靜電場習題課(北郵版08級用[1].)

1、電電 學學 總總 結(jié)結(jié)221041rqqf1. 庫侖定律庫侖定律: 大小大小適用條件：兩個靜止的適用條件：兩個靜止的點電荷點電荷之間的相互之間的相互作用力作用力方向：沿兩電荷的聯(lián)線，且同性相斥，方向：沿兩電荷的聯(lián)線，且同性相斥，異性相吸異性相吸2. 電場強度的定義電場強度的定義8點電荷的電場強度點電荷的電場強度0204rrqe0qfe:是從是從場源場源 指向指向場點場點 的單位矢量。的單位矢量。0r3、電場強度的疊加原理：、電場強度的疊加原理：電場中任何一點的總場強等于每個點電荷單獨電場中任何一點的總場強等于每個點電荷單獨存在時在該點所產(chǎn)生的場強的矢量和。存在時在該點所產(chǎn)生的場強的矢量和。 多

2、個點電荷的場強疊加多個點電荷的場強疊加任意帶電體（連續(xù)的任意帶電體（連續(xù)的)在空間一點在空間一點 產(chǎn)生的電場產(chǎn)生的電場強度強度02041rrdqed0204rrdqede帶電體帶電體eddqr解：建立坐標系如圖解：建立坐標系如圖l0deeldd4q0(沿沿x軸正方向）軸正方向）例例1: 求均勻帶電直線求均勻帶電直線(長為長為l、帶電量為、帶電量為q）的延）的延長線上一點長線上一點p的電場強度。的電場強度。pxdodxedx204cosqe 4 ：帶電量為：帶電量為q的均勻帶電圓環(huán)軸線上一點的均勻帶電圓環(huán)軸線上一點p的的電場強度。電場強度。rop方向：沿軸線，正電荷背離；負電荷指向方向：沿軸線，

3、正電荷背離；負電荷指向5、電偶極矩、電偶極矩:qpe電偶極子中垂線電偶極子中垂線 上一點的場強上一點的場強30er4pe中垂線204xdldxde電偶極子延長線上一點的場強電偶極子延長線上一點的場強30er4p2e延長線6. 點電荷點電荷q受到的電場力受到的電場力:eqf7. 帶電體受到的電場力帶電體受到的電場力: 帶電體edqf 是指除所考慮的受力帶電體以外空間其它所是指除所考慮的受力帶電體以外空間其它所有電荷在有電荷在dq處產(chǎn)生的合場強處產(chǎn)生的合場強essdq1q2例例:兩板之間的相互作用力兩板之間的相互作用力sqqqqef02102122電偶極子在均勻外電場中所受到的力和力矩電偶極子在均

4、勻外電場中所受到的力和力矩8、電場中通過任一曲面、電場中通過任一曲面s的電通量的電通量 sseedssdecos&勻強電場中勻強電場中通過通過平面平面s 的電場強度通量：的電場強度通量：cosese 在在非非均勻外電場中均勻外電場中, ,電偶極子一方面受到力矩的電偶極子一方面受到力矩的作用作用, ,使電偶極矩力圖轉(zhuǎn)到與外電場一致的方向使電偶極矩力圖轉(zhuǎn)到與外電場一致的方向; ;另一方面其中心還要受到合力的作用另一方面其中心還要受到合力的作用, , 通常通常( (除除非非穩(wěn)定平衡位置外）穩(wěn)定平衡位置外）其方向指向場強數(shù)值增大的方其方向指向場強數(shù)值增大的方向。向。力偶矩力偶矩 力圖使電偶極子

