競(jìng)賽第二講一般物體的平衡答案

1、2014第二講一般物體的平衡一、相關(guān)概念（一）力臂：從轉(zhuǎn)動(dòng)軸到力的作用線(xiàn)的垂直距離叫力臂。（二）力矩：力和力臂的乘積叫力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩。記為 m=fl單位“牛米”。一般規(guī)定逆時(shí)針?lè)?向轉(zhuǎn)動(dòng)為正方向，順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)為負(fù)方向。（三）有固定轉(zhuǎn)軸物體的平衡條件作用在物體上各力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩的代數(shù)和為零，即2 m=0,或2 m逆=2 m順。（四）重心：計(jì)算重心位置的方法：1、同向平行力的合成法：各分力對(duì)合力作用點(diǎn)合力矩為零，則合力作用點(diǎn)為重心。2、割補(bǔ)法：把幾何形狀不規(guī)則的質(zhì)量分布均勻的物體分割或填補(bǔ)成形狀規(guī)則的物體，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。3、公式法：x=m1gx1 +m2gx2 +,

2、當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)移到重心上，則兩邊的重力矩平衡。 m1g -m2g -二、常用方法巧選轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化方程：選擇未知量多，又不需求解結(jié)果的力線(xiàn)交點(diǎn)為軸，這些力的力矩為零，式子簡(jiǎn)化得多；復(fù)雜的物體系平衡問(wèn)題有時(shí)巧選對(duì)象：選整體分析，常常轉(zhuǎn)化為力矩平衡問(wèn)題求解；無(wú)規(guī)則形狀的物體重心位置計(jì)算常用方法是通過(guò)割補(bǔ)思想，結(jié)合平行力合成與分解的原則處理，或者助物體重心公式計(jì)算。三、鞏固練習(xí)1 .如右圖所示，勻質(zhì)球質(zhì)量為 m半彳仝為r;勻質(zhì)棒b質(zhì)量為m長(zhǎng)度為1。求它的重心。“啞鈴”和一個(gè)質(zhì)量為-m的球a的(m+m ) g【解】第一種方法是：將它分隔成球和棒兩部分，然后用同向平行力合成的方 法找出重心 co c在ab連線(xiàn)上，

3、且 ac- m=bc成第二種方法是：將棒錘看成一個(gè)對(duì)稱(chēng)的c, c在ab連線(xiàn)上，且 bc- (2m+rm合成，用反向平行力合成的方法找出重心= a'c m。不難看出兩種方法的結(jié)果都是mbc 一m m2 .將重為30n的均勻球放在斜面上，球用繩子拉住，如圖所示.繩act水平面平行，c點(diǎn)為球的最高點(diǎn)斜面 傾角為370.求：（1）繩子的張力.（2）斜面對(duì)球的摩擦力和彈力 .刁內(nèi)答案：（1） 10n; （2） 10n, 30n解：（1）取球與斜面的接觸點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸：mgrsin370 t（r + rcos372）=0,3 #t=10n;、八二（2）取球心為轉(zhuǎn)軸得，f=t=10n;取c女為轉(zhuǎn)軸：f （

4、r+rcos37o） nrsin370 =0,得 n=30n.3.一個(gè)半徑為r的均勻球體靠在豎直墻邊， 球跟墻面和水平地面間的靜摩擦因數(shù)都為科，如果在球上加一個(gè)豎直向下的力 f,如圖所示.問(wèn)；力 f離球心的水平的距離 s為多大，才能使球做逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)解當(dāng)球開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，f1, f2達(dá)到最大靜摩擦f g = n1f2n2 - f1分別以球心和球與水平地接觸點(diǎn)為軸列力矩平衡方程.fs = f1r f2r因 fl, f24一一f1=n1為最大靜摩擦：f2 - 'n2將以上方程聯(lián)立可得:s=；）（,!）、4.如圖所示，均勻桿的a端用錢(qián)鏈與墻連接，桿可繞a火自由轉(zhuǎn)動(dòng)，桿的另一端放在長(zhǎng)方形木塊上 ，不

