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文檔簡介

1、矩陣的轉(zhuǎn)置、乘法(初等變換)、逆內(nèi)容提要 矩陣的下列運(yùn)算的性質(zhì)與應(yīng)用 乘法 轉(zhuǎn)置 初等變換 逆定義定義 ,那么,那么,設(shè)矩陣設(shè)矩陣nsijnmijbBaA 由定義,一個由定義,一個行矩陣與一個行矩陣與一個 列矩陣的乘積是一個一階方陣,也就是列矩陣的乘積是一個一階方陣,也就是一個數(shù)一個數(shù): 并把此乘積記作并把此乘積記作),;,(,其中,其中.212112211njmibabababacckjiksjisjijiijnmij CnmB矩陣矩陣的乘積是一個的乘積是一個矩陣與矩陣矩陣與矩陣乘法 定義中矩陣定義中矩陣(=AB)的元素的元素cij是矩陣是矩陣A 的的 第第i 行行元素與矩陣元素與矩陣B的的

2、第第j 列列對應(yīng)元素乘積之和對應(yīng)元素乘積之和. 注意注意 只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣(左左矩陣矩陣)的的列列數(shù)等數(shù)等 于第二個矩陣于第二個矩陣(右右矩陣矩陣)的的行行數(shù)時,數(shù)時,兩個矩陣才兩個矩陣才 能相乘能相乘. sjisjijisjjjisiibabababbbaaa 22112121, nkijkjikcba1矩陣的乘法滿足下述運(yùn)算規(guī)律矩陣的乘法滿足下述運(yùn)算規(guī)律結(jié)結(jié)合合律律)()(.BCACAB1 ACABCBA2 )(.).()()(.BABAAB3 分分配配律律CABAACB )(矩陣的冪矩陣的冪 A 是一個是一個n 階矩陣階矩陣, k 是一個正整數(shù)是一個正整數(shù),規(guī)定規(guī)定 個個

3、kkAAAA 矩陣的冪滿足規(guī)律矩陣的冪滿足規(guī)律 .,lklklklkAAAAA 其中其中 k , l 為正整數(shù)為正整數(shù).對于兩個對于兩個 n 階矩陣階矩陣 A與與 B,一般說,一般說.)(kkkBAAB kn21000000 knk2k1000000 例例 8矩陣的轉(zhuǎn)置定義 把矩陣A的行列(按原順序互換)互換所得到的矩陣稱為原矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣,以AT表示。 即 A(aij)mn,AT(aji)nm 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa112111222212mmTnnmnaaaaaaAaaa1101,23A例若 TA則則 矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下述運(yùn)算規(guī)律矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下述運(yùn)算規(guī)律A

4、A1TT )(.TTTBABA2 )(.TTAA3 )(. 311201TAB4)(.TTAB (ABC)TCTBTAT對于多個矩陣相乘,有1221TTTTttA AAAAA證明:設(shè) ,nsijsmijbBaA記.,mnijTTnmijdDABcCAB由矩陣的乘法定義,有,1skkijkjibac而BT的第i行為,1siibb AT的第j列為,1jsjaa因此skskkijkjkkiijbaabd11,所以,2, 1;,2, 1mjnicdjiij即D=CT,亦即BTAT=(AB)T.方陣的行列式運(yùn)算滿足下述規(guī)律方陣的行列式運(yùn)算滿足下述規(guī)律 : AA1T .AA2n .BAAB3 .定義定義

5、由由 n 階矩陣階矩陣 A 的元素(按原來的位置)的元素(按原來的位置).A記記作作稱為方陣稱為方陣 A 的行列式的行列式,為數(shù))為數(shù))階矩陣,階矩陣,是是其中其中 nBA,(構(gòu)成的行列式,構(gòu)成的行列式,方陣的行列式方陣的行列式TTAA .A ,設(shè)設(shè) 333231232221131211aaaaaaaaaA1., 332313322212312111TaaaaaaaaaA332313322212312111TaaaaaaaaaA 333231232221131211aaaaaaaaaA 那么那么332313322212312111TaaaaaaaaaA 于是于是3332312322211312