5、的偶極矩力圖使電偶極子的偶極矩 轉(zhuǎn)到與外轉(zhuǎn)到與外電場電場 一致方向上來一致方向上來 e9、靜電場的、靜電場的高斯定理高斯定理 iisqsde01&通過任一閉合曲面通過任一閉合曲面s的電場強度通量的電場強度通量sesde閉合曲面閉合曲面外法線方向外法線方向( (自內(nèi)向外自內(nèi)向外) )為正為正v穿進穿進閉合面的電場線對該閉合面提供閉合面的電場線對該閉合面提供負通量負通量；穿出穿出閉合面的電場線對該閉合面提供閉合面的電場線對該閉合面提供正通量正通量即即通過任一閉合曲面的電場強度通量等于通過任一閉合曲面的電場強度通量等于這個閉這個閉合曲面所包圍的電荷代數(shù)和。合曲面所包圍的電荷代數(shù)和。b.高斯定

6、理普遍成立；當電荷分布具有對稱性時，高斯定理普遍成立；當電荷分布具有對稱性時，可用高斯定理求出該電荷系統(tǒng)的電場強度的分布可用高斯定理求出該電荷系統(tǒng)的電場強度的分布。ea. 高斯定理中的電場強度高斯定理中的電場強度 是由是由空間所有電荷空間所有電荷共同產(chǎn)生的。共同產(chǎn)生的。 對高斯定理的一些說明對高斯定理的一些說明c.c.有時利用高斯定理求電通量非常方便有時利用高斯定理求電通量非常方便例例1: 1: 點電荷位于正立方體中點電荷位于正立方體中心心, ,則通過側(cè)面的電通量則通過側(cè)面的電通量若將點電荷位于正立方體的若將點電荷位于正立方體的a角上角上,則通過側(cè)面的電通量則通過側(cè)面的電通量0 24qe 06

7、qeabcdqa例例2： 真空中有一半徑為真空中有一半徑為r的圓平面。在通過圓心的圓平面。在通過圓心o與平與平面垂直的軸線上一點面垂直的軸線上一點p處，有一電量為的點電荷。處，有一電量為的點電荷。o、p間距離為，試求通過該圓平面的電通量間距離為，試求通過該圓平面的電通量ohqpr解：做一個以為中心以為半徑的球面解：做一個以為中心以為半徑的球面 球冠球面 1 000ss10. 能用高斯定理求電場強度的幾個對稱性分布能用高斯定理求電場強度的幾個對稱性分布的特例的特例a、均勻帶電的球型分布、均勻帶電的球型分布 (包括球體和球殼包括球體和球殼)204rqe 為過場點所做同心球面包為過場點所做同心球面包

8、圍的電荷代數(shù)和圍的電荷代數(shù)和q 0e 內(nèi)內(nèi)304rqe內(nèi)204rqe外&球面球面:&球體球體:204rqe外b、電荷面密度為、電荷面密度為 的無限大均勻帶電平面的無限大均勻帶電平面02ec、電荷線密度為、電荷線密度為 的均勻帶電無限長圓柱型分布的均勻帶電無限長圓柱型分布0內(nèi)&柱面：柱面：re02外&柱體：柱體：re02外內(nèi)0re02 為過場點所做同軸圓柱面為過場點所做同軸圓柱面包圍的電荷線密度代數(shù)和包圍的電荷線密度代數(shù)和 11、 有關(guān)電場強度及電場力在真空中的所有公式有關(guān)電場強度及電場力在真空中的所有公式，當充滿均勻電介質(zhì)（或分層均勻充滿）時，只，當充滿均勻電介

9、質(zhì)（或分層均勻充滿）時，只要將公式中的要將公式中的 改為場點處電介質(zhì)的電容率改為場點處電介質(zhì)的電容率 即可即可0ll de012、靜電場的環(huán)流定理、靜電場的環(huán)流定理即靜電場的積分與路徑無關(guān)，只取決于始末位置即靜電場的積分與路徑無關(guān)，只取決于始末位置，故靜電場是保守場。，故靜電場是保守場。）（零電勢點 l del deu13. 電勢：電勢：當電荷只分布在有限區(qū)域時，勢電零點通常選在當電荷只分布在有限區(qū)域時，勢電零點通常選在無窮遠處。無窮遠處。 15、點電荷在電場中的電勢能、點電荷在電場中的電勢能wu 16、電場力的功等于電勢能的減少。即、電場力的功等于電勢能的減少。即aab=uuldeuuu14

