高中數(shù)學解析幾何專題

1、高中解析幾何專題（精編版）1.（天津文）設橢圓的左、右焦點分別為3, F2。點尸（“,）滿足 PF2 1=16入 I.（I）求橢圓的離心率6；（II）設直線PR及橢圓相交于A, B兩點，若直線PF2及圓 （1+1）2+6，-力）2 = 16相交于N兩點，且，求橢圓的方程。 【解析】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、 兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、直線及圓的位置關系 等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質及數(shù)形結合的 數(shù)學思想，考查解決問題能力及運算能力，滿分13分。（I ）解:設式（-c,0）,5（c,0）（c>0）,因為IP鳥 IT "5 I,

2、所以癡-4+/=2c ,整理得23+£-1=0,得£ = -1 （舍）a） aa或（II）解：由（I ）知。=2。/=口，可得橢圓方程為3/+4y2=i2/, 直線FF2的方程為丁 =瓜X-C）.A, B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得5x2-8m = 0。解得,8x =0%=三3得方程組的解'廠5X =3V3?2= 不妨設，B（0,Wc）,所以1AB噴于是+ 孚。+辰）苧圓心（-1,6）到直線PF?的距離d =二皿="父因為，所以整理得7c2+12。-52 = 0,得（舍）,或c = 2.所以橢圓方程為2 .己知橢圓G：L +二=1（"&g

3、t;>。）的離心率為底，右焦點為（2近,0）, a b3斜率為I的直線/及橢圓G交及A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（-3,2）.（I）求橢圓G的方程；（H）求PA8的面積.【解析】解：（I）由已知得解得 a = 2 5/3.又 b，= a2 -c2 =4.所以橢圓G的方程為（II）設直線/的方程為y = x + .由得4x2 + 6mx+3m2 -12 = 0.設A B的坐標分別為（西,弘）,（芍,為）（m<“2），AB中點為E（x0,），o）, 則因為AB是等腰4PAB的底邊,所以 PEJ_AB.所以PE的斜率解得m=2o此時方程為4x2 +12% = 0.解得X

4、 =-3,占=。.所以y =-1,%=2.所以|AB|二3后.此時，點P （ 3 , 2 ）到直線AB： x-y + 2 = 0的距離 ,1-3-2 + 21 372所以APAB的面積S=3 .（全國大綱文）已知0為坐標原點，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦 點，過F且斜率為-V?的直線/及C交及A、B兩點，點P滿足OA + OB + OP = G.（I ）證明：點P在c上；（H）設點P關于0的對稱點為Q, P、B、Q四點在同一圓上?！窘馕觥?2.解：（I） F （0, 1）, I y = -yJlx+ ,代入并化簡得4/-2后-1 = 0.設 A（x, x）, B（x2 , y2 P（x3,必）,

5、% =一忘（ +當）+ 2 = 1,5由題意得七=一（5+）=一-，力=一（1 +，2）= -1所以點P的坐標為經驗證，點P的坐標為滿足方程故點P在橢圓C上。（H）由和題設知，PQ的垂直一部分線乙的方程為設AB的中點為M,貝ij, AB的垂直平分線為/，的方程為由、得小。的交點為I AB 1= J1 +（一分 I x2 - a- 1=羋，AM l=, 4I NA 1= JlAM F+LWVF =8故 |NP| 二 |NA|.X|NP| = |NQ|, |NA| = |NB|,所以 |NA| = |NP| = |NB| = |MQ|,由此知A、P、B、Q四點在以N為圓心，NA為半徑的圓上。4 .

