大學(xué)物理課件：11-2,3 平面簡諧波的波函數(shù)

1、111-2 11-2 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波動表達式平面簡諧波的波動表達式：描述介質(zhì)中各質(zhì)點的位移：描述介質(zhì)中各質(zhì)點的位移 y 隨時間隨時間 t t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律 y( (x, t , t ) )。考慮考慮平面余弦行平面余弦行波在理想無吸收的均勻無限大介質(zhì)中波在理想無吸收的均勻無限大介質(zhì)中情形情形。 平面簡諧波平面簡諧波（余（余弦波或弦波或正正弦波）弦波） 平面簡諧波平面簡諧波傳播（傳播（平面簡諧平面簡諧行波）時，介質(zhì)中各質(zhì)行波）時，介質(zhì)中各質(zhì)點都作同一頻率的簡諧振動。任一時刻，各點的振動相點都作同一頻率的簡諧振動。任一時刻，各點的振動相位一般不同，位移也不

2、相同。但是據(jù)波陣面的定義可知，位一般不同，位移也不相同。但是據(jù)波陣面的定義可知，任一時刻在同一波陣面上的各點有相同的相位，它們離任一時刻在同一波陣面上的各點有相同的相位，它們離開各自的平衡位置有相同的位移。故只需研究與波面垂開各自的平衡位置有相同的位移。故只需研究與波面垂直的任一條波線的傳播規(guī)律即可。直的任一條波線的傳播規(guī)律即可。21.1.平面簡諧波的波動表式平面簡諧波的波動表式 平面簡諧行波，在平面簡諧行波，在無吸收的無吸收的均勻無限介質(zhì)中沿均勻無限介質(zhì)中沿x 軸的軸的正方向傳播，波速為正方向傳播，波速為u 。取任意一條波線為取任意一條波線為x 軸，假定軸，假定O 點處（點處（x 軸的原點）

3、質(zhì)點的振動表達式為：軸的原點）質(zhì)點的振動表達式為：00( )cos()y tAtOxyuxP則波線上任意點則波線上任意點P的振動表達式如何的振動表達式如何？3振動從振動從O O點傳波到點傳波到P P點需點需時間：時間：tx u 00( )()cos()PxxytytAtuu 因為因為O O 點振動的相位超前于點振動的相位超前于P P點，則點，則P P 點處質(zhì)點在時點處質(zhì)點在時刻刻t t 的位移就等于的位移就等于O O點處質(zhì)點在點處質(zhì)點在( (t- t- t t ) ) 時刻的位移：時刻的位移：xOyuxP00( )cos()y tAt 省去下標省去下標P P，上式即為波線上任一質(zhì)點（距原點為，

4、上式即為波線上任一質(zhì)點（距原點為x處）在任一瞬時處）在任一瞬時t的位移，即沿的位移，即沿x x 軸正方向前進的平軸正方向前進的平面簡諧波的面簡諧波的波動表式波動表式。 4沿沿 x 軸正方向傳播的平面簡諧波的表式也可寫為軸正方向傳播的平面簡諧波的表式也可寫為: : 22T ，uT 根據(jù)：根據(jù)：0( , )cos()xy x tAtu 0( , )cos 2txy x tAT 0( , )cos 2xy x tAt 0( , )cos()y x tAtkx 2k 為方便，引入角波數(shù)（或稱波矢）為方便，引入角波數(shù)（或稱波矢）5波動表達式波動表達式體現(xiàn)波動在時間上和空間上體現(xiàn)波動在時間上和空間上都具有

5、周期性都具有周期性00( , )cos 2cos()txy x tAAtkxT 代表代表x1 處質(zhì)點在其平衡處質(zhì)點在其平衡位置附近作周期為位置附近作周期為T的的簡諧振動簡諧振動xyAtT 1022cos即即x 一定一定：令令x=x1 1，則質(zhì)點位移則質(zhì)點位移y 僅是時間僅是時間t 的函數(shù)。的函數(shù)。振動周期和振幅與波源振動周期和振幅與波源相同相同, , 相位比原點落后相位比原點落后=2 x1/ =kx1tyOAT(波源不一定在原點）波源不一定在原點）6 可以看出，位移可以看出，位移 y 隨位置隨位置 x 而變化，在而變化，在 x 和和x +處振處振動狀態(tài)相同，表明波動過程在空間上具有周期性，波長

