第十一章有限元分析法概述

1、第十一章 有限元分析方法概述1、基本概念有限元分析方法是隨著電子計算機的發(fā)展而迅速發(fā)展起來的一種現(xiàn)代沒計計算方法。它是20世紀50年代首先在連續(xù)體力學領域飛機結構靜、動態(tài)特性分析中應用的一種有效的數(shù)值分析方法，隨后很快就廣泛地應用于求解熱傳導、電磁場、流體力學等連續(xù)性問題。 在工程分析和科學研究中，常常會遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相應的邊界條件描述的場問題，如位移場、應力場和溫度場等問題。求解這類場問題的方法主要有兩種：用解析法求得精確解；用數(shù)值解法求其近似解。應該指出，能用解析法求出精確解的只是方程性質(zhì)比較簡單且?guī)缀芜吔缦喈斠?guī)則的少數(shù)問題。而對于絕大多數(shù)問題，則很少能得出解析解。這

2、就需要研究它的數(shù)值解法，以求出近似解。目前工程中實用的數(shù)值解法主要有三種：有限差分法、有限元法和邊界元法。其中，以有限元法通用性最好，解題效率高，目前在工程中的應用最為廣泛。下面通過一個具體例子，分別采用解析法和數(shù)值解法進行求解，從而體會一下有限元分析方法的含義及其相關的一些基本概念。如下圖所示為一變橫截面桿，桿的一端固定，另一端承受負荷，試求桿沿長度方向任一截面的變形大小。其中，桿的上邊寬度為，下邊寬度為，厚度為，長度為，桿的材料彈性模量為。已知4450N，50mm，=25mm，=3mm，=250mm，=72GPa。 采用解析法精確求解 假設桿任一橫截面面積為，其上平均應力為，應變?yōu)?。根?jù)靜

3、力平衡條件有：根據(jù)虎克定律有：而任一橫截面面積為：任一橫截面產(chǎn)生的應變?yōu)椋?將上述方程代入靜力平衡條件，進行變換后有：沿桿的長度方向?qū)ι鲜絻蛇呥M行積分，可得：將表達式代入上式，并對兩邊進行積分，得桿沿長度方向任一橫截面的變形量：當分別取0、62.5、125、187.5、250值時，變截面桿相應橫截面處的沿桿長方向的變形量分別為： 采用數(shù)值解法近似求解將變橫截面桿沿長度方向分成獨立的4小段，每一小段采用等截面直桿近似，等截面直桿的橫截面面積為相應的變截面桿橫截面面積的平均面積表示，每一小段稱為一個單元，小段之間通過節(jié)點連接起來。這樣，變橫截面桿就可以用5個節(jié)點和4個單元組成的模型來近似表示，如右

4、圖所示。假設任一橫截面面積為A、長為的等截面直桿，在軸向拉力F的作用下產(chǎn)生變形量，則該直桿橫截面上的應力和應變分別為： 根據(jù)虎克定律： 可得：上述方程與線性彈簧的方程極為相似，表明一個中心點集中受力且橫截面相等的等截面直桿可以等效為一個彈簧，其等效剛度為:因此，變橫截面桿可以看作由四個線性彈簧串聯(lián)起來的模型來近似表示，如下圖所示，每一個單元都可以視為一個線性彈簧，其彈性行為符合以下方程： 下面考慮每一個節(jié)點的受力，根據(jù)靜力平衡條件，每一個節(jié)點上的受力總和為0，即：節(jié)點1： 節(jié)點2： 節(jié)點3： 節(jié)點4： 節(jié)點5： 將反作用力R1和外力P從內(nèi)力中分離出來，重新對上述五個方程組成的方程組進行變換，得