10、.電勢差：電勢差：兩點之間的電勢差與電勢零點的選取無關(guān)兩點之間的電勢差與電勢零點的選取無關(guān)點電荷點電荷1 和和2 之間的相互作用能（即電勢能）之間的相互作用能（即電勢能）rqquqw02114外力的功等于電勢能的增量外力的功等于電勢能的增量a外力外力ab=uu17. 電勢的計算電勢的計算1. 用點電荷電勢公式加電勢疊加原理用點電荷電勢公式加電勢疊加原理(1) 點電荷的電勢公式點電荷的電勢公式r4qu0）選0(u(2) 電勢的疊加原理電勢的疊加原理一個電荷系的電場中一個電荷系的電場中,任一點的電勢等于每一個帶任一點的電勢等于每一個帶電體單獨存在時在該點所產(chǎn)生電勢的代數(shù)和。電體單獨存在時在該點所產(chǎn)

11、生電勢的代數(shù)和。ii0ir4qu&點電荷系的電場中點電荷系的電場中帶電體r4qu0&電荷連續(xù)分布的電場中電荷連續(xù)分布的電場中2. 用電勢定義式用電勢定義式 ldeu(當電荷分布具有一定的對稱性時當電荷分布具有一定的對稱性時,用高斯定理很容易求用高斯定理很容易求出場強分布出場強分布,這種情況下用該式求電勢較方便）這種情況下用該式求電勢較方便）ru外外4例例: : 半徑為半徑為r r，帶電量為，帶電量為 q q 的均的均勻帶電球面的電場中的電勢分布。勻帶電球面的電場中的電勢分布。內(nèi)外3. 利用已知電勢結(jié)果加電勢疊加原理利用已知電勢結(jié)果加電勢疊加原理18. 等勢面的性質(zhì)：等勢面的性質(zhì)

12、：沿著電力線的方向電勢降低沿著電力線的方向電勢降低;電力線與等勢面正交電力線與等勢面正交;等勢面較密集的地方，場強較大等勢面較密集的地方，場強較大.ru外內(nèi)419. 19. 場強與電勢梯度的關(guān)系場強與電勢梯度的關(guān)系0 ndndue;xuex;yuey#場強沿任意方向的分量等于電勢沿該方向空場強沿任意方向的分量等于電勢沿該方向空間變化率的負值。間變化率的負值。zuez場強和電勢不能點點對應場強和電勢不能點點對應20.20.導體的靜電平衡條件導體的靜電平衡條件: :導體內(nèi)部電場強度處導體內(nèi)部電場強度處處為零。處為零。即即0e內(nèi)部21. 導體處于靜電平衡狀態(tài)時的性質(zhì)：導體處于靜電平衡狀態(tài)時的性質(zhì)：a

13、.導體是個等勢體，導體表面是個等勢面。導體是個等勢體，導體表面是個等勢面。b. 導體內(nèi)部各點導體內(nèi)部各點(宏觀點宏觀點)凈余電荷為零；電荷只凈余電荷為零；電荷只能分布在表面。能分布在表面。c.c.導體表面附近一點的總電場強度方向?qū)w表面附近一點的總電場強度方向與導體表面垂直與導體表面垂直; ;場強大小與導體場強大小與導體表面對應點的電荷面密度成正比。表面對應點的電荷面密度成正比。0e 1432例：設(shè)靜電平衡后，金屬板各面所帶例：設(shè)靜電平衡后，金屬板各面所帶電荷面密度之間的關(guān)系電荷面密度之間的關(guān)系3412 , 當兩板帶等量異號電荷時當兩板帶等量異號電荷時:3410 2 , 當兩板帶等量同號電荷時