6、動狀態(tài)相同，表明波動過程在空間上具有周期性，波長就是波動的空間周期。就是波動的空間周期。t 一定一定：令：令t=t1，則質(zhì)點位移則質(zhì)點位移y 僅是僅是x 的函數(shù)，得的函數(shù)，得 t1 時時刻的波形刻的波形102cosxyAt 即即t1時刻波線上各個質(zhì)點時刻波線上各個質(zhì)點偏離各自平衡位置的位偏離各自平衡位置的位移所構(gòu)成的波形圖移所構(gòu)成的波形圖xyAu7yxo t1 t1+t utu 若若 t 和和 x 都變化時，波動表達式將表示波線上各個都變化時，波動表達式將表示波線上各個不同質(zhì)點在不同時刻的位移，反映了波形的傳播。不同質(zhì)點在不同時刻的位移，反映了波形的傳播。沿波線方向，任意兩點沿波線方向，任意兩

7、點x1、x2的簡諧振動相位差為：的簡諧振動相位差為：xxx 21212( 2)2波形向前傳播的距離為：波形向前傳播的距離為：x=ut。若已知若已知t1時刻的波形，時刻的波形， t1+t時刻的波形可通過沿傳播方向平移時刻的波形可通過沿傳播方向平移 x得到。得到。8 若平面簡諧波若平面簡諧波沿沿x 軸負方向傳播軸負方向傳播，仍設(shè)，仍設(shè)O點的點的振動表振動表達式為達式為：y x ouxP 00cosyAt 因為因為P P點處質(zhì)點的振動要比點處質(zhì)點的振動要比O O點處質(zhì)點早一段時間，即點處質(zhì)點早一段時間，即P P點處質(zhì)點在時刻點處質(zhì)點在時刻t的位移等于的位移等于O O點處質(zhì)點在時刻點處質(zhì)點在時刻（t+

8、x/u）的的位移，位移，P P點相位超前點相位超前, , 所以所以波動表達式為：波動表達式為：)(cos),(uxtAtxy911-3 11-3 波動方程波動方程 波速波速0cosuxtAy 對對 求求x 、t 的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù), ,得到得到,cos0222uxtAty222221tyuxy平面波的波平面波的波動方程動方程,cos02222uxtuAxy 任何平面波可分解為一系列不同頻率簡諧波，故任何平面波可分解為一系列不同頻率簡諧波，故都滿足這一方程。方程中的都滿足這一方程。方程中的 u 就是這一就是這一平面平面波的傳播波的傳播速度。速度。一、波動方程一、波動方程10 在三維空間中的

9、一切波動過程，只要介質(zhì)無吸收在三維空間中的一切波動過程，只要介質(zhì)無吸收且各向同性，都適合下式：且各向同性，都適合下式：2222222221tuzyx 代表振動位移代表振動位移將上式化成球坐標的形式，可得球面波的波動方程：將上式化成球坐標的形式，可得球面波的波動方程：22222)(1)(trurr球面余弦波的波動表式為：球面余弦波的波動表式為：0cosurtra 振幅振幅與距離成反比與距離成反比 ra11二、波動方程的推導(dǎo)二、波動方程的推導(dǎo) 設(shè)固體細長棒的截面為設(shè)固體細長棒的截面為S、密度為、密度為 ，有平面縱，有平面縱波沿棒長方向傳播波沿棒長方向傳播體積元體積元ab，其原長為其原長為 x，體積

10、為體積為 V=S x。某時刻體某時刻體積元被拉伸，設(shè)積元被拉伸，設(shè) a 處位移為處位移為y, 脅強為脅強為( (受力向左受力向左) )，xxOxabxxxOx a byyyb b 處位移為處位移為y+ y, , 脅強為脅強為( (受力向右受力向右) )12體積元所受合力：體積元所受合力：xSxSxxS 體積元質(zhì)量為體積元質(zhì)量為 S x ，其振速為，其振速為v，據(jù)牛頓第二定，據(jù)牛頓第二定律，得：律，得：tvxSxSxtvxxy協(xié)變協(xié)變Y楊氏模量楊氏模量因因xyY,yvt 22221tyYxy細棒中平面縱波的波動方程細棒中平面縱波的波動方程tvx變?yōu)椋鹤優(yōu)椋?3則細長棒中傳播的縱波的波速為：則細長