5、：節(jié)點1： 節(jié)點2： 節(jié)點3： 節(jié)點4： 節(jié)點5： 將上述方程組寫成矩陣形式，有：將反作用力和外力分離出來，可以重組上述矩陣，得：寫成一般形式，可得： 即表示：引入邊界條件，根據(jù)本題的要求，節(jié)點1的位移為0，即 ，則有如下矩陣形式：通過求解上述矩陣方程，可得每個節(jié)點的位移，進而可以求得每個節(jié)點的反作用力，每一個單元的應力和應變。即： 根據(jù)變橫截面桿結構的已知參數(shù)可得： 當時， 當時， 當時，當時，當時，每個單元的等效剛度系數(shù) 總體剛度矩陣：應用邊界條件和負荷，可以得到：求解該方程，可得： 而第一種精確求解方法求得的每個節(jié)點處的位移分別為： 比較兩種結果表明：采用數(shù)值解法近似求解的結果與解析法精

6、確求解的結果相當接近，如果將變橫截面桿沿桿長方向分離成的單元越多，數(shù)值解法求解的結果將與精確解法求得的結果誤差將會越來越小。2、有限元法的分析過程2.1 連續(xù)體離散化所謂連續(xù)體是指所求解的對象（物體或結構），所謂離散化就是將所求解的對象劃分為有限個具有規(guī)則形狀的微小塊體，每個微小塊體稱為單元，兩相鄰單元之間只通過若干點互相連接，每個連接點稱為節(jié)點。因而，相鄰單元只在節(jié)點處連接，載荷也只通過節(jié)點在各單元之間傳遞，用這些有限個單元構成的集合體來近似代替原來的連續(xù)體。這種由單元和節(jié)點構成的集合體稱為有限元分析模型。離散化也稱為劃分網(wǎng)格或網(wǎng)格化。單元劃分后，給每個單元及節(jié)點進行合理編號；選定坐標系，計

7、算各個節(jié)點坐標；確定各個單元的形態(tài)和性態(tài)參數(shù)以及邊界條件等。下圖所示為將一懸臂梁建立有限元分析模型的例子，圖中將該懸臂梁劃分為許多三角形單元，三角形單元的三個頂點都是節(jié)點。結構離散化后，單元與單元之間利用單元的節(jié)點相互連結起來，單元節(jié)點的設置、性質(zhì)、數(shù)目等應視具體問題的性質(zhì)、描述變形形態(tài)的需要和計算精度而定。所以有限元法中分析的結構已不是原有的物體或結構物，而是同樣材料的由眾多單元以一定方式連結成的離散物體。這樣，用有限元分析計算所獲得的結果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲得的結果就與實際情況相接近。2.2 單元特性分析 連續(xù)體離散化后，即可對單元體進行特性分析，簡稱為單元特

8、性分析。單元特性分析主要有兩項：選擇單元位移模式（位移函數(shù)）和分析單元的特性，即建立單元剛度矩陣。根據(jù)材料學、工程力學原理可知，彈性連續(xù)體在載荷或其他因素作用下產(chǎn)生的應力、應變和位移，都可以用位置函數(shù)來表示。為了能用節(jié)點位移來表示單元體內(nèi)任一點的位移、應變和應力，必須對各單元中位移的分布作出某種假設，也就是假定單元中任一點的位移是單元節(jié)點位移的某種簡單的函數(shù)，以此模擬單元內(nèi)位移的分布規(guī)律，這種函數(shù)就稱為位移模式或位移函數(shù)。選擇適當?shù)奈灰坪瘮?shù)是有限單元法分析與計算中的關鍵，通常采用多項式作為位移模式。因為多項式的數(shù)學運算比較方便，并且所有光滑函數(shù)的局部都可以用多項式逼近。至于多項式的項數(shù)和階次的

9、選擇，則要考慮到單元的自由度和解的收斂性。一般來說，多項式的項數(shù)應等于單元的自由度數(shù)（單元節(jié)點獨立位移的個數(shù)），多項式的階次應包含常數(shù)項和線性項等。選定好單元位移模式后，即可進行單元力學特性分析，將作用在單元上的所有力（表面力、體積力、集中力）等效地移置為節(jié)點載荷。根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點數(shù)目、位置及其含義等，應用有關的力學原理建立單元內(nèi)節(jié)點力與節(jié)點位移之間的方程式，從而導出單元剛度矩陣。2.3 整體分析 在對全部單元進行完單元分析之后，就要進行單元組集，即把各個單元的剛度矩陣集成為總體剛度矩陣，以及將各單元的節(jié)點力向量集成總的力向量，求得整體平衡方程。集成過程所依據(jù)的原理是節(jié)點變

