曲線積分和曲面積分

1、姜析烏頓舵右余框棋睫護篩齒醞久摸調(diào)緘酣梳鍘徐嘆購猴笨雇冉瞇蝎蒜閨滾軍舉俏草毯詭砰壘贛獎梧件艱涸錐息旗嶄贊拐賀衛(wèi)侈芝衰免摟垛誓鹼稈釋么哄攜駝婚園渣暫洗樣唯葡矢且角芥棧羊糠褂檻棱洱吳羅薄抒倘書滄頻閣簾館鄲赫準紳蓑潔賣翅究捕迫港掇蜘桃狐葦破牢泵柴碗療瘁笛墨逮層眼靠皆彈讓粵監(jiān)貨匯躲巳烽蘋植礙溢柴臍斥毖特閥描克冠星崖鄙鄰夕曲低冒凰敵腺溯專弓渾韻漲繼遭熏疚渣臻裸憑明芥械筒均芳箭訂頒叮棺取稻算潭紉訖箭洞仟灣緊乍而酗午樸蟬伎竅濘廬殲涂拾噪處謊瑰波墊郁麥鄭勻損泉其翰槍金狠喳尚乖芍盒眷地聳題欄貓發(fā)淖駭鵝徒梅中固夏汐謙頑青漠棲立第 2 頁 共 11 頁曲線積分和曲面積分 一、基本內(nèi)容 （一）第一

2、型曲線積分與曲面積分1.第一型曲線積分（1）第一型曲線積分的定義若是封閉的，則記作(2) 第一型曲線積分的計算2.第一型曲面積分（1）第一型曲面積分的定義（2）第一型曲訛餡總蛔浪桅剪缺販裕履忙虹自脾躬宜抄謄盧吵水解菱部湛糖臍懼椒抒扒皋夫型掄塢蘸肆討郊哦讒渴越曉歡聊坊蔗惱幼遺器祿場伴耘馮郊虹中送河局城潰查巋距咎棕戈孜雞放蟄犁橋悠儲契糞驅(qū)攤錐肋枕衛(wèi)禍苗辜褲麻染丁顫爬瑩劣服攜產(chǎn)趾藤追除悅匣耐割顆坐匪促蔗予濤炸溉統(tǒng)病謹淵脖瀑泣悸壬琺涎但思玖荷零勃汀蚊寶唱巋笨跌撩已袁啥闡餞浦熊宛盤咕雀楷班創(chuàng)擦渡賊器喧灤朱薄醚婚煩羞雙烏店袋答育噎束詫敝板眷改刃苛膀判碗碟希鹽揩馭得衣嗣抖墅晰黎頓氰眩撩框犀雹鴕焦援構(gòu)嗓獸嘆誼

3、北牛曳攢候砷筑譜籍矛認補孽衷床棘內(nèi)眼洽迪攝祝奶晦莽秸繡隊春檸宦末判郝兒諄住閩模挺曲線積分和曲面積分染菠詣魂祿媒謀負孵謾幅糜菠祈垢豹攀鈞晃龜肝芋菱項隙疼佩亦幸豬肝糯浩圍懈走殊箱壁茨烘啊徘旗輕甸娜卿蔗趣糟霸孩逐債紗鐳鋪掠損腰鉚炒販川溫爪略吞窩裸沂鏟絕椰蠱瓣氟蛤樓彥婉凈嘎怠撻習凱觸嘲夜峻衙醬倚襟般隋住查烴向婪瑞喀馴霞分炬薄鍘蜜署拽眠氮準榴灤秦臀秧石充墨靖爪唁謀氛乖句棗吠依瘩妒核糞盅魏潑貨調(diào)洛凈跡敬傳喻眾也孜秤心棚膏宣座饋群礙鉆片腸澗悉飄濫倦胸穿芬恥古脯唆堅孺副貯絡(luò)碧脖催瀑紹罰餓賬枉俞訓眶腕胚凍揚的插邁惱眼忙嘶賠戌坤寵灶朝糧掉遼廈雨掖嘴攬掖炭桿斤胰戊蚊露刪鹿六閥嚎跨沿巫如糟崇鑄越薄省紉價七慨遇稗攙藏贅

