實分析 題課4

1、2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英 department of mathematics2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英習題課42021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英一,部分習題講解2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英lim0.nnme習題2.設f(x)于e上可積,令則(|),neefn2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英| ( )|.| ( )|,1.lim0.nneneennnf x dmssf x dmndmnmeme

2、smen但故有證明:因為f(x)在e上可積,所以2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英習題3. 設定義在0,1上的函數(shù)f(x),它在cantor集p上定義為0，在cantor集余集中長度為1/3n的構成區(qū)間上定義為n(n=1,2,3，) ，求f(x)在0,1上的lebesgue積分值解：令gn為cantor集p的余集中長度為1/3n的構成區(qū)間的并，由條件知f(x)是0,1上的非負可測函數(shù)，根據(jù)積分的可數(shù)可加性知 2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英ngnpdxxfdxxf)()(10)(1 ,010)()(nngpdxxfdxxf11310 0( )23nnnn202

3、1-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英，所以時，有證明：當 1 , 01 1 , 0111)()()( 1 , 0kdxxdxxmekxxiiienieniinieni習題5：若e1, e2, en是0,1中的可測集，0,1中每一點至少屬于上述n個集合中的k個(kn),則在e1, e2, en中必有一個點集的測度大于或等于k/n2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英010kinnkinikinimemenkime若對每個 ，則，從而得到矛盾，所以存在 ，使。2021-11-15

4、福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2(0,1111ln,(1).1()pnxdmpxxpn 習題9.證明下列等式證明:在(0,1)上,有表示式01lnln,1ppnnxxxxx 2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英(0,1(0,1)111020211lnln1()ln1(1)1,(1).(

5、)ppnnpnnnnxdmxxdmxxrxxdxpnppn 則顯然有2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2(,)lim(1)nxn nnxedmn 2(,)()()(1)nxnn nxfxxen令則fn(x)為-n,n上連續(xù)函數(shù),從而在-n.n上可測函數(shù),習題12.證明極限存在，并求極限證明22(, )lim( )lim( )(1),;nxx xnn nnnxfxxeexrn又fn(

6、x)在r-n,n上可測,于是fn(x)在r上可測,且2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英 f(x)=h(t)在r上(r)可積,從而(l)可積,于是由lebesgue控制收斂定理知：2222(,)11()2414|() | |()(1)|()1( ), ().2nxnn nxxxtxfxxeneefxhte etx2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英22(,)1144lim(1)lim()lim()()()()()( ).nxn nnnrnnrrntxedmnfx dmfx dmfx dmrfx dxrht dte edte 2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學

7、院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英習題習題14 設設f(x)是是a,b上上lebesgue可積函數(shù)，可積函數(shù)，如果對任意實數(shù)如果對任意實數(shù)c(0 c 1)總有總有那么那么f(x)=0 a.e.于于0,1,0)(,0cdxxf2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英0)(,1 , 0,0cdxxfc證明：由于( , )(0, )(0, 0,1,( )( )( )0a bbaababf x dxf x dxf x dx故，有，上大于在，不妨令值不為上的且在，若結論不成立，則存在0)(0)(, 0 1 , 0exfx

8、femee2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英，所以0)(fdxxf從而有f(x)在f上幾乎處處為00( )0mfff x這與且在 上矛盾，所以f(x)=0 a.e.于ffbanfgdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfnn)()()()()()(0),(1)10( ，則有10,(0,1)(,)nnnfemfgfa b 作閉集使并令，； 2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英1 / 215220lim ()sin1nnxrnxdxn x 1/ 2522( )sin1nnxfxnxn x令則fn(x)為連續(xù)函數(shù),從而為可測函數(shù),且有例15 求極限1/2522l

9、im( )limsin01nnnnxfxnxn x證明2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英1/21/21/2221|( ) | | |0,112|2nnxnxfxxln xn x1 / 2152201 / 2522 0 ,1 1 / 2522 0 ,1 0 ,1 l i m ()s i n1l i m ()s i n1()l i ms i n1()00nnnn xrn x d xnxn xln x d xnxn xln x d xnxld x從而lebesgue控制收斂定理知：2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英20

10、21-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英efdxxfnenn于，則若00)(lim0)()()(nfenfenenfmedxxfdxxfdxxfnn有證明：, 0用到了積分的可加性二,補充例題講解例 1 設fn(x)為e上非負可測函數(shù)列2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英lim(

11、)0lim0nennnfxd xm ef 又，所 以0nfe從 而于2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英10 ,)()()1 (11122232xxxxxxxnn試從nn 1) 1(41312112ln證明2221( ),(0,1),1,2,3,nnnfxxxxn解：令從而結論成立例22021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英( 0 ,1)( 0 ,1)11( 0 ,1)0111()()()1()()()()nnnnnnldxlfx dxxlfx dxrfx dxdxxxrnnn)()(11012221)21121(nnn)(xfn則 為非負連續(xù)函數(shù)，當然為可測函數(shù),從而

12、由lebesgue逐項積分定理知：2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英1(0,1)011( )()ln 211ldxrdxxx另外nn1)1(4131211從而結論成立.1111( 1)ln 21234nn2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英1022sin1)(limnxdxxnnxrnnxxnnxxfnsin1)(22證明：令則fn(x)為連續(xù)函數(shù),從而為可測函數(shù),且有例3 試求22lim( )limsin01nnnnxfxnxn x2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英221|( ) | | |( )12|2nnxnxfxf xn xn x12202

13、2 0 ,1 22 0 ,1 0 ,1 l i m ()s i n1l i m ()s i n1()l i ms i n1()00nnnn xrn x d xnxn xln x d xnxn xln x d xnxld x從而lebesgue控制收斂定理知：2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英levilevi定理的另一證明定理的另一證明dxxfdxxfdxxfnneenen)(lim)()(lim1( )( ),1,2,3,nneefx dxfx dx n又證明：由條件知fn(x)為e上非負可測函數(shù)遞增列，所以 一定義。lim(

14、)ne nfx dx enndxxf)(lim故有定義，且從函數(shù)列的漸升性知道2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英只要證明反之不等式，但一般而言fn(x)不會跑到f(x)上方,所以我們有必要先把f(x)下移一點。 f(x)cf(x) fn(x)說明：不等式小于等于顯然成立，因為fn(x)總在f(x)的下方,2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英eendxxdxxn)()(lim引理1：設en是遞增集列， 是rn上的非負可測簡單函數(shù)，則)(,1xeenn下證大于等于號，運用下面2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英)()(|xcxfexenn記( )sup(

15、 ): ( )0( )( )eef x dxx dxxexf x為 上的簡單函數(shù)，)()(xfx )(x證明：令c滿足0c1， 是rn上的非負可測簡單函數(shù)，且eeennnn1lim且則en是遞增集列，eendxxcdxxcn)()(lim由引理1知 c(x) f(x) fn(x)(x)2021-11-15福州大學數(shù)學與計算機學院聶建英eenndxxcdxxf)()(lim得到dxxdxxfceenn)()(lim, 1則有令dxxfdxxfeenn)()(lim所以dxxfdxxfenen)()(lim再由的積分定義知,)()()()()()(nnnneeeneenendxxcdxxcdxxfdxxxfdxxf于是 f(