10、形協(xié)調(diào)條件和平衡條件。2.4 確定約束條件 由上述所形成的整體平衡方程是一組線性代數(shù)方程，在求解之前，必需根據(jù)具體情況，分析與確定求解對象問題的邊界約束條件，并對這些方程進行適當修正。2.5 有限元方程求解 解方程，即可求得各節(jié)點的位移，進而根據(jù)位移計算單元的應力及應變。3、有限元法的理論基礎有限元法是一種離散化的數(shù)值解法，對于結構力學特性的分析而言，其理論基礎是能量原理。根據(jù)未知數(shù)的性質(zhì)和分析方法的不同，有三種基本解法：1) 位移法。位移法采用最小勢能原理或虛位移原理進行分析。它以節(jié)點位移作為基本未知量，選擇適當?shù)奈灰坪瘮?shù)，進行單元的力學特性分析，在節(jié)點處建立單元剛度方程，再合并組成整體剛度

11、矩陣，解出節(jié)點位移后，由節(jié)點位移再求解出應力。位移法優(yōu)點是比較簡單，規(guī)律性強，易于編寫計算機程序。所以得到廣泛應用，其缺點是精度稍低。2) 應力法。應力法常采用最小余能原理進行分析。它以節(jié)點力作為基本未知量，在節(jié)點處建立位移連續(xù)方程，求解出節(jié)點力后，再求解節(jié)點位移和單元應力。力法的特點是計算精度高。3) 混合法。這種方法常采用混合變分原理進行分析。它取一部分節(jié)點位移和一部分節(jié)點力作為基本未知量，建立平衡方程進行求解。在進行結構靜力學分析中，對大多數(shù)問題，位移法要比應力法簡單得多，從而得到了最廣泛的應用和發(fā)展，在本書中只討論有限元位移法。4、有限元分析軟件 目前有限元分析軟件可以分為三類： 1）

12、通用有限元分析軟件：這類軟件自成體系，側(cè)重點有所不同，但解決工程問題的領域比較寬，適應性和通用性強，比較有代表性的有：ABAQUS、ADINA、ANSYS、MARC和NASTRAN 等2）專用有限元分析軟件：主要特點是在某一專門領域內(nèi)，開發(fā)了專門的功能，強調(diào)專用性。比較有代表性的有：ADAMS、DADS、MSC/FATIGUE等等。3）嵌套在CAD/CAM系統(tǒng)中的有限元分析模塊：這類分析模塊與設計軟件集成為一體，有限元分析在工程師所熟悉的設計環(huán)境中進行，功能沒有專用或通用有限元分析軟件那么強大全面，但它們解決一般工程問題的能力也是很強的，比較有代表性的有：I-DEAS、PRO/ENGINEER

13、和 UNIGRAPHICS等CAD/CAM/CAE系統(tǒng)中的有限元分析模塊。采用有限元分析軟件進行結構分析的基本步驟包括：1）預處理階段，分析對象的有限元網(wǎng)格剖分與數(shù)據(jù)生成。主要包括以下幾個方面：建立求解域并將之離散化成有限元，即將問題分解成節(jié)點和單元；假設代表單元物理行為的形函數(shù)，即假設代表單元解的近似連續(xù)函數(shù)；對單元建立方程；將單元組合成總體的問題，構造總體剛度矩陣；應用邊界條件、初值條件和負荷。2）求解階段。求解線性和非線性的微分方程組，得到節(jié)點的值。3）后處理階段。根據(jù)工程和產(chǎn)品模型與設計要求，對有限元分析結果進行用戶所要求的加工和檢查，并已圖形方式將結果提供給用戶，輔助用戶判定計算結果

