天津市高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題能力訓(xùn)練6函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用文1214317

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5專題能力訓(xùn)練6函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用一、能力突破訓(xùn)練1.函數(shù)f(x)=x2+2x-3,x0,-2+lnx,x>0的零點(diǎn)個數(shù)為()a.0b.1c.2d.3答案：c解析：當(dāng)x0時,令x2+2x-3=0,解得x=-3;當(dāng)x>0時,令-2+ln x=0,解得x=e2.所以已知函數(shù)有2個零點(diǎn).故選c.2.設(shè)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x1,函數(shù)g(x)=4x+2x-2的零點(diǎn)為x2,若|x1-x2|>14,則f(x)可以是()a.f(x)=2x-12b.f(x)=-x2+x-14c.f(x)=1-10xd.f(x)=ln(8x-2)答案：c解析：依題意得g14=

2、2+12-2<0,g12=1>0,則x214,12.若f(x)=1-10x,則有x1=0,此時|x1-x2|>14,因此選c.3.某輛汽車每次加油都把油箱加滿,下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.加油時間加油量/升加油時的累計里程/千米5月1日1235 0005月15日4835 600注:“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程.在這段時間內(nèi),該車每100千米平均耗油量為()a.6升b.8升c.10升d.12升答案：b解析：因為第一次油箱加滿,所以第二次的加油量即為該段時間內(nèi)的耗油量,故耗油量v=48升.而這段時間內(nèi)行駛的里程數(shù)s=35 600-35 000=600(千米)

3、.所以在這段時間內(nèi),該車每100千米平均耗油量為48600×100=8(升).故選b.4.已知函數(shù)f(x)=kx+2,x0,lnx,x>0(kr).若函數(shù)y=|f(x)|+k有三個零點(diǎn),則實數(shù)k的取值范圍是()a.2,+)b.(-1,0)c.-2,1)d.(-,-2答案：d解析：由y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=-k0,所以k0,作出函數(shù)y=|f(x)|的圖象,要使y=-k與函數(shù)y=|f(x)|有三個交點(diǎn),則有-k2,即k-2.故選d.5.已知e是自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點(diǎn)為a,函數(shù)g(x)=ln x+x-2的零點(diǎn)為b,則f(a),f(1),f(b

4、)的大小關(guān)系為. 答案：f(a)<f(1)<f(b)解析：由題意,知f'(x)=ex+1>0恒成立,則函數(shù)f(x)在r上是增函數(shù).因為f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)a(0,1).由題意,知g'(x)=1x+1>0,則函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+)上是增函數(shù).又g(1)=ln 1+1-2=-1<0,g(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)b(1,2).綜上,可得0<a<1<b<2.因為f(x)在r上是增函數(shù),所以f(a

5、)<f(1)<f(b).6.已知函數(shù)f(x)=x3,xa,x2,x>a.若存在實數(shù)b,使函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個零點(diǎn),則a的取值范圍是. 答案：(-,0)(1,+)解析：要使函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個零點(diǎn),應(yīng)使f(x)圖象與直線y=b有兩個不同的交點(diǎn).當(dāng)0a1時,由f(x)的圖象(圖略)知f(x)在定義域r上單調(diào)遞增,它與直線y=b不可能有兩個交點(diǎn).當(dāng)a<0時,由f(x)的圖象(如圖)知,f(x)在區(qū)間(-,a上單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,且a3<0,a2>0,所以,當(dāng)0<b<a2時,f

6、(x)圖象與y=b有兩個不同交點(diǎn).圖圖當(dāng)a>1時,由f(x)的圖象(如圖)知,f(x)在區(qū)間(-,a上單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,+)內(nèi)單調(diào)遞增,但a3>a2,所以當(dāng)a2<ba3時,f(x)圖象與y=b有兩個不同的交點(diǎn).綜上,實數(shù)a的取值范圍是a<0或a>1.7.某商場對顧客實行購物優(yōu)惠活動,規(guī)定購物付款總額要求如下:若一次性購物不超過200元,則不給予優(yōu)惠;若一次性購物超過200元但不超過500元,則按標(biāo)價給予9折優(yōu)惠;若一次性購物超過500元,則500元按第條給予優(yōu)惠,剩余部分給予7折優(yōu)惠.甲單獨(dú)購買a商品實際付款100元,乙單獨(dú)購買b商品實際付款450元,若丙一次

