2019-2020年高二數(shù)學(xué)空間的平行直線和異面直線同步輔導(dǎo)教材 人教版

1、2019-2020年高二數(shù)學(xué)空間的平行直線和異面直線同步輔導(dǎo)教材 人教版一、本講進(jìn)度 第九章 直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體 92 空間的平行直線和異面直線二、主要內(nèi)容1、 空間兩條直線的位置關(guān)系；2、 公理4及等角定理；3、 異面直線位置關(guān)系的判斷，求兩條異面直線所成的角。三、學(xué)習(xí)指導(dǎo) 1、在數(shù)學(xué)中，常常需要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類討論。分類時(shí)必須使每一對(duì)象都屬于某一類，且僅屬于這一類，既不重復(fù)又不遺漏。其中，“二分法”是一種重要的分類方法。所謂“二分法”就是把所研究的對(duì)象分成互不相容的兩類，每個(gè)對(duì)象都屬于其中一類且僅屬于這一類。在運(yùn)用二分法時(shí)，首先要確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)，不同的分類標(biāo)準(zhǔn)可以得出不同的分類方法

2、。如按“是否共面”的標(biāo)準(zhǔn)，空間直線；按“是否有公共點(diǎn)”的標(biāo)準(zhǔn)，空間直線。熟悉“二分法”，不僅可以深刻理解所研究的對(duì)象之間的關(guān)系，而且也是應(yīng)用反證法的基礎(chǔ)。反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法，同學(xué)們?cè)诟咭粩?shù)學(xué)中已經(jīng)接觸過(guò)。在立體幾何證明中，它是重要的常用的方法之一。2、異面直線是相對(duì)于共面直線而言的，從集合的角度看，是共面直線構(gòu)成的集合的補(bǔ)集，因此，異面直線的特征是既不相交也不平行。其本質(zhì)屬性是這兩條直線不可能共面于任何一個(gè)平面?；蛘哒f(shuō)，你不管怎樣找，總不可能找到一個(gè)平面同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩條直線，注意：畫(huà)在兩個(gè)平面內(nèi)的直線不一定是異面直線。如下圖： ab ab=P異面直線的判斷方法：（1）反證法；（2）判定定

3、理：若a，A，B，A，則AB和a是異面直線，或?qū)懗桑篴，b=A，Aa，則a，b是異面直線。3、為了精確地描述兩條異面直線不平行的特征，引進(jìn)了異面直線所成角的概念。異面直線所成角的定義是建立在等角定理基礎(chǔ)上的，求異面直線所成角的大小，主要是利用定義法，具體的途徑有：中位線法，補(bǔ)形法。異面直線所成角的定義體現(xiàn)了立體向平面轉(zhuǎn)化的思想。求異面直線所成的角一般分四步：（1）作圖；（2）證明；（3）計(jì)算；（4）結(jié)論。這也是立體幾何計(jì)算一般都要經(jīng)歷的四個(gè)步驟。異面直線所成角的范圍是（0，。4、根據(jù)等角定理可知，若ab，a與c所成角為，則b與c所成角為。特例：ab，acbc，形式與平面幾何有類似的地方，但圖形

4、完全不同。四、典型例題例1、如圖，已知a，b，c不共面，它們相交于點(diǎn)P，Aa，Da，Bb，Cc，求證BD和AC是異面直線。分析：法一：直接利用判定定理 AC平面PAC，D平面PAC，DAC，B平面PAC AC與BD是異面直線法二：用反證法假設(shè)AC與BD共面于 A、D、C三點(diǎn)不共線 與平面ACD重合 a P P、B、C三點(diǎn)不共線 與平面PBC重合 由知平面PAC與平面PBC重合 a，b，c共面，與已知矛盾 AC與BD異面說(shuō)明：在法一中，選平面PAC為基本面，也可以選平面PBD為基本面，總之，要習(xí)慣把直線放在平面內(nèi)。例2、空間四邊形PABC，連對(duì)角線AC、PB，D、E分別是PAB和PBC的重心，求