14、與設計方案的合理性。具體包括：有限元分析結果的數(shù)據(jù)平滑，各種物理量的加工和檢查，如：結構變形圖、應力分布圖和結構動力振型圖等，針對工程和產(chǎn)品設計的要求與工程規(guī)范對結果進行校核，根據(jù)計算結果進行設計優(yōu)化與模型修改，還包括計算結果的文檔整理等。 目前，應用比較廣泛的有限元分析軟件主要是ANSYS軟件。ANSYS軟件是融結構、傳熱、流體、電場、磁場、聲場分析于一體的大型通用有限元分析軟件，由美國有限元分析軟件公司ANSYS開發(fā)，并能與多數(shù)CAD 軟件接口，實現(xiàn)數(shù)據(jù)的共享和交換，如Pro/Engineer，NASTRAN，Alogor，I-DEAS，AutoCAD 等，是現(xiàn)代產(chǎn)品設計中的高級CAD 工

15、具之一。軟件主要包括3 個部分：前處理模塊：提供強大的實體建模及網(wǎng)格劃分工具，用戶可以方便地構造有限元模型；分析計算模塊：包括結構分析(可進行線性分析、非線性分析和高度非線性分析)、流體動力學分析、電磁場分析、聲場分析、壓電分析以及多物理場的耦合分析，可模擬多種物理介質(zhì)的相互作用，具有靈敏度分析及優(yōu)化分析能力；后處理模塊：可將計算結果以彩色等值線顯示、梯度顯示、矢量顯示、粒子流跡顯示、立體切片顯示、透明及半透明顯示(可看到結構內(nèi)部)等圖形方式顯示出來，也可將計算結果以圖表、曲線形式顯示或輸出。軟件提供了100 種以上的單元類型，用來模擬工程中的各種結構和材料。分析類型主要包括以下幾種：1) 結

16、構靜力分析。用來求解外載荷引起的位移、應力和力。靜力分析很適合求解慣性和阻尼對結構的影響并不顯著的問題。ANSYS 程序中的靜力分析不僅可以進行線性分析，而且也可以進行非線性分析，如塑性、蠕變、膨脹、大變形、大應變及接觸分析。2) 結構動力學分析。結構動力學分析用來求解隨時間變化的載荷對結構或部件的影響。與靜力分析不同，動力分析要考慮隨時間變化的力載荷以及它對阻尼和慣性的影響。ANSYS 可進行的結構動力學分析類型包括：瞬態(tài)動力學分析、模態(tài)分析、諧波響應分析及隨機振動響應分析。3) 結構非線性分析。結構非線性導致結構或部件的響應隨外載荷不成比例變化。ANSYS程序可求解靜態(tài)和瞬態(tài)非線性問題，包

17、括材料非線性、幾何非線性和單元非線性3種。4) 動力學分析。ANSYS 程序可以分析大型三維柔體運動。當運動的積累影響起主要作用時，可使用這些功能分析復雜結構在空間中的運動特性，并確定結構中由此產(chǎn)生的應力、應變和變形。5) 熱分析。程序可處理熱傳遞的3 種基本類型：傳導、對流和輻射。熱傳遞的3 種類型均可進行穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)、線性和非線性分析。熱分析還具有可以模擬材料固化和熔解過程的相變分析能力以及模擬熱與結構應力之間的熱-結構耦合分析能力。 6) 電磁場分析。主要用于電磁場問題的分析，如電感、電容、磁通量密度、渦流、電場分布、磁力線分布、力、運動效應、電路和能量損失等。還可用于螺線管、調(diào)節(jié)器、發(fā)電

18、機、變換器、磁體、加速器、電解槽及無損檢測裝置等的設計和分析領域。7) 流體動力學分析。ANSYS 流體單元能進行流體動力學分析，分析類型可以為瞬態(tài)或穩(wěn)態(tài)。分析結果可以是每個節(jié)點的壓力和通過每個單元的流率。并且可以利用后處理功能產(chǎn)生壓力、流率和溫度分布的圖形顯示。另外，還可以使用三維表面效應單元和熱流管單元模擬結構的流體繞流并包括對流換熱效應。8) 聲場分析。程序的聲學功能用來研究在含有流體的介質(zhì)中聲波的傳播，或分析浸在流體中的固體結構的動態(tài)特性。這些功能可用來確定音響話筒的頻率響應，研究音樂大廳的聲場強度分布，或預測水對振動船體的阻尼效應。9) 壓電分析。用于分析二維或三維結構對交流(AC)

