數(shù)字通信_(tái)4_3(更新)

1、由于信息序列是隨機(jī)的，因此數(shù)字調(diào)制信號(hào)是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。一般來(lái)說(shuō)，隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)能量無(wú)限而功率有限的信號(hào)，對(duì)于無(wú)限能量信號(hào)我們不能得到其F氏變換，但可求出其功率密度譜函數(shù)。先求出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)，對(duì)其取F氏變換后即可得到功率密度譜函數(shù)。由調(diào)制信號(hào)的功率譜來(lái)確定所需的傳輸信道帶寬。本節(jié)主要內(nèi)容：推導(dǎo)線性調(diào)制信號(hào)的功率譜。研究非線性調(diào)制CPFSK等信號(hào)的頻譜特性。4.4數(shù)字調(diào)制信號(hào)的頻譜特性tfjcetvts2)(Re)(已調(diào)信號(hào)其中等效低通信號(hào)v(t)一般為復(fù)值信號(hào)，假定v(t) 、s(t)是平穩(wěn)過(guò)程，那么s(t)的自相關(guān)函數(shù)cccccccccccccccfjvvfjvvfjvvfjfjfjf

2、jtfjtfjtfjtfjtfjtfjtfjtfjsseeeetvtvetvtvEetvtvetvtvetvtvetvtvEetvetvetvetvEetvetvEtstsE22*22*2*2*2*)2(2*)2(2)(2*)(22*2)(22)(Re)(21)(21)()()()(41)()()()()()()()(41)()(21)()(21)(Re)(Re)()()( (4-4-1)4.4.1 線性調(diào)制信號(hào)的功率譜)(vv其中 是v(t)的自相關(guān)函數(shù)，所以s(t)的功率譜為)()(21)(cvvcvvssfffff)( fvv其中 是v(t)的功率譜。只需對(duì) 作簡(jiǎn)單的變換就能得到 。)(

3、 fvv)( fss對(duì)于線性數(shù)字調(diào)制信號(hào)，其等效低通信號(hào)一般形式 nnnTtgItv其中TKTb為符號(hào)周期，符號(hào)率1/TR/K符號(hào)/秒。In為與符號(hào)序列相對(duì)應(yīng)的幅度序列。PAM調(diào)制信號(hào)， In為實(shí)數(shù)；PSK、QAM調(diào)制信號(hào)， In為復(fù)數(shù)。(4-4-3)(4-4-2)v(t)的自相關(guān)函數(shù))()(21)()(21),(*mTtgnTtgIIEtvtvEttnmmnvv 假定符號(hào)序列In是廣義平穩(wěn)的、均值為i和自相關(guān)函數(shù)mnniiIIEm*21)(則 -nmiinmiivvmTnTtgnTtgmmTtgnTtgnmtt)()( )( )()( )() ,(*(4-4-6)(4-4-5)(4-4-4)

4、-nivvvvnTtgtvEttTtTt)( )( ) ,() ,(是時(shí)間變量t以T為周期的周期函數(shù)因此，v(t)的自相關(guān)函數(shù) 及均值Ev(t)都是時(shí)間t的周期函數(shù)，周期為T(mén)，這種隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)為廣義周期（循環(huán)）平穩(wěn)過(guò)程。為了求出它的功率譜，必須對(duì) 求一個(gè)周期內(nèi)的平均 ) ,(ttvv ) ,(ttvv dtmTtgtgmTdtmTtgtgTmdtmTnTtgnTtgTmdtttTmii-nnTTnTTmii-nTTmiiTTvvvv)()()(1)()(1)()()(1)(),(1)(*22*2/2/*2/2/ (4-4-9)把上式的積分看作g(t)的時(shí)間自相關(guān)函數(shù)，將它定義為dttgtggg)

