微積分（課堂PPT）

1、.31 1、變速直線運動問題、變速直線運動問題變速直線運動中路程為變速直線運動中路程為21( )dTTv tt 另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs 4.2.1 原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理2121( )d()(),TTv tts Ts T ).()(tvts 其其中中.4( )d( )d .xxaaf xxf tt 考察定積分考察定積分( )( )d .xaxf tt 2 2、積分上限函數(shù)、積分上限函數(shù).5abxyoxx 證證()( )dxxaxxf tt )()(xxx ( )d( )dxxxaaf ttf tt)(x x)(xfy .6 ( )d( )d(

2、 )dxxxxaxaf ttf ttf tt ( )d ,xxxf tt 由積分中值定理得由積分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x),(xxx 或或.7補充補充 )()()()(xaxafxbxbf 證證0( )( )0( )( )d( )db xa xF xf ttf tt ( )0( )db xf tt ( )0( )d ,a xf tt )()()()()(xaxafxbxbfxF ( )( )d( )( )ddb xa xFxf ttx .8例例1 1 求極限求極限21cos20edl

3、im.txxtx 解解21cosdeddtxtx 2cos1ded ,dxttx 2cose(cos )xx 2cossine,xx 21cos20edlimtxxtx 2cos0sinelim2xxxx 1.2e 00分析：這是分析：這是 型不定式，應(yīng)用洛必達法則型不定式，應(yīng)用洛必達法則.9證證0d( )ddxtf ttx ),(xxf 0d( )ddxf ttx ),(xf 0020( )( )d( )( )d( )( )dxxxxf xf ttf xtf ttFxf tt .10 020( )() ( )d( ),( )dxxf xxt f ttFxf tt )0(, 0)( xxf0(

4、 )d0,xf tt ,00, 0)()(xttftx ，且且不不恒恒為為又又0() ( )d0,xxt f tt ).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).11證證0( )2( )d1,xF xxf tt , 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)., 01)0( F10(1)1( )dFf tt 101( )df tt , 0 令令.12定理定理 （原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理）定理的定理的重要重要意義：意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了

5、積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系間的聯(lián)系.13定理定理 2 2（微積分基本定理微積分基本定理） 已已知知)(xF是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，證證4.2.2 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式.14令令ax ,)()(CaaF ( )( )d0aaaf tt ,)(CaF ( )d( )( ),xaf ttF xF a ( )( )d,xaF xf ttC 令令 bx( )d( )( ).baf xxF bF a 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式CxxF )()(,bax .15( )d( )( )baf xxF bF a 微積分基本定理表明：微積

6、分基本定理表明： baxF)( 一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間,ba上的增量上的增量.注意注意:求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.baxF)( .16例例4 4 求定積分求定積分 20(2cossin1)d .xxx 原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf20( )df xx 解解解解212001( )d( )d( )df xxf xxf xx 在在2 , 1上上規(guī)規(guī)定定當(dāng)當(dāng)1 x時時，5)( xf,12012

7、 d5dx xx原原式式. 6 xyo12.17例例6 6 求積分求積分 222max ,d .x xx 解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx01222201dddxxx xxx 原原式式.211 xyo2xy xy 122 .18例例7 7 求積分求積分 解解121d . xx 當(dāng)當(dāng)0 x時時，x1的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是|ln x,121dxx 12|ln x. 2ln2ln1ln 解解 面積面積xyo 0sin dAx x 0cos x. 2 .193.微積分基本公式微積分基本公式1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)( )( )dxaxf tt 2

8、.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx ( )d( )( )baf xxF bF a 4.2.5 小結(jié)與思考題小結(jié)與思考題1-2牛頓萊布尼茨公式溝通了牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)微分學(xué)與與積分學(xué)積分學(xué)之間的關(guān)系之間的關(guān)系.20思考題思考題.21思考題解答思考題解答d( )d( )dxaf ttf xx d( )d( )dbxf uuf xx .22課堂練習(xí)題課堂練習(xí)題.23.24課堂練習(xí)題答案課堂練習(xí)題答案.25定理定理34.2.3 定積分法定積分法1 1、換元積分法、換元積分法.26證證( )d( )( );baf xxF bF a ),()(tFt 設(shè)設(shè)dd( )ddFxtx

