人教A版高中數學必修4練習手冊：2單元綜合測試 含答案

1、起單元綜合測試二時間：120分鐘分值：150分第卷(選擇題，共60分)一、選擇題(每小題5分，共60分)1如圖所示的方格紙中有定點o，p，q，e，f，g，h，則()a. b.c. d.解析：利用平行四邊形法則作出向量，平移即可發(fā)現(xiàn).答案：c2若向量a(2,0)，b(1,1)，則下列結論正確的是()aa·b1 b|a|b|c(ab)b dab解析：a·b2，所以a不正確；|a|2，|b|，則|a|b|，所以b不正確；ab(1，1)，(ab)·b(1，1)·(1,1)0，所以(ab)b，所以c正確；由于2×10×120，所以a，b不平行，

2、所以d不正確故選c.答案：c3設p是abc所在平面內的一點，2，則()a.0 b.0c.0 d.0解析：由2，可得p是邊ac的中點，從而0.答案：b4已知o(0,0)，a(2,0)，b(3,1)，則()·()a4 b2c2 d4解析：由已知得(2,0)，(3,1)，(1,1)，則()·(1,1)·(3,1)314.答案：a5在四邊形abcd中，a2b，4ab，5a3b，其中a，b不共線，則四邊形abcd為()a平行四邊形 b矩形c梯形 d菱形解析：8a2b2，四邊形abcd為梯形答案：c6設x，yr，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，則|

3、ab|()a. b.c2d10解析：由題意可知，解得，故ab(3，1)，|ab|.答案：b7已知|a|1，|b|6，a·(ba)2，則向量a與b的夾角是()a. b.c. d.解析：記a與b的夾角是，則a·(ba)a·ba26cos12，cos.又0，所以.故選c.答案：c8下列說法中，正確的個數為()(1)；(2)若a·b<0，則a與b的夾角是鈍角；(3)向量e1(2，3)，e2(，)能作為平面內所有向量的一組基底；(4)若ab，則a在b上的投影為|a|.a1 b2c3 d4解析：()，(1)正確；當|a|b|1且a與b反向時，a·b1

4、<0，但a與b的夾角為180°，因而(2)不正確；由于e14e2，所以e1e2，所以向量e1，e2不能作為基底，(3)不正確；若ab，則a與b的夾角為0°或180°，所以a在b上的投影為|a|cos±|a|，(4)不正確答案：a9已知a(1,2)，b(2，3)，若向量c滿足(ca)b，c(ab)，則c()a(，) b(，)c(，) d(，)解析：不妨設c(m，n)，則ac(1m,2n)，ab(3，1)，對于(ca)b，則有3(1m)2(2n)，又c(ab)，則有3mn0，聯(lián)立解得m，n.故c(，)答案：d10在abc中，p是邊bc的中點，角a，b，

5、c的對邊分別是a，b，c，若cab0，則abc的形狀為()a等邊三角形b鈍角三角形c直角三角形d等腰三角形但不是等邊三角形解析：如圖，由cab0，知c()ab(ac)(cb)0，而向量與不共線，accb0，故選a.答案：a11若a，b，c均為單位向量，且a·b0，(ac)·(bc)0，則|abc|的最大值為()a.1 b1c. d2解析：由向量a，b，c都是單位向量可得a21，b21，c21，由a·b0及(ac)·(bc)0，可得(ab)·cc21，因為|abc|2a2b2c22a·b2a·c2b·c，所以有|ab

6、c|232(a·cb·c)1，故|abc|1.所以|abc|的最大值為1.答案：b12定義平面向量之間的一種運算“”如下：對任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp.下列說法錯誤的是()a若a與b共線，則ab0babbac對任意的r，有(a)b(ab)d(ab)2(a·b)2|a|2|b|2解析：根據題意可知若a，b共線，可得mqnp，所以abmqnp0，所以a正確；因為abmqnp，而banpmq，故二者不相等，所以b錯誤；對于任意的r，(a)b(ab)mqnp，所以c正確；(ab)2(a·b)2m2q2n2p22mnpqm2p2n2q22mn

