2，解得兀_ e6 =1.9760315 = 113.2183° 時，v = |v_A = 4.3071538= 246.7817° 時，v 二一” _yzmaxq 二巧= 0.201850/乙0 y _Q sin&一乙血訕2n x2 + y 2tt r

14、 n-0+字亠譏+字叱并In x + y2/r r兀_e可計算出。二 q 時，v = 0.724611 Vu = 0.6891574O = O2 時，V = -pl = -0.724611 Vu = 0.6891574 在&二q,。=&2處，合速度大小為V = lu2+v2=Vw今 i V I EXIT習題解答 t f WAKO vHi Vt tlV v3-3在正三角形的三個角點,0), (-°,0), (0,的0處放入三個等強度點源 ,試寫出該流動的流函數(shù)，確定其駐點坐標，并粗略地勾畫出對應的流譜。解:設點源強度為Q，流動的流函數(shù)是甲=2 mg厶+ £&q

15、uot;窗丄+纟a噸隹2tt x-a 2/r x + a 2jtx兩個分速是IL =% _Qdy 27Tx- ax+ax(x - a)2 + y2 (x + a)2 + y2 x2 + ()z - Jia)2v = _d=Q_ +2!+_廠岳_Ox 2兀(x- a)2 + y2 (x+ a)2 + y2 x2 + (y - 3a)2 駐點A的位置由uA =0, vA= 0求得戈4 = °, yA = -a習題解答I WAna phi vr b nr v3- 5在（-60）和（Q,0）處分別放入強度相等的點源和點匯，直勻流乙沿X 軸流來。設點源強度Q =,試求流動的流函數(shù)、前后駐點的位

16、置及寒流線的形狀"該零流線所代表的封閉物稱之為蘭金卵形，試確定該蘭 金卵形的短半軸值。w：該流動的流函數(shù)為QyQy廠 + 丁 arctgarctg 2jtx+a 2ttx-ayy” =A) + 尬 arctg _ £ a arctg x+ ax-兩個分速是du/M = -T=乙 +ys + h-L*l EXIT(x + a)2 + y2 (x習題解答由H = 0, V = 0求得駐點的位置住辰,0）零流線方程為：yyNy + A(z "c 繪Va -arctg= 0X + (2即 y + a- arctg-a arctg = 0x+ax-ax-a卜面求解該蘭金卵形

17、的短半軸值，設 為億a。把（Ojq）代入零流線方程得 ry + arctgfy -O-arc覽與）=0 r + 2arctgf； = 7：零流線方程可寫為：lay伽0 /7）lay tan(y / a) 可得卩=±1306542 a采用數(shù)值迭代求解，可得5=1.306542 ,即該蘭金卵形的短半軸為1.306542 a oJ EXIT$解答只舍JU玄狀氏大宇習題解答aBlNAlK IV4 |if v3-7位于(-d,0)和(°,0)有等強度的點源和點匯，試證它們對無限遠處的作 用和一個位于原點的偶極子的作用完全一樣。證明：設點源和點匯的強度為Q,流動的位函數(shù)是0 = $ I

18、n (x + a)2 + y2 _ $ in (x-a)2+y2LnLn= n(x+y +2xa+a)-iii(x2+72 -2xa+a2)'4開2x<2+a2 '1T4tt=Q_4tfIn (x2+/) 1 +L l廠+廠丿24/rIn (X2+/) 1 +-2xa+a22 2 x +y丿= -§-ln4tt)4ttIX +y2 丿1+導習題解答aBlNAlK IV4 |if v習題解答aBlNAlK IV4 |if v | EXIT |習題解答當廠=&彳+尹2 q時.x2 + y2x+y2xa+a-一 2xaa-2xa+a« T習題解答aB