7、性購買a,b兩件商品,則應(yīng)付款元. 答案：520解析：設(shè)商品價格為x元,實際付款為y元,則y=x,0<x200,0.9x,200<x500,500×0.9+0.7(x-500),x>500,整理,得y=x,0<x200,0.9x,200<x500,100+0.7x,x>500.0.9×200=180>100,a商品的價格為100元.0.9×500=450,b商品的價格為500元.當(dāng)x=100+500=600時,y=100+0.7×600=520,即若丙一次性購買a,b兩件商品,則應(yīng)付款520元.8.設(shè)x

8、3+ax+b=0,其中a,b均為實數(shù).下列條件中,使得該三次方程僅有一個實根的是.(寫出所有正確條件的編號) a=-3,b=-3;a=-3,b=2;a=-3,b>2;a=0,b=2;a=1,b=2.答案：解析：方程僅有一個實根,則函數(shù)f(x)=x3+ax+b的圖象與x軸只有一個公共點(diǎn).當(dāng)a=-3時,f(x)=x3-3x+b,f'(x)=3x2-3,由f'(x)=0,得x=±1,易知f(x)在x=-1處取極大值,在x=1處取極小值.當(dāng)b=-3時,f(-1)=-1<0,f(1)=-5<0,滿足題意,故正確;當(dāng)b=2時,f(-1)=4>0,

9、f(1)=0,圖象與x軸有2個公共點(diǎn),不滿足題意,故不正確;當(dāng)b>2時,f(-1)=2+b>4,f(1)=-2+b>0,滿足題意,故正確;當(dāng)a=0和a=1時,f'(x)=3x2+a0,f(x)在r上為增函數(shù),所以函數(shù)f(x)=x3+ax+b的圖象與x軸只有一個交點(diǎn),故也滿足題意.9.已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=12|x|+2.(1)求函數(shù)g(x)的值域;(2)求滿足方程f(x)-g(x)=0的x的值.解(1)g(x)=12|x|+2=12|x|+2,因為|x|0,所以0<12|x|1,即2<g(x)3,故g(x)的值域是(2,3.(2)由f(x)-g

10、(x)=0,得2x-12|x|-2=0.當(dāng)x0時,顯然不滿足方程,當(dāng)x>0時,由2x-12x-2=0整理,得(2x)2-2×2x-1=0,(2x-1)2=2,解得2x=1±2.因為2x>0,所以2x=1+2,即x=log2(1+2).10.如圖,一個長方體形狀的物體e在雨中沿面p(面積為s)的垂直方向做勻速移動,速度為v(v>0),雨速沿e移動方向的分速度為c(cr).e移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分:p或p的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量,假設(shè)其值與|v-c|×s成正比,比例系數(shù)為110;其他面的淋雨量之和,其值為12.記y為e移動過程中

11、的總淋雨量.當(dāng)移動距離d=100,面積s=32時,(1)寫出y的表達(dá)式;(2)設(shè)0<v10,0<c5,試根據(jù)c的不同取值范圍,確定移動速度v,使總淋雨量y最少.解(1)由題意知,e移動時單位時間內(nèi)的淋雨量為320|v-c|+12,故y=100v320|v-c|+12=5v(3|v-c|+10)(v>0).(2)由(1)知,當(dāng)0<vc時,y=5v(3c-3v+10)=5(3c+10)v-15;當(dāng)c<v10時,y=5v(3v-3c+10)=5(10-3c)v+15.故y=5(3c+10)v-15,0<vc,5(10-3c)v+15,c<v10.當(dāng)0<

12、c103時,y是關(guān)于v的減函數(shù).故當(dāng)v=10時,ymin=20-3c2.當(dāng)103<c5時,在區(qū)間(0,c內(nèi),y是關(guān)于v的減函數(shù);在區(qū)間(c,5內(nèi),y是關(guān)于v的增函數(shù).故當(dāng)v=c時,ymin=50c.二、思維提升訓(xùn)練11.已知函數(shù)f(x)=ax-1x-2ln x(ar),g(x)=-ax.若至少存在一個x01,e,使得f(x0)>g(x0)成立,則實數(shù)a的范圍為()a.1,+)b.(1,+)c.0,+)d.(0,+)答案：d解析：若至少存在一個x01,e,使得f(x0)>g(x0)成立,則f(x)-g(x)>0在x1,e時有解,由f(x)-g(x)>0ax-1x-2