5、計(jì)木 塊與地之間的摩擦力，木塊不受其它力作用時(shí)，木塊對(duì)ab干的彈力為10n,將木塊向左拉出時(shí)，木塊對(duì)桿 的彈力為9n,那么將木塊向右拉出時(shí)，木塊對(duì)桿的彈力是多少 ？（答案：11.25n）解：木塊靜止時(shí)彈力為10n,可得桿重g=20n向左拉時(shí)：nlcosa+mnlsin a=gl cos a,或 n msin 2向右拉時(shí)：n2lcosa=mn2lsin a+glcos a,或 nbmsin 21.:'= gsos 二-n1 cos.21產(chǎn)n2cos 二-gsos ;2兩式相比得上=已，得w11.25.有一輕質(zhì)木板 abh£為l, a端用錢(qián)鏈固定在豎直墻壁上 ，另一端用水平輕繩

6、bc 拉彳i.板上依次放著1、2、3三上圓柱體，半徑均為r,重均為g木板與墻的夾 角為q如圖所示）.一切摩擦均不計(jì)，求bc繩的弓力.答案：t 二受（_ .1 2sin）l 1cos icos 二解：此題的解法很多，同學(xué)們可體會(huì)到取不同的研究對(duì)象，問(wèn)題的難易程度不同.解法1：對(duì)圓柱體一個(gè)一個(gè)分析，分別計(jì)算出圓柱體的彈力，再對(duì)木板分析，有力矩平衡求出 bc繩的 張力.比較麻煩.解法2:把三個(gè)球作為整體，可求出板對(duì)三個(gè)球的彈力，再對(duì)板有力矩平衡求出bc繩的張力.但彈力的力臂比較難求.解法3:先對(duì)三個(gè)球分析,受墻壁的彈力 n=3got 9.再把三個(gè)圓柱體和木板合為一整體對(duì)a點(diǎn)的力矩為零）.對(duì)a點(diǎn)，有力

7、矩平衡tac = n1ad0式中 ad =r/tan , ac =lcos12有上述四式可行丁二空（l 1 -cos 二，此整體受到墻壁的彈力n,bc迪的拉力t,重力3ga點(diǎn)的作用力nn3g (r 2r sin 二).1 2 sin 二)cos r6.如圖所示，三個(gè)完全相同的圓柱體疊放在水平桌面上。將c柱體放上去之前，a、b兩柱體接觸，但無(wú)擠壓。假設(shè)桌面與柱體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 科0,柱體與柱體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 科。若系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，科0和必須滿(mǎn)足什么條件？分析和解：這是一個(gè)物體系的平衡問(wèn)題，因?yàn)?a b、c之間相互制約著而有單個(gè)物體在力系作用 下處于平衡，所以用隔離法可以比較容易地處理此

8、類(lèi)問(wèn)題。設(shè)每個(gè)圓柱的重力均為 g首先隔離c球，受力分析如 圖1 - 7所示，由匯fcy=0可得,312( n1+ f1)=g2 2再隔留a球，受力分析如圖1 8所示，由匯fay=0得3 1_n1 +- f1 -n2 +g =022由匯fax=0得.31f2 +一n1 n1 =022由mea= 0得f1r = f2r由以上四式可得1 一3 一n1 = - g , n2 22而f2 與心,mm .一，一2一37.(第六屆預(yù)賽)有 6個(gè)完全相同的剛性長(zhǎng)條薄片 abi (i=1 , 2)，其 兩端下方各有一個(gè)小突起，薄片及突起的質(zhì)量均不計(jì)，現(xiàn)將此6個(gè)薄片架在一只水平的碗口上，使每個(gè)薄片一端的小突起b恰

9、在碗口上，另一端小突起a位于其下方薄片的正中，由正上方俯視如圖所示，若將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)放在薄片ae6上一點(diǎn)，這一點(diǎn)與此薄片中點(diǎn)的距離等于它與小突起a6的距離，則薄片a6r中點(diǎn)所受的(由另一薄片的小突起a1所施的)壓力。答案：mg/42解析：本題共有六個(gè)物體，通過(guò)觀(guān)察會(huì)發(fā)現(xiàn)，ab、a2b、ar的受力情況完全相同，因此將 ab、a2b2、a5r作為一類(lèi)，對(duì)其中一個(gè)進(jìn)行 受力分析，找出規(guī)律，求出通式即可求解.以第i個(gè)薄片ab為研究對(duì)象，受力情況如圖甲所示，第 i個(gè)薄片受到前一個(gè)薄片向上的支持力 n、碗邊向上的支持力和后一個(gè)薄片向下的壓力n+1,選碗邊b點(diǎn)為軸，根據(jù)力矩平衡有l(wèi) /口ni 111115

