2020年中考數(shù)學(xué)第二輪重難題型突破類型二 二次函數(shù)與角度問題（解析版）（免費(fèi)下載）

1、類型二 二次函數(shù)與角度問題例1、已知拋物線的圖象與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，直線經(jīng)過、兩點(diǎn).（1） 求此拋物線的解析式；（2）連接、，試比較和的大小，并說明你的理由.【答案】解：（1）CDx軸且點(diǎn)C（0，3），設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，3) 直線y= x+5經(jīng)過D點(diǎn)，3= x+5x=2即點(diǎn)D(2，3) 根據(jù)拋物線的對稱性，設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為M（1，y），又直線y= x+5經(jīng)過M點(diǎn)，y =1+5，y =4即M（1，4）設(shè)拋物線的解析式為點(diǎn)C（0，3）在拋物線上，a=1即拋物線的解析式為3分（2）作BPAC于點(diǎn)P，MNAB于點(diǎn)N由（1）中拋物線

2、可得點(diǎn)A（3，0），B（1，0），AB=4，AO=CO=3，AC=PAB45°ABP=45°，PA=PB=PC=ACPA=在RtBPC中，tanBCP=2在RtANM中，M（-1，4），MN=4AN=2tanNAM=2BCPNAM即ACBMAB例2、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)N（2,5），過點(diǎn)N作x軸的平行線交此拋物線左側(cè)于點(diǎn)M，MN=6.（1）求此拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P（x,y）為此拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP交此拋物線的對稱軸于點(diǎn)D，當(dāng)DMN為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)此拋物線與y軸交于點(diǎn)C，在此拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使QMN=CNM ？若存在，求

3、出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】解：（1）過點(diǎn)M、N（2，5），由題意，得M（，）. 解得 此拋物線的解析式為. 2分（2）設(shè)拋物線的對稱軸交MN于點(diǎn)G，若DMN為直角三角形，則.D1（，），（，）. 4分直線MD1為，直線為.將P（x，）分別代入直線MD1，的解析式，得，.解得 ，（舍），（1,0）. 5分解得 ，（舍），（3,12）. 6分（3）設(shè)存在點(diǎn)Q（x，），使得QMN=CNM. 若點(diǎn)Q在MN上方，過點(diǎn)Q作QHMN，交MN于點(diǎn)H，則.即.解得，（舍）.（，3）. 7分 若點(diǎn)Q在MN下方，同理可得（6，）. 8分例3、平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸

4、的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn) A的坐標(biāo)為(1, 0)，OB=OC，拋物線的頂點(diǎn)為D (1) 求此拋物線的解析式； (2) 若此拋物線的對稱軸上的點(diǎn)P滿足APB=ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3) Q為線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于AQB的平分線的對稱點(diǎn)為，若，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和此時(shí)的面積 【答案】圖9（1） ， 拋物線的對稱軸為直線 拋物線與x軸交于 點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為， 點(diǎn)B的坐標(biāo)為，OB3 1分可得該拋物線的解析式為 OB=OC，拋物線與y軸的正半軸交于點(diǎn)C， OC=3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入該解析式，解得a=12分 此拋物線的解析式為（如圖9） 3分 （2）作ABC的外接圓E，設(shè)拋物線的對稱軸與x

5、軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)E與拋物線的對稱軸位于x軸上方的部分的交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)均為所求點(diǎn).（如圖10） 可知圓心E必在AB邊的垂直平分線即拋物線的對稱軸直線上 、都是弧AB所對的圓周角， ，且射線FE上的其它點(diǎn)P都不滿足由（1）可知 OBC=45°，AB=2，OF=2可得圓心E也在BC邊的垂直平分線即直線上 點(diǎn)E的坐標(biāo)為 4分 由勾股定理得 點(diǎn)的坐標(biāo)為 5分由對稱性得點(diǎn)的坐標(biāo)為 6分符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為、.（3） 點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別為、，可得直線BD的解析式為，直線BD與x軸所夾的銳角為45° 點(diǎn)A關(guān)于AQB的平分線的對稱點(diǎn)為，（如圖11）若設(shè)與AQB的

