62微積分基本定理98483

1、不定積分與定積分是從兩個(gè)完全不同的角度引進(jìn)的概念，它們之間是否有一定的關(guān)系呢？本節(jié)將討論這個(gè)問(wèn)題，并得出由原函數(shù)計(jì)算定積分的基本公式6.2 微積分基本定理 第六章 一、變限積分及其導(dǎo)數(shù)一、變限積分及其導(dǎo)數(shù)，上可積上可積在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(baxbaxf 考察定積分考察定積分 xadttf)(，則對(duì)于每一個(gè)取定的則對(duì)于每一個(gè)取定的上任意變動(dòng)上任意變動(dòng)在在如果上限如果上限xbax,，定積分都有一個(gè)對(duì)應(yīng)值定積分都有一個(gè)對(duì)應(yīng)值函數(shù)，函數(shù)，上定義了一個(gè)上定義了一個(gè)所以它在所以它在, ba記記為為.)( xadttf )(x)(積積分分上上限限函函數(shù)數(shù)變變上上限限積積分分 1. xadttfxg

2、)()( ., )( 2.中中所所含含未未知知量量混混淆淆以以免免積積分分變變量量與與積積分分限限建建議議不不要要寫(xiě)寫(xiě) xadxxfdttxx 1)ln(:例例不是標(biāo)準(zhǔn)積分上限函數(shù)不是標(biāo)準(zhǔn)積分上限函數(shù) bxdttf)(. 3 類(lèi)似可定義變下限積分類(lèi)似可定義變下限積分 xadttfxg)()(變上限積分的性質(zhì)變上限積分的性質(zhì)6.2定理定理)(原原函函數(shù)數(shù)存存在在性性定定理理,)(上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間若函數(shù)若函數(shù)baxf可導(dǎo)，可導(dǎo)，上連續(xù)上連續(xù)在在則變上限積分則變上限積分,)( bax 且它的導(dǎo)數(shù)是且它的導(dǎo)數(shù)是)()(dttfxxa )(xf )(bxa 上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù)在在是是,

3、)()(baxfx )sin)(12xuduxsin xadttd3)33x xdttdxd2)cos(sin)2)cos(sin xdx )(,)()4bxdttfxf則則連續(xù)連續(xù)若若)(xf .,)(,)(6.1上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)是是變上限積分變上限積分則則上可積上可積在在設(shè)設(shè)定理定理baxbaxf 如條件變?nèi)跞鐥l件變?nèi)鮝bxyo證明證明xx x)(x , baxxx 設(shè)設(shè)),()( xfx 要證要證).(lim0 xfxx 即證即證 xxxxx)()(lim0)()(xxx dttfxxa )(dttfxa )(dttfxa )(,)( xxxdttfdttfxxx )(dttfx

4、a )(由積分中值定理可得由積分中值定理可得上連續(xù)上連續(xù)在在由于由于,)(baxf，xf )( ,xxx xx , 0又又),( fx )(limlim00 fxxx )( x)(lim fx).(,)(xfbaxf上連續(xù)上連續(xù)在在 )(x其中其中.)( xadttf:)(1xf 、求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)例例dtttxfdttxfxex 183ln)()2(1)()1(dttxfx 831)()1( 因?yàn)橐驗(yàn)?1()(83dttxfx所以所以的復(fù)合函數(shù)，的復(fù)合函數(shù)，與與視為視為將將xueudtttugxf1ln)()()2(，有，有則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)()()(

5、xuugxfxeuulnxeuxlnlndttx83131xxxxeeeln解:補(bǔ)充補(bǔ)充)()(xbxbf)()()()(xbxadttfxf的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。、求、求例例dttxfxx42cos)(2)(xf )cos(2)cos(4243xxxx )()(xbadttf特別地，特別地，)()(xaxaf)()cos(22xx)()cos(44xx;)(;)()(cos5222 xxtxudtexfduuexf求導(dǎo)數(shù)：求導(dǎo)數(shù)：)()(xbxbf bxadttf)()()()(xaxaf 解: xdttftxxf0)()()( xdttfkey0)(:2020201cos201)(arctanl