14、當兩板帶等量同號電荷時:0341 2 , 22.22.靜電平衡下空腔導體的性質(zhì)靜電平衡下空腔導體的性質(zhì) a.a.若金屬空腔內(nèi)部無帶電體若金屬空腔內(nèi)部無帶電體, ,則則空腔內(nèi)表面不帶空腔內(nèi)表面不帶任何電荷，任何電荷，空腔內(nèi)部任一點場強為零空腔內(nèi)部任一點場強為零。b.b.若金屬空腔內(nèi)部有帶電體若金屬空腔內(nèi)部有帶電體, ,則則空腔內(nèi)表面有等空腔內(nèi)表面有等量異號感應電荷。量異號感應電荷。 ）c.c.導體接地時，導體接地時，(a)(a)若外界無電荷，若外界無電荷，則外壁上電則外壁上電荷處處為零，外部空間任一點場強為零荷處處為零，外部空間任一點場強為零; ; (b)若若外界有電荷，外界有電荷，則外壁上一定

15、有異號電荷。則外壁上一定有異號電荷。d.d.腔內(nèi)電荷腔內(nèi)電荷( (包括內(nèi)壁上的電荷包括內(nèi)壁上的電荷) )對內(nèi)壁以外空間對內(nèi)壁以外空間任何一點的合場強為零任何一點的合場強為零; ;腔外電荷腔外電荷( (包括外壁上的包括外壁上的電荷電荷) )對外壁以內(nèi)空間任何一點的合場強為零。對外壁以內(nèi)空間任何一點的合場強為零。23. 接地線的存在意味著接地線的存在意味著: : a.導體的電勢為零導體的電勢為零;b.接地線只提供導體與地交換電荷的通道，并不接地線只提供導體與地交換電荷的通道，并不保證導體腔外壁上的電荷在任何情況下都為零。保證導體腔外壁上的電荷在任何情況下都為零。sqea0020d 24.24.電位

16、移矢量電位移矢量 的引入的引入diiseqsd025有介質(zhì)時的高斯定理有介質(zhì)時的高斯定理26. 26. 孤立導體的電容孤立導體的電容uqc 27.電容器電容的定義電容器電容的定義uqc ) e ( 0dsc0a a平行板電容器平行板電容器s sd d例：如圖，兩導體板分別帶例：如圖，兩導體板分別帶q q 和和當一導體接地時，求兩板之間當一導體接地時，求兩板之間的場強。的場強。32s sb b圓柱形電容器圓柱形電容器r r1 1r r2 2l l) e ( r2rrlnl2c0120c c球形電容器球形電容器) e ( 2012210r4qrrrr4cr r1 1r r2 22828電容器的串聯(lián)

17、：極板首尾相接電容器的串聯(lián)：極板首尾相接&特點：特點：a、 有一個公共端，且有一個公共端，且公共端上不再引出其它元件。公共端上不再引出其它元件。b、q1=q2=q ；uu1u2 unc、ncccc11112129、電容器的并聯(lián)：、電容器的并聯(lián)： &特點：特點：a a、有兩個公共端，且在公共端上還引、有兩個公共端，且在公共端上還引出導線接其它元件。出導線接其它元件。b b、u u1 1u u2 2u ; q=qu ; q=q1 1+q+q2 2+ +q+qn nc、 cc1c2cn討論：無論是串聯(lián)還是并聯(lián)討論：無論是串聯(lián)還是并聯(lián):總總總uqc只要有一個電容增大，則總電容增大只要有