6、平分線的交點(diǎn)為M，則有 ，Q，B，三點(diǎn)在一條直線上 ， 作x軸于點(diǎn)N 點(diǎn)Q在線段BD上， Q，B，三點(diǎn)在一條直線上， ， 點(diǎn)的坐標(biāo)為 點(diǎn)Q在線段BD上， 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，其中 ， 由勾股定理得 解得經(jīng)檢驗(yàn)，在的范圍內(nèi) 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 7分此時(shí) 8分例4、已知，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（2,0）、B（8,0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4）。直線y=x+m與拋物線交于點(diǎn)D、E（D在E的左側(cè)），與拋物線的對稱點(diǎn)交于點(diǎn)F。（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)m=2時(shí)，求DCF的大?。唬?）若在直線y=x+m下方的拋物線上存在點(diǎn)P，使DPF450，且滿足條件的點(diǎn)P只有兩個(gè)，則m的值為_.（第（3）問不要求寫解答過程）

7、【答案】解：（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-8），拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-4），-4=a（0+2）（0-8）解得a=拋物線的解析式為y=(x+2)(x-8)，即y=x2-x-4；（2）由（1）可得拋物線的對稱軸為x=3，m=2，直線的解析式為y=x+2，直線y=x+2與拋物線交于點(diǎn)D、E，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)F，F(xiàn)、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F（3，5），D（-2，0）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為M，可得CM=FM=MD=5，F(xiàn)、D、C三點(diǎn)在以M為圓心，半徑為5的圓上DCF=DMF=45°（3）由拋物線解析式可知，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為G（3，-）設(shè)F（3，3+m），

8、則FG=m+3+，設(shè)D關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為D1，當(dāng)四邊形DGD1F為正方形時(shí)，滿足題意，此時(shí)P點(diǎn)與頂點(diǎn)G重合，或者與D1重合，故DD1=FG，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x=-（FG-3）=-，縱坐標(biāo)為-（FG-3-m）=，將D點(diǎn)坐標(biāo)拋物線解析式，解得m=-例5、如圖，拋物線，與軸交于點(diǎn)，且（I）求拋物線的解析式；（II）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由； （III）直線交軸于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)若，的值【答案】解：（I），且代入，得（II）當(dāng)可證 同理: 如圖當(dāng)當(dāng)綜上，坐標(biāo)軸上存在三個(gè)點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，分別是，（III）

9、 又例6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax28ax16a6經(jīng)過點(diǎn)B（0，4）.求拋物線的解析式；設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，過點(diǎn)D、B作直線交x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)C在拋物線的對稱軸上，且C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4，聯(lián)結(jié)BC、AC.求證：ABC是等腰直角三角形；在的條件下，將直線DB沿y軸向下平移，平移后的直線記為l ，直線l 與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，是否存在直線l，使ABC是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，請說明理由 圖（1） 備用圖 【答案】解：由題意知： 解得： 拋物線的解析式為：-1分證明 ：由拋物線的解析式知:頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（4,6） 點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，且在拋物線的對

10、稱軸上C點(diǎn)坐標(biāo)為(4，4)設(shè)直線BD解析式為： 有：，BD解析式為直線BD與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8,0）過點(diǎn)C作CE軸于點(diǎn)E，則CE=4，BE=8又OB=4，OA=8, CE=OB,BE=OA,CEB=BOA=90°CEBBOA(SAS)-2分CB=AB, 1=22+3=90°，2+3=90°1+3=90°，即ABC=90°ABC是等腰直角三角形-3分存在.當(dāng)CAB=90°時(shí)，如圖1所示， ABABOAB=BAO易證:ECA=OAB圖1ECA=BAOtanBAO=tanECA=EA=2A坐標(biāo)為(2,0)直線l解析式為-5分當(dāng)ACB=90°時(shí)，如圖2所示，圖2過點(diǎn)C作CE軸于點(diǎn)E，易證AFCBECAF=BE由tanBAO=設(shè)B坐標(biāo)為（0，n）有B坐標(biāo)為（0，）直線l解析式為-7分例7、已知：拋物線yx22xm-2交y軸于點(diǎn)A（0，2m-7）與直線yx交于點(diǎn)B、C（B在右、C在左）（1）求拋物線的解析式； （2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為E，在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)F，使得，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；（3）射線OC上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別以每秒個(gè)單位長度、每秒2個(gè)單位長度的速度沿射線OC運(yùn)動(dòng)，以PQ為斜邊在直線BC的上方作直角三角形PMQ（直角邊分別平行于坐標(biāo)軸），設(shè)運(yùn)