6、（全國新文）在平面直角坐標系xOy中，曲線y = x、6x + l及坐標 軸的交點都在圓C上.（I）求圓C的方程；（H）若圓C及直線x-y + a = O交于A, B兩點，且OA_LO民求a 的值.【解析】解：（I ）曲線y = V6計1及y軸的交點為（0, 1）,及x軸的交點為（3 + 2及,0）,（3-2&,0）.故可設C的圓心為（3, t）,則有32+（"C =（2應產+巴解得t=1則圓C的半徑為，32+（-1尸=3.所以圓C的方程為（x-3）2+（y一為=9.（II ）設A （七,%），B （ x2, y2 ）,其坐標滿足方程組:x y + a = 0,（A-3）2+

7、（y-l）2=9.消去y,得到方程2x +（2a-S）x + a2 -2a+ 1 = 0.由己知可得，判別式 = 56-16-4, >0.（8- 2a）± j56-16r/-42因此，=，從而4a - 0 2。+ 1廣、x +x2 =4-a, xx2 = 2由于 0A_L0B,可得+ y % =。,又 yl=xl+ a, y2 = x2 + a,所以2xix2 + a（xl +x2） + a2 =0.由，得。=-1,滿足A>0,故。=-1.5.（遼寧文）如圖，已知橢圓G的中心在原點。，長軸左、右端點亂 N在x軸上，橢圓G的短軸為理V,且G, G的離心率都為&直線1

8、 J_MN, /及G交于兩點，及C交于兩點，這四點按縱坐標從大到小依 次為 4 B, C, D.（I）設，求陽|及|44的比值；（II）當e變化時，是否存在直線1,使得604M并說明理由.【解析】解：（I）因為a, a的離心率相同，故依題意可設廠 V"V" 廠G: = L a: 37 = 1,（ > 人 >。）c 廠 lra cr設直線/：x=（<a）,分別及a, a的方程聯(lián)立，求得-3),8( J J,5 -3). 4 分ba當e = _L時,b =分別用力,為表示A, B的縱坐標，可知22IBC 1:1 AD|=112kJ = X = -. 6 分21

9、 yj / 4(ID t=0時的/不符合題意./工0時，BOAN當且僅當B0的斜 率服及AN的斜率心相等，即-Ja2 -r2 -la2 -t2 a= b tt -a解得"二=_七二"cr -Z?" 夕因為1“ ，又0evl,所以二二1,解得正evL /2所以當時，不存在直線/,使得BOAN；當時，存在直線/使得BOAN. 12分6.(江西文)己知過拋物線)，=2/八(p0)的焦點，斜率為2應的直線交拋物線于X)和B(x2,y2)a )兩點，且|明=9,(1)求該拋物線的方程；(2)。為坐標原點，C為拋物線上一點，若次+ 4無，求X的 值.【解析】19.(本小題滿分

10、12分)(1)直線AB的方程是，及V = 2px聯(lián)立，從而有4父-5Px + p2 =0,所以：由拋物線定義得：1481=+9 + = 9,所以p=4,從而拋物線方程是，2=8k(2)由 = 4,4/-Spx+p? =0可簡化為x2 + 4 = 0,從而.=1, X2 = 4,) = -2&, y2 = 45/2,從而 A(l, - 2 ),4(4,4 萬設。6=(七,匕)=(1 - 2 點)+ 4(4,4 )=(42 +1,4 - 2 點) 又代=8占,艮P2應(22一川2 =8(42+1),B|J(22-1)2 =42 + 1解得2 =0,或4 = 2.7.(山東文)22.(本小題

11、滿分14分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓.如圖所示，斜率為攵(攵0) 且不過原點的直線/交橢圓。于A, B兩點，線段A3的中點為E, 射線。E交橢圓。于點G ,交直線X=-3于點0(-3,?).(I )求的最小值；(II ) OG = OD-OE,(i)求證：直線/過定點;(ii )試問點B , G能否關于x軸對稱？若能，求出此時 的外接圓方程；若不能，請說明理由.【解析】22. (I)解：設直線/的方程為)，=京+以0),由題意，r 0.由方程組得(3k2 +l)x2 + 6to + 3t2 -3 = 0,由題意(), 所以女?+l.設人(公)8(，為),由韋達定理得所以由于E為線段A

