高考數(shù)學(xué)理科一輪【學(xué)案28】數(shù)列的概念與簡單表示法含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第六章數(shù)列學(xué)案28數(shù)列的概念與簡單表示法導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)自主梳理1數(shù)列的定義按_著的一列數(shù)叫數(shù)列，數(shù)列中的_都叫這個數(shù)列的項(xiàng)；在函數(shù)意義下，數(shù)列是_的函數(shù)，數(shù)列的一般形式為：_，簡記為an，其中an是數(shù)列的第_項(xiàng)2通項(xiàng)公式：如果數(shù)列an的_與_之間的關(guān)系可以_來表示，那么這個式子叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式但并非每個數(shù)列都有通項(xiàng)公式，也并非都是唯一的3數(shù)列常用表示法有：_、_、_.4數(shù)列的分類：數(shù)列按項(xiàng)數(shù)來分，分為_、_；按項(xiàng)的增減規(guī)律分為_、_、_和_遞增數(shù)列an1_

2、an；遞減數(shù)列an1_an；常數(shù)列an1_an.5an與sn的關(guān)系：已知sn，則an自我檢測1(20xx·汕頭月考)設(shè)ann210n11，則數(shù)列an從首項(xiàng)到第幾項(xiàng)的和最大 ()a10b11c10或11d122已知數(shù)列an對任意的p，qn*滿足apqapaq，且a26，那么a10等于 ()a165b33c30d213(20xx·龍巖月考)已知數(shù)列1，按此規(guī)律，則這個數(shù)列的通項(xiàng)公式是()aan(1)n·ban(1)n·can(1)n·dan(1)n·4下列對數(shù)列的理解：數(shù)列可以看成一個定義在n*(或它的有限子集1,2,3，n)上的函數(shù)；數(shù)

3、列的項(xiàng)數(shù)是有限的；數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)；數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的其中說法正確的序號是 ()abcd5(20xx·湖南長郡中學(xué)月考)在數(shù)列an中，若a11，a2， (nn*)，則該數(shù)列的通項(xiàng)an_.探究點(diǎn)一由數(shù)列前幾項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng)例1寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式，使它的前幾項(xiàng)分別是下列各數(shù)：(1)，；(2)，2，8，.變式遷移1寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：(1)3,5,9,17,33，；(2)，2，8，；(3)，2，；(4)1,0,1,0，.探究點(diǎn)二由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)例2根據(jù)下列條件，寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)a12，an1ann；(2)a11,2n1anan1

4、(n2)變式遷移2根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)a11，an13an2；(2)a11，an1(n1)an；(3)a12，an1anln.探究點(diǎn)三由an與sn的關(guān)系求an例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn2n23n1，求an的通項(xiàng)公式變式遷移3(20xx·杭州月考)(1)已知an的前n項(xiàng)和sn3nb，求an的通項(xiàng)公式(2)已知在正項(xiàng)數(shù)列an中，sn表示前n項(xiàng)和且2an1，求an.函數(shù)思想的應(yīng)用例(12分)已知數(shù)列an的通項(xiàng)an(n1)n (nn*)，試問該數(shù)列an有沒有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒有，說明理由【答題模板】解方法一令4分，n9或n10時，an最大，10分即

5、數(shù)列an有最大項(xiàng)，此時n9或n10.12分方法二an1an(n2)·n1(n1)·nn·，2分當(dāng)n<9時，an1an>0，即an1>an；當(dāng)n9時，an1an0，即an1an；當(dāng)n>9時，an1an<0，即an1<an.8分故a1<a2<a3<<a9a10>a11>a12>，10分?jǐn)?shù)列an中有最大項(xiàng)，為第9、10項(xiàng)12分【突破思維障礙】有關(guān)數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)，數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性常用作差法，作商法，圖象法求最大項(xiàng)時也可用an滿足；若求最小項(xiàng)，則用an滿足