5、()()(*)()(1)(mTmTggmiivv 因此v(t)的功率譜fmTjggmiimTfjggmiifjggmiifjvvvvefmTdemTdemTmTdef2)(222)()(1)()(1)()(1)()( (4-4-11)(4-4-10)2*2*22*2)( )()( )()( )()( )()( )()(fGfGfGdttgefGdttgdetgdedttgtgdefftjfjfjfjgggg信息符號(hào)序列In的功率譜定義為fmTjmiiiiemf2)()(4-4-13)v(t)的功率譜)()(1)(2ffGTfiivv(4-4-12)式(4-4-12)的結(jié)果說(shuō)明等效低通信號(hào)v(t

6、)的功率譜 依賴(lài)于信號(hào)脈沖g(t)的頻譜和信息符號(hào)In的功率譜。)( fvv式(4-4-13)中 可看作以頻率f為變量，周期為1/T的F氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式， 是F氏展開(kāi)系數(shù)，因此)( fii)(miiTTfmTjiiiidfefTm2/12/12)()(考慮特例，當(dāng)符號(hào)序列In為實(shí)數(shù)，且互不相關(guān)時(shí) 0 , 0 , )(222mmmiiiii(4-4-14)(4-4-15)其中i 為信息序列In的均值、i2為方差。將(4-4-15)代入(4-4-13)mfmTjiiiief222)(4-4-16)利用關(guān)系式時(shí)域頻域miiiiTmfTf)()( 22(4-4-17)mmfmTjmtTmjmTmfTeeT

7、mTt)()(1122 miivvTmfTmGTfGTf)()()()(22222結(jié)論：v(t)的功率譜可分成二項(xiàng)，第一項(xiàng)為連續(xù)譜，其形狀取決于g(t)的頻譜；第二項(xiàng)是由頻率fm=m/T的離散譜組成，其幅度正比于|G(fm)|2，當(dāng)信息符號(hào)零均時(shí)，離散譜將消失。而這一零均條件對(duì)數(shù)字調(diào)制信號(hào)來(lái)講常常是必要的，且也是容易滿足的，只要信息符號(hào)等概率且在星座圖上對(duì)稱(chēng)出現(xiàn)。所以只要適當(dāng)選擇信息序列的特性就能控制數(shù)字調(diào)制信號(hào)的功率譜。(4-4-18)將(4-4-17)代入(4-4-12)得例4-4-1 考慮g(t)為矩形脈沖時(shí)的功率譜。222sin)( sin)(fTfTATfGefTfTATfGfTj)

8、(sin)(22222fAftftTAfiivv|G(fm)|2在頻率1/T的整數(shù)倍處為零，而且隨頻率的平方成反比衰減。由于|G(fm)|2除零頻外在其余頻率點(diǎn)fm=m/T處為零，所有離散分量將消失。(4-4-19)(4-4-20)例4-4-2 考慮g(t)為升余弦脈沖時(shí)的功率譜。2222222)1 (sin2)( )1 (sin2)(TfffTAfGeTffTfTATfGfTjTtTtTAtg0 , 22cos12)(|G(fm) |2在頻率fm=m/T (m=2 , 3 , 4 , )處為零，因此,除f=0和f =1/T 點(diǎn)外，所有離散分量將消失。與矩形脈沖的譜相比，升余弦脈沖的譜具有較寬

9、的主瓣，但旁瓣的衰減與f 6成反比，因此旁瓣小。(4-4-21)(4-4-22)功率譜Simulink仿真結(jié)果矩形g(t)升余弦譜g(t)bnbn-1In111-1-1-1-11200-21nnnbbI0-22p=1/4p=1/2p=1/4例4-4-3 為了說(shuō)明通過(guò)對(duì)輸入信息序列的運(yùn)算也能達(dá)到頻譜成形的目的，考慮一個(gè)二進(jìn)制序列bn，并由此序列形成符號(hào)如果bn是互不相關(guān)的隨機(jī)變量，且每一個(gè)都具有零均值和單位方差。則有(4-4-23)其它 , 01 , 10 , 2 )(111111mmbbbbbbbbEbbbbEIIEmnmnnmnnmnnmnnnmnmnmnniifTfGTfvv22cos)(