18、一個電容增大，則總電容增大30、電介質(zhì)對電容的影響、電介質(zhì)對電容的影響a a、兩導體板之間均勻、兩導體板之間均勻充滿充滿電介質(zhì)時，將電容公電介質(zhì)時，將電容公式中的式中的 改為改為 即可。即可。0(2)(2)將兩種介質(zhì)交界面處看成有一個金屬薄板將兩種介質(zhì)交界面處看成有一個金屬薄板, ,故故原電容器看成兩個電容器的串聯(lián)。原電容器看成兩個電容器的串聯(lián)。1 2 d1d2(1)(1)仍按電容定義式計算電容仍按電容定義式計算電容b b、 若按等勢面分層均勻充滿電介質(zhì)，則：若按等勢面分層均勻充滿電介質(zhì)，則：1 2 d1d222e 2211dedeuuqc 11e dsc , dsc 222111 21c1c

19、1c1 ddc.電容器的兩板之間平行放入一層電容器的兩板之間平行放入一層金屬板金屬板0ddsc 31. 31. 帶電電容器所存儲的靜電能帶電電容器所存儲的靜電能22cu21c2qw&外力作功等于靜電能的增加。外力作功等于靜電能的增加。32.32.電場的能量密度電場的能量密度: :2e21w一個帶電系統(tǒng)的靜電能就是它在整個空間激一個帶電系統(tǒng)的靜電能就是它在整個空間激發(fā)的電場能量發(fā)的電場能量 電電場場空空間間dve21w2)(20abuab2厚度為厚度為d的的“無限大無限大”均勻帶電導體板兩表面均勻帶電導體板兩表面單位面積上電荷之和為單位面積上電荷之和為 試求圖示離左板面距試求圖示離左板面

20、距離為離為a的一點與離右板面距離為的一點與離右板面距離為b的一點之間的電的一點之間的電勢差勢差 12dab2,1, 單位正電荷在靜電場中沿單位正電荷在靜電場中沿任意閉合路徑繞行一周，電場力作功等于零任意閉合路徑繞行一周，電場力作功等于零0dlle1、靜電場的環(huán)路定理的數(shù)學表示式為：、靜電場的環(huán)路定理的數(shù)學表示式為： 該式的物理意是：該式的物理意是：該定理表明該定理表明:靜電場是有勢（或保守力）場靜電場是有勢（或保守力）場3. 帶有電荷帶有電荷q、半徑為、半徑為ra的金屬球的金屬球a，與一原先不，與一原先不帶電、內(nèi)外半徑分別為帶電、內(nèi)外半徑分別為rb和和rc的金屬球殼的金屬球殼b同心同心放置如圖

21、則圖中放置如圖則圖中p點的電場強度點的電場強度 _如果用導線將如果用導線將a、b連接起來，則連接起來，則a球的電勢球的電勢u =_(設(shè)無窮遠處電勢為零設(shè)無窮遠處電勢為零) prarbrcrba 4q ; )4/( 030crrrqe4一空氣平行板電容器，電容為一空氣平行板電容器，電容為c，兩極板間距，兩極板間距離為離為d充電后，兩極板間相互作用力為充電后，兩極板間相互作用力為f則兩則兩極板間的電勢差為極板間的電勢差為_，極板上的電荷，極板上的電荷_ cfd /2fdc25. 如圖所示，半徑為如圖所示，半徑為r的均勻帶電球面，帶有電的均勻帶電球面，帶有電荷荷q沿某一半徑方向上有一均勻帶電細線，電

22、沿某一半徑方向上有一均勻帶電細線，電荷線密度為荷線密度為 ，長度為，長度為l，細線左端離球心距離為，細線左端離球心距離為r0設(shè)球和線上的電荷分布不受相互作用影響，設(shè)球和線上的電荷分布不受相互作用影響，試求細線所受球面電荷的電場力和細線在該電場試求細線所受球面電荷的電場力和細線在該電場中的電勢能中的電勢能(設(shè)無窮遠處的電勢為零設(shè)無窮遠處的電勢為零) r0 l q r o 解：設(shè)解：設(shè)x軸沿細線方向，原點在球心處，在軸沿細線方向，原點在球心處，在x處取處取線元線元dx，其上電荷為，其上電荷為 ，該線元在帶電，該線元在帶電球面的電場中所受電場力為：球面的電場中所受電場力為：整個細線所受電場力為：整個