6、.數(shù)列實(shí)質(zhì)就是一種特殊的函數(shù)，所以本題就是用函數(shù)的思想求最值【易錯點(diǎn)剖析】本題解題過程中易出現(xiàn)只解出a9這一項(xiàng)，而忽視了a9a10，從而導(dǎo)致漏解1數(shù)列的遞推公式是研究的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，而通項(xiàng)公式則是研究的項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系2求數(shù)列的通項(xiàng)公式是本節(jié)的重點(diǎn)，主要掌握三種方法：(1)由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出一個通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是善于觀察；(2)數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn與數(shù)列an的通項(xiàng)公式an的關(guān)系，要注意驗(yàn)證能否統(tǒng)一到一個式子中；(3)由遞推公式求通項(xiàng)公式，常用方法有累加、累乘3本節(jié)易錯點(diǎn)是利用sn求an時，忘記討論n1的情況(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(20xx·安徽

7、)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和snn2，則a8的值為 ()a15b16c49d642已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an，那么這個數(shù)列是 ()a遞增數(shù)列b遞減數(shù)列c擺動數(shù)列d常數(shù)列3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且sn2(an1)，則a2等于 ()a4b2c1d24(20xx·煙臺模擬)數(shù)列an中，若an1，a11，則a6等于 ()a13b.c11d.5數(shù)列an滿足anan1 (nn*)，a22，sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則s21為 ()a5b.c.d.題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6數(shù)列an滿足an1若a1，則a2 010的值為_7已知sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且有snn21

8、，則數(shù)列an的通項(xiàng)an_.8(20xx·安慶月考)將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：123456789101112131415根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n (n3)行從左至右的第3個數(shù)是_三、解答題(共38分)9(12分)寫出下列各數(shù)列的一個通項(xiàng)公式(1)1，2，3，4，；(2)1，.10(12分)由下列數(shù)列an遞推公式求數(shù)列an的通項(xiàng)公式：(1)a11，anan1n (n2)；(2)a11， (n2)；(3)a11，an2an11 (n2)11(14分)(2009·安徽)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn2n22n，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn2bn.(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(

9、2)設(shè)cna·bn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n3時，cn1<cn.答案 自主梳理1一定順序排列每一個數(shù)定義域?yàn)閚*(或它的子集)a1，a2，a3，an，n2.第n項(xiàng)n用一個公式3.解析法(通項(xiàng)公式或遞推公式)列表法圖象法4.有窮數(shù)列無窮數(shù)列遞增數(shù)列遞減數(shù)列擺動數(shù)列常數(shù)列 ><5.s1snsn1自我檢測1c2.c3.c4.c5.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個通項(xiàng)公式，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，要使用添項(xiàng)、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項(xiàng)公式來求；(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)涵著“從特殊到一般”的思想，得出的結(jié)論

10、不一定可靠，在解答題中一般應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明解(1)原數(shù)列為，an.(2)原數(shù)列為，an.變式遷移1解(1)a13211，a25221，a39231，an2n1.(2)將數(shù)列中各項(xiàng)統(tǒng)一成分母為2的分?jǐn)?shù)，得，觀察知，各項(xiàng)的分子是對應(yīng)項(xiàng)數(shù)的平方，數(shù)列通項(xiàng)公式是an.(3)將數(shù)列各項(xiàng)統(tǒng)一成的形式得，；觀察知，數(shù)列各項(xiàng)的被開方數(shù)逐個增加3，且被開方數(shù)加1后，又變?yōu)?,6,9,12，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是an.(4)從奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)角度入手，可以得到分段形式的解析式，也可看作數(shù)列1,1,1,1，和1，1,1，1，對應(yīng)項(xiàng)相加之和的一半組成的數(shù)列，也可用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最值和零點(diǎn)值來調(diào)整表示所以an或