10、4)(4-4-24)(4-4-25) fTfTeeemffmTjfmTjmfmTjiiii2222cos4 2cos12 2 (4-4-26)4.4.2 CPFSK和CPM信號(hào)的功率譜恒定幅度CPM信號(hào)可表示為);(2cos);(IIttfAtsc式中，時(shí)變相位kkkTtqIht)(2);(I序列Ik 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立和同分布，且具有先驗(yàn)概率) 1(,3,1,)(MnnIPPkn因?yàn)間(t)的取值區(qū)間在0 , LT ， 所以當(dāng)tLT時(shí)， q(t)=1/2。(4-4-27)(4-4-29)(4-4-28)tdttgtq0)()(恒定幅度CPM的等效低通信號(hào)kkkTtqIhjtjeetv)(2);()(I

11、自相關(guān)函數(shù)kM-nMnkTtqkTtqhnjnkkkTtqkTtqhIjkTtqkTtqIhjtjtjvvePIeEeEeeEttkkk1odd)1()()(2)()(2)()(2);();(21212121);(統(tǒng)計(jì)獨(dú)立）（II(4-4-32)平均自相關(guān)函數(shù)TvvvvdtttT0);(1)(則其中令,1,0,0,mTmT TmLkM-nMnkTtqTmktqhnjnvvdtePTmTmkLmTmktqLmkkLkTtqkTtqTmktqTt0111)1()(221)(11,)(1,2/101,2/1)(0odd考慮到q(t)的取值區(qū)間在0 , LT 。且當(dāng)tLT時(shí)， q(t)=1/2。因此，

12、(4-4-33)式中只有有限項(xiàng)具有非零指數(shù)，可以大大加以簡(jiǎn)化。(4-4-33)(4-4-34)式可表示為時(shí)的情況考慮)3444( ,LTmT)()()(LmvvjhmT式中，(jh)是隨機(jī)序列In的特征函數(shù)，定義為1odd)1()(M-nMnhnjnhIjePeEjhn ()是自相關(guān)函數(shù)的剩余部分，可表示為dtePePTLkM-nMnkTthnqjnTLkM-nMnkTtqhnjn 111odd)1(20011odd)1(22121)(4-4-37)(4-4-36)(4-4-35)的平均功率密度譜氏變換，可得到進(jìn)行對(duì))(F)(tvvv022)(Re2)()(dedeffjvvfjvvvvLTf

13、jvvLTfjvvfjvvdedede20202)()()(對(duì)上式中的積分進(jìn)行分段積分(4-4-39)(4-4-38)TLTfjfTjnTLTfjfnTjnLmTmTfjLmLmTmTfjvvLmTmmTfjvvLTfjvvdeejhdeejhjhdejhdemTdedte0)(2200)(220)(20)(2)1(22)()(11)()(1| )(|)()()()()(利用(4-4-35)式，并令=+mT，則上式的第二個(gè)積分項(xiàng)可表示為(4-4-43)()()( )Re( )( )()Re( )( )()LTTjfjfLTvvvvjfTLTLTjfjfvvvvjfTLTfededjh eede

14、djh e 2220012220121121(4-4-44)將(4-4-43)、 (4-4-39)帶入(4-4-38)，可得到CPM信號(hào)的功率密度譜)()()()()()3544(LLvvvvjhLTLT 時(shí)，由式nTfTjnfnTjnnjfnTjnnjeeeejhjhejh)(20202202)()4344(, 1)(,)(中的和式變成：式當(dāng)特征函數(shù)| (jh)|=1時(shí)，h=K(整數(shù))，不失一般性，假設(shè)：21)/(2)()/(sin2)(11)(21)/(2TfTctgjTnTfTTfTejTnTfTenfnunTfTjnfjn2121散時(shí)間傅氏變換利用單位階躍函數(shù)的離(4-4-46)PSD

15、中包含離散譜：結(jié)合(4-4-38)至(4-4-43)，整個(gè)PSD包含連續(xù)和離散譜分量。 knInTnf2, 1, 0, 10,nTfTjnenTu)(2)(考慮所有符號(hào)是等概率出現(xiàn)時(shí)的情況，即Pn=1/M。此時(shí)，特征函數(shù)可簡(jiǎn)化為hhMMeMjhM-nMnhnjsinsin11)(1odd)1(TLLTvvTLLTvvLTvvvvdffTjhjhfTjhdffTjhjhfTjhdff)1(2)1(202sin)(2cos)(2)(12sin)(2cos)(2cos)(2)(12cos)(12cos)(2)(4-4-48)(4-4-50)可以簡(jiǎn)化為( )vv (4-4-49)相應(yīng)的v(t)功率密度