6、113aaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaaA 333231232221131211aaaaaaaaaA 2. 設(shè)設(shè) A 為為 3 階矩陣階矩陣, 333231232221131211aaaaaaaaaA .A3 那么那么于是于是,為數(shù)為數(shù) 初等矩陣初等矩陣 & & 初等變換初等變換 Recall 練習(xí) 行(列)上去行(列)上去乘某行(列)加到另一乘某行(列)加到另一以數(shù)以數(shù)乘某行或某列;乘某行或某列;以數(shù)以數(shù)對調(diào)兩行或兩列;對調(diào)兩行或兩列;kk. 30. 2. 1三種初等變換三種初等變換1 設(shè) a, 1 1a, 1 2a, 1 3a, 2

7、1a, 2 2a, 2 3a, 3 1a, 3 2a, 3 3A=計算并總結(jié)規(guī)律。()100010001A()100010001AA100l10001A100001010AA100001010(3)(5)(4)(6)1000k0001100010001100l100011000010101000k0001100010001 a, 1 1a, 1 2a, 1 3a, 3 1a, 3 2a, 3 3a, 2 1a, 2 2a, 2 3100001010AA a, 1 1a, 1 2a, 1 3a, 2 1a, 2 2a, 2 3a, 3 1a, 3 2a, 3 3100l100011000k000

8、1AA a, 1 1a, 1 2a, 1 3k a, 2 1k a, 2 2k a, 2 3a, 3 1a, 3 2a, 3 3 a, 1 1a, 1 2a, 1 3l a, 1 1a, 2 1l a, 1 2a, 2 2l a, 1 3a, 2 3a, 3 1a, 3 2a, 3 3 a, 1 1a, 1 2a, 1 3a, 3 1a, 3 2a, 3 3a, 2 1a, 2 2a, 2 3100001010AA100001010 a, 1 1a, 1 3a, 1 2a, 2 1a, 2 3a, 2 2a, 3 1a, 3 3a, 3 2 定義定義 由單位由單位 矩陣經(jīng)過一次初等變換得矩陣經(jīng)

9、過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣到的方陣稱為初等矩陣. .E三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣.初等矩陣的概念初等矩陣的概念 行(列)上去行(列)上去乘某行(列)加到另一乘某行(列)加到另一以數(shù)以數(shù)乘某行或某列;乘某行或某列;以數(shù)以數(shù)對調(diào)兩行或兩列;對調(diào)兩行或兩列;kk. 30. 2. 1,得得初初等等方方陣陣兩兩行行,即即中中第第對對調(diào)調(diào))(,jirrjiE對調(diào)兩行或兩列對調(diào)兩行或兩列、1行行第第 i行行第第 j第i列第j列 10111101),(jiE,得,得左乘左乘階初等矩陣階初等矩陣用用nmijmaAjiEm )(),( mnmminiijnjjnmaaa

10、aaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第 i行行第第 j).( jirrjiAA行對調(diào)行對調(diào)行與第行與第的第的第:把:把施行第一種初等行變換施行第一種初等行變換相當(dāng)于對矩陣相當(dāng)于對矩陣,右乘矩陣右乘矩陣階初等矩陣階初等矩陣以以類似地,類似地,AjiEnn),( mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().( jiccjiAA列對調(diào)列對調(diào)列與第列與第的第的第把把:施行第一種初等列變換施行第一種初等列變換相當(dāng)于對矩陣相當(dāng)于對矩陣i列列j列列 02乘某行或某列乘某行或某列、以數(shù)、以數(shù) k).()(0 kiEkriki矩陣矩陣,得初

