競賽第二講一般物體的平衡答案

1、2014第二講一般物體的平衡一、相關概念（一）力臂：從轉動軸到力的作用線的垂直距離叫力臂。（二）力矩：力和力臂的乘積叫力對轉動軸的力矩。記為 m=fl單位“牛米”。一般規(guī)定逆時針方 向轉動為正方向，順時針方向轉動為負方向。（三）有固定轉軸物體的平衡條件作用在物體上各力對轉軸的力矩的代數和為零，即2 m=0,或2 m逆=2 m順。（四）重心：計算重心位置的方法：1、同向平行力的合成法：各分力對合力作用點合力矩為零，則合力作用點為重心。2、割補法：把幾何形狀不規(guī)則的質量分布均勻的物體分割或填補成形狀規(guī)則的物體，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。3、公式法：x=m1gx1 +m2gx2 +,

2、當坐標原點移到重心上，則兩邊的重力矩平衡。 m1g -m2g -二、常用方法巧選轉軸簡化方程：選擇未知量多，又不需求解結果的力線交點為軸，這些力的力矩為零，式子簡化得多；復雜的物體系平衡問題有時巧選對象：選整體分析，常常轉化為力矩平衡問題求解；無規(guī)則形狀的物體重心位置計算常用方法是通過割補思想，結合平行力合成與分解的原則處理，或者助物體重心公式計算。三、鞏固練習1 .如右圖所示，勻質球質量為 m半彳仝為r;勻質棒b質量為m長度為1。求它的重心。“啞鈴”和一個質量為-m的球a的(m+m ) g【解】第一種方法是：將它分隔成球和棒兩部分，然后用同向平行力合成的方 法找出重心 co c在ab連線上，

3、且 ac- m=bc成第二種方法是：將棒錘看成一個對稱的c, c在ab連線上，且 bc- (2m+rm合成，用反向平行力合成的方法找出重心= a'c m。不難看出兩種方法的結果都是mbc 一m m2 .將重為30n的均勻球放在斜面上，球用繩子拉住，如圖所示.繩act水平面平行，c點為球的最高點斜面 傾角為370.求：（1）繩子的張力.（2）斜面對球的摩擦力和彈力 .刁內答案：（1） 10n; （2） 10n, 30n解：（1）取球與斜面的接觸點為轉軸：mgrsin370 t（r + rcos372）=0,3 #t=10n;、八二（2）取球心為轉軸得，f=t=10n;取c女為轉軸：f （

4、r+rcos37o） nrsin370 =0,得 n=30n.3.一個半徑為r的均勻球體靠在豎直墻邊， 球跟墻面和水平地面間的靜摩擦因數都為科，如果在球上加一個豎直向下的力 f,如圖所示.問；力 f離球心的水平的距離 s為多大，才能使球做逆時針轉動解當球開始轉動時，f1, f2達到最大靜摩擦f g = n1f2n2 - f1分別以球心和球與水平地接觸點為軸列力矩平衡方程.fs = f1r f2r因 fl, f24一一f1=n1為最大靜摩擦：f2 - 'n2將以上方程聯立可得:s=；）（,!）、4.如圖所示，均勻桿的a端用錢鏈與墻連接，桿可繞a火自由轉動，桿的另一端放在長方形木塊上 ，不

5、計木 塊與地之間的摩擦力，木塊不受其它力作用時，木塊對ab干的彈力為10n,將木塊向左拉出時，木塊對桿 的彈力為9n,那么將木塊向右拉出時，木塊對桿的彈力是多少 ？（答案：11.25n）解：木塊靜止時彈力為10n,可得桿重g=20n向左拉時：nlcosa+mnlsin a=gl cos a,或 n msin 2向右拉時：n2lcosa=mn2lsin a+glcos a,或 nbmsin 21.:'= gsos 二-n1 cos.21產n2cos 二-gsos ;2兩式相比得上=已，得w11.25.有一輕質木板 abh£為l, a端用錢鏈固定在豎直墻壁上 ，另一端用水平輕繩

