第八講Taylor級數(shù)

1、第八講第八講 泰勒泰勒(Taylor)級數(shù)級數(shù)解析函數(shù)零點的孤立性解析函數(shù)零點的孤立性及惟一性定理及惟一性定理& 1. 泰勒展開定理泰勒展開定理& 2. 展開式的唯一性展開式的唯一性& 3. 簡單初等函數(shù)的泰勒展開式簡單初等函數(shù)的泰勒展開式4.3 泰勒泰勒(Taylor)級數(shù)級數(shù)1. 泰勒泰勒(Taylor)展開定理展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題：現(xiàn)在研究與此相反的問題：一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表達(dá)一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表達(dá)?(或者說或者說,一個解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)一個解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)? 解析函解析函數(shù)在解析點能否用冪級數(shù)表示？）數(shù)在解析點能否用冪級數(shù)表示

2、？）由由4.24.2冪級數(shù)的性質(zhì)知冪級數(shù)的性質(zhì)知:一個冪級數(shù)的和函數(shù)在一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù)。它的收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：以下定理給出了肯定回答：任何任何解析函數(shù)解析函數(shù)都一定都一定能用冪級數(shù)表示。能用冪級數(shù)表示。定理（泰勒展開定理）定理（泰勒展開定理）,2 , 1 ,0)(!1:)1()()(,)(0)(00000 nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其其中中時時當(dāng)當(dāng)上上各各點點的的最最短短距距離離的的邊邊界界到到為為內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)的的處處在在Taylorzzf0)(r證明證明, ,:00內(nèi)內(nèi)任任一一點

3、點為為設(shè)設(shè)kzDrzrzk , 100 qzzz 00000111)(11zzzzzzzz )3()()(1 100200000 nzzzzzzzzzz Dk 0zz kdzfizfCauchy )(21)(:積積分分公公式式由由,2)(逐逐項項積積分分得得沿沿著著兩兩端端乘乘以以kif dzfizzknn100)()(2)( dzfik )(21 dzfik 0)(21 dzfizzk 200)()(2)4()(!)()( )(00)(000 zznzfzzzfzfnn 級級數(shù)數(shù)處處的的在在函函數(shù)數(shù)Talorzzf0)( z 1)()(1 100200000 nzzzzzzzzzz )(zf

4、!.)(00證證畢畢最最短短距距離離的的邊邊界界上上各各點點的的到到半半徑徑至至少少等等于于從從級級數(shù)數(shù)收收斂斂處處的的在在解解析析點點DzTaylorzzf,)4(00內(nèi)內(nèi)即即可可及及其其內(nèi)內(nèi)部部包包含含在在只只要要圓圓可可以以任任意意增增大大的的半半徑徑圓圓的的圓圓域域為為半半徑徑為為中中心心，的的收收斂斂范范圍圍是是以以級級數(shù)數(shù)Dkrkrzrz 收收斂斂圓圓周周上上. .只只能能在在收收斂斂半半徑徑還還可可以以擴(kuò)擴(kuò)不不然然的的話話, ,不不可可能能在在收收斂斂圓圓外外, ,奇奇點點又又不不可可能能在在收收斂斂圓圓內(nèi)內(nèi). .所所以以奇奇點點圓圓內(nèi)內(nèi)解解析析在在收收斂斂這這是是因因為為在在收

5、收斂斂圓圓上上, , 奇奇點點因因此此, ,大大, ,)()2(zfA 000,)()()(zRzfzRTalorzzfzf即即之之間間的的距距離離, ,的的最最近近的的一一個個奇奇點點到到等等于于從從展展開開式式的的收收斂斂半半徑徑的的在在解解析析點點那那么么有有奇奇點點, ,若若( (1 1) )2. 展開式的唯一性展開式的唯一性結(jié)論結(jié)論 解析函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一的，就是它解析函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一的，就是它的的Taylor級數(shù)級數(shù)。利用泰勒級數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級數(shù)，這樣利用泰勒級數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級數(shù)，這樣的展開式是否唯一？的展開式是否唯一？1010021)( )()(2)(