11、等,得初等行行乘單位矩陣的第乘單位矩陣的第以數(shù)以數(shù) 1111)(kkiE行行第第 i第第i 列列;行行的第的第乘乘相當(dāng)于以數(shù)相當(dāng)于以數(shù))(kriAki mnmminiinmaaakakakaaaaAkiE212111211)(行行第第 i,左乘矩陣左乘矩陣以以AkiEm)( ).).( (列列的第的第A A乘乘數(shù)數(shù)A,其結(jié)果相當(dāng)于以A,其結(jié)果相當(dāng)于以右乘矩陣右乘矩陣E E以以k kc ci ik ki in n(i(k)(i(k)上去上去(列)(列)加到另一行加到另一行(列)(列)0乘某行0乘某行3、以數(shù)k3、以數(shù)k ) ),( (列列上上列列加加到到第第的的第第E E乘乘k k或或以以) )

12、( (行行上上行行加加到到第第的的第第E E乘乘k k以以i ij jj ji ik kc cc cj ji ik kr rr ri ij j 1111)(kkijE行行第第i行行第第j,左乘矩陣左乘矩陣以以AkijEm)( mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkijE2121221111211)().(jikrrikjA 行上行上加到第加到第行乘行乘的第的第相當(dāng)于把相當(dāng)于把 ).()(ijnkccjkiAAkijE 列上列上加到第加到第列乘列乘的第的第把把,其結(jié)果相當(dāng)于,其結(jié)果相當(dāng)于右乘矩陣右乘矩陣類似地,以類似地,以 mnmjmjmimnjjinjjin

13、aakaaaaakaaaaakaaakijAE1222221111111)(Inverse Matrix .,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa按照矩陣的乘法,線性方程組按照矩陣的乘法,線性方程組可表示為矩陣的乘積可表示為矩陣的乘積 Ax = b 的形式,其中的形式,其中 mnmnmmnnbbbbxxxxaaaaaaaaaA2121212222111211,如果 m=n, 可考慮 x=b/A, 111 aaaa一、概念的引入在數(shù)的運(yùn)算中,在數(shù)的運(yùn)算中,當(dāng)數(shù)當(dāng)數(shù) 時,時,0 a有有aa11 a其中其中 為為 的倒數(shù),的倒數(shù),a

14、(或稱(或稱 的逆);的逆); 在矩陣的運(yùn)算中,在矩陣的運(yùn)算中,E單位陣單位陣 相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中 的的1。 因此在矩陣的運(yùn)算中可以相應(yīng)的引入逆矩因此在矩陣的運(yùn)算中可以相應(yīng)的引入逆矩陣的概念。陣的概念。二、逆矩陣的概念和性質(zhì) 定義定義 對于對于 階矩陣階矩陣 ,如果存在,如果存在 階矩陣階矩陣 則說矩陣則說矩陣A是是可逆可逆的,并把矩陣的,并把矩陣B稱為稱為A的一個的一個逆矩陣逆矩陣.B,EBAAB n使得使得nA例例 設(shè)設(shè),21212121,1111 BA,EBAAB .的一個逆矩陣的一個逆矩陣是是AB說明說明 若若 是可逆矩陣,則是可逆矩陣,則 的逆矩陣是的逆矩陣是唯

15、一唯一的的.AA事實上若設(shè)事實上若設(shè) 和和 是是 的逆矩陣,的逆矩陣,BCA則有則有,ECAACEBAAB 可得可得EBB BCA ABC .CCE 所以所以 的逆矩陣是唯一的。的逆矩陣是唯一的。AA的逆記為的逆記為 ,即,即 AA-1=A-1A=E。1A例例 設(shè)設(shè),0112 A.的逆陣的逆陣求求A解解設(shè)設(shè) 是是 的逆矩陣的逆矩陣, dcbaBA則則 dcbaAB0112 1001 100122badbca 利用待定系數(shù)法利用待定系數(shù)法 , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba又因為又因為 0112 2110 0112 2110,1001 所以所以.21101

16、 AABAB矩陣可逆的充要條件與逆矩陣的求法矩陣可逆的充要條件與逆矩陣的求法1121n11222n21n2nnn.ijijAAAAAAAAAAAAa為行列式中元素的代數(shù)余子式A矩陣 的伴隨矩陣112131122232132333AAAAAAAAA a, 1 1a, 1 2a, 1 3a, 2 1a, 2 2a, 2 3a, 3 1a, 3 2a, 3 3的伴隨矩陣EAAA .EAAA 先就先就 3 階矩陣給出證明階矩陣給出證明.證證 設(shè)設(shè) 333231232221131211332313322212312111333231232221131211bbbbbbbbbAAAAAAAAAaaaaaa