10、ni l =ni 十一，得 ni所以 n1二 電=父 n3=3=()n6222222再以a6b6為研究對(duì)象，受力情況如圖乙所示，ab6受到薄片a5b5向上的支持力n6、碗向上的支持力和后一個(gè)薄片aibi向下的壓力n、質(zhì)點(diǎn)向下的壓力mg.選區(qū)點(diǎn)為軸，根據(jù)力矩平衡有l(wèi)3n1 上 mg -l =n6 l24由、聯(lián)立，解得 ni=mg42所以，ab薄片對(duì)ab6的壓力為mg42.8.(第十屆全國(guó)決賽)用 20塊質(zhì)量均勻分布的相同的光滑積木塊，在光滑水平面一塊疊一塊地搭成單孔橋，已知每一積木塊的長(zhǎng)度為 l,橫截面為h = l的正方形，求此橋具有的最大跨度 (即橋孔底寬)，4試畫(huà)出該橋的示意圖，并計(jì)算跨度與

11、橋孔高度的比值。 解設(shè)1號(hào)右端面到2號(hào)右端面的距離為 xi, x1 =-,1 。 .:2 12號(hào)右端面到3號(hào)右端面到的距離為 x2，以第2號(hào)木 jjjl,h l/li,%, 塊的左漏為轉(zhuǎn)軸力矩平衡：gl+g =2g(lx2),可以得；s 出 x2 =l，43號(hào)木塊的左端為轉(zhuǎn)軸力矩平衡同理：第3號(hào)右與第4號(hào)右端的距離為x3,以第2gl +g l =3g(l -x3)求得 x3 =l 26第k號(hào)的右端面的距離為 xk，則第k號(hào)由力矩平衡知：(k -1)gl +gl =kg(l -xk)求得：2解得4 = l2ksnl lnl則橋拱長(zhǎng)的一半為s -x1 x2 rh xk =；. l=l22k kmk

12、1由圖 1 可知 h =(n -1)h = (n -1)l4 s 4 n ' 1 j一 l所以- = -l,。將n=10代入可得.h n -1 k 4 k=1.258 h9.有一質(zhì)量為m=50kg的直桿，豎立在水平地面上，桿與地面間靜摩擦因數(shù)卜=0.3,桿的上端固定在地面上的繩索拉住，繩與桿的夾角日=30 如圖所示。(1)若以水平力f作用在桿上，作用點(diǎn)到地面的距離幾=2l/5(l為桿長(zhǎng))，要使桿不滑倒，力 f最大不能越過(guò)多少？(2)若將作用點(diǎn)移到h2 =4l/5處時(shí)，情況又如何？解析：桿不滑倒應(yīng)從兩方面考慮，桿與地面間的靜摩擦力達(dá)到極限的前提下，力 的大小還與h有關(guān)，討論力與h的關(guān)系是

13、關(guān)鍵。桿的受力如圖57一甲所示，由平衡條件得f tsin? - f = 0n -t cosu - mg = 0f（l - h） - fl =0另由上式可知，f增大時(shí)，f相應(yīng)也增大，故當(dāng)f增大到最大靜摩擦力時(shí), 桿剛要滑倒，此時(shí)滿(mǎn)足：f - 'n解得：fmasmgl tan 二(l -h)tani/ ' -h由上式又可知，當(dāng)（l-h）tan6/k-h->0即當(dāng)h0 =0.66l時(shí)對(duì)f就沒(méi)有限制了。2 _.(1 )當(dāng)“ = l m h0 ,將有關(guān)數(shù)據(jù)代入 fmax的表達(dá)式得fmax = 385n一4（2）當(dāng)h2 =l ah。，無(wú)論f為何值，都不可能使桿滑倒，這種現(xiàn)象即稱(chēng)為自鎖

