浙江高考數(shù)學(xué)理科二輪講練【專題3】第1講等差數(shù)列和等比數(shù)列含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第1講等差數(shù)列和等比數(shù)列考情解讀(1)等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn)(2)數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點，考查分析問題、解決問題的綜合能力1an與sn的關(guān)系sna1a2an，an2等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義anan1常數(shù)(n2)常數(shù)(n2)通項公式ana1(n1)dana1qn1(q0)判定方法(1)定義法(2)中項公式法：2an1anan2(n1)an為等差數(shù)列(3)通項公式法：anpnq(p、q為常數(shù))an為等差數(shù)列(4)前n項和公式法：snan2bn(a、b為常數(shù))an為等差數(shù)列(5)a

2、n為等比數(shù)列，an>0logaan為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項公式法：aan·an2(n1)(an0)an為等比數(shù)列(3)通項公式法：anc·qn(c、q均是不為0的常數(shù)，nn*)an為等比數(shù)列(4)an為等差數(shù)列aan為等比數(shù)列(a>0且a1)性質(zhì)(1)若m、n、p、qn*，且mnpq，則amanapaq(2)anam(nm)d(3)sm，s2msm，s3ms2m，仍成等差數(shù)列(1)若m、n、p、qn*，且mnpq，則am·anap·aq(2)anamqnm(3)等比數(shù)列依次每n項和(sn0)仍成等比數(shù)列前n項和snna1d(1)q1，

3、sn(2)q1，snna1熱點一等差數(shù)列例1(1)等差數(shù)列an的前n項和為sn，若a2a4a612，則s7的值是()a21 b24c28 d7(23)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為sn，若1<a3<1,0<a6<3，則s9的取值范圍是_思維啟迪(1)利用a1a72a4建立s7和已知條件的聯(lián)系；(2)將a3，a6的范圍整體代入或者利用線性規(guī)劃答案(1)c(2)(3,21)解析(1)由題意可知，a2a62a4，則3a412，a44，所以s77a428.(2)s99a136d3(a12d)6(a15d)又1<a3<1,0<a6<3，3<3(a12d)

4、<3,0<6(a15d)<18，故3<s9<21.思維升華(1)等差數(shù)列問題的基本思想是求解a1和d，可利用方程思想；(2)等差數(shù)列的性質(zhì)若m，n，p，qn*，且mnpq，則amanapaq；sm，s2msm，s3ms2m，仍成等差數(shù)列；aman(mn)dd(m，nn*)；(a2n1，b2n1分別為an，bn的前2n1項的和)(3)等差數(shù)列前n項和的問題可以利用函數(shù)的性質(zhì)或者轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的項，利用性質(zhì)解決(1)已知等差數(shù)列an中，a7a916，s11，則a12的值是()a15 b30c31 d64(2)在等差數(shù)列an中，a5<0，a6>0且a6>

5、;|a5|，sn是數(shù)列的前n項的和，則下列說法正確的是()as1，s2，s3均小于0，s4，s5，s6均大于0bs1，s2，s5均小于0，s6，s7，均大于0cs1，s2，s9均小于0，s10，s11均大于0ds1，s2，s11均小于0，s12，s13均大于0答案(1)a(2)c解析(1)因為a8是a7，a9的等差中項，所以2a8a7a916a88，再由等差數(shù)列前n項和的計算公式可得s1111a6，又因為s11，所以a6，則d，所以a12a84d15，故選a.(2)由題意可知a6a5>0，故s10>0，而s99a5<0，故選c.熱點二等比數(shù)列例2(1)(20xx·安

6、徽)數(shù)列an是等差數(shù)列，若a11，a33，a55構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q_.(2)已知等比數(shù)列an的前n項和為sn，且a1a3，a2a4，則等于()a4n1 b4n1c2n1 d2n1思維啟迪(1)列方程求出d，代入q即可；(2)求出a1，q，代入化簡答案(1)1(2)d解析(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a3a12d，a5a14d，(a12d3)2(a11)(a14d5)，解得d1，q1.(2)由可得2，q，代入得a12，an2×()n1，sn4(1)，2n1，故選d.思維升華(1)an為等比數(shù)列，其性質(zhì)如下：若m、n、r、sn*，且mnrs，則am·anar·

7、;as；anamqnm；sn，s2nsn，s3ns2n成等比數(shù)列(q1)(2)等比數(shù)列前n項和公式sn能“知三求二”；注意討論公比q是否為1；a10.(1)已知各項不為0的等差數(shù)列an滿足a42a3a80，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7a7，則b2b8b11等于()a1 b2c4 d8(2)在等比數(shù)列an中，a1an34，a2·an164，且前n項和sn62，則項數(shù)n等于()a4 b5c6 d7答案(1)d(2)b解析(1)a42a3a80，2aa43a8，即2a4a7，a72，b72，又b2b8b11b1qb1q7b1q10bq18(b7)38，故選d.(2)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，

