多面體內(nèi)切外接球問題

1、此類問題是高考的熱點，主要考查多面體、球的結(jié)構(gòu)特征及有關(guān)計算，考查學(xué)生的理解水平和應(yīng)用能力，考查空間想象能力、計算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和分析問題解決問題的能力試題源于教材、高于教材，解決此類問題的關(guān)鍵是找到球心、 計算出球半徑筆 者在多年的教學(xué)中總結(jié)出解決此類問題的求解策略如下教學(xué)中，在引導(dǎo)學(xué)生掌握“球”的體積與表面積的計算公式的同時，要幫助學(xué)生掌握“球”的接切問題如何突破突破點就是兩個知識點其一，球面可以看作空間中到一個定點距離等于定長的點的集合其二，用一個平面去截一個球，截面是一個圓，圓心與球心連線、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形（垂徑關(guān)系）關(guān)鍵點是怎樣幫助學(xué)生學(xué)會畫球的截面圖高考命

2、題專家喜歡考球面題目，是因為球面題最能考出所謂的“空間想象能力”，球的題我們永遠也畫不清楚，除非畫出截面圖，從而將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題，能正確分析 出圖形中的基本元素及其相互關(guān)系，而這也正是立體幾何教學(xué)的能力要求關(guān)于球的題都比較難，解題突破點都是：學(xué)生要有能力看到球面就能畫出截面圖，然后尋找與球心的關(guān)系因此從知識層面上來說，都沒有超過我們所說的兩個知識點 但這兩 個知識點在教科書上又都是沒有的，需要教師引申、拓展因此高三階段在復(fù)習(xí) “球”的內(nèi)容時，需要做一個專題，球與三棱錐、球與四棱錐，球與三棱柱，球與四棱柱（長方體、 正方體），球與圓柱等的內(nèi)接、外切都要研究清楚一.掌握確定球心位置、計算球

3、半徑的常見結(jié)論對于一些規(guī)則的多面體而言，其外接球和內(nèi)切球的球心位置或半徑都有規(guī)律可循1. 長方體的外接球球心為體對角線的交點；半徑為體對角線長的一半2. 正方體的外接球、內(nèi)切球及與各棱相切的球 外接球：球心是正方體中心；半徑r=于a （ a為正方體的棱長）內(nèi)切球：球心是正方體中心；1半徑r= $ a（ a為正方體的棱長）與各條棱都相切的球：球心是正方體中心；V2-半徑r= 2 a （ a為正方體的棱長）3. 正四面體的外接球與內(nèi)切球（正四面體可以看作是正方體的一部分）外接球：球心是正四面體的中心；半徑r= 4 a （ a為正四面體的棱長）.內(nèi)切球：球心是正方體中心；半徑r= 12 a （ a為

4、正四面體的棱長）.4. 正棱柱、圓柱的外接球和內(nèi)切球外接球和內(nèi)切球的球心在上、下底面中心連線的中點處5. 正棱錐的外接球正棱錐的外接球的球心在其頂點和底面中心的連線上，設(shè)正棱錐的底面四邊形外接圓r 2 亠 h 2 半徑為r,高為h，則其外接球半徑 R=不,R2 = r2 +（ h - R）2 .對于一般不規(guī)則的外接球球心不好找，放到長方體中不失為一種很好的方法！二.確定球心位置、計算球半徑的特殊方法對于某些特殊形狀的多面體，有一些巧妙的方法來解1. 若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則可將這個三棱錐補成一個長方體，長方體的 對角線長度、中點即為該外接球的直徑、球心2. 另一種特殊三棱錐也可補成長

5、方體，如三棱錐D- ABC中，DA與平面ABC垂直,AE與EC垂直，可構(gòu)圖求之.3. 正四面體也可補成正方形 （如圖）.正四面體的棱長為a,則正方體的棱長為a,外接球的棱長為-3 a.4. 一般四面體外接球可找相鄰面，過外心與相應(yīng)面垂直的垂線交點即為外接球球心.例1.已知三棱錐 P-ABC的正視圖和俯視圖如圖所示，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）A. 4 nB. 12 nC.1664D. 3 n例2.如圖四面體A-BCD中，AB=AD=CD=1,BD=三,BD丄CD，平面A BD丄平面BCD，若四個頂點在同一球面上，則該球的體積為（）2_3_A. 3 nB. 3 n C. 2 nD. 2 n

6、例3.在菱形ABCD中，A=60° , AB = - 3 ,將？ABD沿BD折起到？PBD的位置若二面2角P-BD-C的大小為 3 n，則三棱錐 P-BCD的外接球體積為 例4. 一個棱長為6.2的正四面體內(nèi)部有一個任意旋轉(zhuǎn)的正方體，當(dāng)正方體 的棱長取得最大值時，正方體的外接球的表面積是（）A. 4二 B. 6二 C. 12二 D. 24二練習(xí)：1 . 2009年新課標(biāo)I 理科第15題（5分）直三棱柱ABC- A1B1C1的各頂點都在同一球面上，若 AB=AC=AA=2,/ BAC=120，則此球的表面積等于 . 答案為：20 n2. 2010年新課標(biāo)I 理科第10題（5分）設(shè)三棱柱

7、的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a,頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）A. 31 a1 B. Xjt a2 C. - 7T a2 D, 5 Ji a:菩秦=選 B_j313. 2011年新課標(biāo)I 理科第15題（5分）（5分）已知矩形ABCD的頂點都在半徑為4的球O的球面上，且 AB=6, BC=2，則棱錐 O- ABCD勺體積為.答案：8J34. 2012年新課標(biāo)I 理科第11題（5分）已知三棱錐s- ABC的所有頂點都在球 O 的表面上， ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2則此三棱錐的體 積為（）5. -b. 站）in區(qū)"晴卜水TU2的遷需無蓋的正方佯孚理車郵舄劃5連 和世在零擇口.冉注也 雪球圍恰埒推暑.*國時利博*:課為6CM知不 討塞程旳再度.鞘球酌怵拱為t ）A.3frfi匹3答案：選A柱被一個何體，該幾何體的表6. 2015年新課標(biāo)I 理科第11題（5分）圓 平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾面積為16+20 n，則r=（）A. 1 B . 2 C . 4 D . 8 答案：選 B7. 2016年新課標(biāo)I 理科第6題（5分）如圖, 視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的28何體的體積是3二，則它的表面積是（）A