14、。 510.用兩個(gè)爬犁（雪橇）在水平雪地上運(yùn)送一根質(zhì)量為m長(zhǎng)為l的均勻橫粱，橫梁保持水平，簡(jiǎn)化示意示圖，如圖 1-41所示.每個(gè)爬犁的上端 a與被運(yùn)送 的橫梁端頭固連，下端b與雪地接觸，假設(shè)接觸而積很小.一水平牽引力f作 用于前爬犁.作用點(diǎn)到雪地的距離用h表示.已知前爬犁與雪地間的動(dòng)摩擦因數(shù)為k .后爬犁與雪地間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 1接觸的條件下，使橫梁沿雪地勻速向前移動(dòng).f應(yīng)多大？設(shè)爬犁的質(zhì)量可忽略不計(jì).k2-問(wèn)要在前后兩爬犁都與雪地m即z?t7777777777777777777777jrh應(yīng)滿(mǎn)足什么條件?水平牽引力' f分析正確地物體進(jìn)行受力分析，應(yīng)用物體平衡的條件二：m=0是求解平

15、衡問(wèn)題的基本出發(fā)點(diǎn)，準(zhǔn)=0確地領(lǐng)會(huì)題中隱含信息，則是求解的關(guān)鍵所在，本題體現(xiàn)了這一解題思路.解整個(gè)裝置的受力如解圖1-24所示，其中n1與na分別為雪地對(duì)爬犁的支持力根據(jù)平衡條件有f = f1 f2mg = n1 n2 1fh n2lmgl，和f 2分別為摩擦力，2根據(jù)摩擦力與正壓力的關(guān)系有：f1 -k1n1f2h越大以爬犁與地的前接觸點(diǎn)為軸 代入以上各式，可以解得：= k2n2,f的力矩越大.故na越小.h最大時(shí)對(duì)應(yīng) n=0的情況.將n2=0h 2klf/jk2 l -(k1 -k2)hmg5故：h應(yīng)滿(mǎn)足的條件是：hwl2 kl11.半徑為r,質(zhì)量為m的三個(gè)剛性球放在光滑的水平面上，兩兩接觸

16、.用一個(gè)圓柱形剛t圓筒（上、下均無(wú)蓋）將此三球套在筒內(nèi).圓筒的半徑取適當(dāng)值，使得各 球間以及球與筒壁之間保持接觸，但互相無(wú)作用力.現(xiàn)取一個(gè)質(zhì)量亦為m半徑為r的第四個(gè)球，放在三個(gè)球的上方正中.四個(gè)球和圓筒之間的靜摩擦系數(shù)均為 比3/j15（約等于0.775）.問(wèn)r取何值時(shí)，用手輕輕豎直向上提起圓筒即能將四 個(gè)球一起提起來(lái)？答案：（巫 -1）r <r e（絲也-1）r.333,互相之間既無(wú)彈力也無(wú)摩擦力.因此，受力圖如圖所示.解：當(dāng)上面一個(gè)小球放上去后，下面三個(gè)小球有向外擠的趨勢(shì) 可以通過(guò)下面某一個(gè)球的球心和上面球的球心的豎直面來(lái)進(jìn)行受力分析對(duì)上面小球,根據(jù)豎直方向受力平衡有3n2sin 0

17、-3 f 2soc e=mg-（或下面的小球，對(duì)球與筒接觸點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，力矩平衡 n2r sin 佻mg=f 2r （1+cos 0）再對(duì)四個(gè)小球?yàn)檎w,在豎直方向3f i=4mg下面的小球,對(duì)球心為為轉(zhuǎn)軸，有力矩平衡條件fir=f2，得fi=f2-對(duì)下面的小球，取fi和f2作用線(xiàn)的交點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，有力矩平衡得n>n2,故大球與小球接觸處先滑動(dòng)（這是確定何處先滑動(dòng)的常用方法）而大球沿筒滾動(dòng)，當(dāng)r最大時(shí)：f2=-n有上述四式得：128soc2儕24cos 877=0,解得：cos 0=11,16因 cos日=2v3r/（r +r）=,所以 r =產(chǎn) 心 _i）r 。31633但上面的小球不能太小，

