雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時(shí)）（一）教學(xué)目標(biāo)掌握雙曲線的定義，會(huì)推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)條件求簡(jiǎn)單的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（二）教學(xué)教程【復(fù)習(xí)提問(wèn)】由一位學(xué)生口答，教師板書問(wèn)題1：橢圓的第一定義是什么？問(wèn)題2：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？【新知探索】1雙曲線的概念如果把上述定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生什么變化？它的方程雙是怎樣的呢？（1）演示如圖，定點(diǎn) 、 是兩個(gè)按釘， 是一個(gè)細(xì)套管，點(diǎn) 移動(dòng)時(shí)， 是常數(shù)，這樣就畫出雙曲線的一支，由 是同一個(gè)常數(shù)，可以畫出雙曲線的另一支這樣作出的曲線就叫做雙曲線（2）設(shè)問(wèn)定點(diǎn) 、 與動(dòng)點(diǎn) 不在同一平面內(nèi)，能否得到雙曲線？請(qǐng)學(xué)生回答，不能指出必

2、須“在平面內(nèi)” 到 與 兩點(diǎn)的距離的差有什么關(guān)系？請(qǐng)學(xué)生回答， 到 與 的距離的差的絕對(duì)值相等，否則只表示雙曲線的一支，即 是一個(gè)常數(shù)這個(gè)常是否會(huì)大于或等 ？請(qǐng)學(xué)生回答，應(yīng)小于 且大于零當(dāng)常數(shù) 時(shí)，軌跡是以 、 為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)常數(shù) 時(shí)，無(wú)軌跡（3）定義在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括出雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) 、 的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于 ）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程現(xiàn)在我們可以用類似求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法來(lái)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，請(qǐng)學(xué)生思考、回憶橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法，隨即引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)（1）建系設(shè)

3、點(diǎn)取過(guò)焦點(diǎn) 、 的直線為 軸，線段 的垂直平分線為 軸建立在直角坐標(biāo)系（如圖）設(shè) 為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距為 ，則 、 ，又設(shè)點(diǎn) 與 、 的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù) （2）點(diǎn)的焦合由定義可知，雙曲線上點(diǎn)的集合是 （3）代數(shù)方程 （4）化簡(jiǎn)方程由一位學(xué)生演板，教師巡視，將上述方程化為 移項(xiàng)兩邊平方后整理得： 兩邊再平方后整理得： 由雙曲線定義知 即 ， ，設(shè) 代入上式整理得： 這個(gè)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程它所表示的雙曲線的焦點(diǎn)在 軸上，焦點(diǎn)是 、 ，這里 如果雙曲線的焦點(diǎn)在 軸上，即焦點(diǎn) ， ，可以得到方程 這個(gè)方程也是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程教師應(yīng)當(dāng)指出：（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其定義可聯(lián)系起

4、來(lái)記憶，定義中有“差”，則方程“”號(hào)連接，（2）雙曲線方程中 ， ，但 不一定大于 ；（3）如果 的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在 軸上，如果 的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在 軸上，有別于橢圓通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)的位置；（4）雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中 、 、 的關(guān)系是 ，不同于橢圓方程中 【例題分析】例1  說(shuō)明：橢圓 與雙曲線 的焦點(diǎn)相同由一位學(xué)生板演完成，答案都是 例2  已知兩點(diǎn) 、 ，求與它們的距離的差的絕對(duì)值為6的點(diǎn)的軌跡方程如果把上面的6改為12，其他條件不變，會(huì)出現(xiàn)什么情況？由教師講解解：按定義，所求點(diǎn)的軌跡是以 、 為焦點(diǎn)的雙曲線這里 ， ， 故所求雙曲線的方程為 若 ，

5、則 且 ，所以動(dòng)點(diǎn)無(wú)軌跡（三）隨堂練習(xí)1求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1） ， ；（2）焦點(diǎn)（0，6），（0，6），經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，5）2已知方程 ，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)3已知方程 表示雙曲線，求 的取值范圍答案：1（1） 或 ；（2） ；2 ；3 或 （四）總結(jié)提煉1雙曲線定義（ ， 為定點(diǎn)， 為常數(shù)）圖形      標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)， ， ， ， 關(guān)系2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一寫成 若 ， 表示焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線，若 ， 則表示焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線（五）布置作業(yè)1已知平面上定點(diǎn) 、 及動(dòng)點(diǎn) ，命題甲：“ （ 為常數(shù)）”，命題乙：“ 點(diǎn)軌

6、跡是 、 為焦點(diǎn)的雙曲線”，則甲是乙的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件2已知 ， ， ，當(dāng) 和5時(shí)， 點(diǎn)的軌跡為（）A雙曲線和一條直線B雙曲線和二條射線C雙曲線一支和一條直線D雙曲線一支和一條射線3雙曲線 上一點(diǎn) 到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于1，則點(diǎn) 到另一焦點(diǎn)的距離等于_；若 到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于17，則點(diǎn) 到另一焦點(diǎn)的距離等_4如果橢圓 與雙曲線 的焦點(diǎn)相同，那么 5已知方程 （1） 為何值時(shí)方程表示雙曲線；（2）證明這些雙曲線有共同焦點(diǎn)6已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，雙曲線上一點(diǎn) 到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為24，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程答案：1B；2D；317，1或33；41；5 ，當(dāng) 時(shí)，方程 表示雙曲線方程可表示為 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±1）6 （六）板