競(jìng)賽講座 04平面幾何證明

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5競(jìng)賽專(zhuān)題講座04平面幾何證明競(jìng)賽知識(shí)點(diǎn)撥1 線(xiàn)段或角相等的證明（1） 利用全等或相似多邊形；（2） 利用等腰；（3） 利用平行四邊形；（4） 利用等量代換；（5） 利用平行線(xiàn)的性質(zhì)或利用比例關(guān)系（6） 利用圓中的等量關(guān)系等。2 線(xiàn)段或角的和差倍分的證明（1） 轉(zhuǎn)化為相等問(wèn)題。如要證明a=b±c，可以先作出線(xiàn)段p=b±c，再去證明a=p，即所謂“截長(zhǎng)補(bǔ)短”，角的問(wèn)題仿此進(jìn)行。（2） 直接用已知的定理。例如：中位線(xiàn)定理，rt斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半；的外角等于不相鄰的內(nèi)角之和；圓周角等于同弧所對(duì)圓心角的一半等等。3 兩線(xiàn)平行與垂直的證明（1）

2、 利用兩線(xiàn)平行與垂直的判定定理。（2） 利用平行四邊形的性質(zhì)可證明平行；利用等腰的“三線(xiàn)合一”可證明垂直。（3） 利用比例關(guān)系可證明平行；利用勾股定理的逆定理可證明垂直等。【競(jìng)賽例題剖析】【例1】從o外一點(diǎn)p向圓引兩條切線(xiàn)pa、pb和割線(xiàn)pcd。從a點(diǎn)作弦ae平行于cd，連結(jié)be交cd于f。求證：be平分cd。【分析1】構(gòu)造兩個(gè)全等。連結(jié)ed、ac、af。cf=dfacfedfpab=aeb=pfb【分析2】利用圓中的等量關(guān)系。連結(jié)of、op、ob。pfb=pob注：連結(jié)op、oa、of，證明a、o、f、p四點(diǎn)共圓亦可?！纠?】abc內(nèi)接于o，p是弧 ab上的一點(diǎn)，過(guò)p作oa、ob的垂線(xiàn)，與a

3、c、bc分別交于s、t，ab交于m、n。求證：pm=ms充要條件是pn=nt?！痉治觥恐恍枳C， pm·pn=ms·nt。（1=2，3=4）apmpbnpm·pn=am·bn（bnt=ams，btn=mas）bntsmams·nt=am·bn【例3】已知a為平面上兩半徑不等的圓o1和o2的一個(gè)交點(diǎn)，兩外公切線(xiàn)p1p2、q1q2分別切兩圓于p1、p2、q1、q2，m1、m2分別為p1q1、p2q2的中點(diǎn)。求證：o1ao2=m1am2?！痉治觥吭O(shè)b為兩圓的另一交點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)ba交p1p2于c，交o1o2于m，則c為p1p2的中點(diǎn)，且p1m

4、1cmp2m2，故cm為m1m2的中垂線(xiàn)。在o1m上截取mo3=mo2，則m1ao3=m2ao2。故只需證o1am1=o3am1，即證。由p1o1m1p2o2m2，m1o3=m2o2，o1p1=o1a，o2p2=o2a可得。【例4】在abc中，ab>ac，a的外角平分線(xiàn)交abc的外接圓于d，deab于e，求證：ae=。【分析】方法1、2ae=ab-ac 在be上截取ef=ae，只需證bf=ac，連結(jié)dc、db、df，從而只需證dbfdca df=da，dbf=dca，dfb=dac dfa=daf=dag。方法2、延長(zhǎng)ca至g，使ag=ae，則只需證be=cg 連結(jié)dg、dc、db，則只

5、需證dbedcg de=dg，dbe=dcg，deb=dgc=rt?！纠?】abc的頂點(diǎn)b在o外，ba、bc均與o相交，過(guò)ba與圓的交點(diǎn)k引abc平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，交o于p，交bc于m。求證：線(xiàn)段pm為圓心到abc平分線(xiàn)距離的2倍?！痉治觥咳艚瞧椒志€(xiàn)過(guò)o，則p、m重合，pm=0，結(jié)論顯然成立。若角平分線(xiàn)不過(guò)o，則延長(zhǎng)do至d，使od=od，則只需證dd=pm。連結(jié)dp、dm，則只需證dmpd為平行四邊形。過(guò)o作mpk，則dd,kp，dpk=dkpbl平分abc，mkblbl為mk的中垂線(xiàn)dkb=dmkdpk=dmk，dpdm。而d dpm，dmpd為平行四邊形?！纠?】在abc中，ap為a的平分線(xiàn)

6、，am為bc邊上的中線(xiàn)，過(guò)b作bhap于h，am的延長(zhǎng)線(xiàn)交bh于q，求證：pqab?！痉治觥糠椒?、結(jié)合中線(xiàn)和角平分線(xiàn)的性質(zhì)，考慮用比例證明平行。倍長(zhǎng)中線(xiàn)：延長(zhǎng)am至m，使am=ma，連結(jié)ba，如圖6-1。pqababq=180°-(hba+bah+cap)= 180°-90°-cap=90°-bap=abq方法2、結(jié)合角平分線(xiàn)和bhah聯(lián)想對(duì)稱(chēng)知識(shí)。延長(zhǎng)bh交ac的延長(zhǎng)線(xiàn)于b，如圖6-2。則h為bb的中點(diǎn)，因?yàn)閙為bc的中點(diǎn)，連結(jié)hm，則hmb/c。延長(zhǎng)hm交ab于o，則o為ab的中點(diǎn)。延長(zhǎng)mo至m，使om=om，連結(jié)ma、mb，則ambm是平行四邊形

7、，mpam，qmbm。于是，所以pqab?！纠?】菱形abcd的內(nèi)切圓o與各邊分別切于e、f、g、h，在ef與gh上分別作o的切線(xiàn)交ab于m，交bc于n，交cd于p，交da于q。求證：mqnp。（95年全國(guó)聯(lián)賽二試3）【分析】由abcd知：要證mqnp，只需證amq=cpn，結(jié)合a=c知，只需證amqcpn，am·cn=aq·cp。連結(jié)ac、bd，其交點(diǎn)為內(nèi)切圓心o。設(shè)mn與o切于k，連結(jié)oe、om、ok、on、of。記abo=，mok=，kon=，則eom=，fon=，eof=2+2=180°-2。bon=90°-nof-cof=90°-=c

8、no=nbo+nob=+=aoe+moe=aom又ocn=mao，ocnmao，于是，am·cn=ao·co同理，aq·cp=ao·co?！纠?】abcd是圓內(nèi)接四邊形，其對(duì)角線(xiàn)交于p，m、n分別是ad、bc的中點(diǎn)，過(guò)m、n分別作bd、ac的垂線(xiàn)交于k。求證：kpab?！痉治觥垦娱L(zhǎng)kp交ab于l，則只需證pal+apl=90°，即只需證pdc+kpc=90°，只需證pdc=pkf，因?yàn)閜、f、k、e四點(diǎn)共圓，故只需證pdc=pef，即efdc。dmecnf【例9】以abc的邊bc為直徑作半圓，與ab、ac分別交于點(diǎn)d、e。過(guò)d、e作bc的垂線(xiàn)，垂足分別是f、g，線(xiàn)段dg、ef交于點(diǎn)m。求證：ambc?！痉治觥窟B結(jié)be、cd交于h，