6、azfzznazzaazfnn nnzzazzazzaazf)()()()(0202010事實上事實上，設(shè)，設(shè)f (z)用另外的方法展開為冪級數(shù)用另外的方法展開為冪級數(shù):導(dǎo)導(dǎo)性性質(zhì)質(zhì)得得，再再由由冪冪級級數(shù)數(shù)的的逐逐項項求求則則00)(azf , 2 , 1 , 0)(!1,0)( nzfnann依依此此類類推推得得，由展開式的唯一性，運(yùn)用級數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、分由展開式的唯一性，運(yùn)用級數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、分 析運(yùn)算和析運(yùn)算和 已知函數(shù)的展開式來展開已知函數(shù)的展開式來展開由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是Talor級數(shù)，因而是唯一的。級數(shù)，因而是唯一的。級級數(shù)數(shù)為

7、為：時時當(dāng)當(dāng)Taylorz,00 nnznfzfzffzf!)0(! 2)0( )0( )0()()(2-直接法直接法-間接法間接法代公式代公式函數(shù)展開成函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法：級數(shù)的方法：. Rez該該級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑在在復(fù)復(fù)平平面面上上解解析析3. 簡單初等函數(shù)的泰勒展開式簡單初等函數(shù)的泰勒展開式.0cos,sin,)(展展開開式式的的在在求求Talorzzzezfz 例例1 解解), 2 , 1 , 0(1)(00)( neezzznz !3!2132nzzzzenzieezzizi2sin )!2()1(!4!21242nzzznn Rzz它們的半徑它們的半徑在全

8、平面上解析，在全平面上解析，cos,sin 11212)!12(221kkkkzii 1121753)!12()1(!7!5!3sinkkkkzzzzzz 00!)(!)(21nnnnnzinzii 1121)!12()1(kkkkz)(sincoszz 又又A 上述求上述求sinz, cosz展開式的方法即為間接法展開式的方法即為間接法.例例2 把下列函數(shù)展開成把下列函數(shù)展開成 z 的冪級數(shù)的冪級數(shù):)1ln()() 3()1 (1)() 2(11)() 1 (2zzfzzfzzf 解解1111)1(2 zzzzzn1)1(1)(1111 zzzzznn(2)由冪級數(shù)逐項求導(dǎo)性質(zhì)得：由冪級數(shù)

9、逐項求導(dǎo)性質(zhì)得： nnzzzdzd12) 1(1:)1(,)1(01)3(逐逐項項積積分分得得的的展展開開式式兩兩邊邊沿沿將將的的路路徑徑內(nèi)內(nèi)任任意意取取一一條條從從在在收收斂斂圓圓cczzz 11) 1(312)1ln(132 znzzzzznn zzdz01 zdzdz11)1 (121) 1(321112 znzzznn znnzzdzzzdzdz000)1(A(1)另一方面，因另一方面，因ln(1+z)在從在從z=-1向左沿負(fù)向左沿負(fù)實軸剪開的平面內(nèi)解析，實軸剪開的平面內(nèi)解析， ln(1+z)離原點最近的一離原點最近的一個奇點是個奇點是-1,它的展開式的收斂范圍為它的展開式的收斂范圍為

10、 z 1.1,11, 1)1(111)2(22422 RizzRxxxxnn有有兩兩個個奇奇點點在在復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)域域中中容容易易看看出出看看清清楚楚, ,在在實實數(shù)數(shù)域域中中的的不不容容易易為為什什么么它它的的收收斂斂半半徑徑在在實實數(shù)數(shù)域域中中定理定理 0000.)()()()1(nnnzzczzfzzf數(shù)數(shù)某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可展展成成冪冪級級的的在在解解析析在在點點函函數(shù)數(shù).)()()2(冪冪級級數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)可可展展成成在在內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域函函數(shù)數(shù)DzfDzf解解析析在在點點小小結(jié)結(jié)：0)(zzf的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)。在在點點0)()1(zzf方方程程。導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)且且滿滿足足