8、由a2an1a1an64，又a1an34，解得a12，an32或a132，an2.當(dāng)a12，an32時，sn62，解得q2.又ana1qn1，所以2×2n12n32，解得n5.同理，當(dāng)a132，an2時，由sn62，解得q.由ana1qn132×()n12，得()n1()4，即n14，n5.綜上，項數(shù)n等于5，故選b.熱點三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例3已知等差數(shù)列an的公差為1，且a2a7a126.(1)求數(shù)列an的通項公式an與前n項和sn；(2)將數(shù)列an的前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列bn的前3項，記bn的前n項和為tn，若存在mn*，使對任

9、意nn*，總有sn<tm恒成立，求實數(shù)的取值范圍思維啟迪(1)利用方程思想求出a1，代入公式求出an和sn；(2)將恒成立問題通過分離法轉(zhuǎn)化為最值解(1)由a2a7a126得a72，a14，an5n，從而sn.(2)由題意知b14，b22，b31，設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則q，tm81()m，()m隨m增加而遞減，tm為遞增數(shù)列，得4tm<8.又sn(n29n)(n)2，故(sn)maxs4s510，若存在mn*，使對任意nn*總有sn<tm，則10<4，得>6.即實數(shù)的取值范圍為(6，)思維升華等差(比)數(shù)列的綜合問題的常見類型及解法(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交

10、匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時靈活地運用性質(zhì)，可使運算簡便(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等的交匯問題，求解時用等差(比)數(shù)列的相關(guān)知識，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)、方程、不等式等問題求解即可已知數(shù)列an前n項和為sn，首項為a1，且，an，sn成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)數(shù)列bn滿足bn(log2a2n1)×(log2a2n3)，求證：<.(1)解，an，sn成等差數(shù)列，2ansn，當(dāng)n1時，2a1s1，a1，當(dāng)n2時，sn2an，sn12an1，兩式相減得ansnsn12an2an1，2，數(shù)列an是首項為，公比為2的等比數(shù)列，an×

11、2n12n2.(2)證明bn(log2a2n1)×(log2a2n3)log222n12×log222n32(2n1)(2n1)，×()，(1)()()(1)<(nn*)即<.1在等差(比)數(shù)列中，a1，d(q)，n，an，sn五個量中知道其中任意三個，就可以求出其他兩個解這類問題時，一般是轉(zhuǎn)化為首項a1和公差d(公比q)這兩個基本量的有關(guān)運算2等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形3等差、等比數(shù)列的單調(diào)性(1)等差數(shù)列的單調(diào)

12、性d>0an為遞增數(shù)列，sn有最小值d<0an為遞減數(shù)列，sn有最大值d0an為常數(shù)列(2)等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)或時，an為遞增數(shù)列，當(dāng)或時，an為遞減數(shù)列4常用結(jié)論(1)若an，bn均是等差數(shù)列，sn是an的前n項和，則mankbn，仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)(2)若an，bn均是等比數(shù)列，則can(c0)，|an|，an·bn，manbn(m為常數(shù))，a，仍為等比數(shù)列(3)公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即a2a1，a3a2，a4a3，成等比數(shù)列，且公比為q.(4)等比數(shù)列(q1)中連續(xù)k項的和成等比數(shù)列，即sk，s2ksk，s3k

13、s2k，成等比數(shù)列，其公差為qk.等差數(shù)列中連續(xù)k項的和成等差數(shù)列，即sk，s2ksk，s3ks2k，成等差數(shù)列，公差為k2d.5易錯提醒(1)應(yīng)用關(guān)系式an時，一定要注意分n1，n2兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起(2)三個數(shù)a，b，c成等差數(shù)列的充要條件是b，但三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2ac.真題感悟1(20xx·大綱全國)等比數(shù)列an中，a42，a55，則數(shù)列l(wèi)g an的前8項和等于()a6 b5 c4 d3答案c解析數(shù)列l(wèi)g an的前8項和s8lg a1lg a2lg a8lg(a1·a2··a8)lg(a1&

14、#183;a8)4lg(a4·a5)4lg(2×5)44.2(20xx·北京)若等差數(shù)列an滿足a7a8a9>0，a7a10<0，則當(dāng)n_時，an的前n項和最大答案8解析a7a8a93a8>0，a8>0.a7a10a8a9<0，a9<a8<0.數(shù)列的前8項和最大，即n8.押題精練1已知等比數(shù)列an的前n項和為sn，則下列一定成立的是()a若a3>0，則a2 013<0b若a4>0，則a2 014<0c若a3>0，則a2 013>0d若a4>0，則a2 014>0答案c解析因為