18、否則上球要從下面三個(gè)小球之間掉下去，必須使r >（冬蛆1）r .3故彳：rm（w）r. 333四、自主招生試題1. （2009清華大學(xué)）質(zhì)量為 m長(zhǎng)為l的三根相同的勻質(zhì)細(xì)棒對(duì)稱(chēng)地?cái)R在地面上，三棒的頂端o重合,底端a、日c的間距均為l,如圖所示。（1）求oa棒頂端所受的作用力 f的大小。（2）若有一質(zhì)量也為 m的人（視為質(zhì)點(diǎn)）坐在 oa棒的中點(diǎn)處，三棒仍然保持不動(dòng)，這時(shí)oa棒頂端所受的作用力f的大小又為多大？（3）在（2）的情況下，地面與棒之間的靜摩擦因數(shù)科至少為多大?析:(1)afh = mg -a = (l/ 3) 2 = l 23一22, 6h = l - a = l3(2)l/(尋

19、).2二 7 mgfi - l = f2 - l mg 一 l 3 _3 _6 _2mg -3l =2f2 -3l f1 6l62_31 3363f2 t =mg t12f2 =-mg,fi = mg63f合= j 2f22 + fi2 = 'mg2. （2010北大）如圖，一個(gè)質(zhì)量 m棱邊長(zhǎng)為l的立方體放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立方體向前或向后翻轉(zhuǎn)，立方體不與平面發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，求向前和向后施加力的最小值以及對(duì)應(yīng)的摩擦 因素。設(shè)想立方體開(kāi)始翻轉(zhuǎn)后，施加的外力f大小和方向會(huì)改變，以維持f始終為最小值。解：先考慮向前翻倒的情況，設(shè)ac與水平面夾口角，*顯然這時(shí)加值直ac連線(xiàn)霜向上的

20、力f時(shí)滿(mǎn)足要求,如圖所示篁:=l則m月 * -g-cos a ft.sjn u)j_ feos 45.'口 n mg fsin 450試中b牛必二90nl因此"=45=時(shí)所需f最大這也就任要施腑的最小力，故 心口尸魂.雁川，這表明只要d點(diǎn)能夠高外地面.以后f即使變小 些.立方體也 能翻轉(zhuǎn)“在口點(diǎn)將要離開(kāi)地面時(shí)，以后為使力f始終最小.則f 直垂直以匚斜向 在圖示情況卜二另取m霜和尸的交點(diǎn)為軸，有«,/ _ sin tfcos a _ sin a cos a"b r - 1 i :2"*1£4i.、1 4- sin er zsin ff -

21、 cos aj tan a +cutacot ti時(shí).即q 316時(shí)風(fēng)，加一華不過(guò)1要大于等于小兒故向前翻轉(zhuǎn)立方不,動(dòng)睜鑲閃效活足上用故即可“而向后翻的情況下立方休以d點(diǎn)為軸忖動(dòng)，同樣 t蛤最難翱動(dòng)，施加的拉 力產(chǎn)垂直u4水平向左時(shí)時(shí)政的f最小設(shè)m方體邊k為/ ,則此忖以后如果f始籍垂直川）邊而衛(wèi)皴慢翻粘七方體，則f會(huì)變小,（h v反而變 大，這去明d處只要開(kāi)始不滑動(dòng)就不可能再滑動(dòng)九3. （2010南大強(qiáng)化）如圖所示，一個(gè)質(zhì)量均勻分布的直桿擱置在質(zhì)量均勻的圓環(huán)上，桿與圓環(huán)相切,系統(tǒng)靜止在水平地面上， 桿與地面接觸點(diǎn)為 a,與環(huán)面接觸點(diǎn)為 b。已知兩個(gè)物體的質(zhì)量線(xiàn)密度均為p ,桿與地面夾角為0