11、偏偏的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有連連續(xù)續(xù)的的實實部部和和虛虛部部在在點點RCzzf 0)()2(。積積分分為為任任一一條條正正向向封封閉閉路路線線的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)且且沿沿在在點點0)()3(0zzf級級數(shù)數(shù)。的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可展展成成冪冪在在點點0)()4(zzf4.4 解析函數(shù)零點的孤立性及惟一性定理解析函數(shù)零點的孤立性及惟一性定理1 1、解析函數(shù)零點的孤立性、解析函數(shù)零點的孤立性定義定義1, 0)(,)( afDaDzf上解析函數(shù)，上解析函數(shù)，為為設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)的的為為則則稱稱)(zfa零點。零點。, 0)()( )()1( afafaf m若若

12、, 0)()( af m但但稱為稱為則則 m 零點零點a的階的階,的的稱為稱為 zf a)(m階零點。階零點。定理定理1)()()()(zazzf mazfm 充充分分必必要要條條件件為為：階階零零點點的的為為以以不不恒恒為為零零的的解解析析函函數(shù)數(shù)。且且內(nèi)解析，內(nèi)解析，的鄰域的鄰域在點在點其中其中0)(|)( aRazaz 例例1的性質(zhì)。的性質(zhì)。在原點在原點考察函數(shù)考察函數(shù) z zzzf 0sin)( 解解. 0)(0)( zfzzf解解析析，且且在在顯顯然然. 011)0( ,cos1)( f zzf. 0)0(,sin)( f zzf. 01)0(,cos)( f zzf的的三三階階零零

13、點點。的的從從而而zzzfzsin)(0 例例2們們的的階階。的的全全部部零零點點，并并指指出出它它求求1sin z解解平平面面上上解解析析，在在zz1sin 得得由由01sin z,2ieeiziz ), 1, 0(,22 k kz 從而從而平平面面上上的的全全部部零零點點。在在這這就就是是zz1sin , 0cos)1(sin2222 kzkzzz 顯顯然然 , 02 ie iz即即 kiLniiz22, 01sin)1(sin2222 kzkzzz 的二階零點。的二階零點。都是都是故故1sin), 1, 0(,22 zk kz 孤立零點：一個函數(shù)的零點附近沒有其他零點。孤立零點：一個函數(shù)

14、的零點附近沒有其他零點。一個實變函數(shù)的零點不一定是孤立的，如一個實變函數(shù)的零點不一定是孤立的，如 0, 00,1sin)(2xxxxxf它在實軸上處處可微，它在實軸上處處可微，都是它的零點，都是它的零點，及及 nxx10 為為其其聚聚點點。并并以以0 x的的孤孤立立零零點點。不不是是因因此此)(0 xfx 但是在復(fù)變函數(shù)中，卻有但是在復(fù)變函數(shù)中，卻有定理定理2,|)(為零為零上的解析函數(shù)，且不恒上的解析函數(shù)，且不恒為為Razzf 的零點。的零點。其中無異于其中無異于在在的一個鄰域，使得的一個鄰域，使得為其零點，則必有為其零點，則必有azfaa)(不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的！不恒為零的解析