12、B的中點，因此/=*,% = -_,3k +13kl +1此時所以0E所在直線方程為又由題設知D (-3, m),令x=-3,得，即mk=L所以/ +公 2次=2,當且僅當m=k=l時上式等號成立，此時由()得0，2,因此當？ = k = l且0f 2時，川+公取最小值2。(ID (i)由(I)知0D所在直線的方程為將其代入橢圓C的方程，并由攵0,解得G（-7獸=，亍J）,又E（-3*, J3kV3P+13K+1 3K + 1 k由距離公式及0得IOG l2=+（1_）2 =空二1,。3-+1J3/ + 13K+OE 1=（3內 ；，j J版在N 3k? + 13k2 + l - 3k2+1由

13、iogF=i ooiio曰得f =攵,因此，直線/的方程為y = k(x + l).所以，直線/恒過定點(-1,0).(ii)由(i)得G(-=，=) V3P + 1 43k2+1若B, G關于x軸對稱，則 8(一74=,43k2+ 1 V3P+1代入 y = Z(x+ 1)整理得弘2 - 1 = kJ3k2 +1, 即6右一7攵2+1 = 0,解得（舍去）或攵2=1,所以k=l,此時關于x軸對稱。又由（I）得-=0辦=1,所以A （0, Do由于AABG的外接圓的圓心在x軸上，可設A48G的外接圓的圓心 為（d, 0）,因止匕+1 = （1 + ）2 + ,解得 4 =,242故的外接圓的半

14、徑為，所以AABG的外接圓方程為8 .（陜西文）17.（本小題滿分12分）設橢圓C:過點（0, 4）,離心率為|（I ）求C的方程；（II）求過點（3, 0）且斜率為:的直線被C所截線段的中點坐標。【解析】17.解（I ）將（0, 4）代入C的方程得b=4又得RP,a=5AC的方程為（II）過點（3,0）且斜率為士的直線方程為，5設直線及C的交點為A（x，y）, B（x2,y2）,將直線方程代入C的方程，得即 x?-3x-8 = 0,解得,，AB的中點坐標，八6）=4即中點為。注：用韋達定理正確求得結果，同樣給分。9 .（上海文）22. （16分）已知橢圓（常數(shù)7>1）,點尸是。上的動點

15、，M是右頂點，定點A的坐標為（2,0）。（1）若M及A重合，求C的焦點坐標；（2）若m=3,求1PAi的最大值及最小值；（3）若IPAI的最小值為IM4I,求?的取值范圍?！窘馕觥?2.解：? = 2,橢圓方程為，c = j4-1 =小 左.右焦點坐上小9 （-x/,0）,0(2) m = 3,橢圓方程為，設P(x,y),則Y2 S91IPAI2=(x-2)2 + y2=(x«2)2 + l -= -(x)2+-(-3<x<3) 9 92時；x = -3時IPAK = 5。設動點P(x,y),貝Iin-， /， z/ 廠 ，“1 , 2廠、， 4? u / / / 、I

16、PA=(x-2)- + 尸=(工-2廠 + 1 =(X ；y ；+ 5(-/z < x < in)m nr m m -1,*當工=2時，|F41取最小值，且，且? >1解得1 < m < 1 +近o10.（四川文）21.（本小題共12分）過點C（0, 1）的橢圓的離心率為色，橢圓及x軸交于兩點4“,0）、24-“,0）,過點。的直線/及橢圓交于另一點并及x 軸交于點R直線WC及直線仍交于點（I）當直線/過橢圓右焦點時，求線段切的長；（id當點2異于點6時，求證：而.而為定值.本小題主要考查直線、橢圓的標準方程及基本性質等基本知識，考查平面解析幾何的思想方法及推理運

17、算能力.解：（I ）由己知得，解得” =2,所以橢圓方程為.橢圓的右焦點為（6、。），此時直線,的方程為，代入橢圓方程得 7/-8氐=0,解得，代入直線/的方程得y.=l,j2=-l,所以，故皿=一0尸+（-；-17 =與.（II）當直線/及“軸垂直時及題意不符.設直線/的方程為 產h+1伏工。班甘）.代入橢圓方程得(42+r)A-2+8fcx- = 0.解得為=0,占=自，代入直線/的方程得， - 4k2+1所以點的坐標為.又直線力。的方程為£ +,，= 1,又直線班的方程為尸匕蘭（x + 2）,聯(lián) 2 '2-軟立得因止匕。（Y仁2A + 1）,又尸（_Lo）.k所以。戶