7、pq(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，所以d正確故選b.答案：b第卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13一纖夫用牽繩拉船沿直線方向前進60 m，若牽繩與船前進方向的夾角為，人的拉力為50 n，則纖夫對船所做的功為_j.解析：功w60×50×cos1 500(j)答案：1 50014設向量a，b滿足|a|2，b(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為_解析：設a(x，y)，x<0，y<0，則x2y0且x2y220，解得x4，y2(舍去)，或者x4，y2，則a(4，2)答案：(4，2)15(20

8、13·山東卷)已知向量與的夾角為120°，且|3，|2.若，且，則實數的值為_解析：，由于，所以·0，即()·()(1)·94(1)×3×2×()0，解得.答案：16(2012·江蘇卷)如圖(1)，在矩形abcd中，ab，bc2，點e為bc的中點，點f在邊cd上，若·，則·的值是_ 解析：以a為坐標原點，ab，ad所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，如圖(2)，則b(，0)，e(，1)設f(x,2)(0x)，由·可得x，則x1，所以f(1,2)，·(，1)&

9、#183;(1，2).答案：三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(10分)在邊長為1的等邊三角形abc中，設2，3.(1)用向量，作為基底表示向量；(2)求·.解：(1).(2)··()·()·|·|cos150°|·|cos30°×1×()××1×.18(12分)已知a，b，c是同一平面內的三個向量，其中a(1,2)(1)若|b|2，且ab，求b的坐標(2)若|c|，且2ac與4a3c垂直，求a與c的夾角解：

10、(1)設b(x，y)，由|b|2，ab得得或所以b(2,4)或b(2，4)(2)由已知(2ac)(4a3c)，(2ac)·(4a3c)8a23c22a·c0，又|a|，|c|，解得a·c5，所以cosa，c，a，c0，所以a與c的夾角為.19(12分)如圖，平行四邊形abcd中，a，b，h，m是ad，dc的中點，f使bfbc.(1)以a，b為基底表示向量與；(2)若|a|3，|b|4，a與b的夾角為120°，求·.解：(1)連接af，由已知得ab.ab，b(ab)ab.(2)由已知得a·b|a|b|cos120°3×

11、;4×()6，從而·(ab)·(ab)|a|2a·b|b|2×32×(6)×42.20(12分)設a，b是兩個不共線的非零向量(1)若a與b起點相同，t為何值時，a、tb、(ab)三個向量的終點在一條直線上？(2)若|a|b|，且a與b的夾角為60°，那么t為何值時，|atb|的值最?。拷猓?1)設atbma(ab)，mr，化簡得(m1)a(t)b.因為a與b不共線，故，即t時，a、tb、(ab)三個向量的終點在一條直線上(2)|atb|2(atb)2|a|2t2|b|22t|a|b|·cos60

12、6;(1t2t)|a|2，故當t時，|atb|有最小值|a|.21(12分)已知e1，e2是平面內兩個不共線的非零向量，2e1e2，e1e2，2e1e2，且a，e，c三點共線(1)求實數的值；(2)若e1(2,1)，e2(2，2)，求的坐標；(3)已知點d(3,5)，在(2)的條件下，若a，b，c，d四點按逆時針順序構成平行四邊形，求點a的坐標解：(1)(2e1e2)(e1e2)e1(1)e2.a，e，c三點共線，存在實數k，使得k，即e1(1)e2k(2e1e2)，得(12k)e1(k1)e2.e1，e2是平面內兩個不共線的非零向量，解得k，.(2)3e1e2(6，3)(1,1)(7，2)(3)a，b，c，d四點按逆時針順序構成平行四邊形，.設a(x，y)，則(3x,5y)，(7，2)，解得，即點a的坐標為(10,7)22(12分)已知在等邊abc中，點p為線段ab上一點，且(0