6、bc 拉彳i.板上依次放著1、2、3三上圓柱體，半徑均為r,重均為g木板與墻的夾 角為q如圖所示）.一切摩擦均不計，求bc繩的弓力.答案：t 二受（_ .1 2sin）l 1cos icos 二解：此題的解法很多，同學們可體會到取不同的研究對象，問題的難易程度不同.解法1：對圓柱體一個一個分析，分別計算出圓柱體的彈力，再對木板分析，有力矩平衡求出 bc繩的 張力.比較麻煩.解法2:把三個球作為整體，可求出板對三個球的彈力，再對板有力矩平衡求出bc繩的張力.但彈力的力臂比較難求.解法3:先對三個球分析,受墻壁的彈力 n=3got 9.再把三個圓柱體和木板合為一整體對a點的力矩為零）.對a點，有力

7、矩平衡tac = n1ad0式中 ad =r/tan , ac =lcos12有上述四式可行丁二空（l 1 -cos 二，此整體受到墻壁的彈力n,bc迪的拉力t,重力3ga點的作用力nn3g (r 2r sin 二).1 2 sin 二)cos r6.如圖所示，三個完全相同的圓柱體疊放在水平桌面上。將c柱體放上去之前，a、b兩柱體接觸，但無擠壓。假設桌面與柱體之間的動摩擦因數為 科0,柱體與柱體之間的動摩擦因數為 科。若系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，科0和必須滿足什么條件？分析和解：這是一個物體系的平衡問題，因為 a b、c之間相互制約著而有單個物體在力系作用 下處于平衡，所以用隔離法可以比較容易地處理此

8、類問題。設每個圓柱的重力均為 g首先隔離c球，受力分析如 圖1 - 7所示，由匯fcy=0可得,312( n1+ f1)=g2 2再隔留a球，受力分析如圖1 8所示，由匯fay=0得3 1_n1 +- f1 -n2 +g =022由匯fax=0得.31f2 +一n1 n1 =022由mea= 0得f1r = f2r由以上四式可得1 一3 一n1 = - g , n2 22而f2 與心,mm .一，一2一37.(第六屆預賽)有 6個完全相同的剛性長條薄片 abi (i=1 , 2)，其 兩端下方各有一個小突起，薄片及突起的質量均不計，現將此6個薄片架在一只水平的碗口上，使每個薄片一端的小突起b恰

9、在碗口上，另一端小突起a位于其下方薄片的正中，由正上方俯視如圖所示，若將質量為m的質點放在薄片ae6上一點，這一點與此薄片中點的距離等于它與小突起a6的距離，則薄片a6r中點所受的(由另一薄片的小突起a1所施的)壓力。答案：mg/42解析：本題共有六個物體，通過觀察會發(fā)現，ab、a2b、ar的受力情況完全相同，因此將 ab、a2b2、a5r作為一類，對其中一個進行 受力分析，找出規(guī)律，求出通式即可求解.以第i個薄片ab為研究對象，受力情況如圖甲所示，第 i個薄片受到前一個薄片向上的支持力 n、碗邊向上的支持力和后一個薄片向下的壓力n+1,選碗邊b點為軸，根據力矩平衡有l(wèi) /口ni 111115

10、ni l =ni 十一，得 ni所以 n1二 電=父 n3=3=()n6222222再以a6b6為研究對象，受力情況如圖乙所示，ab6受到薄片a5b5向上的支持力n6、碗向上的支持力和后一個薄片aibi向下的壓力n、質點向下的壓力mg.選區(qū)點為軸，根據力矩平衡有l(wèi)3n1 上 mg -l =n6 l24由、聯立，解得 ni=mg42所以，ab薄片對ab6的壓力為mg42.8.(第十屆全國決賽)用 20塊質量均勻分布的相同的光滑積木塊，在光滑水平面一塊疊一塊地搭成單孔橋，已知每一積木塊的長度為 l,橫截面為h = l的正方形，求此橋具有的最大跨度 (即橋孔底寬)，4試畫出該橋的示意圖，并計算跨度與