19、lNAlK IV4 |if v習題解答aBlNAlK IV4 |if v24/rQ_2tt x2+y上式說明，位于(p,0)和,0涔強度的點源和點匯，它們對無限遠處的作 用和一個位于原點處強度 必=金凹的偶極子的作用完全一樣。2兀習題解答共京JU立從R大爭位于（0（）和（0廠°）處有兩個等強度的旋轉方向相反的點禍，當a TO 時保持2祝廠為常數(shù)，試證其對應的流動與諭上的偶極子完全相同。證明：設（0衛(wèi)泌的點渦強度為-廠，設（0,P觀的點渦強度為 廠，該 流動的流函數(shù)為0 = £ln Jx2 + （y_a）2_£ln yjx2+（y+a）2=1n（x2 + y2 -2

20、ya+a2）- n（x2 + y2 +2yn+a2）4tf4tf3& + h）Q+耳呼）+x+y-2ya+cPx2+b-£ln ("/)Q+喀)+弩蔦2)4/r（疋+b丿4/r習題解答當a TO時保持2觀廠為常數(shù)，即a廠為常數(shù)，此時 zlimln 144穴 QTO、V+廠丿v r -Zyaa2 r lya+a2 =lim + limy。亠4兀 x +y qT4;t x +y i x -rclT y=lim22 =5TaT 4兀 x +y71 x4兀 x +y一“廠 _4*x +y6其京狀左氤氏大于w"2*+去、TJC +丿丿上式說明，位于（0衛(wèi)）和（0廠。

21、）兩個等強度的旋轉方向相反的點漏 當OT0 時保持2觀廠為常數(shù)，其對應的流動與諭上的強度為M = ± 的偶極子完 全相同?！苯?I. V EXIT習題解答39在（-。,0）和0,0）處分別布置強度為Q的點匯和點源，直勻流 乙沿涮 流來，試寫出合成流動的流函數(shù)，并證明包含駐點的舷方程為y =0云 +才 _ a?tan（2 祝 y/Q）當a=|/ =g/2/r=l時，請畫出合成流動對應的物體形狀。解:該流動的流函數(shù)為OyQy申=卩防一三 arctg一+ 二 arctg一2jtx+a 2jtx-a由流場的對稱性知，駐點處尸0,所以包含駐點的流線方程為W =人丫 - 2 arctg一+ 2

22、arctg一=0</,只京狀左尿氏大乎2jt x+a 2tt x-a習題解答上面流線方程改寫為2憎8yy y = arctgarctg Q& x+a & x-a七血（2毗 y/0= tan（arc/g -x+a宀八1 =容易看出A =0滿足上面方程，當.y h0時，包含駐點的流線方程可2 2x +y亠一2今tan（2 松y/0）寫為當a=Q/27r=l時，包含駐點的流線方程為:2y tan（刃 I EXIT習題解答習題解答=1習題解答人=2習題解答八京41比毗氏大爭習題解答4光滑平板長06m，寬2m，氣流速度為30m/§，試求國際標準海平面大氣 下平板所受的摩擦

23、阻力（設流動保持為層流。解：醛=空竺竽七32256佔1#1.7 894x10“平板上下兩面所受的總摩擦陰力為11 只 1ID. =2C上代S = 2上必Sf巧2廠9、慈2宀= 2x- .1328x-xl.225x3tfx0.6x271.23225&1O 2= L580 丄 < !上 I Exm習題解答4- 2若速度變化為Us = VQXmM,為邊界層外邊界處的流速，仏為常數(shù)。試 證明相應的壓強變化為& °因此，Q0代表順壓梯度，m0代表逆壓梯度.解：沿邊界層外邊界，伯努力方程成立12 cP +咎=C% = -pu& 字=-pV.xm . mVQxm: axoxm > 0時，< 0； m < 0時，空 >dxdx因此m>0代表Wl壓梯度，m<0代表逆壓梯度。39280 f I WAH0 yH« v« SIT v由牛頓粘性定律:= A42 8習題解答#4假定平板邊界層內(nèi)的速度分布為（平板長為/：式中6為邊界層厚度。試用動量積分關系式方法求解，計算出(Q)(b)(c)(d)C巧応;習題解答解：u _ 31S 22丿2UJ宀烏F面求解積分關系式。因為求的是平板邊界