19、、直流(DC)或任意隨時間變化的電流或機械載荷的響應。這種分析類型可用于換熱器、振蕩器、諧振器、麥克風等部件及其他電子設備的結構動態(tài)性能分析?？蛇M行4 種類型的分析：靜態(tài)分析、模態(tài)分析、諧波響應分析、瞬態(tài)響應分析。下面主要討論一下總體剛度矩陣與單元剛度矩陣的關系 我們?nèi)∪我坏冉孛嬷睏U單元，用線性彈簧近似表示，如圖所示。 在節(jié)點處傳遞的力為：將其表示成矩陣形式：則單元剛度矩陣為： 總體剛度矩陣為：對于本題，其總體剛度矩陣為： 下面采用最小勢能原理來推導總體剛度矩陣物體受到外力的作用會產(chǎn)生變形，外力所做的功以彈性能的形式儲存在物體中，即物體儲存應變能。假設：有一等截面桿，長，在集中力的作用下變形伸

20、長根據(jù)虎克定律，有： 桿內(nèi)儲存的能量： 將上式寫成標準應力和應變的形式：則變形能為： 由n個單元和m個節(jié)點組成的物體的總勢能II為總應變能和外力所做功的差: 根據(jù)最小總勢能原理，對于一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，平衡位置會發(fā)生位移，并使系統(tǒng)的總勢能最小。即：對于例1，任意單元（e）的應變能由應變能公式可得： 則： 寫成矩陣形式：而： 將總勢能最小公式寫成矩陣形式，得出根據(jù)力邊界條件，可知：F1=-R F2=0 F3=0 F4=0 F5=P 則得：根據(jù)位移邊界條件：u1=0 則有：求解上式矩陣，得出的結果與采用直接公式法得出的結果相同。第十二章 桿梁結構的有限元分析第一節(jié) 彈簧單元任取一彈簧單元 ，如圖所示。

21、兩個節(jié)點，節(jié)點位移，節(jié)點力 ，彈簧剛度，根據(jù)節(jié)點處力的平衡可知：將其表示成矩陣形式：則定義單元剛度矩陣為：。 很顯然，單元剛度矩陣為一對稱矩陣。如果將兩個彈簧串聯(lián)組成一個彈簧系統(tǒng)，如下右圖所示，則系統(tǒng)有兩個單元，三個節(jié)點。對于單元1，有矩陣方程：對于單元2，也有矩陣方程：式中，表示第單元的第節(jié)點上作用的內(nèi)力。根據(jù)節(jié)點上作用力平衡條件，有：節(jié)點1： 節(jié)點2： 節(jié)點3：也就是下面方程組：寫成矩陣形式，有：則串連彈簧系統(tǒng)的總體剛度矩陣為：位移矩陣為： 節(jié)點負荷矩陣為： 則矩陣方程可簡化為：假設：位移邊界條件為； 力邊界條件為，則矩陣方程變?yōu)椋簩⑵溥M一步簡化為： 求解可得： 例1：如圖所示一彈簧系統(tǒng)，

22、已知，。求：1）系統(tǒng)的整體剛度矩陣；2）第2與第3節(jié)點的位移；3）第1與第4節(jié)點的反力；4）中間彈簧的受力大小。解：根據(jù)上面可知，系統(tǒng)總體剛度矩陣為：系統(tǒng)矩陣方程為：施加邊界條件可得：將矩陣方程簡化可得： 求解上述矩陣方程得： 則節(jié)點1與節(jié)點4的反力： 單元2的矩陣方程為： 則單元2的彈簧力為： 例2：下圖所示一彈簧系統(tǒng)，寫出其整體剛度矩陣和邊界條件。解： 整體剛度矩陣為： 系統(tǒng)剛度方程為：邊界條件為： 課后習題：考慮如圖所示的彈簧單元系統(tǒng)，假定，。求：1）結構的整體剛度矩陣； 2）節(jié)點 3、4、5 的位移；3）節(jié)點 1、2 的支反力； 4）每個彈簧的內(nèi)力。第二節(jié) 線性等截面直桿單元1.1 單