11、橋孔高度的比值。 解設1號右端面到2號右端面的距離為 xi, x1 =-,1 。 .:2 12號右端面到3號右端面到的距離為 x2，以第2號木 jjjl,h l/li,%, 塊的左漏為轉軸力矩平衡：gl+g =2g(lx2),可以得；s 出 x2 =l，43號木塊的左端為轉軸力矩平衡同理：第3號右與第4號右端的距離為x3,以第2gl +g l =3g(l -x3)求得 x3 =l 26第k號的右端面的距離為 xk，則第k號由力矩平衡知：(k -1)gl +gl =kg(l -xk)求得：2解得4 = l2ksnl lnl則橋拱長的一半為s -x1 x2 rh xk =；. l=l22k kmk

12、1由圖 1 可知 h =(n -1)h = (n -1)l4 s 4 n ' 1 j一 l所以- = -l,。將n=10代入可得.h n -1 k 4 k=1.258 h9.有一質量為m=50kg的直桿，豎立在水平地面上，桿與地面間靜摩擦因數卜=0.3,桿的上端固定在地面上的繩索拉住，繩與桿的夾角日=30 如圖所示。(1)若以水平力f作用在桿上，作用點到地面的距離幾=2l/5(l為桿長)，要使桿不滑倒，力 f最大不能越過多少？(2)若將作用點移到h2 =4l/5處時，情況又如何？解析：桿不滑倒應從兩方面考慮，桿與地面間的靜摩擦力達到極限的前提下，力 的大小還與h有關，討論力與h的關系是

13、關鍵。桿的受力如圖57一甲所示，由平衡條件得f tsin? - f = 0n -t cosu - mg = 0f（l - h） - fl =0另由上式可知，f增大時，f相應也增大，故當f增大到最大靜摩擦力時, 桿剛要滑倒，此時滿足：f - 'n解得：fmasmgl tan 二(l -h)tani/ ' -h由上式又可知，當（l-h）tan6/k-h->0即當h0 =0.66l時對f就沒有限制了。2 _.(1 )當“ = l m h0 ,將有關數據代入 fmax的表達式得fmax = 385n一4（2）當h2 =l ah。，無論f為何值，都不可能使桿滑倒，這種現象即稱為自鎖

14、。 510.用兩個爬犁（雪橇）在水平雪地上運送一根質量為m長為l的均勻橫粱，橫梁保持水平，簡化示意示圖，如圖 1-41所示.每個爬犁的上端 a與被運送 的橫梁端頭固連，下端b與雪地接觸，假設接觸而積很小.一水平牽引力f作 用于前爬犁.作用點到雪地的距離用h表示.已知前爬犁與雪地間的動摩擦因數為k .后爬犁與雪地間的動摩擦因數為 1接觸的條件下，使橫梁沿雪地勻速向前移動.f應多大？設爬犁的質量可忽略不計.k2-問要在前后兩爬犁都與雪地m即z?t7777777777777777777777jrh應滿足什么條件?水平牽引力' f分析正確地物體進行受力分析，應用物體平衡的條件二：m=0是求解平

15、衡問題的基本出發(fā)點，準=0確地領會題中隱含信息，則是求解的關鍵所在，本題體現了這一解題思路.解整個裝置的受力如解圖1-24所示，其中n1與na分別為雪地對爬犁的支持力根據平衡條件有f = f1 f2mg = n1 n2 1fh n2lmgl，和f 2分別為摩擦力，2根據摩擦力與正壓力的關系有：f1 -k1n1f2h越大以爬犁與地的前接觸點為軸 代入以上各式，可以解得：= k2n2,f的力矩越大.故na越小.h最大時對應 n=0的情況.將n2=0h 2klf/jk2 l -(k1 -k2)hmg5故：h應滿足的條件是：hwl2 kl11.半徑為r,質量為m的三個剛性球放在光滑的水平面上，兩兩接觸