18、O。= （一Lo）（-4A. 2k +1） = 4 k故而.而為定值.11.（浙江文）（22）（本小題滿分15分）如圖，設P 是拋物線C： K = y上的動點。過點尸做圓C2：f+（y + 3）2 =1的兩 條切線，交直線/：），= -3于兩點。（I ）求.的圓心“到拋物線G準線的距離。（II）是否存在點P,使線段A3被拋物線G在點尸處得切線平分， 若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由。【解析】（22）本題主要考查拋物線幾何性質，直線及拋物線、直線 及圓的位置關系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解 能力。滿分15分。（I）解：因為拋物線C的準線方程為：所以圓心M到拋物線3準線的

19、距離為：（H）解：設點p的坐標為（/K）,拋物線a在點P處的切線交 直線/于點D。再設A, B, D的橫坐標分別為4，%過點P5石）的拋物線3的切線方程為：(1)=2x0(x-x0)當天=1時，過點P（1, 1）及圓C的切線PA為：r /17可得4=一代，4 =" =T，232出當x0=-1時，過點P（1, 1）及圓C2的切線PA為:可得.=-1,17 t個XB =1，七I +XBA17今4=一代，=1，匕)=_l，/+4所以片-1.0設切線PA, PB的斜率為則PA : y- x： = k (x - x0)(2)PB: y -Xg = k2(x- x0)( 3 )將), = _3分

20、別代入(1), (2), (3)得.V.7 3.V/7 + 3+3(% wo)；4 =XO-=x0一化/2 WO)2天仆k、從而 xA + xB = 2x0 一 (x： + 3)( + ).k k?即（片一 1）將一 2（片+ 3»就+ （片+ 3尸一 1 = 0同理,（片-1）右-2（片+3）/勺+（片+3> -1 =。所以占，七是方程« T* -2（* + 3）/A + （片+3）2-1 = 0的兩個不相等的根'從而4+2箋?？蒄因為 s +xB =2xq所以2-k21 / 17從而進而得x； = 8,$=土酶綜上所述，存在點P滿足題意，點P的坐標為（土揩

21、,2魚）.12.（重慶文）21.（本小題滿分12分。（I ）小問4分，（II ）小問 8分）如題（21）圖，橢圓的中心為原點。，離心率e吟，一條準線的 方程是工=2點（I）求該橢圓的標準方程；（II）設動點 P 滿足：OP = OM+2ON, 其中M. N是橢圓上的點，直線 0M及ON的斜率之積為，問：2是否存在定點F,使得|P及點P 到直線1:工=2加的距離之比為 定值；若存在，求F的坐標，若 不存在，說明理由?！窘馕觥?1.（本題12分）解：（I ）由e = £ =走，幺=2無， a 2 c解得4 = 2,c =近,b? =a2 -c2 = 2 9故橢圓的標準方程為(II)設尸則

22、由麗=麗+ 2麗得(x, y) =(M，y)+ 2(%,% ) =(K + 2x2 , yl + 2y2), 即 x = A + 2巧,y = yt + 2yz.因為點M, N在橢圓/+2y2=4上，所以x；+2y； =4,x；+2y； = 4,故 x2 + 2y2 = (x； + 4x; +) + 2( >7 + 4y; + 4;=(Xj2 + 2>f) + 4(x； + 2資)+ 4(中 = 20+4( + 2yl y2).設生“次次分別為直線。M，ON的斜率，由題設條件知k°M , kON =1 = 一：，因此642+2%力=°，xxx2 2所以 f +