5、證：DEAC。分析：養(yǎng)成用軌跡的思想看待圖形的習(xí)慣，即把點(diǎn)放在線上，把線放在面內(nèi)。如把點(diǎn)D放在AB邊的中線AM上，再把PM、DE放在平面PEM內(nèi)，延長(zhǎng)PE交BC于N，連MN，則N為BC中點(diǎn)，平面PEM即為平面PMN。 PMN中 DEMN ABC中 MNAC DEAC例3、空間四邊形DABC中，P、Q為邊CD上兩個(gè)不同的點(diǎn)，M、N為AB上兩個(gè)不同的點(diǎn)，連PM、QN，如圖，問(wèn)圖中共有多少對(duì)異面直線？分析：為使計(jì)算異面直線條數(shù)的過(guò)程中不出現(xiàn)重、漏的現(xiàn)象，可采用逐步添加的方法。首先考慮空間四邊形DABC的四條邊DA、AB、BC、CD連同對(duì)角線AC、BD，這六條線段可形成三對(duì)異面直線DA與BC，AB與C

6、D，AC與BD。其次添加線段PM，則除去與PM相交的CD、AB，又可新形成4對(duì)異面直線，即PM與DA、BC、AC、BD。因QN與PM位置等同，當(dāng)添上QN時(shí)，也同樣新增4對(duì)異面直線。最后注意到，PM與QN也是異面直線。 圖中共有3+4+4+1=12（對(duì)）異面直線評(píng)注：對(duì)于復(fù)雜圖形，通常用分解等手段轉(zhuǎn)化為基本圖形。同時(shí)學(xué)會(huì)從運(yùn)動(dòng)的角度觀察圖形，如本題的逐步添加法。例4、長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，求異面直線BD1和B1C所成角的余弦值。分析：顯然，通過(guò)平移在長(zhǎng)方體的表面及內(nèi)部不可能構(gòu)造出一個(gè)BD1和B1C所成的角，但同時(shí)又為了使構(gòu)造出的角便于計(jì)算，故可考慮補(bǔ)上

7、一個(gè)與已知長(zhǎng)方體相同的長(zhǎng)方體DCEFD1C1E1F1。具體作法是：延長(zhǎng)A1D1，使A1D1=D1F1，延長(zhǎng)B1C1至E1，使B1C1=C1E1，連E1F1，分別過(guò)E1、F1，作E1EC1C，F(xiàn)1FD1D，連EF，則長(zhǎng)方體C1D1F1ECDFE為所作長(zhǎng)方體。 BCD1F1 BD1CF1 B1CF1就是異面直線BD1與B1C所成的角。 BD2=a2+b2 RtBDD1中，BD12=BD2+DD12=a2+b2+c2 CF12=BD12=a2+b2+c2 B1C2=b2+c2，B1F12=a2+4b2 B1CF1中 cosB1CF1=（1） 當(dāng)c>b時(shí)， cosB1CF1>0 B1CF1

8、為銳角，B1CF1就是異面直線BD1和B1C所成的角（2） 當(dāng)c<b時(shí)，cosB1CF1<0 B1CF1是鈍角 -B1CF1就是異面直線BD1和B1C所成的角（3） 當(dāng)c=b時(shí)，B1CF1=900 BD1B1C法二：作異面直線所成角的過(guò)程，其實(shí)就是平移異面直線的過(guò)程。借助于三角形中位線的平行性，也可以達(dá)到平移的目的。如圖，分別取BC、BB1、B1D1的中點(diǎn)P、M、Q，連PM、MQ、PQ 則 MPB1C，MQBD1 PMQ（或其補(bǔ)角）就是異面直線BD1與B1C所成的角 PMQ中，MP=B1C= MQBD1=，PQ=利用余弦定理可以得到與解法一同樣的結(jié)果注：本題解法一稱為補(bǔ)形法，在本題

9、上，還可以在原長(zhǎng)方體的上方或下方補(bǔ)一個(gè)相同的長(zhǎng)方體，同學(xué)們可以親自試一試。解法二稱為中位線法。在求異面直線所成角的四步驟中，第一步其實(shí)就是平移異面直線，使它們相交，第三步計(jì)算的過(guò)程主要是解三角形的問(wèn)題。在寫(xiě)結(jié)論時(shí)應(yīng)注意解法一的結(jié)論。同步練習(xí)（一） 選擇題 1、異面直線a與b滿足a，b，=l，則直線l與a、b的位置關(guān)系是 A、l與a、b都相交 B、l至少與a、b中的一條相交 C、l至多與a、b中的一條相交 D、l至少a、b中的一條平行2、平面與相交，a，b，則在“a、b必為異面直線，a、b必互相平行，a、b必為相交直線”這三個(gè)命題中，不正確的個(gè)數(shù)是A、0個(gè) B、1個(gè) C、2個(gè) D、3個(gè)3、 異面