22、,圓環(huán)半徑為r,所有接觸點(diǎn)的摩擦 力足夠大。求：（1）地給圓環(huán)的摩擦力。（2）求a、b兩點(diǎn)靜摩擦系數(shù)的取值范圍。解：球受力如圖所示，水平方向合力為零得:fz + j cos 8 = nj sin 9以圓心。點(diǎn)為軸有, ar-人r*即/,=力，對(duì)球以點(diǎn)物軸有："3即- n .再取秫、桿整體為斫究對(duì)象以月點(diǎn)為軸有；=m 遙£ + 切g(shù) * cds 0 .即解得m 1 g cosm gin 8 cos 0 感&2(l + eos =2b處?kù)o摩擦因數(shù)sin &02 =- = tan'tn2 tn 2 g 1 + cos 02a處?kù)o摩擦因數(shù)>fi naf

23、ttan(/2) cos'=:二 m g(l 0, 5cos0y 2 cosp五、備用1.（第二屆全國(guó)復(fù)賽）如圖所示，勻質(zhì)管子ab長(zhǎng)為l,重為g,其a端放在水平面上,的光滑鉛直支座上，設(shè)管子與水平面成傾角 0=45° ,試求要使管子處于平衡時(shí)， 因數(shù)的最小值。而點(diǎn)c則靠在高h(yuǎn) =2它與水平面之間的摩擦2.（第十屆全國(guó)預(yù)賽）半徑為r質(zhì)量為m的均勻圓球與一質(zhì)量為 m的重物分別用細(xì)繩 ad和ace懸掛于同一點(diǎn) a并處于平衡，如圖所示.已知懸點(diǎn)a到球心的距為l,不考慮繩的質(zhì)量和繩與球間的摩擦 ，求懸掛圓球的繩 ad與豎直方向ab的夾角口 答案：6=arcsin m2rl（m1 m 2

24、）解：球受重力mg,ad繩受拉力為t,acee力為n因重力mg通過(guò)圓心，n也通過(guò)圓 心（但不是水平方向），所以t也通過(guò)圓（三力共點(diǎn)），oa=l.取整體為研究對(duì)象對(duì) a點(diǎn)的力矩平衡，mgobmgbc 或 mglsin 隹mg( r lsin 9),得 6=arcsinm 2rl(m 1 m 2)3. 如圖所示，一根細(xì)長(zhǎng)棒上端a處用錢(qián)鏈與天花板相連， 下端用錢(qián)鏈與另一細(xì)棒相連，兩棒的長(zhǎng)度相等,兩棒限以圖示的豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且不計(jì)較鏈處的摩擦，當(dāng)在c端加一個(gè)適當(dāng)?shù)耐饬Γㄔ诩埫鎯?nèi)）可使兩棒平衡在圖示的位置處，即兩棒間的夾角為903且c端正女?在a瑞的正下方。（1）不管兩棒的質(zhì)量如何，此外力只可能在哪個(gè)

25、方向的范圍內(nèi)？說(shuō)明道理（不要求推算）。（2）如果aew的質(zhì)量為mn, bcw的質(zhì)量為m,求此外力的大小和方向。答案：（1）用勺方向與aco!范圍18吃4 -45響；（2） f =；g72m”而工8前2一解（1）設(shè)f的方向與ace角為仇如果當(dāng)m質(zhì)量很小時(shí)，abbc勺作用力沿abt向，或則f的方向必交于ab勺中點(diǎn)，7=45 -tan "二化.24 ；.，如果當(dāng)m2質(zhì)量很小時(shí)，則f的方向沿b3向，6=45%匕/所以ft向的范圍是0=18 口24 -45祠。戶(hù)/（2）以 aj轉(zhuǎn)軸，對(duì)兩棒有：（m1 +mi2）g m l sin450 =f m1/2l sin日2以叨轉(zhuǎn)軸，對(duì) bcf： m2g

26、 l sin 450 =f lsin(450 -力-sin(45 - t)=sin45 cos >cso45 sin >-有式得 f的大小：f =lgj2m12 +10m2+8m1m2 ;4f的方向與豎直線(xiàn)的夾角 htan,m1 m2 .3m2 m1可見(jiàn)，m=0時(shí)，6=tan,l =18 n24m=0時(shí)，6=tan，=45 口 34 .如圖兩把相同的均勻梯子 ac和bc,由c端的錢(qián)鏈 連起來(lái)，組成人字形梯子，下端 a和b相距 6m, c端離水平地面4ml總重200 n, 一人重600 n,由b端上爬，若梯子與地面的靜摩擦因數(shù) 科=0.6 , 則人爬到何處梯子就要滑動(dòng)？解：進(jìn)行受力分