9、t )()(txf ),()(ttf ( )( )d( )( ).fttt .27)()( )()( FF ),()(aFbF ( )d( )( )baf xxF bF a )()( ( )( )d .fttt .28應(yīng)用換元公式時應(yīng)應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意注意:（1）（2）.29例例9 9 計算定積分計算定積分250cossin d .xx x 解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t250cossin dxx x 051dtt 1066t .61 dsin d ,tx x 例例10 10 計算定積分計算定積分350sinsind .xx x .30解解xxxf53sinsin)(

10、 23sincosxx 350sinsindxx x 320cossindxxx 3220cossindxxx 322cossindxxx 3220sindsinxx 322sindsinxx 2025sin52 x 2522sin5x .54 .31例例11 11 計算定積分計算定積分解解34eed.ln (1ln )xxxx 原式原式34eed(ln )ln (1ln )xxx 34eed(ln )ln(1ln )xxx 34ee2d ln21( ln)xx 34ee2 arcsin( ln)x .6 .32例例12 12 計算定積分計算定積分解解220d,(0).axaxax 令令,si

11、ntax ax ,2t0 x, 0 tdcos d ,xat t 原式原式2220cos dsin(1sin)at tatat 20cos dsincost ttt 201cossin1d2sincosttttt 201 1ln sincos2 22tt.4 .33證證00( )d( )d( )d ,aaaaf xxf xxf xx .340( )daf xx 0()daftt 0()d ,aftt )(xf為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則),()(tftf 00( )d( )d( )daaaaf xxf xxf xx 02( )d ;af tt )(xf為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則),()(tftf 0

12、0( )d( )d( )daaaaf xxf xxf xx . 0 .35奇函數(shù)奇函數(shù)例例13 13 計算定積分計算定積分解解21212cosd .11xxxxx 原式原式21212d11xxx 121cosd11xxxx 偶函數(shù)偶函數(shù)21204d11xxx 22120(11)4d1(1)xxxx 1204(11)dxx 120441dxx 4.單位圓的面積單位圓的面積.36證證（1）設(shè)）設(shè)2xtdd ,xt 0 x,2t2x , 0 t20(sin )dfxx 20sind2ftt .372200(sin )d(cos )d .fxxfxx （2）設(shè)）設(shè)xtdd ,xt 0 x,tx , 0

13、 t0(sin )dxfxx 0() sin()dt ftt 0() (sin )d ,t ftt 20(cos )dftt .380(sin )dftt 0(sin )dtftt 0(sin )dfxx 0(sin )d ,xfxx 00(sin )d(sin )d .2xfxxfxx0(sin )dxfxx .39解解20sind1cosxxxx 20sind21cosxxx 20d(cos )21cosxx 0arctan(cos )2x 2.4 ()244 .40幾個特殊積分、定積分的幾個等式幾個特殊積分、定積分的幾個等式.定積分的換元法定積分的換元法:()dbafxx ( )( )d

14、fttt 4.2.5 4.2.5 小結(jié)與思考題小結(jié)與思考題3 3.41思考題思考題解解 令令,sectx ,4332: tdtan sec d ,xtt t 222d1xxx 3423sectan dsectantt ttt 3423d.12t .42思考題解答思考題解答計算中第二步是錯誤的計算中第二步是錯誤的.txsec ,43,32 t, 0tan t.tantan12ttx 正確解法是正確解法是222d1xxx txsec 3423sectan dsectantt ttt 3423d.12t .43課堂練習(xí)題課堂練習(xí)題.44.45課堂練習(xí)題答案課堂練習(xí)題答案.46定積分的分部積分公式定積