16、.用一個圓柱形剛t圓筒（上、下均無蓋）將此三球套在筒內.圓筒的半徑取適當值，使得各 球間以及球與筒壁之間保持接觸，但互相無作用力.現取一個質量亦為m半徑為r的第四個球，放在三個球的上方正中.四個球和圓筒之間的靜摩擦系數均為 比3/j15（約等于0.775）.問r取何值時，用手輕輕豎直向上提起圓筒即能將四 個球一起提起來？答案：（巫 -1）r <r e（絲也-1）r.333,互相之間既無彈力也無摩擦力.因此，受力圖如圖所示.解：當上面一個小球放上去后，下面三個小球有向外擠的趨勢 可以通過下面某一個球的球心和上面球的球心的豎直面來進行受力分析對上面小球,根據豎直方向受力平衡有3n2sin 0

17、-3 f 2soc e=mg-（或下面的小球，對球與筒接觸點為轉軸，力矩平衡 n2r sin 佻mg=f 2r （1+cos 0）再對四個小球為整體,在豎直方向3f i=4mg下面的小球,對球心為為轉軸，有力矩平衡條件fir=f2，得fi=f2-對下面的小球，取fi和f2作用線的交點為轉軸，有力矩平衡得n>n2,故大球與小球接觸處先滑動（這是確定何處先滑動的常用方法）而大球沿筒滾動，當r最大時：f2=-n有上述四式得：128soc2儕24cos 877=0,解得：cos 0=11,16因 cos日=2v3r/（r +r）=,所以 r =產 心 _i）r 。31633但上面的小球不能太小，

18、否則上球要從下面三個小球之間掉下去，必須使r >（冬蛆1）r .3故彳：rm（w）r. 333四、自主招生試題1. （2009清華大學）質量為 m長為l的三根相同的勻質細棒對稱地擱在地面上，三棒的頂端o重合,底端a、日c的間距均為l,如圖所示。（1）求oa棒頂端所受的作用力 f的大小。（2）若有一質量也為 m的人（視為質點）坐在 oa棒的中點處，三棒仍然保持不動，這時oa棒頂端所受的作用力f的大小又為多大？（3）在（2）的情況下，地面與棒之間的靜摩擦因數科至少為多大?析:(1)afh = mg -a = (l/ 3) 2 = l 23一22, 6h = l - a = l3(2)l/(尋

19、).2二 7 mgfi - l = f2 - l mg 一 l 3 _3 _6 _2mg -3l =2f2 -3l f1 6l62_31 3363f2 t =mg t12f2 =-mg,fi = mg63f合= j 2f22 + fi2 = 'mg2. （2010北大）如圖，一個質量 m棱邊長為l的立方體放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立方體向前或向后翻轉，立方體不與平面發(fā)生相對滑動，求向前和向后施加力的最小值以及對應的摩擦 因素。設想立方體開始翻轉后，施加的外力f大小和方向會改變，以維持f始終為最小值。解：先考慮向前翻倒的情況，設ac與水平面夾口角，*顯然這時加值直ac連線霜向上的

20、力f時滿足要求,如圖所示篁:=l則m月 * -g-cos a ft.sjn u)j_ feos 45.'口 n mg fsin 450試中b牛必二90nl因此"=45=時所需f最大這也就任要施腑的最小力，故 心口尸魂.雁川，這表明只要d點能夠高外地面.以后f即使變小 些.立方體也 能翻轉“在口點將要離開地面時，以后為使力f始終最小.則f 直垂直以匚斜向 在圖示情況卜二另取m霜和尸的交點為軸，有«,/ _ sin tfcos a _ sin a cos a"b r - 1 i :2"*1£4i.、1 4- sin er zsin ff -