6、im)3()r( .)(1lim)2(.1lim(1) 32xdttfdttxtfxdtexxxxxxtx 上連續(xù)上連續(xù)在在例例ekey21:練習(xí)：練習(xí)： 2102250)cos1(1limxxdttx101:key2)0(:fkey).2(),1()(, 0,)(2202fxxdttfxxfx求求并且并且連續(xù)連續(xù)設(shè)設(shè)例例 4. 5)2(,21)(: fxxfkey4:2 key例例5 5 試證試證為任意常數(shù)，為任意常數(shù)，的連續(xù)函數(shù)，的連續(xù)函數(shù)，是周期為是周期為若若atxf)(dxxfdxxfttaa 0)()(則有則有則有則有設(shè)設(shè),)()(dxxfaftaa aaftatafaf )()()

7、()()(為任意常數(shù)為任意常數(shù)常數(shù)常數(shù) acaf 即即任意的任意的故故)(),0()(afaf dxxfdxxfttaa 0)()(當(dāng)被積函數(shù)為周當(dāng)被積函數(shù)為周期函數(shù)時(shí)，可直期函數(shù)時(shí)，可直接引用此公式。接引用此公式。0解:課后練習(xí)課后練習(xí) 1.1.求求的極值。的極值。dttexfxt02)(p158 例例2)()(aftaf ?)0(000,)()(, 0)0()(120 xxxdtttfxfxfx則則設(shè)設(shè)，且，且是具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)是具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)、若、若思考：思考： xtxdtduufdttxtfxf000)()()(3為連續(xù)函數(shù)，證明：為連續(xù)函數(shù)，證明：、設(shè)、設(shè)23sin1lim02

8、0 xxduubuxax二、牛頓二、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式(定理定理6.3),)(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)baxf,也是一個(gè)原函數(shù)也是一個(gè)原函數(shù)若若)(xf則有則有的一原函數(shù)，的一原函數(shù)，是是則則)()()(xfdttfxxa .)()(cbfdxxfba 故故.)()(cxfdttfxa 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)ax ,)(caf )()()(afbfdxxfba 所以所以)(xf ba|萊萊布布尼尼茨茨公公式式牛牛頓頓 稱(chēng)稱(chēng)為為微微積積分分學(xué)學(xué)基基本本公公式式牛牛頓頓萊萊布布尼尼茨茨公公式式也也)1(.原原函函數(shù)數(shù)問(wèn)問(wèn)題題求求定定積積分分問(wèn)問(wèn)題題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為求求不定積分問(wèn)題不定積分問(wèn)題).()()(a

9、fbfdxxfba 仍仍有有時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)ba )2(（f(x)在在a,b上不連續(xù)或者原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示時(shí)，此公式失效）上不連續(xù)或者原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示時(shí)，此公式失效）.)1(1)3(;)2(;1)1(3122042 dxxxdxxedxxaxe求求例例 6. 14ln)1(: key.12133)3( ).1(21)2( ae.111dxx界界，故故必必定定不不可可積積上上不不僅僅不不連連續(xù)續(xù)，而而且且無(wú)無(wú)在在1 , 11 x算算分分的的區(qū)區(qū)間間可可加加性性進(jìn)進(jìn)行行計(jì)計(jì)可可積積的的，此此時(shí)時(shí)可可運(yùn)運(yùn)用用積積點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)是是有有界界，且且有有有有限限個(gè)個(gè)間間斷斷而而當(dāng)當(dāng)被被積積函函數(shù)數(shù)不不

10、連連續(xù)續(xù)但但例例7 7 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx原式原式. 6 xyo12解:.sin2120 dxx 8例例.1213: key( (帶有絕對(duì)值的函數(shù)一般可化為分段函數(shù)處理帶有絕對(duì)值的函數(shù)一般可化為分段函數(shù)處理.).)當(dāng)被積函數(shù)為分段函數(shù)時(shí)當(dāng)被積函數(shù)為分段函數(shù)時(shí), ,定積分應(yīng)該分段去積定積分應(yīng)該分段去積. .例：例： 求求 .,max222 dxxx由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 解:p160 例例4xdxxcos2sin120 練習(xí)：練習(xí)：1 1 求求的極值。的極值。dttexfxt02)(,)(2xxexf , 0, 0)( xxf得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn)令令。處處取取得得極極小小值值在在故故0)0(0)(fxxf( (求定積分極值的問(wèn)題求定積分極值的問(wèn)題) ), 01)0( f且且2)21()(2xexxf 解:, 1)(2)(0 dttfxxfx)