23、2y2 = 20.所以P點是橢圓上的點，該橢圓的右焦點為以加。，離心率6 =走，直線，:x = 2M是該橢圓的右準線，故根據(jù)橢圓的第二定義, 2存在定點f（Vio,o）,使得|PF|及P點到直線1的距離之比為定值。13 .（安徽文）（17）（本小題滿分13分）設直線（：y =幻+1/ ： ），= k2x- 1,其中實數(shù)占間滿足&M +2 = 0.（I）證明及相交；（H）證明乙及的交點在橢圓2x?+y2=l上.【解析】（17）（本小題滿分13分）本題考查直線及直線的位置關系, 線線相交的判斷及證明，點在曲線上的判斷及證明，橢圓方程等基本 知識，考查推理論證能力和運算求解能力.證明：（I）

24、反證法，假設是人及義不相交，則人及區(qū)平行，有kx=k2,代入 kh+2=0,得6+2 = 0.此及k為實數(shù)的事實相矛盾.從而女尸的，即乙與乙相交.（II）（方法一）由方程組解得交點戶的坐標（X, >'）為而2/ + ）,2 = 2尸 + （2 = 8 + k；+k；+2k& = k.-k,k2kki+k-2k1k2 代+環(huán)+4此即表明交點PC"）在橢圓2-+儼=1上.（方法二）交點尸的坐標滿足丁一1 =幻<y+ 1 = k）xy匚故知"0從而4A代 乂/, + 2 = 0,得 11 + 2 = 0. x X整理后，得2/+）,2=1所以交點戶在橢

25、圓2a-2 + V = 1上.14 .（福建文）18.（本小題滿分12分）如圖，直線1： y=x+b及拋物線C： x2=4y相切于點Ao(I)求實數(shù)b的值；(ID求以點A為圓心，且及拋物線C的準線相切的圓的方程.?！窘馕觥?8.本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎知識，考查 運算求解能力，考查函數(shù)及方程思想、數(shù)形結合思想，滿分12 分。解：(I)由卜'得/一4% 4/，= 0, (*) r=4y因為直線/及拋物線C相切，所以 = (-4)24x(-4) = 0, 解得b二-1。(II)由(I)可知。=一1,故方程(*)即為小一4工+ 4 = 0,解得x=2,代入犬=4y,得y = 1.

26、故點 A (2, 1),因為圓A及拋物線C的準線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準線y二-1的距離， gpr=ll-(-l)l= 2,所以圓A的方程為(x_2)2+()1)2=4.15 .(湖北文)21.(本小題滿分14分)平面內及兩定點4(/,0)、 4m0) ("0)連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點的軌跡，加上I、4兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線。(I )求曲線C的方程，并討論C的形狀及m值的關系；(II)當? = -1時，對應的曲線為G；對給定的zw(T0)U(0,+s),對 應的曲線為G，設5、乃是G的兩個焦點。試問：在G上，是否存 在點N,使得N5的面積若

27、存在，求tanNF?的值; 若不存在，請說明理由。【解析】21.本小題主要考查曲線及方程、圓錐曲線等基礎知識，同 時考查推理運算的能力，以及分類及整合和數(shù)形結合的思想。(滿 分14分)解：(I)設動點為M,其坐標為(x,y),當x W ±4時，由條件可得3科攵成=-=1- = ?，x-a x+a x -aB|J mx1 - y2 = ma2 (x 豐 士a),又 A, (-a, 0), 4 (A, 0)的坐標滿足 mx1 - y2 = ma2, 故依題意，曲線C的方程為如y2 =尸當?7時曲線C的方程為是焦點在y軸上的橢圓；當 ? = -1時，曲線C的方程為f+y2=2, C是圓心在

28、原點的圓;當-1團0時，曲線C的方程為，C是焦點在x軸上的橢圓； 當機0時，曲線C的方程為C是焦點在x軸上的雙曲線。（II）由（I）知，當m=-l時，Q的方程為+產=/；當 wie（T0）U（0,+°）時，G的兩個焦點分別為6（-aVT1加0）, F2 （aVTT加0）.對于給定的， w （-1,0） U （。，2），Ci上存在點N（%,y（）（兒。0）使得S =1 m I a2的充耍條件是玉；+垢=，/，y0工。，< 1 、 2aJl + ? I y（） 1=1 m I a2.由得0<l%K,由得止八 I m I a nnl-v5 八 30< 一 <。，即&