17、aaaAA于是有于是有13131212111111AaAaAab 23132212211112AaAaAab 33133212311113AaAaAab 13231222112121AaAaAab 23232222212122AaAaAab 0AaAaAab33233222312123 .,Ab0b0b333231 因此因此 A000A000AAA同理可證,同理可證,.EAAA A = 0= 0= 0A .EA EAAA .EAAA 證證 設(shè)設(shè) A = ( a i j )nn , ),(ijbAA 記記 nn2n1nn22221n11211nnn2n12n22121n2111nn2n1nn22

18、221n11211bbbbbbbbbAAAAAAAAAaaaaaaaaa也就是也就是于是有于是有 jnin2j2i1j1iijAaAaAab因此因此EAAA 同理可證同理可證,.EAAA .時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)ji0jiA定理定理1 1 矩陣矩陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 ,且,且 ,11 AAAA0 A證明證明若若 可逆,可逆,A.EAAA 11使使即有即有, 11 EAA故故. 0 A所所以以.的伴隨矩陣的伴隨矩陣為矩陣為矩陣其中其中AA ,0時時當(dāng)當(dāng) A,0時時當(dāng)當(dāng) A nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211A

19、AaAaAann 1112121111AAaAaAannnnnnnn 2211, AAAAOOEAAAAA ,EAAAAAA .1AAA 按逆矩陣的定義得按逆矩陣的定義得證畢證畢.,0,0非非奇奇異異矩矩陣陣稱稱為為時時當(dāng)當(dāng)稱稱為為奇奇異異矩矩陣陣時時當(dāng)當(dāng)AAAA 奇異矩陣與非奇異矩陣的定義奇異矩陣與非奇異矩陣的定義.為為非非奇奇異異矩矩陣陣是是可可逆逆陣陣的的充充要要條條件件是是由由此此可可得得AA, 1 EBA, 0 A故故,1存存在在因因而而 A于是于是EBB BAA1 ABA1 EA1 .1 A證畢證畢 .,1 ABEBAEAB則則或或若若推論推論證明證明 .,1111AAAA 且且亦

20、可逆亦可逆則則可逆可逆若若逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì) 且且可逆可逆則則數(shù)數(shù)可逆可逆若若, 0,2AA 且且亦可逆亦可逆則則為同階方陣且均可逆為同階方陣且均可逆若若,3ABBA 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB證明證明 1ABB1 1 A .111 AA TTTAAAA11 TE ,E .11TTAA .,0,10kkAAEAA 定義定義時時當(dāng)當(dāng)另外另外證明證明 為正整數(shù)為正整數(shù)k .1212 AA推推廣廣1AmA1 mA1 1A .,4AAAAT 且且亦可逆亦可逆則則可逆可逆若若TT1 1 .AA,A115 則有則有可逆可逆若若證明證明EAA 111 A

21、A.AA11 因此因此有有為整數(shù)時為整數(shù)時當(dāng)當(dāng), 0 A, AAA . AA 例例1 1 求方陣求方陣 的逆矩陣的逆矩陣. . 343122321A解解343122321 A, 0 .1存在存在 A, 2341211 A, 3331212 A三、逆矩陣的求法同理可得同理可得, 2, 6, 6, 223222113 AAAA, 2, 5, 4333231 AAA,222563462 A得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 332313322212312111AAAAAAAAAA1, 0! 5 A因因由由伴伴隨隨矩矩陣陣法法得得,1AAA 解解.1存在存在故故 A.