13、ln x+ax=ax-2ln x>0有解,x1,e,則a>2lnxx.設(shè)f(x)=2lnxx,則f'(x)=2(1-lnx)x2,當(dāng)x1,e時,f'(x)=2(1-lnx)x20,所以f(x)在區(qū)間1,e上單調(diào)遞增,即f(x)min=f(1)=0,因此a>0即可,故選d.12.設(shè)函數(shù)f(x)=2x-a,x<1,4(x-a)(x-2a),x1.(1)若a=1,則f(x)的最小值為; (2)若f(x)恰有2個零點(diǎn),則實數(shù)a的取值范圍是. 答案：(1)-1(2)12,12,+)解析：(1)當(dāng)a=1時,f(x)=2x-1,x<1,4(x

14、-1)(x-2),x1,當(dāng)x<1時,2x-1(-1,1);當(dāng)x1時,4(x-1)(x-2)-1,+).故f(x)的最小值為-1.(2)若函數(shù)f(x)=2x-a的圖象在x<1時與x軸有一個交點(diǎn),則a>0,并且當(dāng)x=1時,f(1)=2-a>0,所以0<a<2.同時函數(shù)f(x)=4(x-a)(x-2a)的圖象在x1時與x軸有一個交點(diǎn),所以a<1,2a1.故12a<1.若函數(shù)f(x)=2x-a的圖象在x<1時與x軸沒有交點(diǎn),則函數(shù)f(x)=4(x-a)(x-2a)的圖象在x1時與x軸有兩個不同的交點(diǎn),當(dāng)a0時,函數(shù)f(x)=2x-a的圖象與x軸無交

15、點(diǎn),函數(shù)f(x)=4(x-a)(x-2a)的圖象在x1上與x軸也無交點(diǎn),不滿足題意.當(dāng)21-a0,即a2時,函數(shù)f(x)=4(x-a)·(x-2a)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)x1=a,x2=2a都滿足題意.綜上,a的取值范圍為12,12,+).13.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程;(2)設(shè)a=b=4,若函數(shù)f(x)有三個不同零點(diǎn),求c的取值范圍;(3)求證:a2-3b>0是f(x)有三個不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.解(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f'(x)=3x2+2ax+b.因為f(0)=c,f

16、'(0)=b,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程為y=bx+c.(2)當(dāng)a=b=4時,f(x)=x3+4x2+4x+c,所以f'(x)=3x2+8x+4.令f'(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-23.f(x)與f'(x)在區(qū)間(-,+)上的變化情況如下:x(-,-2)-2-2,-23-23-23,+f'(x)+0-0+f(x)cc-3227所以,當(dāng)c>0且c-3227<0時,存在x1(-4,-2),x2-2,-23,x3-23,0,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.由f(x)的單調(diào)性知,當(dāng)且僅當(dāng)

17、c0,3227時,函數(shù)f(x)=x3+4x2+4x+c有三個不同零點(diǎn).(3)證明:當(dāng)=4a2-12b<0時,f'(x)=3x2+2ax+b>0,x(-,+),此時函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,+)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)不可能有三個不同零點(diǎn).當(dāng)=4a2-12b=0時,f'(x)=3x2+2ax+b只有一個零點(diǎn),記作x0.當(dāng)x(-,x0)時,f'(x)>0,f(x)在區(qū)間(-,x0)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)x(x0,+)時,f'(x)>0,f(x)在區(qū)間(x0,+)內(nèi)單調(diào)遞增.所以f(x)不可能有三個不同零點(diǎn).綜上所述,若函數(shù)f(x)有三個不同零點(diǎn),則必有

18、=4a2-12b>0.故a2-3b>0是f(x)有三個不同零點(diǎn)的必要條件.當(dāng)a=b=4,c=0時,a2-3b>0,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有兩個不同零點(diǎn),所以a2-3b>0不是f(x)有三個不同零點(diǎn)的充分條件.因此a2-3b>0是f(x)有三個不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.14.甲方是一農(nóng)場,乙方是一工廠,由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源,因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入,在乙方不賠付的情況下,乙方的年利潤x(單位:元)與年產(chǎn)量q(單位:t)滿足函數(shù)關(guān)系:x=2 000q.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元(以下稱s為賠付價格).(1)將乙方的年利潤w(單位:元)表示為年產(chǎn)量q(單位:噸)的函數(shù),并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量;(2)在乙方年產(chǎn)量為q(單位:噸)時,甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額y=0.002q2(單位:元),在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下,甲方要在索賠中獲得最大凈收入,應(yīng)向乙方要求的賠付價格s是多少?解(1)因為賠付價格為s元/噸,所以乙方的實際年利潤為w=2 000q-sq(q0).因為w=2 000q-sq=-sq-1 000s2+1 0002s