15、分的分部積分公式推導(dǎo)推導(dǎo) ,vuvuuv () d,bbaauvxuv dd ,bbbaaauvu v xuv x dd .bbbaaau vuvv u2、分部積分法、分部積分法.47例例1515 計算定積分計算定積分120arcsin d .x x 解解令令,arcsin xu dd ,vx 2dd,1xux ,xv 120arcsin dx x 210arcsin xx 1220d1x xx 621 1222011d(1)21xx 12 21021x 31.122則則.48例例1616 計算定積分計算定積分解解40d.1cos2x xx ,cos22cos12xx 40d1cos2x xx

16、 420d2cosx xx 40d tan2xx 401tan2xx 401tan d2x x 401lnsec82xln2.84.49例例1717 計算定積分計算定積分解解120ln(1)d .(2)xxx 120ln(1)d(2)xxx 101ln(1)d2xx 102)1ln( xx101dln(1)2xx 32ln 1011d21xxx xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 .50解解10( )dxf xx 1201( )d()2f xx 1201( )2x f x 1201d ( )2xf x )1(21f 1201( )d .2x fxx .5

17、121sin( )d ,xtf xtt ,sin22sin)(222xxxxxxf 10( )dxf xx )1(21f 1201( )d2x fxx 12012 sind2xxx 12201sind2xx 102cos21x ).11(cos21 11sin(1)d0,tftt .52證證 設(shè)設(shè),sin1xun dsin d ,vx x 2d(1)sincos d ,nunxx x ,cos xv 211 ( 1) 20(1)!sind( )!2nnnx xn .532212200sincos(1)sincosdnnnIxxnxx x x2sin1 022200(1)sind(1)sindn

18、nnInx xnx x nnInIn)1()1(2 21 nnInnI積分積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式關(guān)于下標(biāo)的遞推公式nI4223 nnInnI,直到下標(biāo)減到直到下標(biāo)減到0或或1為止為止.54,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m200d,2Ix 210sin d1,Ix x 221 233 1 (21)! ,2224 2 2(2)!2mmmmImmm .!)!12(!)!2(325476122212212 mmmmmmIm于是于是.55定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 dd .bbbaaau vuvv u

19、 （注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）4.2.5 4.2.5 小結(jié)與思考題小結(jié)與思考題3 3.56思考題思考題.57思考題解答思考題解答10(2 )dxfxx 101d (2 )2x fx 110011(2 )(2 )d22xfxfxx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 .58課堂練習(xí)題課堂練習(xí)題.59課堂練習(xí)題答案課堂練習(xí)題答案.60*4.2.4 定積分的近似計算法定積分的近似計算法1、定積分、定積分近似計算近似計算的理由：的理由：(1) 被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示；被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示；(2) 被積函數(shù)難

20、于用公式表示，而是用圖形或被積函數(shù)難于用公式表示，而是用圖形或表格給出的；表格給出的；(3) 被積函數(shù)雖然能用公式表示，但計算其原被積函數(shù)雖然能用公式表示，但計算其原函數(shù)很困難函數(shù)很困難.612 2、解決辦法：、解決辦法：4 4、常用方法：、常用方法：矩形法、梯形法、拋物線法矩形法、梯形法、拋物線法3 3、研究思路、研究思路：分分的的近近似似值值面面積積，就就得得到到所所給給定定積積出出相相應(yīng)應(yīng)的的曲曲邊邊梯梯形形的的的的面面積積，只只要要近近似似地地算算在在數(shù)數(shù)值值上上表表示示曲曲邊邊梯梯形形)0)()( xfdxxfba建立定積分的近似計算方法建立定積分的近似計算方法.62一、矩形法一、矩

21、形法(平均值法平均值法)窄矩形的高，如圖窄矩形的高，如圖作為作為值值取小區(qū)間左端點的函數(shù)取小區(qū)間左端點的函數(shù)等分，等分，將區(qū)間將區(qū)間用分點用分點), 1 , 0(,10niynbabxxxain oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 0y1y1 nyny1111( )d(1)nbiainiif xxyxbayn 則有則有.63的的高高，如如圖圖作作為為窄窄矩矩形形取取右右端端點點的的函函數(shù)數(shù)值值), 2 , 1(niyi 11( )d(2)nbiainiif xxyxbayn oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 0y1y1 nyny則有則有（1）、（）、（2）稱為）稱為矩