16、譜可簡(jiǎn)化為dtkTtqkTtqhkTtqkTtqhMMTTLkTvv)()(2sin)()(2sin121)(/101. CPFSK的功率密度譜hMhMjhMnmhfTnmnmfTfBhMnfThMnfTfAfAfAfBMfAMTfnmnmnMnMmmnnmMnnvvsinsin)()1(2cos221cos)2cos()()12(21)12(21sin)()()()(2)(1)(11212(4-4-52)當(dāng)脈沖形狀g(t)是矩形且在0,T區(qū)間之外為零時(shí)，由式(4-4-50)可以得到功率密度譜的封閉形式的表達(dá)式圖4-4-3 二進(jìn)制CPFSK功率密度譜圖4-4-3 二進(jìn)制CPFSK功率密度譜圖4

17、-4-4 四進(jìn)制CPFSK功率密度譜圖4-4-3 八進(jìn)制CPFSK功率密度譜圖4-4-10 二進(jìn)制CPFSK的部分帶外功率MSK信號(hào)的功率譜（h=1/2 , =0）222221612cos16)(TffTTAfvv與矩形脈沖g(t)的OQPSK的譜222sin)(fTfTTAfvv相比較，其結(jié)果見(jiàn)圖(4-4-6)(4-4-54)(4-4-53)4-4-6 MSK和偏移QPSK的功率密度譜功率譜Simulink仿真結(jié)果MSKGMSK4.4.3 有記憶調(diào)制信號(hào)的功率譜本節(jié)研究有記憶線性調(diào)制信號(hào)的頻譜特性，該信號(hào)可用馬爾可夫鏈建模。對(duì)于具有轉(zhuǎn)移概率矩陣P的馬爾可夫鏈產(chǎn)生的信號(hào)，已調(diào)信號(hào)的功率譜可表示

18、成一般形式(Titsworth & Welch, 1961年) KiKjijjiiKiiinKiiifPfSfSpTfSpTTnfTnSpTf1112212)()()(Re2)(11)(式中，Si(f)是信號(hào)波形si(t)的F氏變換Kkkkiitsptsts1)()()(4-4-57)Pij(f)是離散時(shí)間序列pij(n)的F氏變換，定義為12)()(nnfTjijijenpfPK是調(diào)制器的狀態(tài)數(shù)，pij(n)表示在發(fā)送si(t)后經(jīng)過(guò)n個(gè)信號(hào)傳輸間隔發(fā)送的信號(hào)是sj(t)的概率，即pij(n)是轉(zhuǎn)移概率矩陣Pn中的轉(zhuǎn)移概率。當(dāng)調(diào)制方式中無(wú)記憶時(shí)，在每一個(gè)信號(hào)傳輸間隔發(fā)送的信號(hào)波形與先前信號(hào)傳輸間隔發(fā)送的波形無(wú)關(guān)。如果轉(zhuǎn)移概率矩陣由kkkppppppppp212121P(4-4-58)(4-4-59)代替，加上Pn=P（對(duì)所有n1）的條件時(shí)，結(jié)果產(chǎn)生的信號(hào)功率密度譜仍然可以表示成式(4-4-57)的形式。在這些條件下，功率密度譜的表達(dá)式變成僅僅是平穩(wěn)狀態(tài)概率pi的一個(gè)函數(shù)，因此可以簡(jiǎn)化為 )()(Re2)()1 (11)(1112212fSfSppTfSppTTnfTnSpTfjiKiKjijjiKiiiinKiii 從上式可發(fā)現(xiàn)，由式(4-4-18)給出的無(wú)記憶線性調(diào)制功率密度譜的結(jié)果可看作式(4-4-60)的一個(gè)特例