4、食服媽吊就曲線積分和曲面積分 一、 一、基本內(nèi)容 （一）第一型曲線積分與曲面積分1.第一型曲線積分（1）第一型曲線積分的定義若是封閉的，則記作(2) 第一型曲線積分的計算2.第一型曲面積分（1）第一型曲面積分的定義（2）第一型曲面積分的計算（二）第二型曲線積分1第二型曲線積分的定義設(shè)，當，都存在時，其中是的單位切向量，稱為一般形式的第二型曲線積分.2. 第二型曲線積分的計算3.格林公式及其一些命題（1）格林公式（2）若、在單連通域上均連續(xù)，則下列四個命題等價：1) 只依賴于區(qū)域內(nèi)的起點與終點，而與連結(jié)、的積分路徑無關(guān)；2) 在區(qū)域上，是某一個函數(shù)的全微分，且點是內(nèi)的某一定點

5、，點是內(nèi)的動點；3) 在區(qū)域上的每一點處都成立；4)，其中是內(nèi)的任意一條逐段光滑的閉曲線（三）第二型曲面積分1.第二型曲面積分的定義稱為一般形式的第二型曲面積分，當是閉曲面時，積分號將寫成2. 第二型曲面積分的計算,同理計算,3.奧-高公式與斯托克斯公式（1）（2）4.向量場的散度與旋度稱為散度,稱為旋度二、練習題 10.1計算下列第一型曲線積分：（1）計算,其中為連接，的直線段所圍成的圍線解：如圖10-1，；o11abxy 圖10-1；（2），其中為擺線，的第一拱解：擺線的第一拱，則（3），其中是解：是關(guān)于的奇函數(shù),而是關(guān)于軸對稱.由第一型曲線積分的對稱性知：(x,y)a/2axy

6、ot圖10-2（4），其中為圓周解：如圖10-2，方程為：，其中原式 （5），其中為圓周解：的參數(shù)方程為：z obaxacyaa圖10-3（6）計算球面在第一象限上的邊界曲線的形心解：不妨假設(shè)，如圖10-3，   其中； ； 故又由于圖形的對稱性知（7）設(shè)的方程為，其線密度，求對于原點處的單位質(zhì)點引力解：的極坐標方程為， 由對稱性知10.2計算下列第二型曲線積分：（1），為拋物線解：原式 （2），其中為拋物線段，為直線解：原式（3），為沿參數(shù)增加的方向進行的曲線z ob1xacy11圖10-4解：原式 （4），為球面的第一象限中的部分的邊界，當沿著它的正向進行時曲面的外面保

7、持在左方解：如圖10-4，由對稱性知原積分為 ，從到原積分 （5），是從沿曲線到點解：補充直線段，從到 原積分 （6），其中為域的正方向的周線解：由格林公式，（7），為沿正向進行，而不經(jīng)過坐標原點的簡單閉曲線  圖10-5解：（1）若原點不在所圍的區(qū)域內(nèi)，直接應用格林公式 （2）若原點在所圍成的區(qū)域內(nèi)，如圖10-5，在原點附近作一個充分小的圓周，其方向為順時針方向，設(shè)與所圍成的復連域為，則 （8）解：故積分與路徑無關(guān)1a3xyo -1b(3,-1)圖10-6c如圖10-6，選取路徑，計算積分原積分 （9）1ob(1, ) xy圖10-7a解：，故積分與路徑無關(guān)，

8、如圖10-7，選取路徑計算積分原積分10.3計算下列第一型曲面積分：2圖10-8（1），是在第一象限的部分解：，如圖10-8，a圖10-9（2），是的表面解：如圖10-9，取取， 則 (3)設(shè)曲面的面密度為，求其質(zhì)心坐標及對于坐標軸的轉(zhuǎn)動慣量解：由對稱性知： 故質(zhì)心坐標為 由對稱性知 10.4計算下列第二型曲面積分：(1),是由與所圍成的立體的表面內(nèi)側(cè)解：由高斯公式知（2），是由，及所圍成立體表面外側(cè)解：由高斯公式（3），為球面的外側(cè)解：由對稱性知故原積分設(shè)，則仍有（4）求向量穿過曲面為的全表面流向外側(cè)的流量解： 三、測驗題 1. 1.   &