21、 cos aj tan a +cutacot ti時.即q 316時風，加一華不過1要大于等于小兒故向前翻轉立方不,動睜鑲閃效活足上用故即可“而向后翻的情況下立方休以d點為軸忖動，同樣 t蛤最難翱動，施加的拉 力產垂直u4水平向左時時政的f最小設m方體邊k為/ ,則此忖以后如果f始籍垂直川）邊而衛(wèi)皴慢翻粘七方體，則f會變小,（h v反而變 大，這去明d處只要開始不滑動就不可能再滑動九3. （2010南大強化）如圖所示，一個質量均勻分布的直桿擱置在質量均勻的圓環(huán)上，桿與圓環(huán)相切,系統(tǒng)靜止在水平地面上， 桿與地面接觸點為 a,與環(huán)面接觸點為 b。已知兩個物體的質量線密度均為p ,桿與地面夾角為0

22、,圓環(huán)半徑為r,所有接觸點的摩擦 力足夠大。求：（1）地給圓環(huán)的摩擦力。（2）求a、b兩點靜摩擦系數的取值范圍。解：球受力如圖所示，水平方向合力為零得:fz + j cos 8 = nj sin 9以圓心。點為軸有, ar-人r*即/,=力，對球以點物軸有："3即- n .再取秫、桿整體為斫究對象以月點為軸有；=m 遙£ + 切g * cds 0 .即解得m 1 g cosm gin 8 cos 0 感&2(l + eos =2b處靜摩擦因數sin &02 =- = tan'tn2 tn 2 g 1 + cos 02a處靜摩擦因數>fi naf

23、ttan(/2) cos'=:二 m g(l 0, 5cos0y 2 cosp五、備用1.（第二屆全國復賽）如圖所示，勻質管子ab長為l,重為g,其a端放在水平面上,的光滑鉛直支座上，設管子與水平面成傾角 0=45° ,試求要使管子處于平衡時， 因數的最小值。而點c則靠在高h =2它與水平面之間的摩擦2.（第十屆全國預賽）半徑為r質量為m的均勻圓球與一質量為 m的重物分別用細繩 ad和ace懸掛于同一點 a并處于平衡，如圖所示.已知懸點a到球心的距為l,不考慮繩的質量和繩與球間的摩擦 ，求懸掛圓球的繩 ad與豎直方向ab的夾角口 答案：6=arcsin m2rl（m1 m 2

24、）解：球受重力mg,ad繩受拉力為t,acee力為n因重力mg通過圓心，n也通過圓 心（但不是水平方向），所以t也通過圓（三力共點），oa=l.取整體為研究對象對 a點的力矩平衡，mgobmgbc 或 mglsin 隹mg( r lsin 9),得 6=arcsinm 2rl(m 1 m 2)3. 如圖所示，一根細長棒上端a處用錢鏈與天花板相連， 下端用錢鏈與另一細棒相連，兩棒的長度相等,兩棒限以圖示的豎直平面內運動，且不計較鏈處的摩擦，當在c端加一個適當的外力（在紙面內）可使兩棒平衡在圖示的位置處，即兩棒間的夾角為903且c端正女?在a瑞的正下方。（1）不管兩棒的質量如何，此外力只可能在哪個

25、方向的范圍內？說明道理（不要求推算）。（2）如果aew的質量為mn, bcw的質量為m,求此外力的大小和方向。答案：（1）用勺方向與aco!范圍18吃4 -45響；（2） f =；g72m”而工8前2一解（1）設f的方向與ace角為仇如果當m質量很小時，abbc勺作用力沿abt向，或則f的方向必交于ab勺中點，7=45 -tan "二化.24 ；.，如果當m2質量很小時，則f的方向沿b3向，6=45%匕/所以ft向的范圍是0=18 口24 -45祠。戶/（2）以 aj轉軸，對兩棒有：（m1 +mi2）g m l sin450 =f m1/2l sin日2以叨轉軸，對 bcf： m2g