23、細線所受電場力為： 方向沿方向沿x正方向正方向 電荷元在球面電荷電場中具電荷元在球面電荷電場中具有電勢能：有電勢能： 整個線電荷在電場中具有電勢能：整個線電荷在電場中具有電勢能： o r x r0 r0+l dx x xqddlrrlqxxqflrr000204d400 xdxqdw040000ln4d400rlrqxxqwlrr6、圖示為一具有球?qū)ΨQ性分布的靜電場的、圖示為一具有球?qū)ΨQ性分布的靜電場的er關(guān)系曲線關(guān)系曲線請指出該靜電場是由下列哪種帶電體產(chǎn)生請指出該靜電場是由下列哪種帶電體產(chǎn)生的的 (a) 半徑為半徑為r的均勻帶電球面的均勻帶電球面 (b) 半徑為半徑為r的均勻帶電球體的均勻帶

24、電球體 (c) 半徑為半徑為r 、電荷體密度、電荷體密度r rar (a為常數(shù)）的非均勻帶電球體為常數(shù)）的非均勻帶電球體 (d) 半徑為半徑為r 、電荷體密度、電荷體密度r ra/r (a為常數(shù)為常數(shù))的非均勻帶電球體的非均勻帶電球體or ree1/r2d7. 真空中一立方體形的高斯面真空中一立方體形的高斯面,邊長邊長a0.1 m，位于圖中所示位置已知空間的場強分布為：位于圖中所示位置已知空間的場強分布為：ex=bx , ey=0 , ez=0常量常量b1000 n/(cm)試求通過該高斯面的電通量試求通過該高斯面的電通量 o x z y a a a a 1 = -e1 s1= -b a3 2

25、 = e2 s2 = 2b a3 = 1+ 2 = 2 2b a3- -b a3 = b a3 =1 nm2/c 8已知空氣的擊穿場強為已知空氣的擊穿場強為30 kv/cm，空氣，空氣中一帶電球殼直徑為中一帶電球殼直徑為1 m，以無限遠，以無限遠處為電處為電勢 零 點 ， 則 這 球 殼 能 達 到 的 最 高 電 勢勢 零 點 ， 則 這 球 殼 能 達 到 的 最 高 電 勢_ 9如圖，如圖，a點與點與b點間距離為點間距離為2l，ocd是是以以b為中心，以為中心，以l為半徑的半圓路徑為半徑的半圓路徑. a、b兩處各放有一點電荷，電荷分別為兩處各放有一點電荷，電荷分別為q和和q 把另一電荷為

26、把另一電荷為q(q0 )的點電荷從的點電荷從d點點沿路徑沿路徑dco移到移到o點，點，則電場力所做的功為則電場力所做的功為_cdaob l 2l+qq-qq / (60l) 1.5106v10假想從無限遠處陸續(xù)移來微量電荷使一假想從無限遠處陸續(xù)移來微量電荷使一半徑為半徑為r的導體球帶電的導體球帶電 (1) 當球上已帶有電當球上已帶有電荷荷q時，再將一個電荷元時，再將一個電荷元dq從無限遠處移到從無限遠處移到球上的過程中，外力作多少功？球上的過程中，外力作多少功？ (2) 使球上電荷從零開始增加到使球上電荷從零開始增加到q的過程中，的過程中，外力共作多少功？外力共作多少功？ rqu04 ) 1 (qrqwad4dd0qrqqaa004dd )2(rq02811在勻強電場中，將一負電在勻強電場中，將一負電荷從荷從a移到移到b，如圖所示則：，如圖所示則： (a) 電場力作正功，負電荷的電勢能減少電場力作正功，負電荷的電勢能減少 (b) 電場力作正功，負電荷的電勢能增加電場力作正功，負電荷的電勢能增加 (c) 電場力作負功，負電荷的電勢能減少電場力作負功，負電荷的電勢能減少 (d) 電場