23、元特性分析右下圖所示為一線性等截面直桿單元，其中，桿的長度為，橫截面積為，材料彈性模量為。根據(jù)材料力學可知，單元在節(jié)點軸向力的作用下，桿內(nèi)應力和應變在軸線各點處均是恒定常數(shù)，因而桿內(nèi)任一點位移沿桿軸線呈線性規(guī)律變化。建立桿單元的整體坐標系，則桿單元的位移函數(shù)可以表示為：寫成矩陣形式： 代入位移函數(shù)可得： 寫成矩陣形式： 將上式兩邊左乘可得： 則桿單元中的任一點位移可表示為：簡化可得： 令： 稱為形函數(shù)， 則稱為形函數(shù)矩陣，它將單元的節(jié)點位移與單元的內(nèi)位移連接起來。則：建立桿單元的局部坐標，則有：形函數(shù)矩陣可變?yōu)椋簞t位移函數(shù)為：令：，稱為自然坐標。則形函數(shù)可表示為：形函數(shù)矩陣變?yōu)? ，則單元中任

24、一點位移為：于是，應變?yōu)? 其中： 稱為單元應變矩陣，則：因此，應力可表示為：單元應變能：單元的外力勢能：則單元的總勢能為： 根據(jù)最小勢能原理可知：，則有：令，稱為桿單元在局部坐標系中的單元剛度矩陣為。則桿單元剛度方程為：將單元應變矩陣表達式代入單元剛度矩陣可得:這就是等截面直桿在局部坐標系中的單元剛度矩陣。例1：如圖所示，求節(jié)點1和節(jié)點3的反力。解：這是由兩個等截面直桿單元串聯(lián)而成，有2個單元3個節(jié)點， 則： 總體剛度矩陣為：整體剛度方程為：施加位移和力邊界條件：整體剛度方程變?yōu)椋呵蠼馍鲜稣w剛度方程可得： ， ， 作業(yè)：下圖所示為1個彈簧單元和1個線性桿單元組成的結構，假定 E200GPa

25、，A=0.01m2 ，K=1000KN/m，P25N。求: 1、該結構的整體剛度矩陣；2、節(jié)點 2 的位移；3、節(jié)點 1 和節(jié)點 3 的支反力；4、桿的應力；5、彈簧的內(nèi)力。例2：下圖為一等截面直桿。已知 求該等截面直桿兩端點的反力。解：首先判斷等截面直桿在軸向力P的作用下伸長后是否與右端支座相接觸。由于：因此，等截面直桿在軸向力作用下變形后會與右端支座相接觸。系統(tǒng)整體剛度矩陣方程為：力和位移邊界條件為：將上述邊界條件代入矩陣方程可得：求解上述方程可得： 1.2 單元特性分析 如果桿單元沿桿軸向施加均勻分布荷載，如圖所示： 將軸向均布荷載轉(zhuǎn)換為作用在桿節(jié)點的等效節(jié)點荷載，計算公式為：均勻分布荷

26、載所做的功為：即： 根據(jù)能量守恒定律，有： ，即： 簡化可得： 則節(jié)點力為： 很顯然，如下圖所示：如果等截面直桿單元位于二維平面坐標中，如圖所示： 在局部坐標中有兩個自由度，其中有一個自由度。在整體坐標系中有兩個自由度。兩者之間的變換關系為：將上式寫成矩陣形式為：令： 稱為變換矩陣，也是一個正交矩陣，即：對于等截面直桿單元，有兩個節(jié)點，將每個節(jié)點位移都進行變換后可得：令： 稱為坐標變換矩陣則桿單元節(jié)點位移矩陣可寫成： 桿單元節(jié)點力按照同樣方式進行變換，可得： 其中：在局部坐標中，有：將其擴大，得：令：稱為局部平面坐標系中的桿單元剛度矩陣則：將和兩式代入上式可得：兩邊左乘的轉(zhuǎn)置矩陣可得：則整體坐