26、 l sin 450 =f lsin(450 -力-sin(45 - t)=sin45 cos >cso45 sin >-有式得 f的大?。篺 =lgj2m12 +10m2+8m1m2 ;4f的方向與豎直線的夾角 htan,m1 m2 .3m2 m1可見，m=0時，6=tan,l =18 n24m=0時，6=tan，=45 口 34 .如圖兩把相同的均勻梯子 ac和bc,由c端的錢鏈 連起來，組成人字形梯子，下端 a和b相距 6m, c端離水平地面4ml總重200 n, 一人重600 n,由b端上爬，若梯子與地面的靜摩擦因數 科=0.6 , 則人爬到何處梯子就要滑動？解：進行受力分

27、析，如圖所示，把人和梯子看成一個整體，整個系統(tǒng)處于平衡狀 態(tài)：ab=6m , cd=4m ac=bc=5m設人到較鏈c的距離為l滿足 £ f =0, £ m =0所以 g . gac . gbc = fni . fn2ff1 = ff2.1,g l cosgbc - bd fni cd = fni bd 2整理后：fn1 =fn2 =400n , l =2.5m所以人在爬到梯子中點處時梯子就要滑動1 -12、a = tan )25 .架均勻梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在豎直的墻上，梯子與地面及梯子與墻間的靜摩擦因數分別為4、山。求梯子能平衡時與地面所成的最小夾角。（

28、答案:解法1:設梯子能平衡時與地面所成的最小夾角為%則有f1=nn, f2=p2n2 （同時達到最大，與上7/題有區(qū)別）水平方向：hn1=n2,豎直方向：2n2+n=g,得：gjnhna八1取a女為轉軸： lg cos.匚-ln? sin.匚-l4 n2 cos二=021 _121 1 - ' 2用牛語 tan a =,即 a =tan 。2 科2k解法2:地對梯和墻對梯的二個全反力與重力必交于一點(如圖的晶)則有：tan ：i =i,tan -2=.l2,bc dh de dh de 1, .1 ,.有幾何關系：tana = 一 = cot中i 一 tan中2 ,ac 2ah 2ah

29、 2eb 22可解得：.=tan，上士“2l6.如圖所示.梯子長為 21,重量為g梯子上的人的重量為 g',人離梯子下端距離為 h,梯子與地面夾 角為，梯子下端與地面間的摩擦因數為，梯子上端與墻的摩擦力忽略不計，試求梯子不滑動時的h解桿的受力情況如圖所示：由于桿靜止，'、f =0/ m =0'n =fn'=g'+gglcos ghcos? - n2lsin1 f)n解方程可以得出：h二2 j|(g g )tan i - gl /店”、(原答案有誤)所以，只要h <g2 t (g g)tan 二-gl,梯子就不會滑動。7.如圖所示，方桌重 g=100

30、 n,前后腿與地面的動摩擦因數n=0.20 ,桌的寬與高相等。求：(1)拉力f、地面對前、后腿的支持力和摩擦力。(2)設前、后腿與地面間的靜摩擦因數 力拉桌可使桌子以前腿為軸向前翻倒？= 0.60 。在方桌的前端用多大水平解：門)據蜘體一股平副條件有£r=f一(八十力值.=f h 十 * h g , =0聯立以上四式可得出；f - 20 n. $ 30 n, $ =70 n,人=14 n. f£c2)h處彈力和摩擦力均恰好為零時，以a點為軸土由 fj/tg。=。得 f'=50nu而同時jjid to n/否則方臬會滑動)故5on<f6o n,8.如圖所示，一根細棒ar a端用絞鏈與天花板相連，b端用絞鏈與另一細棒 bc相連，二棒長度相等.限 于在圖示的豎直面內運動，且不計絞鏈處的摩擦，當在c端加一個適當的外力(與ab '2、622"bc在一個平面內)可使二棒靜止在圖示位置，即二棒相互垂直.且 c在a端的正下方(1)不論二棒的質量如何，此外力只可能在哪個方向范圍內？試說明理由! (2)如果ab棒的質量為mi, bc棒質量為 田求此外力的大小和力向.|(3)此時bc棒對ab棒的作用力的大小是多少解(1)外力的范圍應在豎