29、lt; m < 0,y/1 + m2或時，存在點N,使S=|m|£；w. 17 1aHII , / / 1-V5當-=> a,即Tm<,Jl + 72或時，不存在滿足條件的點N,當me,0 U 0,時,由 NR = （-al + 團 一% 一 %）,NF； = （ajl+m 一1,一%），可得 NF】 NF2 =* 一（1 + m）a2 + y： = -ma1,令I NFi T=八,1 NF；T= r2,NF'NF? = 6 ,2則由 N” - NF, = cos0 = 一可得4G = -絲一，cos 6iitsTc 1 .八 /?k/2 sin 012 八

30、zyk nU 5 = rr, sin = - - ma tan 夕，22 cos <92于是由ST?la，可得一 Lma2 tan 0 =1 m /,即 tan 8 = 一'. 2m綜上可得：當時，在Cl上，存在點N,使得S=lmM,且tan/A嗎=2;當時，在Ci上，存在點N,使得S =l7la且tanENF2 =-2;當,（T二E）U（匕立什）時，在3上，不存在滿足條件的點N。 2216.（湖南文）21.（本小題滿分13分）已知平面內一動點P到點21.0）的距離及點尸到y(tǒng)軸的距離的差等 于1.（I）求動點P的軌跡C的方程；（II）過點/作兩條斜率存在且互相垂直的直線64,設乙

31、及軌跡c 相交于點48, /,及軌跡。相交于點DE,求標,反的最小值.【解析】21.解析：（I）設動點尸的坐標為（x,y）,由題意為而萬7斤-lxl=L化簡得 V=2x + 2lxl,當 X 2 01 4,y = 4x;當x < 00寸，y=0.、所以動點P的軌跡C的方程為,丁=4宜_心0）和y=0（x<0）.（ID由題意知，直線人的斜率存在且不為0,設為八貝I"的方 程為 >' = （x-l）.由，得攵討-（2攵?+4）x +攵2=0.設A（xq）B（w，為），則與是上述方程的兩個實根，于是 r 4.Xj + x2 = 2 + , xxx2 = 1 因為/

32、J/,所以/，的斜率為K設 D（x3,8）, 8（X4, y4）,則同理可得 x3 + x4=2 + 4kx3x4 = 1故一AD.EB =+ FD)(EF+FB)=春醞+公耘+而醞+西麗=西卜|函+|西|甌=(再 +1X 巧+1)+(演 +1乂項 +1)=xx2 +(X)+ X2)+ + x3x4 +(x3 + x4) + l4=1+（2 + 不）+1 + 1 + （2+4 F）+1 k= 8-b4（jt2 + ）>8+4x2. =16當且僅當即k=±l時，而而取最小值16.17.（廣東文）21.（本小題滿分14分）在平面直角坐標系式Qv中，直線/= -2交x軸于點A,設尸是

33、/上一點，M是線段0P的垂直平分線上一點，且滿足ZMP0=ZA0P（1）當點P在/上運動時，求點M的軌跡E的方程；（2）己知T （1, -1）,設H是E上動點，求四。|+|町的最小值,并給出此時點H的坐標；(3)過點T (1, -1)且不平行及y軸的直線L及軌跡E有且只有 兩個不同的交點，求直線6的斜率k的取值范圍?！窘馕觥?1.(本小題滿分14分)解：(1)如圖1,設嫄為線段0P的垂直平分線，交0P于點Q,/ ZMPQ = ZAOP, MP _L /,且 I MO 1=1 MP I.因此/+，=|工+ 2|,即y2 = 4( x + l)(x > -1).另一種情況，見圖2 (即點M和A位于直線0P的同側)。.MQ為線段0P的垂直平分線，4MPQ = ZMOQ.又.- 4MPQ = AAOP,：. /MOQ = ZAOP.因此M在x軸上，此時,記M的坐標為(乂0).為分析M(