11、棒中傳播的縱波的波速為：0cosuxtAy/Yu uxtuxtFy其一般解為其一般解為 ：222221tyuxy22221tyYxy該波動方程的解為：該波動方程的解為：其中其中F F和和為兩個任意周期函數(shù)。這一解為兩個任意周期函數(shù)。這一解既包含沿既包含沿x x軸軸正向傳播的波，也包含沿正向傳播的波，也包含沿x x軸負向傳播的波。軸負向傳播的波。14固體介質(zhì)中的橫波和縱波的傳播速度表達式：固體介質(zhì)中的橫波和縱波的傳播速度表達式：Gu 橫波：橫波：Yu 縱波：縱波：柔軟細索和弦線中的橫波：柔軟細索和弦線中的橫波：Fu F細索或弦線中張力細索或弦線中張力細索或弦線單位長度的質(zhì)量細索或弦線單位長度的質(zhì)

12、量G 切變模量切變模量演示橫波與縱波演示橫波與縱波.PPT三、波速三、波速Bu Y 楊氏模量楊氏模量B 體變模量體變模量細長棒中的縱波：細長棒中的縱波：15Bu 對于理想氣體，有對于理想氣體，有 MRTpu 液體和氣體中只有體變彈性，只能傳播與體變有關(guān)液體和氣體中只有體變彈性，只能傳播與體變有關(guān)的彈性縱波的彈性縱波. .液體和氣體中波速為：液體和氣體中波速為：M, , R, T 分別為理想氣體的摩爾質(zhì)量，比熱容比，分別為理想氣體的摩爾質(zhì)量，比熱容比，普適氣體常數(shù)，熱力學(xué)溫度。普適氣體常數(shù)，熱力學(xué)溫度。B 體變模量體變模量16ghu 淺水波淺水波( )( )h深水波深水波( )( )h2gu 若

13、不考慮表面張力，當水深為若不考慮表面張力，當水深為h 時時 液體的表面可出現(xiàn)有重力和表面張力所引起的液體的表面可出現(xiàn)有重力和表面張力所引起的縱波和橫波疊加的表面波，其速度計算式為：縱波和橫波疊加的表面波，其速度計算式為：hTgu2th22h液體深度液體深度波長波長T表面張力系數(shù)表面張力系數(shù)液體密度液體密度g重力加速度重力加速度th雙曲正切函數(shù)雙曲正切函數(shù)17例題例題1 已知已知 t = 0 時的波形曲線為時的波形曲線為，波沿，波沿 x 正向傳播，正向傳播，在在 t = 0.5 s 時波形變?yōu)榍€時波形變?yōu)榍€。已知波的周期。已知波的周期T 1 s ，試根據(jù)圖示條件求波動表達式函數(shù)和試根據(jù)圖示條

14、件求波動表達式函數(shù)和 P 點的振動表達式。點的振動表達式。（已知（已知 A = 0.01 m）解：解：波形向前傳播的距離：波形向前傳播的距離：. m s.xut 10 010 020 5y(cm)x(cm)123456POu., 0.01+ , 0.01+2 .x 0 01 x取取0.01，則波速為：，則波速為：m18設(shè)坐標原點振動表達式設(shè)坐標原點振動表達式)cos() (0tAtycos0A根據(jù)初始條件，根據(jù)初始條件，0sinAv22y(cm)x(cm)123456POu. s,.Tu 0 0420 021s2T考慮到波的周期考慮到波的周期T 1 s，若若 x0.01+ ，則，則T0.4s，

15、不不成立。成立。m19)2cos(01. 0) (0tty2)02. 0(cos01. 0),(xttxy波函數(shù)波函數(shù)P點振動表達式點振動表達式:2)02. 001. 0(cos01. 0) (ttyPttyPcos01. 0) (已知已知 A = 0.01 m故故mmmm20ty4cos38m5m9mCDABux例例2 一平面簡諧波在介質(zhì)中以速度一平面簡諧波在介質(zhì)中以速度 u=20m/s 沿沿 ox 軸軸負向直線傳播，已知傳播路徑上某點負向直線傳播，已知傳播路徑上某點A的振動的振動表達式表達式為為 , 求（求（1）以）以A點為坐標原點，寫出點為坐標原點，寫出波動表達式；（波動表達式；（2）以