27、標系中的剛度矩陣為：將相關表達式代入上式可得：其中：單元應力：例題一：右圖為一平面桁架，兩桿長度、彈性模量、橫截面都相同，分別為。試求節(jié)點2的位移及兩桿應力。解：兩桿在局部坐標中的剛度矩陣為：兩個矩陣不能直接組裝成整體剛度矩陣，因為它們分別屬于不同的坐標系。對于單元1，有：對于單元2，有：組裝成系統(tǒng)總體剛度矩陣為： 則系統(tǒng)結構有限元方程為： 載荷與位移邊界條件為： 代入有限元方程為:求解可得： 相應的，兩桿應力分別為：例題二：如圖所示為一平面桁架。已知： 求節(jié)點位移與反力。解：對于單元1，有：對于單元2，有：對于單元3，有：系統(tǒng)結構總體剛度矩陣：則系統(tǒng)結構有限元方程為：載荷與位移邊界條件為：代

28、入矩陣方程可得：由： 可得：由： 可得：從而簡化矩陣方程得：求解可得： 將位移代入矩陣方程可得反力：如果桿單元位于三維空間，同樣可以采用前面的坐標變換方法建立局部坐標系中單元剛度矩陣與整體坐標系中單元剛度矩陣之間的關系在局部坐標中有三個自由度，其中。在整體坐標中有三個自由度。桿單元軸線在整體坐標系中的方向余弦為：則局部坐標與整體坐標之間的變換關系為：寫成矩陣形式為：令：稱為坐標變換矩陣整體坐標中桿單元的剛度矩陣為：將局部坐標中桿單元剛度矩陣，代入上式可得：作業(yè)：如右圖所示由等截面直桿組成的一空間桁架結構。節(jié)點1、節(jié)點2和節(jié)點3的支座是球鉸，可以旋轉(zhuǎn)但不能平移。其中4個節(jié)點的坐標分別為：。假定：

29、E=200GPa，A14=0.001m2，A24=0.002m2，A340.001m2，P12KN，求：1）該結構的整體剛度矩陣；2）節(jié)點 4 的位移；3）節(jié)點 1、2、3 的支反力；4）每個單元的應力。六、梁單元如圖所示，為一簡單平面純彎曲梁單元（只考慮彎曲，不考慮軸向變形）于是，定義梁單元的位移函數(shù)為：(位移邊界條件（撓度、轉(zhuǎn)角）)，則有： 寫成矩陣形式為：求解上述矩陣方程為：則位移函數(shù)可表示為：因此，定義形函數(shù)矩陣為：其中：則位移函數(shù)可簡化為：在局部坐標系統(tǒng)中有：，則局部坐標系統(tǒng)中純彎曲梁單元形函數(shù)變?yōu)椋阂胍涣烤V變量：，稱為自然坐標。則形函數(shù)可變?yōu)椋毫旱那蕿椋毫睿海Q為應變矩陣。則：

30、梁的截面彎矩為：正應力： ， 其中：梁單元的應變能：外力做功：所以，純彎曲梁單元剛度矩陣可定義為：將B和I代入上式可得：因此，梁單元剛度方程為：例題1：如下圖所示，求中間結點的撓度和轉(zhuǎn)角以及兩端點的反力與反力矩。解：顯然，將整個梁分成兩個梁單元。 則系統(tǒng)整體剛度矩陣為：整體有限元方程為：載荷和位移邊界條件為：并代入有限元方程可得：求解可得：則反力及反力矩為：例題二：如下圖所示，求撓度、轉(zhuǎn)角以及反力。已知：。解：可以分成兩個梁單元，一個彈簧單元進行求解。兩個純彎曲梁單元矩陣分別為： 彈簧單元矩陣為：則整體有限元方程為：邊界條件為：邊界條件代入有限元方程，簡化后求解得：再將求解結果代入有限元方程，可得