27、析，如圖所示，把人和梯子看成一個(gè)整體，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀 態(tài)：ab=6m , cd=4m ac=bc=5m設(shè)人到較鏈c的距離為l滿(mǎn)足 £ f =0, £ m =0所以 g . gac . gbc = fni . fn2ff1 = ff2.1,g l cosgbc - bd fni cd = fni bd 2整理后：fn1 =fn2 =400n , l =2.5m所以人在爬到梯子中點(diǎn)處時(shí)梯子就要滑動(dòng)1 -12、a = tan )25 .架均勻梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在豎直的墻上，梯子與地面及梯子與墻間的靜摩擦因數(shù)分別為4、山。求梯子能平衡時(shí)與地面所成的最小夾角。（

28、答案:解法1:設(shè)梯子能平衡時(shí)與地面所成的最小夾角為%則有f1=nn, f2=p2n2 （同時(shí)達(dá)到最大，與上7/題有區(qū)別）水平方向：hn1=n2,豎直方向：2n2+n=g,得：gjnhna八1取a女為轉(zhuǎn)軸： lg cos.匚-ln? sin.匚-l4 n2 cos二=021 _121 1 - ' 2用牛語(yǔ) tan a =,即 a =tan 。2 科2k解法2:地對(duì)梯和墻對(duì)梯的二個(gè)全反力與重力必交于一點(diǎn)(如圖的晶)則有：tan ：i =i,tan -2=.l2,bc dh de dh de 1, .1 ,.有幾何關(guān)系：tana = 一 = cot中i 一 tan中2 ,ac 2ah 2ah

29、 2eb 22可解得：.=tan，上士“2l6.如圖所示.梯子長(zhǎng)為 21,重量為g梯子上的人的重量為 g',人離梯子下端距離為 h,梯子與地面夾 角為，梯子下端與地面間的摩擦因數(shù)為，梯子上端與墻的摩擦力忽略不計(jì)，試求梯子不滑動(dòng)時(shí)的h解桿的受力情況如圖所示：由于桿靜止，'、f =0/ m =0'n =fn'=g'+gglcos ghcos? - n2lsin1 f)n解方程可以得出：h二2 j|(g g )tan i - gl /店”、(原答案有誤)所以，只要h <g2 t (g g)tan 二-gl,梯子就不會(huì)滑動(dòng)。7.如圖所示，方桌重 g=100

30、 n,前后腿與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)n=0.20 ,桌的寬與高相等。求：(1)拉力f、地面對(duì)前、后腿的支持力和摩擦力。(2)設(shè)前、后腿與地面間的靜摩擦因數(shù) 力拉桌可使桌子以前腿為軸向前翻倒？= 0.60 。在方桌的前端用多大水平解：門(mén))據(jù)蜘體一股平副條件有£r=f一(八十力值.=f h 十 * h g , =0聯(lián)立以上四式可得出；f - 20 n. $ 30 n, $ =70 n,人=14 n. f£c2)h處彈力和摩擦力均恰好為零時(shí)，以a點(diǎn)為軸土由 fj/tg。=。得 f'=50nu而同時(shí)jjid to n/否則方臬會(huì)滑動(dòng))故5on<f6o n,8.如圖所示，一根細(xì)棒ar a端用絞鏈與天花板相連，b端用絞鏈與另一細(xì)棒 bc相連，二棒長(zhǎng)度相等.限 于在圖示的豎直面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且不計(jì)絞鏈處的摩擦，當(dāng)在c端加一個(gè)適當(dāng)?shù)耐饬?與ab '2、622"bc在一個(gè)平面內(nèi))可使二棒靜止在圖示位置，即二棒相互垂直.且 c在a端的正下方(1)不論二棒的質(zhì)量如何，此外力只可能在哪個(gè)方向范圍內(nèi)？試說(shuō)明理由! (2)如果ab棒的質(zhì)量為mi, bc棒質(zhì)量為 田求此外力的大小和力向.|(3)此時(shí)bc棒對(duì)ab棒的作用力的大小是多少解(1)外力的范圍應(yīng)在豎