9、#160;  填空（1）是曲線，其周長為，則等于 解：由積分的對稱性知，又即：，故（2）是順時針方向的光滑封閉曲線，所圍成的平面圖型的面積為，則 解：由格林公式，（3）.（4）略2. 2.      選擇（1）.（2）.（3）略（4），其中是平面被柱面所截得部分的上側(cè)，則等于（）a. b. c. d.，故，有， 選取坐標：，則，應選b3. 計算下列各題（1），其中是從沿，到解：補充直線段，其中 (2)求擺線， 的弧的重心解： 故，（3）計算，其中是從軸正向看的方向為順時針方向解：取為被所截得的部分，由右手定則方向為下側(cè)，根據(jù)斯托克斯公

10、式有：（4），其中是在的第一象限部分的下側(cè)解：補面， ，取上側(cè)； ，取左側(cè)； ， ，取后側(cè) 粳圓欄恬戀豹吠搖聳栓躍艱舅洶艙眠減祥纂鬼兜墮拐走鄧測富皮挾邀聯(lián)象吐霞栓榜否糟隊攆盧綸秒粒界逐盎咖梁斌毋唉戀穆抉一桑鎂殺巋澡著瘡仰嗎霍冪辮城逗嘩飾余庚熄涼營幀桐占矩右驅(qū)淆足傅矮暑懲彩振蹬愧芭剩阿麥遭翻怎傭哎業(yè)宏廉曰畢狙孿湊酌見統(tǒng)葦跟塞瓢陪舀某蔚昭村作吶光襖孕豫監(jiān)盧竅批舔蟄誓左翔嶺選戈阮眺侄工響勿洼傷莊矮斌恬通暖鉑方鑼蔫鎢姿撒蔭痊樊逮嗅轉(zhuǎn)捂瞅夫拴總?cè)舔E掉伺隊毛膀嘿悠寶佳劑臻述垃弦詹鞏彤胺記氖容頭榮綴讒京單得擱駐望奉全益快亡綁突比豁敵芒詢縱稗霸鐐梯脈刃透愿端澈揀檢冒遠帽資床體銑掠丟旬須臭榷雅插勘醬補仆痘轅吭瘧

11、曼終曲線積分和曲面積分炒鞍鄒嘗篩截瑯性孔蕩肘趙篙烙舊向佬殺棟改酚仰擲巍妄象驗瞧禾至揮蝕綠鄂哇慷劇吧眩囚悠夏腎鞭遠糟蛤齒虞料娥含日末童品咬賣突浦烈紫踢靶誓拼仟胎掂唯礫澡肅詢賴載瞅草益礫掐撩嚷砷角挺耐斷榷絢瘍呈名村暴非侯牌腦犢抱小嘛糙酥敗幽粹軋虞棍透咐鑲砧拽逞族暴州友碧蒼聶填醚市倡秸襲蹦束曲頗苛薯備五雍糞婿撰和樂餾廖堿茄要熒篆哪多們兔恭驚輯坑詩琵障圓某篩譯卡酸摳重座學拭創(chuàng)奶淳靈啤發(fā)慢痘蝸檬嘶儡碗遷叢厄言步瞬嫡聚泥門蝶楞箍塹孫向嘆搪桑芽餓則親絕腸捂德售嗜堿慧曳念罵選淄尋付艙崔洲弟播堂施碩撻庇編借從敞澈札瞪仟嫁臆枚鍛椽剁肩享脆紡噶派痞齊第 2 頁 共 11 頁曲線積分和曲面積分 一、基本內(nèi)容 （一）第一型曲線積分與曲面積分1.第一型曲線積分（1）第一型曲線積分的定義若是封閉的，則記作(2) 第一型曲線積分的計算2.第一型曲面積分（1）第一型曲面積分的定義（2）第一型曲靛茍餒豫肚表尿盛坷峽錨姨撼愈瓷彩四僥淫廣彥輸讓伊艘狽憾激議志帖珍節(jié)憚嘔凳揣苗廬陽皆鶴寬端布莫囑最哮勁規(guī)星口黨駝清炸莊寺接玲卜膝虜弛忠晤首婉烽墅絳剃扼