11、an (nn*)，或an或ansin2 (nn*)，或an (nn*)例2解題導(dǎo)引利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般有以下三種方法：(1)累加法：如果已知數(shù)列an的相鄰兩項(xiàng)an1與an的差的一個關(guān)系式，我們可依次寫出前n項(xiàng)中所有相鄰兩項(xiàng)的差的關(guān)系式，然后把這n1個式子相加，整理求出數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)累積法：如果已知數(shù)列an的相鄰兩項(xiàng)an1與an的商的一個關(guān)系式，我們可依次寫出前n項(xiàng)中所有相鄰兩項(xiàng)的商的關(guān)系式，然后把這n1個式子相乘，整理求出數(shù)列的通項(xiàng)公式(3)構(gòu)造法：根據(jù)所給數(shù)列的遞推公式以及其他有關(guān)關(guān)系式，進(jìn)行變形整理，構(gòu)造出一個新的等差或等比數(shù)列，利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解解

12、(1)當(dāng)n1,2,3，n1時，可得n1個等式，anan1n1，an1an2n2，a2a11，將其相加，得ana1123(n1)ana12.(2)方法一an·····a1n1·n2··2·112(n1)，an.方法二由2n1anan1，得ann1an1.ann1an1n1·n2an2n1·n2··1a1(n1)(n2)21變式遷移2解(1)an13an2，an113(an1)，3，數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3，又a112，an12·3n1，an2·

13、;3n11.(2)an1(n1)an，n1.n，n1，3，2，a11.累乘可得，ann×(n1)×(n2)××3×2×1n！.故ann！.(3)an1anln，an1anlnln .anan1ln ，an1an2ln ，a2a1ln ，累加可得，ana1ln ln ln ln nln(n1)ln(n1)ln(n2)ln 2ln 1ln n.又a12，anln n2.例3解題導(dǎo)引an與sn的關(guān)系式ansnsn1的條件是n2，求an時切勿漏掉n1，即a1s1的情況一般地，當(dāng)a1s1適合ansnsn1時，則需統(tǒng)一“合寫”當(dāng)a1s1不適合an

14、snsn1時，則通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示，即an解當(dāng)n1時，a1s12×123×110；當(dāng)n2時，ansnsn1(2n23n1)2(n1)23(n1)14n5；又n1時，an4×151a1，an變式遷移3解(1)a1s13b，當(dāng)n2時，ansnsn1(3nb)(3n1b)2·3n1.當(dāng)b1時，a1適合此等式；當(dāng)b1時，a1不適合此等式當(dāng)b1時，an2·3n1；當(dāng)b1時，an.(2)由2an1，得sn2，當(dāng)n1時，a1s12，得a11；當(dāng)n2時，ansnsn122，整理，得(anan1)(anan12)0，數(shù)列an各項(xiàng)為正，anan1>0.ana

15、n120.數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列ana1(n1)×22n1.課后練習(xí)區(qū)1a2.a3.a4.d5.b6.7.8.9解(1)a11，a22，a33，ann(nn*)(6分)(2)a1，a2，a3，a4，an(1)n·(nn*)(12分)10解(1)由題意得，anan1n，an1an2n1，a3a23，a2a12.將上述各式等號兩邊累加得，ana1n(n1)32，即ann(n1)321，故an.(4分)(2)由題意得，.將上述各式累乘得，故an.(8分)(3)由an2an11，得an12(an11)，又a1120，所以2，即數(shù)列an1是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列所以an12n，即an2n1.(12分)11(1)解a1s14.(1分)對于n2有ansnsn12n(n1)2(n1)n4n.a1也適合，an的通項(xiàng)公式an4n.(3分)將n1代入tn2bn，得b12b1，故t1b11.(4分)(求bn方法一)對于n2，由tn12bn1，tn2bn，得bntntn1(bnbn1)，bnbn1，bn21n.(6分)(求bn方法二)對于n2，由tn2bn得tn2(tntn1)，2tn2tn1，tn2(tn12)，tn221n(t12)21n，tn22