15、函數(shù)的零點是孤立的！推論推論內(nèi)內(nèi)解解析析；在在函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)RazKzf |:|)()1(，收收斂斂于于的的一一列列零零點點內(nèi)內(nèi)有有在在aazzzfKnn)()()2( 內(nèi)內(nèi)必必恒恒為為零零。在在則則Kzf)(2、惟一性定理、惟一性定理定理定理3內(nèi)解析；內(nèi)解析；在區(qū)域在區(qū)域和和函數(shù)函數(shù)設(shè)設(shè)D zf zf )()()1(21等等值值，與與在在其其上上，的的點點列列內(nèi)內(nèi)有有一一個個收收斂斂于于)()()()2(21zfzf azzDaD nn 內(nèi)內(nèi)恒恒等等。在在和和則則Dzfzf)()(21推論推論1 上上恒恒等等。則則它它們們必必在在區(qū)區(qū)域域段段弧?。┥仙舷嘞嗟鹊?，的的某某一一子子區(qū)區(qū)域域（或或一

16、一小小在在和和內(nèi)內(nèi)解解析析的的函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)在在區(qū)區(qū)域域DDzfzfD)()(21例例3內(nèi)內(nèi)解解析析；在在和和設(shè)設(shè)Dzgzf )()()1(；內(nèi)內(nèi)在在0)().()2( zgzf D?；蚧騼?nèi)內(nèi)證證明明：在在0)(0)( zg zf D證：證：,0)(00 zgDz使使若若有有點點連連續(xù)續(xù)，在在因因0)(zzg，的的鄰鄰域域故故存存在在DK z 0內(nèi)內(nèi)恒恒不不為為零零，在在使使Kzg)(而而由由題題設(shè)設(shè)),(0)().(DKz zgzf 故故必必有有),(0)(DKz zf 。由由唯唯一一性性定定理理)(0)(Dzzf 推論推論2 平平面面上上都都是是解解析析的的。等等式式的的等等號號兩兩邊邊在在

17、上上也也成成立立，只只要要這這個個恒恒平平面面等等等等），在在等等式式（例例如如一一切切在在實實軸軸上上成成立立的的恒恒zzzzzzzcossin22sin, 1cossin22 惟一性定理揭示了解析函數(shù)一個非常深刻的性惟一性定理揭示了解析函數(shù)一個非常深刻的性質(zhì)，函數(shù)在區(qū)域質(zhì)，函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的內(nèi)的局部值局部值確定了函數(shù)在區(qū)確定了函數(shù)在區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)整體的值整體的值，即局部與整體之間有著十分，即局部與整體之間有著十分緊密的內(nèi)在聯(lián)系。緊密的內(nèi)在聯(lián)系。應(yīng)用惟一性定理，在數(shù)學(xué)分析上一些常見的初應(yīng)用惟一性定理，在數(shù)學(xué)分析上一些常見的初等函數(shù)的冪級數(shù)展式都可以推廣到復(fù)數(shù)域上來。等函數(shù)的冪級數(shù)展式都可以推廣到

18、復(fù)數(shù)域上來。3、最大模原理、最大模原理定理定理4恒等于常數(shù)。恒等于常數(shù)。內(nèi)內(nèi)大值，除非在大值，除非在內(nèi)任何點都不能達(dá)到最內(nèi)任何點都不能達(dá)到最在在內(nèi)解析，則內(nèi)解析，則在區(qū)域在區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(| )(|)(zfDDzfDzf最大模原理說明了解析函數(shù)在區(qū)域邊界上的最大最大模原理說明了解析函數(shù)在區(qū)域邊界上的最大?？梢韵拗茀^(qū)域內(nèi)的最大模，這也是解析函數(shù)特?？梢韵拗茀^(qū)域內(nèi)的最大模，這也是解析函數(shù)特有的性質(zhì)。有的性質(zhì)。例例3至至少少有有一一個個零零點點。內(nèi)內(nèi)，則則在在圓圓而而且且時時使使當(dāng)當(dāng)如如果果存存在在上上解解析析在在閉閉圓圓設(shè)設(shè))(| )0(|,| )(| ,|0,|)(zfRzafazfRzaRzzf 證證: 反證法反證法.|)(內(nèi)內(nèi)沒沒有有零零點點在在圓圓假假設(shè)設(shè)Rzzf .|)(1)(上上解解析