22、50000040000030000020000011 AA求求已已知知 例例2 2 432100000532100000542100000543100000543251!.51000004100000310000021000001 另一種常用的求矩陣逆的方法 伴隨矩陣的方法理論上完善,但計算量大 下面用矩陣的初等(行)變換來求 先講方法,后介紹其中的道理(也可課后思考)逆矩陣的求法 若矩陣A可逆,則矩陣A總可以經(jīng)過一系列初等行變換化為單位矩陣。 如果把同樣的變換施加在單位矩陣上,得到的就是A的逆矩陣。 因此,我們通常把矩陣A與單位矩陣I并列,構(gòu)成一個n2n矩陣,記作A E,再經(jīng)過初等行變換化為

23、E A-1,這樣就得到了A-1。 . ,343122321 1 AA求求設(shè)設(shè) 解解例例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr )(22 r)(13 r.111253232311 A 11110025323010231001)(22 r)(13 r利用矩陣求解方程 .,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa按照矩

24、陣的乘法,線性方程組按照矩陣的乘法,線性方程組可表示為矩陣的乘積可表示為矩陣的乘積 Ax = b 的形式,其中的形式,其中 mnmnmmnnbbbbxxxxaaaaaaaaaA2121212222111211,如果 m=n, 可考慮 x=b/A 1111A AxA bExA bxA b例: 求解線性方程組1231231232322213430 xxxxxxxxx1231232 221 , = , 1.3430 xAXxBx設(shè)11 .AXA B先求得, 則 1 XA 210101反 思 理論分析 定理定理1 1 設(shè)設(shè) 是一個是一個 矩陣,對矩陣,對 施行一施行一次初等行

25、變換,相當(dāng)于在次初等行變換,相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣;對階初等矩陣;對 施行一次初等列變換,相當(dāng)于施行一次初等列變換,相當(dāng)于在在 的右邊乘以相應(yīng)的的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣階初等矩陣. .nm mnAAAAA初等變換初等變換初等矩陣初等矩陣初等逆變換初等逆變換初等逆矩陣初等逆矩陣二、初等矩陣的應(yīng)用 ),(),(1;則則的的逆逆變變換換是是其其本本身身,變變換換jiEjiErrji );1()(11kiEkiEkrkrii 則則,的的逆逆變變換換為為變變換換. )()()(1kijEkijErkrkrrjiji 則則,的的逆逆變變換換為為變變換換 定理定理2 2

26、設(shè)設(shè)A A為可逆方陣,則存在有限個初等為可逆方陣,則存在有限個初等方陣方陣.,2121llPPPAPPP 使使證證 , EA使使即存在有限個初等方陣即存在有限個初等方陣,21lPPPAPEPPPPlrr 121.PPPAl21 即即.,: BPAQQnPmBAnm 使使階可逆方陣階可逆方陣及及階可逆方陣階可逆方陣存在存在的充分必要條件是的充分必要條件是矩陣矩陣推論推論,AE 經(jīng)經(jīng)有有限限次次初初等等變變換換可可變變故故利用初等變換求逆陣的方法:利用初等變換求逆陣的方法:,有,有時,由時,由當(dāng)當(dāng)lPPPAA21 0 ,11111EAPPPll , 111111 AEPPPll及及 EPPPAPP

27、Pllll1111111111 1 AE EAPPPll11111 . )(2 1 AEEAEAnn就就變變成成時時,原原來來的的變變成成當(dāng)當(dāng)把把施施行行初初等等行行變變換換,矩矩陣陣即即對對 . 1BA 矩陣矩陣的方法,還可用于求的方法,還可用于求利用初等行變換求逆陣?yán)贸醯刃凶儞Q求逆陣E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行變換初等行變換例例.341352,343122321 , BABAXX,其中,其中使使求矩陣求矩陣解解.1BAXA 可逆,則可逆,則若若 343431312252321)(BA 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr , 311003201023001.313223 X)(22 r)(13 r 311006402023001312rr 325rr .1 CAY即可得即可得作初等行變換,作初等行變換,也可改為對也可改為對),(TTCA , 1作初等列變換,作初等列變換,則可對矩陣則可對矩陣如果要求如果要求 CACAY,CA 1 CAE列變換列變換),)( ,(),1TTTTCAECA (列變換列變換TT1C)( AYT即可

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