10、直線指的是A、 沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線 B、 分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線C、 某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線D、 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線 4、分別和兩條異面直線都相交的兩直線一定是A、不平行的直線B、不相交的直線C、相交直線或平行直線 D、既不相交也不平行5、給出四個(gè)命題 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 四邊相等的四邊形是菱形 四邊相等且四個(gè)角也相等的四邊形是正方形 兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形其中正確命題的個(gè)數(shù)是A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)6、正方體ABCDEFGH中，面對(duì)角線FG與EG所成的角等于A、450 B、600 C、900 D、12

11、007、OAOA，OBOB是AOB=AOB的A、充要條件 B、充分不必要條件C、必要不充分條件 D、既不充分又不必要條件8、正方體ABCDA1B1C1D1的表面對(duì)角線中，與AD1成600角的有A、4條 B、6條 C、8條 D、10條9、正方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)AB中點(diǎn)為M，DD1的中點(diǎn)為N，則異面直線B1M與CN所成角的A、300 B、450 C、600 D、90010、給出三個(gè)命題 若兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線互相平行 若兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行 若兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線互相平行其中不正確的個(gè)數(shù)是 A、0個(gè) B、1個(gè) C、2

12、個(gè) D、3個(gè)（二）填空題 11、正方體ABCDA1B1C1D1中 （1）若E、F分別是棱A1B1、BB1的中點(diǎn)，則AE和CF所成角的余弦值是_。 （2）若G為CD中點(diǎn)，則異面直線B1C與AG所成的角的正弦值是_。 （3）若F、G分別是棱BB1、DC的中點(diǎn)，則AF與D1G所成的角是_。12、長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，BB1=BC=1，AB=，則 （1）AD1與BC所成角是_。 （2）CD1與AB所成角是_。（4） CD1與A1D所成角的正弦值是_。 13、空間四邊形ABCD中，若AB=CD=2，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，EF=，則AB與CD所成的角是_。14、空間四邊形ABCD中，E

13、、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是CB、CD上的點(diǎn)，且，若BD=6，梯形EFGH的面積是28，則平行線EH、FG間的距離是_。15、a、b是異面直線，b、c是異面直線，則直線a、c的位置關(guān)系是_。 （三）解答題16、設(shè)E、F、G、H依次是空間四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，設(shè)AC+BD=a，AC·BD=b，求EG2+FH2的值。17、M、N分別是空間四邊形ABCD中AB、CD中點(diǎn)，求證：MN<（AD+BC）。18、S是正三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，SA=SB=SC，且ASB=BSC=CSA=900，M、N分別是AB和SC中點(diǎn)，求異面直線SM與BN所成的角。

14、19、長(zhǎng)方體ABCDABCD中，AB=2，BC=BB=1，M、N分別是AD和BC中點(diǎn)，求異面直線MN和BC所成角的大小。20、正方體ABCDA1B1C1D1中，若E、M、N分別是棱AB、BC及B1D1的中點(diǎn)，求異面直線DN與MC1所成的角。參考答案（一） 選擇題1、B。 反證法證明2、D。3、D。4、A。 反證法證明5、A。正確，可先證明該四邊形是平行四邊形6、B。 EGEG，EGF就是異面直線EG與FG所成的角，EGF為正三角形，EGF=6007、B。8、C。9、D。10、C。 不正確 （二）填空題11、（1） （2） （3）90012、（1）450 （2）300 （3）13、600 14、8。 EH=3，F(xiàn)G=4，由（EH+FG）·h=28，h=815、平行，相交，異面 （三）解答題16、解：EHBD，GFBD EHGF EFGH是平行四邊形又 EF=GH=AC EG2+FH2=2(EH2+EF2)=2(EH+EF)2-2·EH·EF =17、證明：取AC中點(diǎn)P，則MP=BC，NP=AD MN<MP+NP=（BC+AD）18、解：連CM，取CM中點(diǎn)O，連NO、OB NOSM BNO（或其補(bǔ)角）就是異面直線SM與BN所成的角設(shè)AB=BC=CA=4