15、a3a1q2，a2 013a1q2 012，而q2與q2 012均為正數(shù)，若a3>0，則a1>0，所以a2 013>0，故選c.2已知數(shù)列an是首項為a，公差為1的等差數(shù)列，bn.若對任意的nn*，都有bnb8成立，則實數(shù)a的取值范圍為_答案(8，7)解析ana(n1)×1na1，所以bn，因為對任意的nn*，都有bnb8成立，即(nn*)恒成立，即0(nn*)，則有解得8<a<7.3設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為sn，滿足a4sn4n1，nn*，且a2，a5，a14恰好是等比數(shù)列bn的前三項(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)記數(shù)列bn的前n

16、項和為tn，若對任意的nn*，(tn)k3n6恒成立，求實數(shù)k的取值范圍解(1)當(dāng)n2時，由題設(shè)知4sn1a4(n1)1，4an4sn4sn1aa4，aa4an4(an2)2，an>0，an1an2.當(dāng)n2時，an是公差d2的等差數(shù)列a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列，aa2·a14，(a26)2a2·(a224)，解得a23，由條件可知，4a1a54，a11，a2a1312，an是首項a11，公差d2的等差數(shù)列等差數(shù)列an的通項公式為an2n1.等比數(shù)列bn的公比q3，等比數(shù)列bn的通項公式為bn3n.(2)tn，()k3n6對任意的nn*恒成立，k對任意的nn*恒成立

17、，令cn，cncn1，當(dāng)n3時，cn>cn1；當(dāng)n4時，cn<cn1.(cn)maxc3，k.(推薦時間：60分鐘)一、選擇題1等比數(shù)列an中a13，a424，則a3a4a5等于()a33 b72c84 d189答案c解析由題意可得q38，所以q2.所以a3a4a5a1q2(1qq2)84.2設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為sn，若2a66a7，則s9的值是()a27 b36c45 d54答案d解析由2a66a7得a56，所以s99a554.故選d.3設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為sn，若sm15，sm11，sm121，則m等于()a3 b4c5 d6答案c解析由已知得，smsm1am16，

18、sm1smam132，故公比q2，又sm11，故a11，又ama1·qm116，代入可求得m5.4數(shù)列an的首項為3，bn為等差數(shù)列且bnan1an(nn*)，若b32，b1012，則a8等于()a0 b3c8 d11答案b解析bn為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，由b32，b1012，7db10b312(2)14，d2，b32，b1b32d246，b1b2b77b1·d7×(6)21×20，又b1b2b7(a2a1)(a3a2)(a8a7)a8a1a83，a830，a83.故選b.5數(shù)列an滿足a12，an，其前n項積為tn，則t2 014等于()a. bc6

19、 d6答案d解析由an得an1，而a12，所以a23，a3，a4，a52，則數(shù)列是以4為周期，且a1a2a3a41，所以t2 014(a1a2a3a4)503a1a21503×2×(3)6，故選d.6已知an是等差數(shù)列，sn為其前n項和，若s21s4 000，o為坐標(biāo)原點，點p(1，an)，q(2 011，a2 011)，則·等于()a2 011 b2 011 c0 d1答案a解析由s21s4 000得a22a23a4 0000，由于a22a4 000a23a3 9992a2 011，所以a22a23a4 0003 979a2 0110，從而a2 0110，而&#

20、183;2 011a2 011an2 011.二、填空題7在等比數(shù)列an中，已知a1a38，a5a74，則a9a11a13a15_.答案3解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由已知，得解得q4.又a9a11a1q8a3q8(a1a3)q88×()22，a13a15a1q12a3q12(a1a3)q128×()31，所以a9a11a13a15213.8(20xx·廣東)若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_.答案50解析因為a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2

21、ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)·(a2a19)··(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.9設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為sn，若a111，a4a66，則當(dāng)sn取最小值時，n_.答案6解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由a4a66得2a56，a53.又a111，3114d，d2，sn11n×2n212n(n6)236，故當(dāng)n6時，sn取最小值10已知數(shù)列an的首項為a12，且an1(a1a2an) (nn*)，記sn為數(shù)列an的前n項和，則sn_，an_.答案2×n1解析由an

22、1(a1a2an) (nn*)，可得an1sn，所以sn1snsn，即sn1sn，由此可知數(shù)列sn是一個等比數(shù)列，其中首項s1a12，公比為，所以sn2×n1，由此得an三、解答題11成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列bn中的b3、b4、b5.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)數(shù)列bn的前n項和為sn，求證：數(shù)列sn是等比數(shù)列(1)解設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為ad，a，ad.依題意，得adaad15.解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次為7d,10,18d.依題意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)故bn的第3項為5，公比為2.由b3b1·22，即5b1·22，解得b1.所以bnb1·qn1·2n15·2n3，即數(shù)列bn的通項公式bn5·2n3.(2)證明由(1)得數(shù)列bn的前n項和sn5·2n2，即sn5·2n2