16、距）以距 A點點5m處的處的B點為坐標原點，點為坐標原點，寫出波動表達式；（寫出波動表達式；（3）以）以A點為坐標原點，寫出傳播點為坐標原點，寫出傳播方向上點方向上點B、點、點C、點、點D的的振動振動表達式。表達式。21解：解：因為波沿因為波沿x軸軸負向傳播，其負向傳播，其 波動一般表式為波動一般表式為cos ()oxyAtu （1）點點A的振動表達式為：的振動表達式為：ty4cos3以以A點為原點的波動表達式為點為原點的波動表達式為)20(4cos3xty（2）51022AB22201042uuuT mB點的相位落后點的相位落后于于A點的點的 相位相位8m5m9mCDABux原點原點振動表達

17、式為：振動表達式為：tAcos(y4mmmm22)4cos(3ty點點B的振動的振動表達式表達式為為:則則 B點為坐標原點的波動表達式為點為坐標原點的波動表達式為)20(4cos3xty8m5m9mCDABux（3）以）以A點為坐標原點，點為坐標原點，B ，C, D點的點的振動振動表達式為表達式為)4cos(3)205(4cos3ttyB)5134cos(3)2013(4cos3ttyC993cos4 ()3cos(4)205Dytt mmmmm23例題例題11-3 頻率為頻率為 =12.5kHz的平面余弦縱波沿細長的的平面余弦縱波沿細長的金屬棒傳播，棒的楊氏模量為金屬棒傳播，棒的楊氏模量為Y

18、 =1.9 1011N/m2，棒的，棒的密度密度 =7.6 103kg/m3。如以棒上某點取為坐標原點，。如以棒上某點取為坐標原點，已知原點處質(zhì)點振動的振幅為已知原點處質(zhì)點振動的振幅為A =0.1mm，試求，試求:(1)原原點處質(zhì)點的振動表式，點處質(zhì)點的振動表式，(2)波動表式，波動表式，(3)離原點離原點10cm處質(zhì)點的振動表式，處質(zhì)點的振動表式，(4)離原點離原點20cm和和30cm兩點處質(zhì)兩點處質(zhì)點振動的相位差，點振動的相位差，(5)在原點振動在原點振動0.0021s時的波形。時的波形。解：棒中的波速解：棒中的波速 m/s100 . 5mkg106 . 7mN109 . 1333211Y

19、u波長：波長： m40. 0s105 .12sm100 . 51313vu24周期：周期：s10815vT(1)(1)原點處質(zhì)點的振動表式原點處質(zhì)點的振動表式y(tǒng)0=Acos t=0.110-3cos(212.5103t)m=0.110-3cos25103t m (2)(2)波動表式波動表式式中式中x 以以m計計，t 以以s 計計。 uxtAycosm1051025cos101 . 0333xt(3)(3)離原點離原點10cm處質(zhì)點的振動表式處質(zhì)點的振動表式 m10511025cos01 . 0433ty式中式中t 以以s 計計 25m21025cos101 . 033ty可見此點的振動相位比原

20、點落后，相位差為可見此點的振動相位比原點落后，相位差為 ，或，或落后落后 ，即，即210-5s。 24T4m10. 0cm10 x(4)(4)該兩點間的距離該兩點間的距離 ，相應(yīng)，相應(yīng)的相位差為的相位差為 .x 220 10 42(5)(5)t =0.0021s時的波形為時的波形為 m1050021. 01025cos101 . 0333xym5sin101 . 03x式中式中x 以以m 計。計。 26例題例題11-4 一橫波沿一弦線傳播。設(shè)已知一橫波沿一弦線傳播。設(shè)已知t =0時的波時的波形曲線如下圖中的虛線所示。弦上張力為形曲線如下圖中的虛線所示。弦上張力為3.6N，線，線密度為密度為25g/m，求，求(1)振幅，振幅，(2)波長，波長，(3)波速，波速，(4)波波的周期，的周期，(5)弦上任一質(zhì)點的最大