22、形法矩形法（平均值法平均值法）公式）公式.64二、梯形法二、梯形法梯形法就是在每個小梯形法就是在每個小區(qū)間上，以窄梯形的區(qū)間上，以窄梯形的面積近似代替窄曲邊面積近似代替窄曲邊梯形的面積，如圖梯形的面積，如圖oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 1y1 nyny0y01121012111( )d()()221()21()(3)2bannnnf xxyyxyyxyyxbayyyyyn .65 用矩形法和梯形法計算積分用矩形法和梯形法計算積分的近似值的近似值例例19210edxx 解解,ix設(shè)分點為設(shè)分點為把區(qū)間十等分把區(qū)間十等分相應(yīng)的函數(shù)值為相應(yīng)的函數(shù)值為2e(0,1,10)ixiyi

23、)10, 1 , 0( iiixiy01234501 . 02 . 03 . 04 . 05 . 000000. 199005. 096079. 091393. 085214. 077880. 0列表列表:.66iixiy10678916 . 07 . 08 . 09 . 069768. 061263. 052729. 044486. 036788. 0利用矩形法公式（），得利用矩形法公式（），得21019010ed()10 xxyyy .77782. 0 利用矩形法公式（），得利用矩形法公式（），得211210010ed()10 xxyyy .71461. 0 .67利用梯形法公式（），得利

24、用梯形法公式（），得21010129010 1ed ()102xxyyyyy 實際上是前面兩值的平均值，實際上是前面兩值的平均值，2101ed(0.777820.71461)2xx .74621. 0 .68三、拋物線法三、拋物線法到定積分的近似值到定積分的近似值原來的曲線弧，從而得原來的曲線弧，從而得段弧來近似代替段弧來近似代替軸的二次拋物線上的一軸的二次拋物線上的一行于行于許多小段，用對稱軸平許多小段，用對稱軸平拋物線法是將曲線分為拋物線法是將曲線分為y), 2 , 1 , 0().(),(,10nixfyyxMnbxxxaiiiiin 點為點為這些分點對應(yīng)曲線上的這些分點對應(yīng)曲線上的（偶

25、數(shù)）等分，（偶數(shù)）等分，把區(qū)間分成把區(qū)間分成用分點用分點oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 1y1 nyny0y2y.69因為經(jīng)過三個不同的點可以唯一確定一拋物線因為經(jīng)過三個不同的點可以唯一確定一拋物線,., ,212432210nnniMMMMMMMMMnM 組組互相銜接的分成互相銜接的分成故可將這些曲線上的點故可將這些曲線上的點.,)2, 2 , 1(,22122222221222線弧線弧近似代替曲近似代替曲的二次拋物線的二次拋物線用經(jīng)過點用經(jīng)過點上上應(yīng)的子區(qū)間應(yīng)的子區(qū)間所對所對在每組在每組rqxpxyMMMxxnkMMMkkkkkkkk .70邊梯形的面積邊梯形的面積為曲邊的

26、曲為曲邊的曲的拋物線的拋物線上過三點上過三點計算在計算在rqxpxyyhMyMyhMhh 2221100),(), 0(),(,可可由由下下列列方方程程組組確確定定：拋拋物物線線方方程程中中的的rqp, .,22120rqhphyryrqhphy.222102yyyph 由由此此得得.71于是所求面積為于是所求面積為2()dhhApxqxrx rhph2323 )62(312rphh ),4(31210yyyh 有有關(guān)關(guān)及及底底邊邊所所在在的的區(qū)區(qū)間間長長度度標(biāo)標(biāo)的的縱縱坐坐只只與與顯顯然然，曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積hyyyMMM2,210210 .72組組曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積為為由由此此可可知知2n),(),(43222101431431yyyhAyyyhA.nabh 其中其中0242131( )d()2()34().(4)bnnanbaf xx